CC BY
7ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№3-4 (60-61) / 2017.
УДК 531.38; 531.39
©2017. Г.В. Горр, Д.А. Данилюк, Д.Н. Ткаченко
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ РЕШЕНИЯ ГОРЯЧЕВА-ЧАПЛЫГИНА
Рассмотрен один частный вариант решения Д.Н. Горячева-С.А. Чаплыгина в задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Для кинематического истолкования использованы: комплексный подход, основанный на модифицированном методе Пуансо; углы Эйлера; параметры Родрига-Гамильтона; эллиптические функции Якоби. Ключевые слова: массивное твердое тело, истолкование движения, комплексный подход, решение Горячева-Чаплыгина, движение эллипсоида в неподвижном пространстве.
Введение. В динамике твердого тела большое внимание уделяется истолкованию движения в интегрируемых случаях уравнений движения. Л. Пуансо [1] утверждал, что получение аналитических зависимостей основных переменных задачи недостаточно для того, чтобы представить движение тела в течение всего времени движения. Свой подход он продемонстрировал в исследовании движения тела в решении Л. Эйлера, представив его посредством качения без скольжения эллипсоида инерции по неподвижной в пространстве плоскости. Он доказал, что любое движение тела, имеющего неподвижную точку, можно истолковать качением подвижного аксоида угловой скорости по неподвижному аксо-иду. Большой вклад в развитие геометрических методов динамики твердого тела внесли В.Гесс, И. Мак-Куллаг, Г.Дарбу, Ж.Кениг, К. Якоби, Ж.Сильвестр, Н.Б.Делоне, Н.Е.Жуковский и другие. Результаты этих ученых в полной мере отражены в монографии Г.К.Суслова [2] и книге [3]. Следует отметить, что для истолкования движения тела применялись различные подходы. Например, И. Мак-Куллаг установил, что при движении свободного твердого тела гираци-онный эллипсоид, соответствующий точке опоры, проходит во все время движения через точку пространства, лежащую на неизменном главном моменте количества движения. Ж. Сильвестр и К. Якоби изучали свойства вращений Л. Пуансо. Н.Е. Жуковский предлагал метод истолкования движения на основе качения со скольжением аксоидов вектора момента количества движения. Для более полного восприятия визуализации движения тела были предложены конкретные модели: Г.Дарбу и Ж.Кениг построили прибор (герполограф), с помощью которого осуществлялось движение тела по инерции; прибор Бонен-бергера позволял продемонстрировать движение гироскопа Лагранжа; Г. Шварц предложил модель гироскопа С.В.Ковалевской; Н.П. Мерцалов построил гироскоп, удовлетворяющий приближенно условиям Н.Б.Делоне. Анализ указанных исследований выполнен в монографии [3].
Универсальность метода Л. Пуансо проявилась после получения
П.В.Харламовым [4] уравнений неподвижного годографа вектора угловой скорости, поскольку они содержат компоненты вектора угловой скорости и вектора оси симметрии действующих на тело силовых полей. К настоящему времени во всех решениях уравнений Эйлера-Пуассона исследовано движение тела методом годографов (см. обзоры [5, 6]).
В последние годы метод Пуансо получил дальнейшее развитие. В [7] предложен модифицированный метод Пуансо, позволяющий представить движение тела, имеющего неподвижную точку, качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости, по неподвижному годографу. Этот метод позволяет использовать два подхода в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку. Первый подход основан на выборе подвижного или неподвижного годографа указанного выше вектора в некоторой плоскости в подвижной системе координат. С его помощью показано, что движение тела в решениях В.А. Стеклова [8] и А.И. Докшевича [9] можно представить качением без скольжения поверхностей, направляющие линии которых являются эллипсы. Второй подход заключается в том, что конец вектора, кол-линеарного вектору угловой скорости, выбирается на эллипсоиде инерции для неподвижной точки. Он использован в [10] для анализа некоторых частных решений уравнений динамики. Этот подход позволяет визуальное восприятие движения тела устанавливать на основе движения эллипсоида инерции в неподвижном пространстве.
