Видоизмененная задача Коши для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трёхмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 811.93:004.912

ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В. М. Долгополов, И. Н. Родионова

Самарский государственный университет,

443011 Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

E-mail: mvdolgassu.samara.ru

Методом Римана доказано существование и единственность решения видоизменённой задачи Коши с данными на плоскости сингулярности коэффициентов гиперболического уравнения третьего порядка в трёхмерном пространстве.

Ключевые слова: интегральные выражения, гиперболические уравнения.

Уравнение

а а

L(u) = uxyz--------------uxz Н------------uyz — \uz = 0 (1)

x — y — z x — y — z

(ck, A — const, 0 < a < рассмотрим в области Q = {(ж, у, z) | 0 < z < x — у,

0 < y < x < +то} трёхмерного евклидова пространства.

Отметим, что для рассматриваемого уравнения при А = 0 в работах [1, 2] были поставлены задача Коши и видоизменённая задача Коши, соответственно, решение которых получено из общего решения уравнения Эйлера—Дар-бу с параметром. Следует также отметить монографию В. Ф. Волкодавова

с соавторами [3], где определены и построены функции Римана, Римана—

Адамара для ряда уравнений третьего порядка в трёхмерном пространстве и обоснован метод Римана, результатами которой воспользовались авторы настоящей работы.

Задача C. В области Q найти решение уравнения (1), непрерывное в Q, удовлетворяющее следующим условиям:

u(x, y, x — у) = т(x, y), 0 ^ y ^ x < +то; (2)

1 ди

iim — = v(x, у), 0 < у < х < +оо; (3)

z—x—y—о dz

lim (x — y — z)2a (uxz — Uyz)= v(x,y), 0 < y < x < +ro. (4)

z——x—y—0

Для решения задачи С применим метод Римана. Функция Римана для

Долгополов Вячеслав Михайлович — доцент кафедры математики, информатики и математических методов в экономике; к.ф.-м.н., доцент.

Родионова Ирина Николаевна — доцент кафедры математики, информатики и математических методов в экономике; к.ф.-м.н., доцент.

уравнения (1) построена в работе [3]. Представим её в виде

ЛГ( Л_ (x-y-z)2a [Л (х0 - х) (уо -

V (X, у, Z, Хо, УО, Zo) {х_уо_ z)a {хо _ у _ z)a Е (1)тШ!

ТР I I 11 (х - хо) (уо - у) .

х F [a, a + m; 1 + m; ---------------------------------------- , (5)

(х - уо - z) (хо - у - z) /

ОС ( ) ( 7 )

где ^(а, Ь, с; г) = — гипергеометрическая функция Гаусса [4].

га=с ' 'п

В области О возьмём произвольную точку Мо(хо, Уо, го) и, поскольку коэффициенты уравнения (1)

-а к а 1а\

и о =------------ (6)

х — у — г х — у — г

обращаются в бесконечность на плоскости г = х — у, рассмотрим область Н£, ограниченную плоскостями х = х0, у = у0, г = г0, г = х — у — е (е > 0).

В предположении, что решение задачи С существует, проинтегрируем тождество Грина [3]

VL(v) — uL*(V) = \

3

dP dQ дН

дх ду <9z

(7)

по области He, где L* —сопряжённый оператор. Для уравнения (1) имеем

P = Vuyz + uVgz - Vyuz + 3uzaV, (8)

Q = V (uxy - 3ubz) + uVxz - VzUx - 3buVz, (9)

H = V (uxy - 3axu + 3buy) - VXuy - 3auVx + Vxyu - 3Au, (10)

где V — функция Римана (5); u(x, у, z) —решение уравнения (1), коэффици-

енты a и b определяются формулой (6).

