ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (70) / 2020.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 53.38; 53.39 ©2020. Д.Н. Ткаченко

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ

Рассмотрена задача о комплексном истолковании движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном поле сил в случае, когда уравнения движения допускают три инвариантных соотношения специального вида. Получены аналитические соотношения для углов Эйлера, уравнений подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости тела. Установлены зависимости основных переменных задачи от времени.

Ключевые слова: потенциальные силы, истолкование движения, углы Эйлера, годограф угловой скорости.

Введение. Истолкование движения тела в аналитической механике играет важную роль. На это обстоятельство особое внимание обратил Н.Е. Жуковский [1]. П.В.Харламов [2] считал, что геометрическое истолкование движения тела должно проводится на заключительном этапе построения полного решения задачи. Он предложил уравнения неподвижного годографа [3], которые являются обобщением уравнений Г. Дарбу ([4], стр. 176). Г.В. Горр [5] получил не только более простую формулу для полярного угла, который характеризует неподвижный годограф в цилиндрической системе координат, но и разработал модифицированный метод Пуансо прямого кинематического истолкования движения тела. Обзоры результатов, полученных в исследовании свойств движений тела, имеющего неподвижную точку, изложены в монографиях [6, 7]. При обсуждении перспектив развития классических задач динамики П.В. Харламов [8] говорил о необходимости дальнейших исследований в кинематическом истолковании движения твердого тела.

Данная статья является продолжением изучения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку в потенциальном поле сил, начатого в статьях [9, 10, 11]. В статье [9] Г.В. Горр применил метод инвариантных соотношений (ИС) [12] для построения новых решений уравнений движения в случае, когда они допускают три ИС специального вида. Данный подход обусловлен тем, что уравнения динамики твердого тела, в общем случае, не интегрируемы в квадратурах по Якоби (см., например, статьи [13, 14, 15]).

В связи с этим, для построения решений уравнений динамики в замкнутом виде и применяется метод инвариантных соотношений, который отмечен выше.

Особенности метода инвариантных соотношений изложены в монографии Г.В. Горра [16]. Следует отметить, что ИС рассматриваются не только для уравнений Эйлера-Пуассона и Кирхгофа-Пуассона, но и для уравнений Пуанкаре-Жуковского [17, 18], а так же для дифференциальных уравнений Лагранжевых динамических систем [19].

Остановимся на характеристике результатов, полученных в данной статье. В качестве решения уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном поле сил, рассматривается решение, построенное в [9], которое характеризуется тем, что постоянная интеграла момента количества движения тела отлична от нуля. Перспективность исследования свойств движения тела для решений [9] может быть обоснована результатом [20], поскольку в [20] приведен случай истолкования движения тела, который имеет определенный аналог истолкования Пуансо в решении Эйлера. Основными результатами статьи являются: получение и изучение аналитических зависимостей для углов Эйлера, уравнений подвижного и неподвижного годографов угловой скорости.

1. Постановка задачи. Исследуемое решение. Запишем уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, в потенциальном поле сил [9]

= х (1)

д V

V = V х и, (2)

где и = (ш\,ш2,ш3) - вектор угловой скорости; V = (и\,и2, Vз) - единичный вектор оси симметрии силового поля; и, Vз) - силовая функция; А = (Ау) {%,] = 1,3) - тензор инерции тела; точка над переменными ши1/ обозначает производную по времени Ь.

Уравнения (1), (2) имеют первые интегралы

V ■ V = 1, Аи ■ V = к,

(3)

Аи ■ и - 2и(и1,и2, V 3) = 2Е,

где Е и к - произвольные постоянные.

Пусть Аг - главные моменты инерции тела, тогда в скалярной форме из (1)-(3) имеем

л • /Л л \ , ди) ди(VI)

Агол = (А2 - Аз)ш2шз + г/3----г/2---, (4)

дV2

ди(1У1,1У2. ^з)

дvз

ди(1У1,1У2. ^з)

А2и)2 = (А3 - А^шзшг + щ-—---Уз-—--, (5

А3Ш3 = (Ах - А2)шгш2 + и2-—--иг-—-, (6)

д Vзз

ди(1У1,1У2. ^з)

д VI

ди(и 1,и2. ^з)

VI = - 1>2 = - = - (7)

V2 + V2 + V2 = 1, AlWlVl + Л2Ш2У2 + А3ш3и3 = к, (8)

Л1ш\ + Л2^2 + Лэ^2 - 2и(V1,V2, vз) = 2Е. (9) Зададим для системы (4)-(7) три ИС [9]

Ш = vl£(vзз) + @1д^з),

Ш2 = V2e(vз) + в2д^з), (10)

Шз = h(vз).

В системе (10) в1, в2- постоянные параметры; е^з), д^з), )- дифференцируемые функции переменной Vз. В статье [9] для исследования ИС (10) применяется метод решения обратных задач механики, то есть функция и(VI, V2, Vз) выбирается в виде

и (1/Ь1/2,1/3) = ¿[Л1(1/1е(1/3) + М^з))2 + А2{и2е{и3) +

2 1

+р2д^з))2 + ЛзЬ2^з)] - Е. Учтем в уравнениях (7) ИС (10)

(11)

VI = V2(h(vз) - vзe(vз)) - ^зд^з),

V2 = Vl(vзe(vз) - h(vз)) + /З^зд^з), (12)

Vз = д^з)(в2Vl - /3^).

Эти уравнения имеют геометрический интеграл V2 + V2 + V2 = 1 и интегральное соотношение [9]

01 Vl + ^2 = Со + ^ V), (13)

где Со- произвольная постоянная, а

Условием на моменты инерции тела существования решений, которые характеризуются ИС (10), для динамических уравнений (4)-(6) служит равенство

Л2 = Л1, (15)

то есть тело является динамически симметричным. В статье [9] показано, что функция е^з) имеет вид

Л

еЫ = (16)

то есть, в силу (16), ИС (10) таковы

= -faitifo) +Pig(v3), uJ2 = -^2h'(u3)+l32g(ua), (17)

Шз = h(v3).

Запишем уравнения (12), используя равенство (16)

Ф1Ы о ( Л

V\ = —1-г/2 - Рг^зй'С^з),

Ai

ф1(Уз) . о , , (18)

V2 =--1-+ Р^зду^з),

А1

V3 = g(V3)(02V1 - 01V2),

где

Ф1Ы = AihV) + А3иф'(и3). (19)

В формулах (16), (17), (19) штрихом обозначена производная по переменной v3. В [9] используется и интеграл моментов из системы (3) при наличии равенств (15), (16)

= (20) А1д(из)

где

Ы"з) = k - А3иф(и3) + Аз(1 - v2)h'(v3). (21)

Запишем равенство (13) в силу (14), (16), (19)

1 i Ф1(и3)

to + to - со + — / з = 0. (22)

A1J д(^з)

Подстановка значения выражения 01^1 + 02V2 из (20) в левую часть (22) и вычисление производной от полученной функции показывает, что функции g(v3) и h(v3) должны удовлетворить уравнению [9]

д(»з)Фз(»з)= д'(»з)Ф2 (из), (23)

где

Фз(^з) = Аз(1 - vl)h''(v3) - 2A3V3h'(из) + (А1 - АзЩуз)■ (24)

Из (23) получим

г Фз^з)

д{уз) = е ф2(^з) . (25)

В статье [9] исследованы случаи

1) д(из) = const (ФзЫ = 0); (26)

2) д("з) = дп-1»П-1, h(v3) = hnv'n; (27)

где дп-1 и Ьп - постоянные. Показано, что вариант (26) при условии полиномиальной структуры Ь^з) имеет место при выполнении равенства

А1 = Аз(п2 + п + 1), (28)

а вариант (27) - при выполнении равенств

к = 0, А1 = Аз(п + 2), (29)

Геометрическое истолкование движения тела в случае (27), (29) представлено в статье [11]. Здесь будем полагать, что выполнено следующее интегральное равенство

1Ш)аиз=аоЫ1Ыиз)1 (зо)

Вычислим производную от левой и правой частей равенства (30). Используя обозначения (21) и (24), получим уравнение

Аз(1 - ас)(1 - v3i)h"(vз) + Аз(3ас - 2^зЬ'^з) + А + Аз(ас - 1)]Ь^з) = 0. (31)

Таким образом, функция h(v3) должна удовлетворять дифференциальному уравнению второго порядка (31). На основании соотношения (30) функцию д^з) из (25) преобразуем к виду

д^з ) = ^Ф? V), (32)

где ¡с, ас- произвольные постоянные. Следовательно, ИС (17) можно записать иначе

А

£¿1(1/3) =

А1

з) = + /?2/хоФ2°(^з), (33)

А1

Шз^з) = h(vз).

