CC BY
33
УДК 517.956.3
ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ОДНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
И. Н. Родионова
Самарский государственный университет,
443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
E-mail: [email protected]
Для полного уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве решена краевая задача с сопряжением на нехарактеристической плоскости в области, ограниченной плоскостями сингулярности коэффициентов уравнения.
Ключевые слова: краевая задача, уравнение гиперболического типа, интегральные уравнения, интегральные условия.
Рассмотрим на множестве Н = Н\ U уравнение
uxyz + ^иху + ?-uxz + -uyz + ^их + ^иу + ^uz + = О, (1)
z у х yz xz ху xyz
где а, /3, 7 € (0,1); Н\ = {(х, у, z) : 0 < у < х < h, 0 < z < +00}, Я2 =
= {(х, у, z) : 0 < у < х < h, 0 < z < +00}, h > 0.
В соответствии с классификацией [1] уравнений со старшими частными производными dN/{дх\ ... дхn) уравнение (1) относится к уравнениям гиперболического типа.
Задача. Найти на множестве Н непрерывное решение уравнения (1) с условиями
ГУ
/ U(t, у, z)dt = ф(у, z), (y,z)eVi = {0<y<h,0<z< +00}, (2)
Jo
(z^U(x, у, z))z=0 = fi(x, у), (x, у) € V2 = {0 < x < у < h}, (3)
(z^U(x, y, z))z=Q = /2(ж, у), (x, у) € V3 = {0 < у < x < h}, (4)
(yf3U(x, y, z))y=Q = (p(x, z), (x, z) € £>4 = {0 < x < h, 0 < 2 < +00} (5)
и условиями сопряжения на плоскости х = у:
lim U(x, у, z) = lim U(x, у, z); (6)
у—y^fX—U
lim x2a(Ux — Uy)= lim [x2l3(Ux — Uy)} + (x2l3U(x, x, z))'x. (7)
у—як+0 y—tx—0
Ирина Николаевна Родионова (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. математики и бизнес-ин-форматики; научно-исследовательская лаборатория математической физики.
На заданные функции налагаются следующие требования: /1 (ж, у), /2(ж, у), (р(х, г), ф{у, г) непрерывны в своих областях определения вместе со своими смешанными частными производными второго порядка;
dfi = dh dfi _dh
дх у=х дх у=х ду у=х ду
у=х
[ f1(t,y)dt = 0, O^y^h. Jo
Замечание. Простейшим примером функции /\(х, у), удовлетворяющей указанным условиям, является
/і(х, у) = fu{y) [ж7(у - х)& - х6(у - ж)7], 7 > 1, 5 > 1, /ц(у) Є C^h].
Полагая для определённости 2а — /3 > 0, потребуем представления
Ф(у, Z) = уф* (у, z), <р(х, z) = XLp*{x, z), (9)
где ф*, Lp* удовлетворяют условиям непрерывности в своих областях определения вместе со своими смешанными частными производными второго порядка, причём ip(y, 0) = ф(х, 0) = 0. Для решения поставленной задачи возьмём за основу полученное методом Римана в работе [2] решение задачи Коши— Гурса для уравнения (1) в области Н\ при выполнении условий
U{x, х, z) = п(ж, z), {Ux-Uy)x=y = vi{x, z), (x,z)GV4
и (3). Оно имеет вид [2]:
и{х, у, z) = z-^fiix, у) + ^ (|) Ti{y, z) + QYti(x, z)
- x~ay~13 Г ta+l3vi(t, z)dt + {f3 - o)x~ay~^ Г r+/3_1n(t, z)dt. (10)
Jx Jx
С помощью интегрального представления функции т\ упростим формулу (10), положив
Гх / s ч 2/3
Ti(x,z)= / Ti(s,z)[-) ds, (11)
Jo Kx'
где Ті (ж, г) — новая функция, непрерывная в Т)4 вместе со своей производной дТі/дг; ж2/3Ті(ж, г) интегрируема по ж в [0, Щ при любом г Є [0, +оо),
Г! (ж, 0) = 0. (12)
Подставляя в функцию (10) вместо т\ её интегральное представление (11), после некоторых преобразований получаем
и(х,у,г)=г~'ї/і(х,у)+^^^ Tl{s,z)swds+^^ J Nl(s,z)sa+|ids, (13)
Щз, г) = г) - 1/1 (в, г)\. (14)
Аналогичными рассуждениями получаем в области Н2 решение задачи Коши—Гурса с условиями
и{х, ж, г) = т2(ж, г), {их - 11у)х=у = 1У2(х, г), (х,г)еТ>4
и (4), которое, при представлении
[х / Я \ ^а
т-2 (ж, г) = / Т2(в, х)[-) с^, (15)
Jo Кх'
имеет вид
1 /*Ж 1 гх
и(х,у,г) = ^^ Т2(8,ф2"с^ + —д / Л^,ф"+/Зс^+
Хауа Уо ж“ур ,1У
+ г~1Ь (ж, у), (16)
^2(в, 2) = ^[Т2<Л 2) + *)], (17)
где Тг(ж, г) вводится по аналогии с Т\(х, г) и удовлетворяет условию Т2(ж, 0) = = 0.