В статье [11] описывается комплексный подход в истолковании движения тела с неподвижной точкой. Целесообразность такого подхода обоснована тем, что на практике необходимо иметь наибольший объем информации о свойствах движения тела (свойства углов Эйлера и параметров Родрига-Гамильтона, свойства годографов угловой скорости, свойства в движении эллипсоида инерции и другие). Он применен в статье [12] при исследовании частных случаев [13, 14] решения С.В. Ковалевской [15]. Данная статья посвящена изучению одного частного случая решения Д.Н.Горячева-С.А.Чаплыгина [17, 18].
1. О комплексном истолковании движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Рассмотрим уравнения движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, в векторном виде:
где к и Е - произвольные постоянные. В (1), (2) обозначено: ш = (ш1,ш2,ш3) - вектор угловой скорости; V = (^1,^2,^3) - единичный вектор, указывающий направление силы тяжести; з - произведение веса тела и расстояния от непод-
Аш = Аш х ш + з(в х V),
V = V X ш.
(1)
Эти уравнения допускают три первых интеграла
V ■ V = 1, Аш ■ V = к, Аш ■ ш — 2з(в ■ V) = 2Е,
(2)
вижной точки О до центра тяжести С^; в = (в!,в2,ез)
инерции, построенный в точке О; точка над переменными ш и V обозначает дифференцирование по времени г.
Пусть в результате интегрирования уравнений (1) получены функции
ш(1) = Ц(*),и2(*),иа (г)), V (¿) = (V! (3)
координаты которых определяют фазовое пространство уравнений (1). Задача состоит в том, что на основании зависимостей (3) необходимо установить свойства движений тела, то есть получить истолкование этого движения. В динамике твердого тела создано множество методов, указанных, в частности, во введении.
Рассмотрим первый метод, который предложен Л. Эйлером. Он заключается в нахождении углов ф, ф, в, определяющих положение тела в пространстве. В силу известных зависимостей [19]
U1(t) = psin в sin ф + 6 cos ф, U2(t) = psin в cos ф — в sin ф, w3(t) = ф + pcos ф;
(4)
V1(t) = sin в sin ф, V2(t) = sin в cos ф, V3(t) = cos в, (5)
углы ф = ф(t), p = p(t), в = в(t) можно найти по формулам (используем векторную запись, в которой (г = 0, 3) - подвижный ортогональный базис)
сp(t) = arctg^j^j——, 9(t) = arceos{u(t) ■ эз),
t (6) t
J (v(t) X Э3)2
to
На основании соотношений (6) сформировался метод апекса: исследование свойств характерной оси в теле (например, оси симметрии в случае Ж.Л. Лагранжа [2]).
Второй метод истолкования движения тела применяется в задачах определения ориентации твердого тела. Для его применения выбираются параметры Родрига-Гамильтона [19, 20], которые выражаются через углы Эйлера (6):
в p + ф . в p — ф
До = cos - COS-, Al = sin - cos-,
2 2 ' 2 2 ' (7]
. в . p — ф в , p + ф ( )
Д2 = sin - sin-, Аз = cos - sin-.
2 2 2 3 2 2
Укажем зависимости углов Эйлера через параметры Ao,Ai,A2,A3,t [20]:
— Ai A3 — А0А2 _ А0А2 + Ai A3
A0A1 + A2A3 A0A1 — A2A3 (8)
cos в = AO + A3 — Ai — A2-
Компоненты угловой скорости выражаются через Xi (г = 0, 3) следующим образом:
= 2(АоА 1 — Х\X о + Азх 2 — А2А3), Ш2 = 2(,1^2 — ,2х 1 + А1Хз — АзА 1), (9)
Шз = 2(,2Х 3 — АзХ 2 + 1 — А1А2),
ух =2(А1Аз — А0А2), ^ = 2(Ао А1 + А2Аз), ^з = А2 + А2 — А? — А2. (10)
Формулы (7) используются в случае, когда известны зависимости ^(Ь), ф(Ь), 0(1), а формулы (8) - когда известны зависимости Аí(t) (г = 0,3).
К третьему методу кинематического истолкования отнесен [11] метод годографов Пуансо с использованием уравнений П.В.Харламова [4]. Запишем соотношения (3) с помощью подвижного (связанного с телом) базиса Э1, Э2, Эз:
u(t) Шг(1)эг, V(t) = ^ Vi(t)Si. (11)
г=1 г=1
Для компонент вектора ш в неподвижной системе координат О^пС с единичными векторами 11,12, ¡з имеем соотношения [4]
з
(¿) = шp(í)cos a(í), (¿) = Шp(t)sina(t), (¿) = ^
г=1 , .
з ^ (12)
#*) = £>?(*)-"?(*), a(t)= f -ir[i(r).Mr)xW(r))] г=1 l Шр (т)
to
где ll - производная от w(t) по времени t. Определенную сложность в вычислении функции a(t) представляет зависимость этой функции от производной ll. В статье [7] получена формула
+ ^ m х u(t)) ■ (v(t) х э3)
tg(a(t) - ip(t)) = d-r—-—-, (13)
Э3 • L(t) x v(t)j
где 5 = 0, если постоянен угол 9 между векторами v(t) и Эз, и 5 = 1, если в = const. Поскольку для ^(t) можно использовать формулу из (6), то для a(t) из (13) получим выражение (полагаем 5 = 1)
aw = «5 + / ("(Г> Г - ИГ> Х rfr + arctg И" * \ ■ »>. (14)
J (v(т) x Э3)2 Эз • L(t) x v(t))
to
Как видно из формулы (14), a(t) имеет определенные преимущества перед формулой a(t) из (12). В комплексном подходе истолкования движения тела целе-
(15)
сообразно применять и соотношения [11]
Ш(t) = V>(í) + tp(t) cos 0(t), U2p(t) = 02(t) + ф2(t) sin2 0(t), , . . / oj(t) sin0(tV
a(t)= m~ arctg^
uc = 4[(Л0 + А3)(А0Аз - АэАо) + (A? + A2)(AIa2 - A2A?)],
W2 = 4Л + [(A? + A2)']2, a = arctg^2 + ^3 + arctg-^-,
ЛоA1 - Л2^3 (A1 + Л2)
л = (Л2 + Л2)(аоЛз - Лоаз) + (Л0 + Л3)(Л?а2 - Л2а?). (16)
Таким образом, для нахождения уравнений неподвижного годографа вектора угловой скорости существуют несколько способов: если известны зависимости (11), то применимы формулы (12), (14); если известны функции ф({),ф({), 6(t) - формулы (15); если известны функции A¿(í) (г = 0,3) - формулы (16).
В комплексном истолковании движения тела большое значение имеет модифицированный метод Пуансо (его отнесем к методу 4). Используя первую формулу из (11) и соотношения из (12), запишем уравнения подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости
з
u = ^2 Ui(t)?i, ш = u? (t)i? + Шп (t)Í2 + uz (t)Í3. (17)
i=1
Если через Qo обозначить начальную точку на подвижном годографе (при t = 0), а через Q - на неподвижном годографе и Q* - точку касания годографов в
(1ш d'u ^^ . ^^ тт
момент времени í, то из равенства —= следует, что — \Iq\l =— £¿qS2 . Из
последнего условия и вытекает теорема Пуансо о том, что движение тела воспроизводится качением без скольжения подвижного годографа вектора угловой скорости по неподвижному годографу.
Следуя [7], введем в рассмотрение вектор
b(t) = b(t)u(t), (18)
где b(t) - дифференцируемая функция. На основании вытекающего из (18) условия db(t)/dt = d'b(t)/dt получим, что подвижный и неподвижный годографы вектора b(t) имеют общую касательную, а длины дуг, описанные за одинаковый промежуток времени концом вектора b(t) на подвижном и неподвижном годографах, равны. Следовательно, движение тела с неподвижной точкой может быть представлено качением без скольжения подвижного годографа вектора b(t) по неподвижному годографу этого вектора. Необходимо при таком истолковании учитывать, что вращение тела вокруг вектора b(t) происходит с
угловой скоростью ш. Он позволил получить дополнительные свойства в частных решениях уравнений Эйлера-Пуассона [7, 10, 12].
Изложенный метод может быть применен в следующих подходах. Первый подход. Пусть в уравнениях (12) (г) = 0. Выберем в (18) функцию Ъ(Ь) в виде
= ¿г (19)
В силу (17)-(19) неподвижный годограф вектора Ь(Ь) имеет представление
, ,. шс (г). (г). . .
ьм=4г+4га+,>- (20)
Подвижный годограф вектора Ь(Ь) найдем из первой формулы системы (17), используя равенство (19),
1 3
= с21)
С( ) 2 = 1
Движение тела воспроизводим качением без скольжения аксоида с направляющей (21) по аксоиду с направляющей (20). В силу (20) неподвижный годограф вектора Ь(Ь) является плоской кривой. Этот подход позволяет получить картину движения тела, близкую по наглядности к картине движения, указанной Л. Пуансо. В работах [7, 10] показано, что в решениях А.И. Докшевича [9] и В.А. Стеклова [8] движение тела можно представить качением без скольжения двух плоских кривых (эллипсов).
Замечание. Указанный подход может быть обобщен и на случай, когда подвижный годограф является плоской кривой.
Второй подход. Представляется актуальным получение такого метода в истолковании движения, который бы не содержал субъективных факторов конкретного подхода, а был бы универсальным для любых решений уравнений динамики твердого тела. Так как при истолковании движения тела не используется его конструктивное строение, то вполне естественным представляется применить объективный фактор в истолковании движения (как это осуществил Л. Пуансо), а именно свойство движения эллипсоида инерции. Положим, что конец вектора Ь(Ь) принадлежит эллипсоиду инерции в неподвижной точке. Обозначим через А\, А2, А3 главные моменты инерции тела. Тогда уравнение эллипсоида инерции таково
А! ж2 + А2 у2 + Аз г2 = а%, (22)
где х, у, г - координаты точек, принадлежащих эллипсоиду, а^ - постоянная. Потребуем, чтобы конец вектора Ь(г) из формулы (18) принадлежал эллипсоиду (22). Для нахождения функции Ъ(Ь) подставим в (22) вместо х, у, г величины
bi = b(t)ui(t). Тогда [10]
щ) =__и (23)
+ A2uj'22(t) + A3uj'i(t)'
В силу (17), (18) подвижный годограф вектора b(t) найдем в виде
b(t) = b(t)(ui(t)s1 + U2(t)32 + Шз($Эз), (24)
а неподвижный годограф - в виде
b(t) = b(t)(up(t)cosa(t)ii + up(t)sma(t)i2 + щ (t)i3). (25)
Функция b(t) определена выражением (23).
Движение тела будем воспроизводить качением годографа (24) по годографу (25).
Если истолкование движения тела проводится для решений уравнений (1), то для упрощения формулы (23) можно использовать интеграл энергии из (2). Тогда вместо (23) целесообразно применить формулу
= , ^V - const). (26)
sJE + s(e ■ v(t))
Таким образом, в комплексном истолковании предлагается [11] использовать указанные выше четыре метода.
2. Решение Д.Н. Горячева—С.А. Чаплыгина. Данный случай характеризуется условиями A = diag(4A3, 4A3,A3), e2 = e3 = 0, k = 0. Уравнения Эйлера-Пуассона (1) в безразмерном виде можно записать так [16]
4p = 3qr, 4q = —3pr — v3, r = v2, (27)
Vi = rv2 — qv3, V2 = pv3 — rvi, v3 = qvi — pv2. (28)
Уравнения (27), (28) имеют первые интегралы
vf + + vf = I, 4(pvi + qv2) + rv3 = 0, 4(p2 + q2) + r2 = 2(vi + E), r (p2 + q2) + pv3 = co,
(29)
где Е, со - произвольные постоянные (постоянную интеграла площадей примем равной нулю). Положим в (29) 2(Е + 1) = 3а2, 2с0 = а3. Тогда уравнения (27), (28) допускают решение [16]
р = -з(2а + г)л/а(а - г),
1 '_;___(30)
д = | \/а(г3 + 3 от2 + 4 г + 4а(1 — а2)),
VI = \{г - а)(г + 2а) + 1,
V2 = -л/а(а - г), (31)
г/3 = — г)(г3 + 3 от2 + 4г + 4а(1 — а2)),
г 2 ¿т
л/ (а — г) [г3 + Заг2 + 4г + 4а(1 — а2)]
= £ — ¿о. (32)
В формулах (30)-(32) а — постоянный параметр, который будем полагать меньше единицы. Тогда переменная т изменяется на отрезке
0 <т* < т < а (а> 1), (33)
где т* - корень уравнения
Р (т) = тз + 3ат2 + 4а(1 — а2) = 0, (34)
который имеет значение
з/ з 2 /27а4 — 36а2 + 16 з з 2 /27а4 — 36а2 + 16
• =Г+Л/-8-+ ГIV-8-■ (36)
С учетом (35) многочлен Р(т) можно записать так
Р (т) = (т — т*)(^2т2 + Ц.1т + Но). (36)
Здесь Н2т2+Н1т+Но > 0 для значений т из интервала (33). Подвижный годограф вектора угловой скорости определяется соотношениями (30), а неподвижный годограф задается формулами [16]:
= --г\/а(а — г), 1 4 (37)
= — [9от3 + (16 - 9а2)г2 + 4от + 4а21, р 16
<!<£ 2а2[3тз + 6ат2 + 2(2 + 3а2 )т — 2а(3а2 — 4)]
~~ / =-'
ат у/2(тз + 3ат2 + 4т + 4а — 4а2) [9атз + (16 — 9а2)т2 + 4ат + 4а2]
<Ьр _ у/а(а - г)[Зг3 + баг2 + 2(2 + За2)г - 2а(3а2 - 4)]
ЩИ ~ [9аг3 + (16 - 9а2)г2 + 4аг + 4а2] ' '
Чтобы избежать повторения обозначений в (38), (39), полярный угол, характеризующий неподвижный годограф, обозначен через ф. В статье [16] на основании (37)-(39) показано, что движение гироскопа Горячева-Чаплыгина в данном случае периодическое.
Применим первый подход модифицированного метода, изложенного выше. В силу г > 0 функцию Ь(г) из (18) выберем в виде
ВД = щ- (40)
Используя компоненты р и д из равенств (30), для подвижного годографа вектора Ь(Ь) получим
ь(г) = Ь1(г)э1 + Ъ2(г)э2 + Ь3(г)э3 = -^-(;2а + г)^а(а-г)э1 +
х _ ' (41)
+— \/а(г3 + 3аг2 + Аг + 4а(1 — а2)) э2 + э3.
Подвижный годограф вектора Ь(Ь) из (41) является плоской кривой (Ьз = 1). Для получения уравнения, описывающего эту кривую, положим Ь! = х, Ь2 = у. Тогда
х = --^-(2а + г) у/а(а — г),
у = а(г3 + 3 аг2 + 4 г + 4а(1 — а2)).
Из системы (42) следует 4r2(x2 + y2) — ar — a2 = 0, то есть
а
(42)
-(1 +v/l + 4 (х2 + у2). (43)
8(x2 + y2)' Второе равенство из (42) запишем так
■2 - (г3 + Зат2 + Аг + 4а(1 - а2)). (44)
y
Для аналитического анализа параметрически заданной кривой (42) (или (43), (44)) введем в плоскости (x,y) полярные координаты р, в: x = рcos в, У = р sin в • Тогда из (43), (44) получим
sin2 /3 = 16Д (гНр) + 3аг2{р) + 4г(р) + 4а(1 - а2)), (45)
где
r(p) = ^2(l+yi + V). (46)
Используя промежуток изменения переменной r из (33), с помощью формул (45), (46) можно построить кривую (42). Неподвижный годограф вектора b(t) имеет вид
b(t) = b? ii + bv Í2 + bc is, (47)
где в силу (37), (40)
2
= -ujpcosip, bv =-Шр sin íp, bt; = — - л/a(a — r). (48)
Функция ^>(г), определяемая формулами (38), (39), не изменяется. То есть, как и в случае неподвижного годографа вектора ш(Ь), она является периодической функцией времени. Поскольку из (37), (48) следует
Ьр = Щ + Щ = -^-2
9аг3 + (16 - 9а2)г2 + 4аг + 4а2 , (49
то параметрические уравнения меридиана поверхности вращения, на которой лежит неподвижный годограф вектора Ь(£), задаются последним соотношением из (48) и соотношением (49). После исключения в этих равенствах переменной г приходим к алгебраическому уравнению шестого порядка относительно величин Ьр, Ь^. Такой же порядок имеет и меридиан поверхности вращения, на которой лежит неподвижный годограф вектора ш(Ь).