2. Преобразование решения уравнений (1)-(3), (18). Вначале найдем функции VI ^з), V2(vз). Для этого обратимся к геометрическому интегралу V2 + V2 + V2 = 1 и равенству (20). Принимая Vз за вспомогательную переменную, имеем

^з) = 2л\ ЖЫъ) - АУФМ], (34)

x2Alg(vз)

^2М= 2 } ( АР2Ф2Ы + Ргл/Ц^з)}, (35)

x2Alg(vз)

где %С = в2 + в! и

ФЫ = ХСА2(1 - Vз2)g2(vз) - Ф2^2). (36)

Далее определим уравнение, которому должна удовлетворять функция v3(t). В силу очевидного равенства

(в2VI - в^)2 = ХС(1 - V22) - (в1 VI + в2V2)2

и равенства (20) из третьего уравнения системы (18) получим

** = --{-<«-«. (37)

у/¥(уз) М

Действительность функции ь*з(Ь) из (37) будем рассматривать в дальнейшем при условии свойств функций д(из), Н(из).

Сформулируем задачу. Изучить движение тела с помощью комплексного подхода в истолковании движения тела, которое описывается соотношениями (33)-(37).

При изучении этой задачи следует учитывать, что полученное решение зависит от функции Н{из), которая должна удовлетворять уравнению (31). Поэтому, исследование уравнения (31) необходимо проводить в классе тех функций, для которого можно получить решение уравнения (31) в квадратурах.

Первый класс решений. Пусть параметр <то в (31), (32) имеет значение

(То =---. (38)

Аз

Из неравенств треугольника на главные моменты инерции тела имеем условие

Аз

¿1 > -у- (39)

В силу условия (38) уравнение (31) интегрируется в квадратурах

/из А о — 3 А1

(1-!/!)*^, 00= 32А \ (40)

3 1

где аг, а2 - постоянные параметры. Учтем в формуле (32) значение а0 из (38)

д(»з) = Ык - Аз^зП(рз) + А3(1 - 4)Ы(рз)Г■ (41)

Рассмотрим функцию (36) при и-3 = 0

Ф(0)= ХоА\д2(0) - Ф2(0).

Если в правой части данного равенства учесть соотношения (21), (40), то, полагая

Х2оА2ф20(к + Азаг)а° - (к + Азаг)2 > 0,

из формулы (37) устанавливаем, что функция ь*з(Ь) является действительной функцией Ь.

Наиболее простой вид функции (40) получим при условии Аз = Аг. Таким образом, в силу данного условия и равенства (15) эллипсоид инерции тела является сферой. В этом случае из (40) следует

1 - из

3

где Ьс- произвольная постоянная. Запишем ИС (17), учитывая равенство д^з) = ¡с и функцию (42)

^1(^3) = ~ 2Ь° 2+ А/^о, 1 V2

2Ь0_

уз

^2(^3) = ---2^2 + ^¿¿0, (43)

1 VI)

^з(^з) = —.

1 - Vз

В силу равенства (42) функция Ф из (36) такова

ФЫ = Х1А2Ф1{ 1 - г/32) - [(Л + 2ЬоАз) " АгЬо^Ы^^]2. (44)

1 - Vз

Требуя в (44) выполнения условия

Ф(0) = Х2А2Х2 - (к + 2ЬсА1)2 > 0,

из интегрального соотношения (37) получим свойство действительности функции V3(t).

В случае Аз = А1 на основании условия (39) установим, что вс < 0, то есть степень подинтегральной функции в (40) отрицательна. Нахождение явной зависимости Ь^з) из (40) возможно при условии, когда эта степень равна: -п, где п € N. Однако, это свойство не может выполняться в силу (39). Укажем вид силовой функции из (11) при А2 = А1 на ИС (43)

- р^ыь+ъы+/&§)+

2 1 — ^ 1 — ^ 1 — VI»

Второй класс решений. Рассмотрим решения уравнения (31) в классе многочленов, то есть положим

Ь^з) = Ьп vn + К-^П-1 + ... + Ь^з + Ьс, (45)

где Ъг (г = 0,п)— постоянные, п Е N. Подставляя значение Л,(г/3) из (45) в уравнение (31), потребуем, чтобы выражение левой части (31) было тождеством по Vз. Тогда равенство нулю слагаемого при v3n запишем в виде

