CC BY
39
УДК 517.956.6
Н.К. Аркабаев
старший преподаватель, кафедра «Программирование», Ошский государственный университет,
г. Ош, Киргизия E-mail: [email protected]
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННО-ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА
Аннотация. Методами функции Римана, Грина и интегральных уравнений доказано существование единственного решения краевой задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с двумя линиями изменения типа.
Ключевые слова: функция Римана, функция Грина, интегральные уравнения, псевдопараболические уравнения, уравнения Вольтерра.
N.K. Arkabaev, Osh state university, Osh, Kyrgyzstan
A CONJUGATION PROBLEM FOR A MIXED-PSEUDO PARABOLIC EQUATION WITH TWO LINES OF
DEGENERACY
Abstract. The methods of the Riemann function, Green's integral equations and proved the existence of a unique solution of the value boundary problem for pseudo-parabolic equations of the third order with two lines of type.
Keywords: Riemann function, Green's function, integral equations, pseudo-parabolic equations, Volterra equation.
1. Введение. При математическом моделировании физико-химических процессов, происходящих в составных телах, часто используется теория уравнений смешанного типа, основанная на сопряжении различных типов уравнений в разных частях рассматриваемой области [7; 9]. Задачи сопряжений встречаются и при изучении поглощения почвенной влаги растениями [6].
В работе устанавливается существование единственного решения краевой задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с двумя линиями изменения типа.
2. Постановка задачи. В области D, ограниченной отрезками прямых
AA1 = {(х, y): х = 0, -h1 < y < 0}, A1B1 = {(х, y): y = -h1,0 < x < L}, B1B = {(x, y): x = L, -h1 < y < 0}, BB0 = {(x, y): x = L,0 < y < h}, B, Д = {(x, y): y = h,0 < x < L}, A0C0 = {(x, y): y = h, - L < x < 0}, C0C = {(x,y): x = -L1,0 < y < h}, CA = {(x,y): CA = {(x,y): y = 0, - L1 < x < 0} (L,L1,h,h1 > 0), рассмотрим краевую задачу для уравнений:
Li (u) ° Uxxx - Uxy = 0, (x, y) e Di, (1)
L2 (u) ° Uxxy + bi (x, y)Uxy + d(x, y)Uy = 0, (x, y) e D2, (2)
L3 (u) ° Uxyy + b2 (x, y)Uxy + c(x, y)Ux = 0, (x, y) e D3, (3)
где b(i = 1,2), d,c - заданные функции, а D1 = DI (x > 0,y > 0), D2 = DI (x > 0,y < 0), D3 = D П (x < 0,y > 0).
Уравнения (1) - (3) представляют собой канонические виды уравнений третьего порядка относительно старших производных по классификации работы [3]. Такие уравнения часто называются псевдопараболическими по характеру свойств решений [1; 2].
Пусть Cn+m означает класс функций, имеющих непрерывные производные Эг+s /ЭxrЭys (r = 0,1,...,n;s = 0,1,...,m).
Относительно коэффициентов предполагаем следующее:
(10)
Ь (х, у) е С1+1 (02), Ь2 (х, у) е С1+1 (й3), (4) С(х,у) е С0+1(О2), с(х,у) е С'+0ф3). Задача 1. Найти функцию и(х,у) е С1(0) п [С1+1(01) и С2+1(02) и С1+2(03)] иххх е С(01), удовлетворяющую уравнениям (1), (2) и (3) в областях 01, 02 и 03 соответственно, краевым условиям:
и(-Л,у) = и(у), и(£,у) = ^(у), 0 < у < Й1, (5)
и(0, у) = с(у), их (0, у) = Хг(у), - ¡2 < у < 0, (6)
и(х,0) = у(х), иу (х,0) = у2(х), - ¿1 < х < 0 (7)
и условиям склеивания:
и(х, -0) = и(х, +0), иу (х, -0) = иу (х, +0), 0 < х < £ , (8)
и(-0, у) = и(+0, у), их (-0, у) = их (+0, у), 0 < у < Л (9) где $-(у), с (у), у (х)(/ = 1,2) - заданные гладкие функции, причем
Л(у)е С2[0,Л],^2(у)е С1[0,Л], с (у) е С1 [-¡1, 0], у (х) е С1 [-£ 1, 0] (/ = 1,2),
л(0) = у(-£Д у(0) = с(0), У2(0) = с1(0), у'(0) = с(0), у2(0) = с2(0). (11)
Отметим, что линии х = 0, у = 0 одновременно являются характеристиками уравнений (1) - (3). Уравнения (1) - (3) в совокупности с условиями склеивания (8) и (9) являются уравнениями смешанного типа с двумя линиями изменения типа в области 0 [10]. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с двумя линиями изменения типа изучены в работах [5; 8; 11]. Методом функции Римана изучены краевые задачи для уравнения типа (2) в работах [4; 12]. Введем следующие обозначения:
и(х,-0) = и(х, + 0) = х1 (х), иу(х, -0) = иу(х, + 0) = к,(х), 0 < х < £, (12)
и(- 0,у) = и( + 0,у) = ^(у), их(-0,у) = их( + 0,у) = V2(у), 0 < у < Л, (13) где г1(х), т2(у), п(х), п2(у) - пока неизвестные функции.