Функции (13), (16) подчиним условиям (2), (5) соответственно, из которых находим
ЛГ2(ж, г)ха+? = -[хаф,г)]Рх,
[ Тг(з, г)з2^з + М^У’ ^У-= [у^гр(у, г)]1 (18)
] о I — а
Условия сопряжения (7), соотношения (14), (17) приводят к интегральному уравнению
х213Т\(х, г) + 2(1 ~ Гт1(в, ф2/3^ =
X Уд X
где
Гу>ОС /3+ 1г гу>С% ( Г)( гу> 1 ^
^ = X--------[Х^>{Х, г)\х + ^
единственное решение которого получено методом последовательных прибли-
жений:
г1(х, фД» = £(£!£) _ 2(1^) Г е&Л (19)
ж ж Уо ^ ^-х;
при этом (19) удовлетворяет условиям (12). Из условий сопряжения (6), представлений (11), (15), а также формулы (19) находим
Из (18) имеем
Л^(ж, г)ха+р = (1 - а)ха~^~1 х^{х^ф{х, г))'х
Подставляя найденные значения Л^, Т\ в формулы (10), (13) получаем в явном виде решение поставленной задачи:
в области Н2-
Проверкой показано, что при выполнении условий непрерывности, налагаемых на заданные функции, и условий (8), (9) функция, определяемая формулами (22), (23), является решением поставленной задачи. Единственность следует из единственности решения задачи Коши—Гурса, полученного методом Римана, и единственности решения интегрального уравнения, к которому свелась задача.
При ограничениях, налагаемых на коэффициенты уравнения и данные задачи, решение ее непрерывно на множестве Н и {(ж, у, г) : 0 < х = у < Н, 0 < г < +оо}, а на координатных плоскостях, являющихся частью границы множества Н, обращается в бесконечность порядка меньше единицы.
Научная работа выполнена при поддержке грантом ведомственной программы Министерства образования и науки РФ (проект АВЦП № 3341, № 2.2.1.1/10854).
в области Н\ и
и(х, у, г) =
+ [хаф, *) - у>(у, г)] (23)
X у1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан, мат. общ., 2001. 226 с. [Zhegalov V. Mironov А. N. Differential equations with higher partial derivatives. Kazan’: Kazan. Mat. Obshch., 2001. 226 pp.]
2. Захаров В. H. Краевая задача для одного уравнения, вырождающегося на координатных плоскостях/ В сб.: Доклады 52-ой научной конференции СГПУ. Самара: СГПУ, 1998. С. 49-53. [Zakharov V. N. Boundary value problem for one equation degenerate on a coordinate planes/ In: Doklady 52-oy nauchnoy konferencii SGPU. Samara: SGGU, 1998. Pp. 49-53].
Поступила в редакцию 01/X/2010; в окончательном варианте — 21/11/2011.
MSC: 35L25
THE PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR ONE SPACE ANALOG OF HYPERBOLIC TYPE EQUATION DEGENERATED ON COORDINATE PLANES
I. N. Rodionova
Samara State University,
1, Academician Pavlov St., Samara, 443011, Russia.
E-mail: mvdolg@ssu. samara.ru
For the full equation of the third order in a three-dimensional Euclidean space the boundary value problem with interface on non-characteristic plane in the area limited by planes of a singularity of the equation factors is solved.
Key words: boundary value problem, hyperbolic type equation, integral equations, integral conditions.
Original article submitted 01/X/2010; revision submitted 21/11/2011.
Irina N. Rodionova (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Mathematics & Business Informatics; Research Lab. of Mathematical Physics.
