Две задачи для пространственного аналога гиперболического уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956.3

ДВЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО АНАЛОГА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. М. Долгополов, И. Н. Родионова

Самарский государственный университет,

443011, Россия, Самара, ул. Академика Павлова, 1.

E-mail: mikhaildolgopolov@rambler. ru

Для полного уравнения гиперболического типа третьего порядка с переменными коэффициентами в бесконечной прямоугольной области поставлена задача с двумя интегральными условиями и сопряжением на характеристической плоскости (задача I). В качестве вспомогательной задачи авторами решается методом Римана задача Дарбу, вид решения которой значительно упрощается за счет специального представления одного из краевых условий. Принимая за основу решение задачи Дарбу, авторы сводят поставленную задачу I к однозначно 'разрешимому интегральному уравнению, что позволяет получить в явном виде решение задачи I.

Ключевые слова: интегральные уравнения, краевые задачи, уравнения гиперболического типа высшего порядка.

Настоящая работа является продолжением исследований постановок и решений краевых задач для уравнений гиперболического типа в трехмерном пространстве, опубликованных в статьях [1,2].

В бесконечной прямоугольной области для уравнения третьего порядка получено в явном виде решение задачи с интегральными условиями и сопряжением на нехарактеристической плоскости. При этом за основу берётся полученное авторами методом Римана решение задачи Дарбу со специальным представлением одной из заданных функций.

Уравнение

а{х),Ъ(у) интегрируемы на [О, Н\, с(г) интегрируема на [0,+оо). Обозначим через а(х), /3(у), 7(2) первообразные функций а(х), Ъ(у), с(г).

Задача I. В области Н найти решение уравнения (1), непрерывное в Н, с данными

Вячеслав Михайлович Долгополов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. математики и бизнес-ин-форматики.

Ирина Николаевна Родионова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. математики и бизнес-инфор-матики.

L{u) — Uxyz Ь(у)иху -\- a(x)UXy C(z)UXy b^y^c^z^Uх-\-

+ a(x)C(z)Uy + a(x)b(y)Uz + a(x)b(y)c(z)U = 0 (1)

рассматривается на множестве Н = Н\ U Н2, где

}; (з)

и условиями сопряжения па плоскости у = х:

(4)

На заданные в задаче I функции налагаются нижеследующие условия. Условия А. Функции ср, ф, /1, /2 непрерывны в рассматриваемых областях вместе со своими смешанными частными производными второго порядка и имеют место представления

Уравнение (1) рассмотрим в области Н\ и решим вспомогательную задачу, которую возьмем за основу при решении задачи I.

Задача Дарбу. В области Н\ найти решение уравнения (1), непрерывное в Н\, с данными

Причём т"\хг € С(Ро), V11г(х,г) € С(Рд), г/1 (ж, г) £ С(Р$), функция /1 удовлетворяет условиям А и интегрируема по х на Ю, Н\ при любом г € Ю, +оо), кроме того Т1(0,.г) = 71 (ж, 0) = г/ 1(ж,0) = 0.

Для решения задачи Дарбу применим метод Римана, обоснованный в работе [3], в ней же построена функция Римана для уравнения (1). С учётом введённых обозначений она имеет вид

Запишем один из трёхмерных аналогов тождества Грина [3] применительно к уравнению (1):

Р — 2 \RyzU + Д иуг\ — К уиг — Игиу + 37(2) [Д иу — иНу\-\-

+ Щу)[Шг - ипг\ + 6(3(у)ф)Ни,

^(у^) = у1+Еі(рі(у,г), їч(*/,г)єС(В0), Єї > 0;

ф(х, г) = х1+Є2ф\(х, г), фі(х, г) Є С(Сд), Є2 > 0;

/і(ж, ж) = /2 (ж, ж) = 0.

Условия В. Справедливы следующие условия ортогональности:

и (ж, у, г) = 7і(ж, г), {х,г)&Р*0,

Ііпі (иу - их) = г/1 (ж, г), (х,г)еР£,

у^х+0

и(х, У, 0) = /і(ж, у), (ж, у) Є А.

Д(М, М0) = ехр(а(ж) - а(хо) + /%) - /3(уо) + 7<» ~ 7<>о))-

КЦи) - иЬ*(Н) = (Нх + Qy + Яг)/6,

(5)

Ь*(и) — сопряженный оператор,

<5 — 2 [Нххи + Ш1хг\ — Нхиг — Игих + З7 (г)\Них — и Дж] +

+ За(ж)[Д£/г — иКг] + 6а(х)^(г)Ки, (6)

Н — 2[Д хуи + Д иху\ — Д хиу — Д уих + 3/3(у)[Д?7ж — £/Дж] +

+ За(ж)[Д[/!/ — и Ну] + 6а(х)(3(у)Ш1.

Возьмём произвольную точку Мо(жо, усь ^о) € Н\ и рассмотрим область Яо, ограниченную плоскостями ж = хо, у = уо, -г = го, -г = 0, ж = у. В предположении, что и(х,у,г)—решение уравнения (1), а Д — функция Римана, тождество (5) принимает вид Рх + С^у + = 0. Проинтегрируем его по области Но- Применим формулу

Гаусса—Остроградского, получим (2* = 0, где

0_1 = JJ (Рсоза +С} соз/3 + Нсоз^) с1Бг.

5

Si — грани области Щ, Б = и*=1 &г-

Вычисляя интегралы 0_ь пользуясь соотношениями (6) и свойствами функции Римана, после ряда преобразований и переобозначения переменных приходим к функции

и (ж, у, г) = ^

.}еР(х)-Р(у) + Т1(у? г)еа(у')-а(х'>+

т\(£, г)(р'(г) - а'(г))еа^-а^+^-^ сМ

Г !/!(*, гу-^{х) + ф)-Р{у) + т Л + е7(0)-7(*)д(Х) у)

</ Ж

• (7)

Проверкой устанавливаем, что функция, определяемая формулой (7), является решением задачи Дарбу для уравнения (1). Преобразуем решение (7), вводя интегральное представление функции т\\

п(х,г)= [ Т^, г)е2^~2^ Л, Тг{х,г) € С(В*0), Т\(ж, 0) = 0, (8)

■1о

где Т\(х, г) интегрируема по ж на [0, Щ при любом г (Е [0, +оо). Подставляя выражение (8) в формулу (7), получаем

и{х,у,г)= ( А+

./0

+ Г М1{г,г)е°^)+т-а{х)-^у) Л + е7(0)-7(;г)/1(ж, у), (9)

X

где

N1 (^ 2;) = (г/1 (ж, г) + Т^ж, г))/2. (10)

Аналогичными рассуждениями получаем решение задачи Дарбу в области Н2 с данными

и(х, у, г) = г2(ж, г), (ж,г)еВ$;

т (иу - их) = 1/2 (х, г), (ж ,г)е!

ж —0

и(х,у,0) = /2(ж,у), (ж,у) £ С2,

которое при представлении

т2{х,г) = Г Т2{1, г)е2а&-2аЫ М (И)

^0

принимает вид

II(ж, у, г) = Г Т2{Ь,г)е2аМ-аМ-аЫ <1Ь+

^0

+ / К2(г,г)еаЮ+рЮ-аЮ-рЫ <и + е'/Ю-'/М/2(х,у), (12)

*У

N2 = {Т2 — г/г)/2. (13)

Здесь Т2(х,г) интегрируема по х на [0, Щ при любом г (Е [0, +оо); /2 удовлетворяет

условиям А; т2, V2 обладают такими же свойствами, что и т\, 1/\.

Для решения задачи I найдём функции Т\, Т2, N1, N2. Применив к решению (9) условие (2), с учётом условий ортогональности В получаем

Г еаЮ<М [ Т1(з,г)е2^)-т-^уиз+

Л

+ Г Л Г М1(з,г)е°‘М+Ка'>-Ку'><1з = (р(у, г).

Jo Л

Умножим обе части последнего выражения на и продифференцируем по у. Условию (3) подчиним решение (12), обе части полученного тождества умножим на е°(х) И; учитывая одинаковое изменение переменных ж и у, после дифференцирования приходим к соотношениям

[ Т^, г)е2№-Р(х)+<*(х) Л + щХг г)Хе°^х)+Кх) = г)еЛх\, (14)

Jo

[ Т2(г, 2!)е2“(‘)-а(*)+«*) гм + ЛГ2(ж, г)хеа<-х'>+^х'> = [еаЮф(х, г)]'х, (15)

Jo

Из непрерывности решения на плоскости у = ж и представлений (8), (11) получаем

[ Т1Ц,г)е2р(-г'>~213{х)<И= [ Т2(г, г)е2а^-2а^ <&. (16)

и® 7о

Из условий сопряжения (4), формул (10), (13) имеем

у1е2 /З(ж)+т2е2“(-) = 2(К1е213<-х) + к2е2а{х)). (17)

Сложим выражения (14), (15) с учётом формулы (17), обозначим Т{х,г) = = Тхе2^ + Т2е2“(ж) и в итоге получим уравнение относительно Т:

2 Гх

Т(ж, ,г)-|— / Т(£, х) сМ = д(х, г), (18)

ж Уо

в котором

д( ж, г) = - \е^-а^х\е^ф, г))' + еа^-^х\еа^ф(х, г))']. (19)

X

Единственное решение уравнения (18), полученное методом последовательных приближений в классе интегрируемых по х на [0, к] при любом г (Е [0, +оо) функций, имеет вид

Т\(х, г)е2^^ + Т2(х, г)е2а(х') = д(х, г)-J д(Ь,г)^—^ А. (20)

Из равенств (17), (20) получаем

М1(х,г)е2^+М2(х,г)е2а^ = _ I <?(*,*) (^) А. (21)

Обе части соотношений (14), (15) умножим на е~^х^~а^х\ вычтем из одного другое, применяя условие (16):

ЛГ! - ЛГ2 =

а-а(х)-р(х)

-[у><

ЖХУ _ -феа(х)У

Из системы (21), (22) находим функции А^, А^: 1

Ы\{х, г)

х(е2а(х) е2^(ж))

2сЪ(а(х) — /3(ж))[у>(ж, г)е13(х')]'х —

- Г ф,

J о

г) | — ] А х

(22)

, (23)

м*(х’ = ф2а(х) + е2^х)) гУа{х)\'х-

~1 9(М(;) Л.

Вычислением получаем

J [Т1!^, ,г)е2/3(4) + Т2(г, г)е2аЩ А = ^ д(Ь,г)^^ А.

Из системы (25), (16) находим

ГУ „2а{у) гу / + \ 2

I Т2^^еФ)Л= е2а{у)+е2Ку) I 9^^{у) ^

ГУ р2/3(ж) рх /1\2

(24)

(25)

(26) (27)

Найденные выражения функций (23), (24), (26), (27), в которых функция д(Ь,г) определена формулой (19), подставляем в решения (9), (12). В результате получаем решение задачи I в явном виде. Единственность решения задачи следует из единственности решения задачи Дарбу, полученного методом Римана, и единственности решения интегрального уравнения (18), к которому свелась задача. Из изложенного выше следует следующая теорема.

Теорема. При выполнении условий А и В задача I для уравнения (1) имеет, единственное решение, определяемое формулами (9), (12), (23), (24), (26), (27), (19).

Работа выполнена в рамках госзаказа ФГБОУ ВПО «СамГУ» 1.909.2011.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Долгополое М. В., Родионова И. Н. Смешанная задача Vi для одного пространственного аналога уравнения гиперболического типа// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ,-мат. науки, 2010. №5(21). С. 252-257. [Dolgopolov М. V, Rodionova I. N. A Mixed Problem for One 3D Space Analogue of Hyperbolic Type Equation // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 5(21). Pp. 252-257].

2. Родионова И. H. Задача с интегральным условием для одного пространственного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на координатных плоскостях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №2(23). С. 189-193. [Rodionova I. N. The problem with integral condition for one space analog of hyperbolic type equation degenerated on a coordinate planes// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 2(23). Pp. 189-193].

3. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова O.K., Захаров В. Н. Функции для некоторых дифференциальных уравнений в те-мерном евклидовом пространстве и их применение. Самара: Самарский университет, 1995. 75 с. [Volkodavov V.F., Nikolaev N. Ya., Bystrova О. К., Zakharov V. N. Riemann Functions for Certain Differential Equations in n-Dimensional Euclidean Space and Their Applications. Samara: Samarskiy Universitet, 1995. 75 pp.]

Поступила в редакцию 31/VIII/2012; в окончательном варианте — 29/Х/2012.

MSC: 35L25

TWO PROBLEMS FOR THREE-DIMENSIONAL SPACE ANALOGUE OF THE THIRD ORDER HYPERBOLIC TYPE EQUATION

V. M. Dolgopolov, I. N. Rodionova

Samara State University,

1, Academician Pavlov St., Samara, 443011, Russia.

E-mail: mikhaildolgopolov@rambler. ru

For a complete hyperbolic equation of the third order with variable coefficients in the infinite rectangle the problem with two integral conditions and conjugation on the characteristic plane (Problem, I) is considered. As auxiliary Darboux problem is solved by Riemann method which is much simplified by the special presentation of one of the boundary conditions. Taking Darboux problem as a basis for the solution, authors reduce the Problem, I to the uniquely solvable integral equation, which, gives an explicit solution to the Problem, I.

Key words: integral equations, boundary value problems, higher order hyperbolic type equations.

Original article submitted 31 /VIII/2012; revision submitted 29/X/2012.

Vyacheslav M. Dolgopolov (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Mathematics & Business Informatics.

Irina N. Rodionova (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Mathematics & Business Informatics.