А3(п2+п + 1)-А1л

К(ао--^^(^"-РТУ^-) =

В силу Ьп = 0 из (46) поучим значение ас:

А3(п2 + п + 1)-А1

ао = —^¡^тт?—• (47)

Рассматривая на основании равенства (47) слагаемое при vn-1 установим, что

Ьп-1 = 0. (48)

Аналогичным образом, в силу (48) доказываем утверждение о том, что класс решений (45) разбивается на два подкласса:

К»з) = Нт^Т + Ъъ{т-1) V1{т-1) + ... + ^2 + Но, (49)

Ь(из) = П2т+^?Т+1 + Н2т-1»1т-1 + ... + Нз + П^з, (50)

где т € N. Для первого подкласса (49) из уравнения (31) получим систему алгебраических уравнений

[д1 + 2тд2 - 2т(2т - 1)дз]Н2т = 0, [дг + 2(т - 1)д2 - 2(т - 1)(2т - 3)дз]Н2(т-1) = -2т(2т - 1)дзН2т,..,

[дг + 2(т - 1)д2 - 2(т - 1)(2т - 21 - 1)дз^т-1) = (51)

= -2(т - I + 1)(2т - 21 + 1)дзН2{т-1+1),..., дН + 2дзН2 = 0, которая имеет место при значении

Аз(4т2 + 2т + 1) - А1 а° =-А3(2т + 1)2-• (52)

По аналогии с (51), (52) для второго класса (50) имеем

[-д1 - (2т - 1)д2 + 2(т - 1)(2т - 1)дз]Н2т-1 = -2т(2т + 1)дзН.2т+1,.., Н2т-1 [-д1 - (2т - 1)д2 + (2т - 1)(2т - I - 1)дз] = = (2т - I + 1)(2т - I + 2)дзН2т-1+2,.., (д1 + д2)Н1 + 6дзНз = 0.

Значение я0 для (50) таково

(53)

Аз(4т2 + 6т + 3) - А1 =-4А3(ш + 1)2-• (54)

В системах (51), (53) введены обозначения

д1 = А1 + Аз(ао - 1),д2 = Аз(3яо - 2), дз = Аз(1 - яо). (55)

Отметим основные свойства систем (51), (53). В системе (51) параметр Н2т принимает произвольное значение, а остальные параметры многочлена (49) ре-курентным способом выражаются через Н2т и параметр яо из (52). В системе (53) свободным параметром является Ъ,2т+1, а остальные параметры многочлена (50) рекурентным способом выражаются через Н2т+1 и параметр я0 из (54). Для получения зависимости »з(Ь) необходимо из (32) определить д(»з) с помощью значения &2(»з) из (21), а затем найти значение функции Ф(»з) из (36).

Действительность функции, определяемой в результате обращения интеграла (37), доказывается на основании структуры (49), (50), g(v3), Ф2(^3). Для этой цели достаточно потребовать выполнения неравенства Ф(0) > 0, которое имеет место при определенном выборе параметров хо, Ai и ввиду полиномиальной структуры решения.

3. Комплексный подход в истолковании движения тела. Пусть векторы ii, i 2 Í3 - единичные векторы подвижной системы координат Oxyz; ei, ез - единичные векторы неподвижной системы координат Тогда имеют место

векторные равенства

Un = Wiii + W2i2 + W3i3, (56)

ши = wç ei + wv e2 + e3. (57)

В формуле (56) íx¡í(v3) (i = 1,3) задаются соотношениями (33)-(35). Для нахождения углов Эйлера используем известные уравнения

6 = arccos(i/ • Í3), (р = arctg^ l^, (58)

(v • i2)

ф= W

(v X i3)2

Компоненты wç, wv, wz угловой скорости в неподвижной системе координат получим с помощью уравнений П.В. Харламова [3] и формулы Г.В. Горра [5]

шс = wpcosa, wn = wpsina, wz = ш • v,

(60)

wp, = ш2 - w2, ш2 = w2 + w2 + w|,

(ш x v) • (v x i3) , . . . .

ait) = a0 + arctg-—:———^ + M), 61

i3 • (ш x v)

где функцию ф(Ь) определим из уравнения

_ Г* Иг) х ¡з) • Иг) x i3) W)-Jt0 (i/(r) X i3)2 • ^

Подставим значения (33)-(35) в равенства (58), (59), в третью и четвертую формулы системы (60) и равенство (61)

9{t) = arceos г/3(t), <p(t) = arctg - v (63)

в2 $2(V3(Í)) + AV Ф(^))

= л n 1 " (64)

Ai(1 - v3(t))

a{t) = a0 + + arctg-—--- ; -———, (65)

V$(V3(Í))

= ~г[к + (А1- Аз)из(ШизШ, (66)

А1

= щ[А1х»2°ыт + (А^изт+А3из№'ыт2-

—(к + (А - Aз)vз(í)h(vз(*)) + Aзh/(vз(í)))2].

