О продолжении обобщенных решений с окрестности диска в окрестность выпуклого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПРОДОЛЖЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ С ОКРЕСТНОСТИ ДИСКА В ОКРЕСТНОСТЬ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА Бердимуратов А.М. Email: Berdimuratov641@scientifictext.ru

Бердимуратов Амангельди Мухтарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в этой работе получено условие на несобственную часть характеристического множества системы (1), обеспечивающее единственность продолжения обобщенных решений бесконечного порядка с окрестности диска в окрестность n - мерного тела. Рассматривается вопрос о единственности решения задачи Коши на нехарактеристическом подпространстве для систем уравнений (1).

Доказывается теорема, что задача Коши на нехарактеристическом подпространстве для системы (1) имеет лишь единственное решение в пространстве ультрараспределений. Ключевые слова: гиперплоскость, подпространство, компакт, множество, характеристическая матрица, алгебраическая многообразия

THE CONTINUATION OF GENERALIZED SOLUTIONS FROM THE AREAS OF THE DISK IN THE AREA OF A CONVEX BODY Berdimuratov A.M.

Berdimuratov Amangeldy Mukhtarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING CHAIR, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this paper we obtain a condition but not a proper part of the characteristic set of the system (1), which ensures the uniqueness of the continuation of generalized solutions of infinite order from the disk neighborhood to the neighborhood of an n - dimensional body. We consider the uniqueness of the solution of the Cauchy problem on a non-characteristic subspace for systems of equations (1).We prove a theorem that the Cauchy problem on a characteristic subspace for a system (1) has only one solution in the space of ultradistributions.

Keywords: hyperplane, a subspace, is compact, the set, the characteristic matrix algebraic variety.

УДК 51:517.9

Рассмотрим общую однородную систему с постоянными коэффициентами. Такую систему можно записать в виде:

P11 (D) ui +.....+ Pis (D) us = 0

-------------------------------------- (1)

Рн (Л) и +....+ Рь (Б) и = 0

где ру(Б), 1 = 1,1, ') = 1, Б произвольные линейные дифференциальные операторы с

постоянными коэффициентами, а числа 1 и 8 произвольны. Систему уравнений запишем в матричной форме:

Р(Б)и=0 (2)

где: и = (иь...,и5) - неизвестная вектор функция, а Р(Б) - произвольный линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.

Пусть оператор Р(Б) нехарактеристичен по направлению оси 1 см. Хермандер [1]. При выбранном разбиении переменных на характеристическом множестве оператора Р(Б) выполняется неравенство:

|/| < У + ^ + 1)7 с у = 1

где: В>0, у>0, У'=1ш7'.

В силу этого вытекает, что все решения системы (1), принадлежащие пространству [ир(ю)]5 слабо бесконечно дифференцируемы по нехарактеристическому переменному 1 как элементы класса [иа(ю)]5 , где а=шт (Р, уР) и так как в данном случае у=1, то а= р и следовательно, все

решения системы (1) принадлежащие пространству [ир(ю)]5 , слабо бесконечно дифференцируемы по нехарактеристическому переменному 1 Поэтому можно рассматривать задачу Коши для обобщенных функций из класса [ир(ю)]5 с начальными данными из аналогичного класса обобщенных функций заданных на гиперплоскости 1=0.

Через О(г) обозначим открытый (п-2) - мерный диск, лежащий в гиперплоскости 1=0, с центром в начале координат радиуса г>0. Через Л5(г), где 5>0, обозначим объединение бесконечно много открытых прямых конусов с общим основанием О(г) и высотами, равными 5*г. Их объединение Л5(г) есть выпуклое п - мерное тело, имеющее вращательную симметрию вокруг подпространства в котором лежит этот диск О(г).

Теорема. Пусть ось 1 не является характеристическим направлением для оператора Р(Б). Тогда существует число 5>0, такое, что

Уг > 0 и р > 1, V о.ф. и е [ир(д5(г ))]*,

являющаяся решением системы (1) в тело Л5(г) и удовлетворяющая условиям

д ]и\

-~\пгл = 0, где 1 = 0,1,....,т-2 равна нулю в тело Л (г).

дц! \С(гг

Доказательство: Из того, что функционалы и е [ир(д5(г))]:, и являются решением

системы (1) в теле Л5(г) следует, что функционалы („) = д"и принадлежит пространству

дГ

[ир(д5(г))]?, и являются решением системы (1) в Л5(г). Пусть Ог-6 замкнутый диск, концентрический с диском О(г), радиуса г-е, а через д5 где: 5> 0, обозначим объединение бесконечно много замкнутых прямых конусов с

общим основанием Ог-6 и высотами равными 5*(г-е).

Через С^ обозначим множество (-а,а)*Ог.е. для решения систем (1); принадлежащих пространству [мр(®)]5. получено вот такое: Уфе\цр ^ ,

И = £ № (ЗД- ( 3) см. Паламодов ВП. [2].

к=0 рп

где: функционалы бесконечно дифференцируема: по .

Согласно этому представлению для |1|<а для нового Т е [цр имеем

(и<"°,т)г(0 = £ \Жк'Ж' (4)

к=0р»

где: Л^ - оператор Лапласа в Я11"2, функции Wk(1,^ ') имеют непрерывные производные по 1 любого порядка, а ряд (4) и ряды, полученные почленным дифференцированием по 1 ряда (4),

любое число раз абсолютно сходятся для любого т е [цр ] и |1|<а.