Далее, применяя к полученному интегральному тождеству формулу Гаусса—Остроградского, представим результат в виде суммы четырёх интегралов

3' гг 4'

// (P cos a + Q cos в + H cos 7) ds = E Jfc = 0, (11)

i=0 d{ k=1

Dj (i = 0, 1, 2, 3) —грани пирамиды He, лежащие соответственно в плоскостях х = хо, у = уо, z = zo, z = х - у - £. Рассмотрим каждое слагаемое формулы (11). Для Ji имеем:

xo—yo—e xo—z—£

Ji = JJ P L^dydz = J dz J (Vuyz + uVyz - Vy uz + 3uz aV) |x=x<0 у =

Do zo yo

4

fc=1

m

где — интегралы от соответствующих слагаемых в формуле (12). В первом слагаемом *1 формулы (12) выполним интегрирование по частям:

хо—уо —є хо — г—є хо—уо—є

І1 = ЛХ I V(^)уОу = / (^V)' о

^г)у^У — І V ^г 1

го уо го

хо—уо—є хо—г—є

Ог—

уо

J Ог J КуигОг = и(жо, уо, Хо) — и(жо, уо, жо — уо — є) +

го уо

хо—уо— є хо—уо—є хо — г—є

+ У иг(Хо, Хо — г — є, г)VОг — J V/и^|х=хооУ- (13)

го го уо

В слагаемом І2 также произведём интегрирование по частям, предварительно поменяв порядок интегрирования, и преобразуем с учётом соотношения |

(V/ — “У )1х=х„=0’ <14>

справедливого для функции Римана. Результат вычислений, а также выражение для іі из формулы (13) подставляем в формулу (12). После приведения подобных слагаемых получаем

хо—го—є

Л = и(хо, Уо, го) — и(хо, уо, жо — уо — є) + J иг(Хо, Хо — г — є,

го

хо—го —є хо—го —є

+ У и(жо, у, Хо — у — є)VyОу — J и(жо, у, го^уОу. (15)

уо уо

Аналогичными рассуждениями, применяя интегрирование по частям, а также соотношения

(^г — Ьг V — ЬУг )|у=уо =0, (16)

аРх + аxV + (^ — Рх)у + AV = 0, (17)

доказанные непосредственным вычислением, приходим к следующим результатам:

хо — уо — є хо Хо

^2 = — J Ог J Ф(ж, уо, г)Ож = — J их(Х, уо, ж — уо — є^Ож+

го г+уо+є го+у+є

хо хо—уо—є

+ У их (ж, уо, го) VОж — ^ У и(г + уо + є, уо, г)^Ог, (18)

х

го+уо+є го

Н = — J У Н(ж, у, го)Ож = — У иу(жо, уо, го^Оу+

уо го+у+є уо

хо—го—є хо

+ У иу (го + у + є, у, го^Оу — J и(ж, ж — го — є, го^Ож+

уо уо+го+є

—хо —хо

+ У и(ж, уо, го)^хОж — З У и(ж, ж — го — є, го)(^ — ^Ож. (19)

уо+го+є уо+го+є

хо-—го-є —хо

(—Р + О + Н),

г=х-у-є

хо —^о-& хо

Рассмотрим интеграл 7 = J г!у ^ ( —Р + ^ + Н)|г=х-у-(|х. Подставим

У0 £о+У+£

вместо Р, ^, Н их значения соответственно из формул (8)—(10) и проведём ряд преобразований, направленных на то, чтобы под знаком двойного интеграла убрать слагаемые, содержащие и(х, у, х — у — е). Это достигается интегрированием по частям с учётом соотношения (17). В результате получаем

хо—уо —є хо

■к = У гіу У ^У(ихх - иух) +3(6 - а)Уиг + ^ (УУ -

уо го+у+є

Ож+

г=х-у-є

+ ^ I Пу І Ус1х(иг)с1х+^ У У ш^(-и.г)йж+^ J ^ (ихУу+Ухих)йх+

уо го+у+є уо го+у—є уо го+у—є

—хо —хо

+ У и(ж, уо, ж — уо — є)^хОж — У и(ж, ж — го — є, го)^Ож—

уо+го+є уо+го+є

хо-—го-є хо-—го-є

— У и(жо, у, жо — у — є)^уОу + У и(го + у + є, у, го)VyОу+

уо уо

—хо —хо

+ З У и(ж,ж — го — є, г^^Ож — З J и(ж,уо,ж — уо — є)^Ож+

уо+го+є уо+го+є

—хо —хо

+ У их(ж, ж — го — є, го^Ож — J их(ж, уо, ж — уо — є^Ож. (20)

их

уо+го+є уо+го+є

Первое слагаемое формулы (20) оставим без изменения, второе и третье проинтегрируем по частям. В результате все двойные интегралы формулы (20), кроме первого, взаимно уничтожаются. Полученный результат и данные формул (15), (18), (19) подставим в тождество (11), уничтожая интегрированием по частям одномерные интегралы. После этих преобразований

тождество (11) принимает вид 3-и(хо, уо5 го) — 3и (хо, уо, хо — уо — е) +

хо—Уо—&

3 г е«

+ - I и2(х0, хо-г-е, *) {х_у_х)а<1г+

го

хо—Уо—&

3 [ еа

+ о и2(г + уо + е, Уо, г)---------------

2 7 (х — у — г)а

го

хо—го—& хо

+ ^ J йу ! У(иХ2-иу2)\г=х_у_йх+

Уо го+у+&

хо—го—& хо

+ 3 J *у I (Ь - а)У + ^(УУ - Ух) и2\г=х_у_р = 0. (21)

Уо го+у+&

Подставляя в выражение (21) вместо V, а, Ь их значения из формул (5),

(6) и осуществляя предельный переход при е ^ 0, с учетом условий (2)—(4)

получаем

и(хо, Уо, го) = т(жо, у0) - _2^ х

Х/ О^^(^, 5)(жо — і) “(« — уо) “Рі(і — а; А(жо — і)(уо — «))Ог—

уо го +5

х—о го —хо

Г(2а) J сів «)(ж0 - І)"-1^ - Уо)"-1(жО - І + 8 - Уо)1_2"х

Г2 (а)

уо го+5

х о^і (а, А(жо — і) (уо — «)) Оі, (22)

г”

где „Л (а, *) = ^ ^ [4].

га=о

Обозначим В = {(х, у) | 0 < у < х < +то}. Непосредственной проверкой убеждаемся, что если

тху ЕС (О), г/ € С(2) (Д) , /л € С(2) (5) , (23)

то функция (22) есть решение задачи С для уравнения (1).

Теорема. При выполнении условий (23) задача С для уравнения (1) имеет единственное решение, представимое формулой (22).

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект АВЦП 3341)■ И. Н. Родионова выражает благодарность Правительству Самарской области за поддержку Губернским грантом в области науки и техники за второе полугодие 2008 года (№ 20).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Волкодавов В. Ф., Дорофеев А. В. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка// Изв. вузов. Математика, 1993. — №11. — С. 6-8.

2. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Видоизмененная задача Коши для одного вырождающегося уравнения третьего порядка / В сб.: Інтегральні перетворення та іх засту-совання до крайових задач. — №10. — Киев: АН Украины. Ин-т математики, 1995. — С. 19-25.

3. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н., Быстрова О. Р., Николаев Н. Я. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в те-мерном евклидовом пространтсве и их применения. — Самара: Сам. ун-т, 1995. — 75 с.

4. Бейтлин Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. I. — М.: Наука, 1973. — 300 с.

Поступила в редакцию 15/1/2009; в окончательном варианте — 12/11/2009.

MSC: 35G30, 35Q05, 35L25

MODIFIED CAUCHY PROBLEM FOR ONE HYPERBOLIC EQUATION OF THE THIRD ORDER IN THREE-DIMENSIONAL SPACE

V. M. Dolgopolov, I. N. Rodionova

Samara State University,

1, Akad. Pavlova st., Samara, 443011.

E-mail: mvdolgassu.samara.ru

Existence and uniqueness of the solution for the modified Cauchy problem with data located, on the plane of singularity of a hyperbolic equation of the third order coefficients in three-dimensional space is proved by Riemann method.

Key words: integral equations, hyperbolic differential equations.

Original article submitted 15/I/2009; revision submitted 12/II/2009.

Dolgopolov Vyacheslav Mikhailovich, Ph. D. (Phys. & Math.), Ass. Prof., Dept. of Mathematics, Computer Science and Mathematical Methods in Economy.

Rodionova Irina Nikolaevna, Ph. D. (Phys. & Math.), Ass. Prof., Dept. of Mathematics, Computer Science and Mathematical Methods in Economy.