(67)

Соотношения (63)-(67) показывают, что в качестве вспомогательной переменной принята переменная v3. Поэтому в формуле (64) перейдем к дифференцированию по из

г//(из) = - * " , (68)

где штрихом обозначена производная переменной по ^з.

Примечательной особенностью выражений (64), (66) является свойство правых частей, которые не зависят от функции д(из). Очевидно, что исследование подвижного и неподвижного годографов угловой скорости и углов Эйлера (63), (68) представляет собой достаточно сложную задачу.

Данное исследование целесообразно проводить для решений, построенных в этой статье. Перечислим случаи их существования в компактной форме: Случай 1.

ЛМ = а2 + «1 /;(30)(1 - ^Л/з, Д, = ^ЙТ^,

^3 1

дЫ = № [к- + Аз(1 - ¿/з)Л-/(г/з)]<7°, ао =

Случай 2.

(69)

Аз = А1, Л,(г/3) = Ь01п] + г/3, д(ь>з) = д0. (70)

1 — Vз

Для решения (70) запишем систему (18) в виде

Случай 3.

"1 =-зд-(1-"з)> ^2 = --= —-• (71)

¿00 ¿Оо ^

Ь(из) = Ь,2тУ1т + ^2(т_1) 1} + ... + Ь,2 V2 + Л-о,

_ А3(Ат2+2т+1)~А1

(72)

а функция д(из) имеет вид, указанный в (69), где сто принимает значение из (72). Случай 4.

Ь(из) = Н2т+1 Vз2m+1 + ^2т_1 Vз2m_1 + ... + ^з,

Выражение д(^з) можно получить из (69), положив в формуле для д(из) Н(у3) и сто в виде (73).

Рассмотрим случай 2. Компоненты вектора угловой скорости удовлетворяют равенствам (17). На основании ИС + + V2 = 1 и

РМ + №2 = -^г^ (74)

получим уравнения подвижного годографа

(в1- ^1)2 + - ^2)2 = 462, (75)

2д0А1е1^ [/хоХо - (Рм + £2^2)]-

-(е^ + 1)р + 2Ъ0А3)(е^ + 1) - А3ш3(е^ - 1)] = О,

то есть подвижный годограф вектора ш - линия пересечения цилиндра (75) и трансцендентной поверхности (76).

Зависимость Vз(¿) определяется уравнением (37), в котором Ф(^з) имеет вид (44).

Из уравнения (66) следует, что неподвижный годограф вектора угловой скорости является плоской кривой, лежащей в плоскости = Свойства этой кривой определяют уравнения (65), (67). Очевидно, в общем случае исследование проекции неподвижного годографа представляет собой сложную задачу. Поэтому, для решения этой задачи необходимо применять численные методы. Аналогичной проблемой является изучение решений (69), (72), (73). Тем не менее, существуют и возможности применения модифицированного метода Пуан-со. Например, в случае (70) ИС для этой цели может служить вектор, который сонаправлен с вектором угловой скорости. В модифицированном методе целесообразно выразить его так:

Ь(*) = —о;(*), И/0), (77)

шз

где (г = 1,3) имеют значения (33). В силу (56) при Ь = (61,62,^3) получим, что подвижный годограф вектора Ь(Ь) является плоской кривой. Данное свойство позволит получить более наглядные результаты в истолковании движения тела в потенциальном поле сил.

Отметим, что случаи (72), (73) играют важную роль в дальнейшем перспективном истолковании движения тела, поскольку аналогичных результатов в динамике твердого тела нет [6,7].

Заключение. В статье решена задача получения аналитических зависимостей основных кинематических параметров в истолковании движения тела в потенциальном силовом поле для решения, представленного в [9,10].