Возьмем т - кратный интеграл от 0 до 1 от обеих частей равенства (3) и обозначив через [1Г]т, т - кратный интеграл от 0 до 1 от функции Г, получим:

(иР^)]" = £ ¡№Шт • д*.

к=0 р

Пусть Х(1) произвольная бесконечно дифференцируемая функция с носителем, принадлежащим интервалу (-а,а). Интегрируя по частям, получим:

(-1)" а [(и«,т)^)]1 • X"(1)аг = ](и("\^.(0 • X(¿)Л = (и«,(/)) =

-а -а

= (-1)"(и,¥(£')X<и)(о) = (-1)" /(и,т)^) • X{1)&.

Следовательно:

а ((и,-[(и«,т)^)]"• X(t)dt = 0

а

а

Откуда ((и,($) - [(",Т), (Г)]"= 0, при Ц < а

Так как все производные по 1 от функционалов (и,у (1) и [(и", т), (/)]" При 1=0 равна нулю до порядка ш-2 включительно, то (и,у)5'(1) = [(и,(га), (/)]" , при |1|<а.

Поэтому при |1|<а, ) = £ ¡[Гк' )]" -Акг Т(«4 ' ' .

к=0Д»

Отсюда: Ур е

Д

р ]

оа^

((, С) = £ | Ук (4)где Ук = [^к ]"

к=0Кп

имеют непрерывные производные по 1, равные нулю при 1=0 до порядка ш-2. Для любого р е \Дра Г определим функционал и+ по формуле:

I. °г-£ J

(й\Р)= £ ¡у;

к=0Д»

+ \У при 0 < 1 < а

где: У = < Докажем что функционал и+ является решением

10 при -а < 1 < 0

а г-8 .

системы уравнения (1) в

Для любого ( е [Др„ 0)-о ^ имеем:

рвйР)= (+, Р(П)р) = £ ¡ (4)Ак р (о)р(ф% = 0,

к=0К' 4

а для любого р е

(р(О)и*, р) = £ ¡ у )Ак,, (р-(ДО)^ = (Р(В)и, р) = 0,

к=0д» 4

Следовательно, для любого р е Д(ра 0>0 ] , (и+, Р* (В)р) = 0

Если р=0 в окрестности гиперплоскости 1=0. Выберем бесконечно дифференцируемую функцию: \0 в окрестности 1 = 0

ко 4° р „

[1 вне некоторой дру гоиокрестности нуля. Положим Ик(1) = Ь(к,1), тогда при к^ю, почти везде.

Для любого р е [дРа 0)-о ] будем иметь:

(р(В)и+, кр р)= (и+, р* (0)к( р)= £ ¡у+^р (п)Ик р{ф4 =

ю

= ££(- 1)Р1 ¡ кк

^=0 1,3

где : Р*(£) = £Р^Ж

1,3

Так как функционал V^ имеют ограничения измеримые производные по 1 до порядка ш, то

можно перейти к пределу под знаком последнего интеграла. Следовательно, (Р(Б)и+, Икр) ^ (Р(Б)и+, р) при к ^ ю.

В силу вышеизложенного (Р(Б)и+, Икф) =0, поэтому (Р(Б)и+, ф) = 0, т. е. и+ является решением системы (1) в .

Предположим решение и+ в тело А^ , так чтобы при 1>0 оно совпадало с и, а при К0

QU

равнялось нулю. Рассмотрим замкнутый диск r-е-—' лежащий в подпространстве t=-a. Он

s

принадлежит нижней половине тела . Поэтому решение u+ равно нулю в окрестности

Ga s-ia

— . ъ + G a,

диска r-е— В силу теоремы решение u равна нулю также в окрестности тела r-е-— s s

основанием которого является диск G— а. Так как решение u совпадает с u+ при t>0, то оно

r-е--

s

G—

по доказанному равно нулю в пересечении полупространства t>0 и тела r-е-— Так как числа

s

8>0 и a>0 произвольны, то и равно нулю в объединении пересечений полупространства t>0 со всеми замкнутыми телами As а.

r-е--

s

Объединение этих множеств равно пересечению полупространства t>0 с телом А5(г). Теорема доказана.

Выводы: Получены условия для единственности решения нехарактеристической задачи Коши в классах обобщенных функций конечного и бесконечного подрядов.

Список литературы / References

1. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М. «Мир», 1965.

2. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М. «Наука», 1967. 488 с.

О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ Бердимуратов А.М. Email: Berdimuratov641@scientifictext.ru

Бердимуратов Амангельди Мухтарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: находятся достаточные условия для того, чтобы всякое обобщенное решение уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, определенное в некоторые окрестности объединения трех соседних граней % |J % U К параллелепипеда

можно было продолжить в некоторую окрестность параллелепипеда К в пространстве ультрараспределений. Получено три экспоненциальных представления, которые сходятся абсолютно на трех заданных выпуклых компактах. Эту задачу можно рассматривать как некоторый аналог задачи Дарбу-Гурса-Бодо в пространстве ультрараспределений. Ключевые слова: параллелепипед, подпространство, компакт, множество, характеристическая матрица, алгебраическое многообразие.

ON A SUFFICIENT CONDITION FOR THE CONTINUATION OF GENERALIZED SOLUTIONS Berdimuratov A.M.

Berdimuratov Amangeldy Mukhtarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING CHAIR, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN