Краевая задача для общего линейного смешанного псевдопараболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с нелокальным условием сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

А. Сопуев

д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой программирования, Ошский государственный университет,

г. Ош, Киргизия E-mail: [email protected]

Т.Ы. Саадалов

ст. преподаватель, кафедра информатики, Ошский технологический университет им. М.М. Адышева, г. Ош, Киргизия E-mail: [email protected]

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЩЕГО ЛИНЕЙНОГО СМЕШАННОГО ПСЕВДОПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ СОПРЯЖЕНИЯ

Аннотация. Методом функции Римана доказано существование и единственность решения краевой задачи для общего линейного смешанного псевдопараболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с нелокальным условием сопряжения.

Ключевые слова: краевая задача, псевдопараболические уравнения, гиперболические уравнения, функции Римана, уравнение Фредгольма.

A. Sopuev, Osh state university, Osh, Kyrgyzstan

T.Y. Saadalov, Osh technological university named after M.M. Adyshev, Osh, Kyrgyzstan A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A GENERAL LINEAR MIXED PSEUDO PARABOLIC-HYPERBOLIC FOURTH ORDER EQUATION WITH A NONLOCAL CONJUGATE CONDITION Abstract. The method of the Riemann function proved the existence end uniqueness of solutions of the boundary value problem for a general linear mixed pseudo parabolic - hyperbolic fourth order equations with nonlocal conjugate condition.

Keyword: boundary value problem, pseudo-parabolic equations, hyperbolic equations, Riemann functions, Fredholm equation.

1. Постановка задачи. В области D, ограниченной линиями х = 0, y = -hi, х = L, y = h, (h1,L,h >0), рассмотрим задачу сопряжения для уравнений:

L (u)° Uxxyy + ai (х, y)Uxxy + a2 (x, y)Uxyy + b (x, y)Uxx + b2 (x, y)Uxy + b3 (x, y)Uyy + ^ + Ci (x, y)Ux + C2 (x, y)Uy + d(x, y)u = fi (x, y), (x, y) e O,,

Li (u) ° Uxxxy + « (x, y)Uxxx + «2 (x, y)Uxyy + bi (x, y)Uxx + b (x, y)Uxy + gi (x, y)Ux +

+g2 (x, y)Uy +d(x, y)u=f,( x, y), (x, y) e D2, где Di = D n (y > 0), D2 = D n (y < 0).

Через Cn+m обозначим класс функций, имеющих производные dr+s /dxrdys (r = 0,i,...,n; s = 0,i,...,m).

Задача 1. Найти функцию u(x,y)eC(D)n[C2+2(Di)иC 3+i(D2)], удовлетворяющую в области Di уравнению (i), граничным условиям:

u(0,y) = j(y), Ux(0,y) = j(y), 0 < y £ h, (3)

u(x,h) = y(x), 0 < x < L, (4)

удовлетворяющую в области D2 уравнению (2), граничным условиям:

А

иу (А, + 0) = р(X) иу (А, - 0) + | в{А, Х)иу (X, - 0)с(£ + Г(А), 0 < А < £,

(6)

и(£,У) = с(у), их(£,у) = с(у), ихх(£,у) = Сз(у), -^ < у < 0 (5)

и условиям сопряжения:

и(х, + 0) = и(А,-0), 0 < А < £ ,

А

, + 0) = р(А(А,- 0) +

0

где для коэффициентов уравнений и заданных функций выполняются следующие условия:

а1 е О(Ц) п С2+1(01),а2 е 0(0,) п 01+2(01),Ь1 е 0(0,) п С2+0(С,), Ь е 0(01) п СПЦ), Ьз е С(Ц) п С0^),^ е С(Ц) п С^Ц), с2 е С(Ц) п С0+1(01),С е С(01),«1 е С(02) п С3+0(02),«2 е С(02) п (7) пС1+2(02),Д е С(02) п С2+0(О2),Ь е С(0) п С1^),* е С(0) п пС1+0(О2),/2 е С(02) п С0+1(02),^е С(02),/ е С^)/ е С(0),

р, р е С2 [0,Л], с е С1 [-^ ,0] (/ = 1,3). (8)

р(Л) = у(0), р(Л) = /(0). (9)

"ае [0,£]: р(х) * 0. (10)

Задачи с нелокальным условием сопряжения вида (6) для уравнений в частных производных часто используются в качестве математической модели процесса теплопередачи в составной системе с разными теплофизическими характеристиками [1; 2].