3. Представление решения задачи 1 в области 02.
В области 02 рассмотрим краевую задачу для уравнения (2) с условиями:
и(0,у) = с(у), их(0,у) = с(у), -¡2 < у < 0, (14)
и(х,0) = г1(х), 0 < х < £ , (15)
решение, которого представим с помощью функции Римана. Имеет место тождество:
ь12 (и) - и1* (и) = (и иХу +ьХуи + Ьриу )х - (ихих + (Ьи)Ху и - Си и )у, (16)
где Ц(и) ° -Ьхху + (Ьии)ху - (Си)у.
Пусть область 02 означает прямоугольник с вершинами А(0,0),А*(0,у), В*(х,у),В*(х,0), т.е. 02 = {(Х,Л): 0 <Х< х, у < 0}, а Г = Э 0*. Используя формулу Грина из тождества (16), получим
{{ («¿,(и) - иЦ(и)С£С^ =
02 (17)
= | (ии + Фи)^ - Сьи)С% + (ьи?п + ь?пи + Ьиоип)С7].
Г
Функцией Римана назовем решение следующей задачи [9]:
Ц Ц) ° X - (Ц, + (Сц), = 0, (18)
ь(Хя)\х=X = 0,у <,< 0, (19)
их(Х,,)1х=х = 1,У <,< 0, (20)
и(£,,)и = У),0 <х< X, (21) где «(X, у) - решение следующей задачи:
их (X, У) - Ь (X, У )и(Х, у )]х + б(Х, у их, у) = 0,0 < X < х, (22)
и(Х, у) \х=х = 0, и(Х, у) \х=х = 1. ( ) Интегрируя уравнение (18) по , и с учетом (22), получим
их- ШXтV]x + = 0. (23) Далее, используя условия (19), (20) и дважды интегрируя это уравнение по X, приходим к интегральному уравнению
VI,) = £- х+|ЫШ М^С,
X
где K0(X,т,t) = Ь1(^,т) + ^-X)d (¿,т), решение которого представимо в виде
х
и(£т) ° и(х,%,т) = X - х +1 )(/ - (24)
X
где ) = ^Кп(X,т,t) - резольвента ядра K0(X,т,f), а
К(X,,,/) = |К^,,,/п = 1,2,....
t
Из (24) следует, что функция Римана не зависит от переменной у. Для резольвенты имеем уравнение:
R(X,т,t) = ад,,,/) +1Ko(s,т,t)R(X,т,sс .
Нетрудно заметить, что
Rx(X,T,t) = -с(/,,) + b1(X,т)R(X,т,t) -1d.
{
Тогда и^^т) = 1 + b1(X,т)v(x,X,т) -1d(s,т)v(x,t,т)dt. Отсюда заключаем, что функция
t
и( XX,,) удовлетворяет уравнению (23) и тем самым и уравнению (18). Из (24) также получаем легко проверяемые соотношения:
и(X, X,,) = 0, vx (X, X,,) = 1, . (25)
Если учесть, что
X
Vx (x,X,т) = -1-} R(X,T,t )с№,
X
Vxx (XX,,) = R(X,T, X) =
X
1 + (X -X)d(X,,) +
X
то функция Ц^, у) удовлетворяет уравнению:
= Ь1 (X,,) + (X - X)d (X,,) +1 [Ь1 (X,,) + (X - s)d( X,,)] х R(X,,, s)ds,
п=0
их (х, X, у) - £ (х, у )и( х, X, у) + С( х, у )и( х, X, у) = 0. (26)
Осуществляя вычисления криволинейных интегралов по границам области 0* и учитывая свойства функции Римана и(х,Х,л) из (17) получим представление решение задачи (14), (15) для уравнения (2) в виде:
х
и( х, у) = их (х, х, 0)Т1 (х) -1 {% (х, х, 0) - [£>1 (X, 0)и( х, £,0)]^ + С(X, 0) х
0
у
хи( х,Х,0)}^1(Х)СХ -1 {и( х,0,л)с2 (Л) - Уе( х,0,л)С(л) + £1(0,^) х
0
х£1(0,л)и( х,0,Л)}С(Л)}сЛ.