1. Жуковский Н.Е. О значении геометрического истолкования в теоретической механике /

Н.Е. Жуковский // Собр.соч.: В 7 т. - М.; Л.: Гостехиздат. - 1950. - Т. 7. - С. 9-15. (Изд.

1-е: Мат. сборник. - 1986. - 5, вып. 3. - С. 37-42).

2. Kharlamov P. V. New method in the dynamics of rigid bodies / P.V. Kharlamov // Dynamics of multibody system: Proc. IUTAM Symp. - Berlin: Springer Verl., 1978. - P. 133-143.

3. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку / П.В. Харламов // Прикл. математика и механика. - 1964. - 28, № 3. - С. 502-507.

4. Леви- Чевита Т. Курс теоретической механики / Т. Леви-Чевита, У. Амальди. - В 2-х т. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. - Т. 2, ч. 2. - 555 с.

5. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр // Механика твердого тела. - 2012. -Вып. 42. - С. 26-36.

6. Горр Г.В. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние. / Г.В. Горр, Л.В. Кудряшова, Л.А. Степанова. - Киев: Наук. думка, 1978. - 296 с.

7. Гашененко И.Н. Классические задачи динамики твердого тела / И.Н. Гашененко, Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2012. - 401 с.

8. Харламов П.В. Современное состояние и перспективы развития классических задач динамики твердого тела / П.В. Харламов // Механика твердого тела. - 2000. - Вып. 30. -С. 1-13.

9. Горр Г.В. О трех инвариантных соотношениях уравнений движения тела в потенциальном поле сил / Г.В. Горр // // Прикл. математика и механика. - 2019. - 83, № 2. - С. 202-214.

10. Gorr G. V. On Three Invariant of the Equations of Motion of a Body in a Potential Field of Force // // Mechanics of Solid, 2019. Vol. 54, Suppl 2, pp. S104-S114.

11. Gorr G. V. Research on the Motion of a Body in a Potential Force Field in the Case of Three Invariant Relations / G.V. Gorr, D.N. Tkachenko, E.K. Shchetinina // Russian j. of Nonlinear Dynamics. - 2019. - 15, no. 3. - P. 327-342.

12. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений / П.В. Харламов // Механика твердого тела. - 1974. - № 6. - С. 15-24.

13. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике / С.Л. Зиглин // Функц. анализ. - 1982. - 16, вып. 3. - С. 30-41; там же. - 1983. - 17, вып. 1. - С. 8-23.

14. Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа / В.В. Козлов, Д.А. Онищенко // Докл. АН СССР. - 1982.- 266, № 6. - С. 1298-1300.

15. Борисов А.В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа / А.В. Борисов. - Reg. end Chaot. Dyn., 1996. - Vol. 1, № 2. - P. 61-73.

16. Горр Г.В. Инвариантные соотношения уравнений динамики твердого тела (теория, результаты, комментарии) / Г.В. Горр. - М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2017. - 424 с.

17. Ольшанский В.Ю. Об одном новом линейном инвариантом соотношении уравнений Пуанкаре-Жуковского / В.Ю. Ольшанский // Прикл. математика и механика. - 2012. - Т. 76, вып. 6. - С. 883-894.

18. Ольшанский В.Ю. Линейные инвариантные соотношения уравнений Пуанкаре-Жуковского / В.Ю. Ольшанский // Прикл. математика и механика. - 2014. - 78. Вып. 1. - С. 29-45.

19. Мухарлямов Р.Г. Дифференциально-алгебраические уравнения программных движений лагранжевых динамических систем / Р.Г. Мухарлямов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2011. - № 4. - С. 50-61.

20. Горр Г.В. Об одном аналоге истолкования Пуансо решения Эйлера в задаче о движении твердого тела потенциальном поле сил / Г.В. Горр // Прикл. математика и механика. -2020. - 84, № 1. - С. 20-32.

D.N. Tkachenko

On one class of motions of a rigid body under the action of potential forces.

The problem of complex interpretation of the motion of a solid body with a fixed point in a potential field of forces is considered in the case when the equations of motion admit three invariant relations

of a special type. Analytical relations for Euler angles and equations of moving and stationary hodographs of the angular velocity vector of a body are obtained. The dependencies of the main task variables on time are established.

Keywords: potential forces, interpretation of motion, Euler angles, angular velocity hodograph.

ГУ "Ин-т прикл. математики и механики", Донецк Получено 27.04.2020

dntkachenko@mail.ru