Введем обозначения:

и(х, + 0) = и(х,-0) = т(х), 0 < х < £, иу(х, + 0) = ^(х),иу(х,-0) = ^(х),0 < х < £,

где т(х),у1( х),п2(х) - пока неизвестные функции. Тогда из условия (6) получим

(11)

X

П (х) = р{х)у2(А) + \в(хХ)у2Х)ССХ + г(х), 0 < х < £. 12)

0

Рассмотрим следующие вспомогательные задачи.

Задача 2. Найти функцию и(х,у)е С(01) пС2+2(01), удовлетворяющую уравнению (1) в области 01, граничным условиям (3) и начальным условиям:

и(х,0) = т(х),иу(х,0) = п1(х),0 < х < £ , (13)

где г(0) = л(0), г'(0) = р(0),р'(0) = п1(0),^2(0) = п'(0).

Задача 3. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению (2) в области 02, граничным условиям (5) и начальному условию и(х,0) = г(х).

Для решения задачи 1 будем использовать методы теории уравнений смешанного типа [3]. Отметим, что если удастся найти г(х), п1(х) и п2(х), то решение задачи 1 определяется как решения задач 1 и 2 в областях 01 и 02 соответственно. Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка рассмотрены в работах [4; 5], а для уравнения четвертого порядка - в работе [6].

2. Представление решения задачи в области 01. Решение задачи 2 через функцию Римана 4(х,у,£,л) представим в виде [7]:

и(х, у) = Д (х, у )р (у) - 4 (х, у; 0, у )р2 (у) + х, у; х)т( х) -

у у

-4 (х, у; х, 0)п (х) -1СД х, у; р (л)сЛ +1В1 (х, у лр (л)сЛ -

0

(14)

0

- } М1 (х, у; £Ж£)с£ - } х, у; Щ (£)с£ + Ф1( х, у),

где

Л, (х, у) = 3, (х, у ;0, у) - а2(0, у )3, (х, у ;0, у),

В1 (х,у;,) = 3,, (х,у;0,,) - а, (0,,)3, (х,у;0,,) + [Ь,(0,у) - а,, (0,^)1 3(х,у ;0,,), С, (х, у;,) = 3, (х, у ;0,,) - ^ (0,,)3, (х, у ;0,,) - а2 (0, у )3т (х, у ;0,,) + +[Ь1 (0, у) - а,, (0,,)] ^ (х, у ;0,,) + [Ь (0,,) - ач (0,,) - 2а2, (0,,)] 3( х, у ;0,,) + + [Ьх (0,,) - а^ (0,,) - а2,, (0,,) + Ь2,(0,,) - С1 (0,,)] 3( х, у; 0,,), 01 (х, у; £ = 3, (х, у; £ 0) - а (£, 0)3(х, у; £,0), Е (х, у; £) = а2 (£, 0)3, (х, у; £,0) + ^ (£, 0) - Ь2 (£, 0)Ц(х, у; £,0), ^ (х, у; £) = Ьз (£, 0)3, (х, у; £,0) + [Ьз, (£, 0) - С2 (£, 0)Ц( х, у; £,0), М (х, у; £) = (х, у; £,0) - (х, у; £) + РД х, у; £),

N1 (х, у; £ = - 3 (х, у; £,0) + а2 (£, 03 (х, у; £,0) + ^ (£,0) - Ьз (£, 0)]3(х, у; £,0), Ф1 (х, у) = - 3( х, у ;0,0) и (0) + [ 3 (х, у ;0,0) - а2(0,0) 3( х, у ;0,0)] и(0) + 01 (х, у; 0) и (0) +

х у

+[Е1( х, у ;0) - йч (х, у; 0)] и (0) +{ £ 3( х, у; , (£,,),

0 0

Функция Римана 3(х,у,£,,) определяется как решение уравнения

11(3) ° -(аЗ, -аЗ), + (Ь3 + (3 + (Ьз3),, -(3 -(3), + сС3 = 0 и удовлетворяет краевым условиям:

3(х, у;£,,)|= 0, 3 (х, у;£,,)|= ((,; х, у), 0 <,< у,

3(х,у;£,,)|,=у = 0, (х,у; £,,),=у = ((£;х,у), 0 < £ < х, где (о1{гх, у), «2(£; х, у), определяются как решения следующих задач:

3„(х,у;х,,) - [а1(х,,)3^(х,у;х,,)], + Ь1(х,,)3,(х,у;х,,) = 0, 0 < , < у, 3(x,у; х,,)|,=у = а 3(х у; х,,)|,=у =1

(х, у; у) - а (£, у)3, (х, у; у)£ + Ьз (£, у)3, (х, у; у) = 0,0 < £ < х, 3,(х,у;£,у)|£=х = 0, 3, (х,у;£,у)|£=х = 1.

Методы построения функции Римана для псевдопараболических уравнений третьего порядка рассмотрены в работах [8], [9], [10].

3. Соотношение, полученное из 01. Используя условие (4) из (14), получим:

01£ (х, Л; £)г( х) - 3£ (х, Л; х, 0)п1 (х) =

х х

= I МДх, Л; £Ж£)с£ +1 N1 (х, Л; (£)с£ + у (х),

0 0

где

у (х) = у (х) - Ф1(х, Л) - А (х, Л) и (Л) + 3, (х, Л; 0, Л)и (Л) +

(15)

Л

+1С1 (х, Л;,) и (,)сС, -1В1 (х, Л; (,)сС,.

00

Исключая ^(х) из (12) и (14), имеем:

0

0

Л

где

где

Dxx (х, Л; х Ж х) - р( х )Щ (х, Л; х, 0)п2 (х) =

X X

= | Ы2 (х, £Ж£)с(£ +1 х, Х)П2 (Х)СХ + У2( х),

М2 (х, X) = М1 (х, Л; X), М2 (х, X) = рХ)^ (А, Л; X) + 0(х, Щ (х, Л; х, 0) +

хх +10(5, X)N1 (х, Л; 5^5, у2(х) =у(х) + г(х)Щ(х, Л; х, 0) +1 г(X)N (х, Л; X)dX.

4. Соотношение, полученное из 02. Из (4) при у ® -0 имеем:

П2К А) + «( А, 0)т"( А) + «2( А, 0)п2'( А) + Ь (А, 0)^( А) + Д, (А, 0)^2 (А) + + у1(А, 0)г'(А) + /2(х,0)п2( А) + 3(А, 0)т(А) = /2( А,0). Из постановки задачи 1 нетрудно получить следующие условия согласования:

т(1) = с (0), г'(£) = С2 (0), т"(£) = с (0),

П (£) = с(0), п2 (£) = с2 (0), п2(£) = с3(0).

Тогда после трехкратного интегрирования соотношения (17) получим

I

п (А) + «( А, 0Ж А) = I р (А, x)t(x)сx +1 сц А, X)У2 (^+х), (18)

х

1

Р(XX) = 2[(А - £)2 - (X- £)2 ][-a1xxx(X.0) + b,xx(X.0) - э^) + ^,0)] + +[3« (X, 0) - 2Ь (X, 0) + /1 (X, 0)] (А - X) - з«1x(X, 0) + у (X, 0), 01 (XX) = 1 [(А - £)2 - (X - £)2 ] [о^,0) - у^, 0) + /2 (X, 0)] + +[у (X, 0) - 2« (X, 0)] (X - X) + «2 (X, 0),

01 (х) = х - £)2 {[«1АА (£,0) -Ух (£, 0) + /(£, 0)]с (0) - [«2А (£,0) - Ь (£, 0)]с(0) -

- [«х (£,0) - у (£,0)]с (0) + «(£, 0)с2 (0)+«(£, 0)С3 (0)+с3 (0)} +

+(х - £) [у (£, 0)С1 (0) + «2 (£, 0)С(0) + «1 (£, 0)С2 (0) + с2 (0)] + «1 (£, 0)С1 (0) + с1(0) -1 1

- ^ | (А -X)2 /2(X,0)dX.

X

где р2 (А, X) = р (X, X) - «1 (X, 0)^1 (X, X) + } К (А, 5 )Р (5, X)dX,

А

(16)

(17)

Обращая уравнение (18) относительно п2(х), придем к соотношению:

I

У2 (X) = -«1 (А,0)г(х) +|р2(х,X)t(X)dX + д2(X) (19)

А

02(х) = д1(х) +1КДх,X)g1(X)d(X), ^(х^ - резольвента ядра О^х^.