Если учесть, что уравнение (26) выполняется и при у = 0 , и если воспользоваться соот-
ношениями
х
= 1 + £ (0,Л)и( х,0,Л) +
0
то
((х, х,0) = -1, (х, 0, л) = 1 + ь1(0, Л)и(х,0, л) +1 С^, л)и(х, t, ,
у
и(х, у) = т, (х) + с (у) - С (0) -1 и( х, 0, л )с2 (Л)СЛ -
0
у х
] с;(л)Сл| С(Х,л)и( х,х,л)сх,
у
+
00
(27)
где г1(х) - пока еще неизвестная функция. Нетрудно показать, что функция и(х,у), определяемая формулой (27), удовлетворяет условиям (14), (15) и удовлетворяет уравнению (2). Из (27) определим производную иу(х,у), хотя сама функция еще неизвестна:
иу (х, у) = С(у) + и(х, 0, у)с2 (у) + С(у)| С(X, у)и(х, X, у)СХ ,
0
и тем самым след нормальной производной при у ® -0:
х
П( х) = С(0) + и( х,0,0)с2 (0) + с'(0)| С (X,0)v( х,^^. (28)
0
Нетрудно показать, что п1(х), определенная формулой (28), является решением следующей задачи:
| <( х) + £1 (х, 0К( х) + С (х, 0)п (х) = 0, [п (0) = С(0),п'(0) = с2 (0).
Указанное уравнение легко получается из уравнения (2) при у ® -0. 4. Представление решения задачи 1 в области 03.
В области 03 рассмотрим краевую задачу для уравнения (3) с условиями:
и(х,0) = у(х), иу(х,0) = у2(х), -£1 < х < 0, (29)
и(0,у) = т2(у),0 < у < Л. (30)
Интегрируя тождество
иЦ(д) - ¿^(и) = (¿и + (£2¿)у и - сди)х -($иХу + $Хуи + )у где Цд) ° -¿хуу + £¿)ху - (сд)х, имеем
Л (иВД -JLз(u)dXdт =
о;
= | (Ли, + Ж,и + b2JUx)dX + + (Ь2Ж)пи - оЖи )С,,
03 (31)
ь2" UX)сь + (Ь2Ж),'
Г1
где 03 = {(X,,): X < X < 0, 0 < , < у}, ^ = Э03.
Функцией Римана назовем решение следующей задачи:
Ц (Ж) ° - Ж, + (b2J)xт - (оЖ = 0, (32)
Ж,) \,=у = 0,X < X < 0, Jт(X,т) \,=у = 1, X < X < 0, (33)
J(X,т)lx=x =«(X,,), 0 <,<у , (34)
где co{x,т) - решение следующей задачи:
Ж (X,,) - [Ь2 (X,,)Ж(X, ^ + о(X,,)Ж(X,,) = 0,0 < , < у,
(35)
ЖX,,) !,=у = 0, Жx,т)\т==y = 1.
Как и выше интегрируя уравнение (32), с учетом (33), (34) и (35), приходим к интегральному уравнению:
Жё,,) = , - у +| н^,,,/ШX,tС , (36)
у
где Н^,,^ = b2(X,t) + ^ -т)о(X,t), решение, которого представимо в виде
,) ° Л(у, X,,) = , - у +1 R1(X,т,t )(t - у С (37)
у
где R1(X,т,t) = £ Нп (X,т,t) - резольвента ядра Н^,,,/), а
п=0
Нп (X,T,t) = | Н0 (X, ^ t)Нп-1 (X,T,s)ds, п = 1,2,....
t
Из (37) следует, что функция Римана не зависит от переменной X . Осуществляя вычисления криволинейных интегралов по границам области 03 и учитывая свойств функции Римана Лу^,,) из (31) получим представление решение задачи (29), (30) для уравнения (3) в виде:
X
и(X, у) = т2 (у) + у (X) - у (0) -1 Ж(у, X, 0)у2 (^ +
0 (38)
X у
+jy;(X)dXj о^^Шу^^С,,
где г2(у) - пока еще неизвестная функция. Нетрудно показать, что функция и^,у), определяемая по формуле (38), удовлетворяет условиям (29), (30) и удовлетворяет уравнению (3). Используя первое условие (6) из (38) определим г2(у) = <р(у). Найдем и:< (X, у) из (38):
у
Ux (X, у) = у (X) - Ж(у, X, 0)у2 (X) + у'(X)| с(X, ,)Ж(у, 0, ,)С, ,
0
и след нормальной производной при X ® -0 :
у
^(у) = у'(0) -Ж(у,0,0)у2 (0) + у'(0)| о^ЖуА^,. (39)
0
Нетрудно показать, что п2(у), определенная формулой (39), является решением уравнения:
П'(у) + £2(0, у )п2 (у) + с(0, у )у2 (у) = 0, полученной из уравнения (3) при х ® -0 , и удовлетворяет условиям: п2(0) = у'(0), п2(0) = у2(0). 5. Представление решения задачи 1 в области 01.