На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что движение тела в решении (30)-(32) является периодическим. Преимущество первого подхода модифицированного метода истолкования движения перед методом Пу-ансо состоит в том, что при качении без скольжения канонических поверхностей с направляющими (41) и (47), (48), направляющая (41) - плоская кривая.
Для нахождения скорости прецессии тела воспользуемся формулой (13), которая для решения (30)-(32) принимает вид
,. -3г3 - 3аг2 + 2г(3а2 - 2) + 4а
г3 + Заг2 + 12г + 4а(1 — а2) " (50)
Из соотношения (50) установим скорость прецессии
л/а[г3 + Заг2 - 4г + 4а(1 - а2)] 8у/а=г(г + 2а)(г2 + от + 2(2 - а2))'
Данную формулу можно установить из интегрального соотношения из системы (6). Если изучать качественное поведение функции ф(Ь), то результаты по истолкованию движения тела на основе прямого метода Пуансо позволяют это сделать без обращения к формуле (51).
Рассмотрим задачу сведения решения (30)-(32) к эллиптическим функциям времени. В силу того, что уравнение (34) имеет действительный корень г*, преобразуем интеграл (32):
г
( йг 1 . . .
= (52)
го
где
л/(а — г) (г — г*) (г2 + рг + д) 2
р = 3а + г*, д = г*2 + 3аг* +4. (53)
Пусть (г — а)(г — г*) = г2 + р'г + д'. Тогда
р = —(а + г*), д' = аг*. (54)
Обозначим через н и V корни уравнения относительно и 2(2а + т*)и2 + 2(т*2 + 2ат* + 4)и - [г*3 + Баг*2 + 2(2 + 3а2)т* + 4а] = 0. (55)
Введем в рассмотрение параметры
22 2 Н2 + НР + 9 ,/2 Н2 + НР + д
П = -, П = -;-г, (56)
V2 + ир + д V2 + ир/ + 9
где р, д и р/, д/ имеют значения (53), (54). Для приведения интеграла (52) к каноническому виду введем новую переменную ш:
Н- + и
г = --—. 57
ш + 1 у '
Тогда формулу (52) можно в силу (57) преобразовать к виду
V
{ ¿V
У -У2){1 -кч2)
т, (58)
где
к
2
к2 = —:—о, V2 = 1 -
т =
к2 + к/2' к/2ш2'
(* - ¿о) \!(у2 + ир + д)(и2 + ир> + д')(к2 + /г'2)
(59)
2(н - и)
С помощью метода приведения интеграла (58) к форме Лежандра на основании формул (57)—(59) получим следующее выражение для переменной т через эллиптическую функцию Якоби вит:
Н + иквит
г =-—-. 60
1 + к^ит у 7
Модуль к эллиптической функции вит находится из первого соотношения системы (59), в котором к2 и к/2 имеют значения (56). Отметим, что в формулу (60) в качестве параметров входят н, V, которые являются корнями уравнения (55). Несмотря на достаточно трудоемкую процедуру получения зависимости (60) от времени, формула (60) показывает качественный характер изменения переменной т(т). При подстановке т(т) в (39) можно получить зависимость ф = Ф(£), где Ф(£)— эллиптическая функция. Следовательно, ф(Ь) является интегралом от этой функции. Аналогично, используя (51), функция ф(Ь) представима через интеграл от эллиптической функции. Для нахождения параметров Родрига-Гамильтона необходимо использовать формулы (6), (7).