А

5. Сведение задачи к интегральному уравнению. Исключая п2(х) из (16) и (19),

А £

Р1 (XЖх) = | М(А, XЖX)dX +| р (X, XЖX)dX + 03 (А), (20)

0 А

где

х

p (х) = DiX (х, h; х) + a (x, 0)p(x) J (x, h; x, 0),

X

M (x, X) = M2 (x, X) - a (X, 0)/V2 (x, X) + J Л/2(x, sp (s, X)ds,

0

x

)+

P,( x,X) = p( x )J( x, h; x,0)P2( x,X) + J N2( x,s )P2(s,X)ds,

0

x

9з (x) = y (x) + p (x )J (x, h; x, 0)02 (x) + J N2 (x, X)g2 (X)dX.

Если

"x е[0,L]: p(x) Ф 0, (21)

то уравнение (20) является уравнением типа Фредгольма второго рода. При выполнении условия (21) из (20) получим

x I

t( x) = J M( x, X)t(X)dX + J P( x, X)t(X)dX + g( x), (22)

0 x

^ M3(x,X) _ ^ P3(x,X) ч g3(x) где M(x,X) = P(x,X) = 3y, , g(x) = ^VT.

Pi( x) Pi( x) Pi( x)

Пусть max(||M(x,X)||C(Q),||P(x,X)||C(Q)) = K , где Q = {(x,X) :0 < x < L, 0 < X< L}. Если

K L < 1, (23)

то уравнение (22) имеет единственное решение, которого можно построить методом последовательных приближений.

6. Представление решения задачи в области D2. После определения t(x) из (22)

решение задачи 1 определяем как решение задачи 3. Рассмотрим тождество: wL2(u) - wL*2(w) =

ЭХ'

dh

где i*(w) ° wXXXn - (ayw)XXX - (aw) xxh + (bwX + (bwX - (gw)x - (YWX + dw .

Интегрируя тождество (23) по области D2 = {(X,h): x <X< L, У < h < 0}, имеем:

= — [wuXhh - wXuhh + w XXuh + awuXX - (aw)XuX + (aw) XXu + a2wu hh - (a2w)Xuh + +bwu X - (biw) X u + b2wun + rwu\ {[w XXX - («2w) X + (bw) X - g2w]u},

L У

u( x, У) = w XX (x, У; x, 0)t( x) + J A2( x, у; X)t(X)d X + J [w( x, у; L, h)c3 (h) +

x 0

+a(L, h)w (x, у; L, h)C3 (h) - ^2 (x, У; h)c2 (h) - C2 (x, у; h)c (h) + (24)

L У

+D2(x,У;h)c(h) + ^2(x,У;h)Ci(h)]dh - Jd XJw(x,у ; X,h)<2(X,h)dh,

x 0

где w (x, у; X,h) - функция Римана, являющаяся решением следующей задачи:

L2(w(x,у; X,h)) = 0, (X,h)е D2, w (x, у; x,h) = 0,wx (x, у; x,h) = 0, (x, у; x,h) = exp w(x,у; X,У) = ®(x,у; X), x < X £ L;

ч

Ja( x,hi)dhi

,У <h < 0,

0

У

здесь а>(х, у X) - решение задачи Коши:

^ XXX (А, у; X,0) - «2 (X, 0)1^ (X, у; X, 0) + [у (X, 0) - 2« (X, 0)]^ (х, у; X, 0) --[«XX (X, 0) - У (X, 0) + /(X, 0)^ (X, у; X,0) = 0, w(х,у;х,у) = 0, Wx(х,у;х,у) = 0, ^(х,у;х,у) = 1.

Таким образом, теорема доказана.

Если выполняются условия (7)-(10), (21) и (23), то решение задачи 1 существует единственно и представимо в виде (14) и (24) соответственно в областях 01 и 02.

Список литературы:

1. Нахушева В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник СамГТУ. - Вып. 42. Сер. ФМН. - 2006. - С. 11-34.

2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

3. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970. - 296 с.

4. Кожобеков К.Г. О разрешимости задач сопряжений для нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка // Известия Томского политехнического университета. Математика и механика. Физика. - Томск, 2009. - Т. 315, N 2. - С. 9-12.

5. Сопуев А., Аркабаев Н.К. Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. № 1 (21). - С. 16-23.

6. Саадалов Т.Ы. О задаче сопряжения для гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка // Известия Томского политехнического университета. Математика и механика. Физика. - 2014. - Т. З25. - № 2. - С. 22-28.

7. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000. - 144 с.

8. Шхануков, М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Нальчик, 1985. - 225 с.

9. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. - 1999. - № 10. - С. 73-76.

10. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. - Казань: Изд. Казанского математического общества, 2001. - 226 с.