В области 01 рассмотрим задачу:
Ц (и) ° иххх - иху = 0, (х, у) е О1, (40)
и(0,у) = Т2(у), их(0,у) = ^(у),и(£,у) = <р2(у),0 < у < Л, (41)
и(х,0) = <(х), 0 < х < £. 42)
Интегрируя уравнение (40), имеем:
ихх - иу = -й'(у), (43)
где й(у) - произвольная непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда функция и(х,у) = w(y) является одним частных решений неоднородного уравнения (43). В силу линейности уравнения (43) заключаем, что общее решение этого уравнения имеет вид
и(х, у) = z(х, у) + w(у), (44)
где z(х,у) - общее решение уравнения
*хх - ^ = 0. (45)
В силу того, что любая константа С является решением уравнения (43), можно доказать, что w(0) = 0 . В самом деле, равенство (44) можно представить в виде:
и(х, у) = х, у) + С] + [й(у) - С] = Z(х, у) + й(у), где Z(х,у) = z(х,у) + С, й(у) = й(у) - С . Отсюда заключаем, что й(0) = 0, если С = й(0). Следовательно, можно считать, что в представлении (44) функция й(у) удовлетворяет условию й(0) = 0 .
Переходя к пределу при у ® +0 из уравнения (43) имеем
<(х) - п (х) = -й'(0) ,0 < х < £, (46)
где й'(0) - пока неизвестная константа. Так как функция п(х) известна и определена по формуле (28), то из (46) можно определить <(х) со следующими условиями: 71(0) = у(0), <(0) = у2(0), <(£) = 02(0).
Тогда из (40) и (41) для z(х,t) получим следующие условия:
Zx(0,у) = п2(у),0 < у < Л, z(£,у) = 02(у)- й(у), 0 < у < Л, z(х,0) = <(х), 0 < х < £. (47) Теперь выпишем решение уравнения (45), удовлетворяющее условиям (47):
z( х, у) = - [ в( х, у; 0, л)п (л)Сл -1 Gx (х, у; £, л) [ 0 (л) -
0 0
£
-й (л)]Сл + I в( х, y;X,0)<1(X)СX,
(48)
где е(х,y;x,л) = , , л £ 2V р( у -л) "=-¥
ехр I - 1 - ехр ( -(х + X + 4П£)2
- ехр I -(х-X-2£ + 4П£)21 - ехр [ -(х + X- 2£ + 4П£)
4( у-Л) ) I 4( у-л)
4( у -Л) ) \ 4( у -л)
- функция Грина.
0
Если учесть, что для z(x,t) выполняется еще и соотношение
z(0,y) = t2(y)- w(y),0 < y < h,
то из (48) получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода для w (y ):
У
w (y ) + J Gx( x, y,£,v)w(n)dv = g (y ), (49)
0
где
y y l
g (y ) = t (y ) + J G(0, y ;0, ф2 (ri)dv - J Gx (0, y; L, j Wh + J G(0, y ; X, 0)t (£)d£,
0 0 0
которое допускает единственное непрерывно-дифференцируемое решение.
Таким образом, доказана следующая теорема: если выполняются условия (4), (10) и (11), тогда задача 1 имеет единственное решение.
Список литературы:
1. Colton D. Pseudoparabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. -1972. - № 12. - P. 559-565.
2. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. - 1977. - V. 63, № 1. - P. 77-81.
3. Джураев Т.Д., Попелёк Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 10. - С. 1734-1745.
4. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. - 1999. - № 10. - С. 73-76.
5. Исломов Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями и плоскостями вырождения: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. - Ташкент, 1995. - 32 с.
6. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
7. Нахушева В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник СамГТУ. - Вып. 42. Сер. ФМН. - 2006. - С. 11-34.
8. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного параболо-гиперболического уравнения // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1984, № 3. - С.29-34.
9. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разностные схемы для задачи о сопряжении уравнений гиперболического и параболического типов // Сибирский математический журнал. - 1998. - Т. 39, № 4. - С. 954-962.
10. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970. - 296 с.
11. Сопуев А. Краевые задачи для параболо-гиперболического уравнений типа с двумя линиями изменения типа // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1989. - № 4. - С. 31-37.
12. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. - Нальчик, 1985. - 225 с.