Рассмотрим движение эллипсоида инерции для решения (30)-(32). Из формулы (26) в силу принятых условий и значения VI из (31) получим
Ш) = 1 2, (61)
т2 + та + а2
1
где постоянная к2, входящая в (26), принята таким образом, чтобы компоненты Ь!, Ь2, Ь3 удовлетворяли уравнению
4(Ь1 + Ь2) + Ь23 = 1. На основании равенства (18) и соотношений (30), (61) имеем
(62)
Ь! = -Ь2 = -
Ьз =
1
4\/ г2 + га + а2 1
4 л/ г2 + га + а2
(2 а + г) у/а(а — г),
у/а(г3 + 3 аг2 + Аг + Аа(1 — а2),
(63)
л/ г2 + га + а2
Для исследования годографа вектора Ь(г) будем рассматривать уравнение (62) и уравнение цилиндрической поверхности, которая задается первым и третьим соотношениями системы (63). Введем вместо г новую переменную [в:
. ... 2а§\п[3 . г
= о-„ • 2 Л8тР + УЗсОВуЗ).
3 — 4 81п2 р
Переменная в изменяется на отрезке
в е в*,
где
в * = аг^
л/г*2 + 2ат* + За2 —
а
2а + г*
Внесем г(в) из (64) в первое и третье соотношения системы (63)
(64)
(65)
(66)
4/- / л/3 сов 2/3 - вт 2/3
(67)
Ь3(Р) = -=8Ш/3.
Данные формулы позволяют численно для каждого а построить кривую в плоскости (Ь!,Ь) в промежутке (65), в котором в* имеет значение (66).
Интерес представляет и другой способ введения новой переменной вместо г:
2аЕ
Уз - к
где К— новая переменная, которая изменяется на отрезке
"\/3 1 1
г* + 2а л/З-
г
г
Кинематическое истолкование движения тела В силу (68) величины Ъ\, Ьз из (67) таковы
Ъ\ = а \/3 • ^^—Д 53 = — ^ =. (69)
Формулы (69) позволяют установить, что в алгебраической форме кривая (69) является многочленом по Ь1, Ьз, который имеет шестой порядок.
Для получения неподвижного годографа вектора Ь(£), конец которого принадлежит поверхности (62), обратимся к формулам (37). Используя выражение (61), из них получим
b(t) = bp cos у • ii + bp sin y • Î2 + bz • Î3, (70)
где
¿I = TTт-5—--5T [9т>3 + (16 - 9а2)г2 + Aar + 4а2].
p 16(r2 + ar + a2) L J '
3 г-\/а(а — г)
Ь,- = —
(71)
4yV2 + га + а2 ' а функция y(t) удовлетворяет уравнению (39).
Если подставить в равенства (71) и в уравнение (39) функцию г(т) из формулы (60), то получим зависимость переменных bp, bz, у от времени t.
Движение эллипсоида в неподвижном пространстве можно истолковать, как качение без скольжения подвижного годографа вектора b(t), заданного формулами (63), по неподвижному годографу этого вектора, заданного формулами (70), (71).
Заключение. В статье для исследования частного случая решения Горячева-Чаплыгина использован комплексный подход, который позволил получить новые свойства движения гироскопа.
1. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps / L. Poinsot // J. Math. Pures et Appl. -1851. - Bd. 1, № 16. - P. 289-336.
2. Суслов Г.К. Теоретическая механика / Г.К. Суслов. - М.-Л.: Гостехиздат. - 1946. - 655 с.
3. Горр Г. В. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние / Г.В.Горр, Л.В. Кудряшова, Л.А.Степанова. - Киев: Наук. думка, 1978. - 296 с.
4. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку / П.В.Харламов // Прикл. математика и механика. - 1964. - 28, вып. 3. - С. 502507.
5. Гашененко И.Н. Классические задачи динамики твердого тела / И.Н. Гашененко, Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2012. - 402 с.
6. Горр Г.В. Движение гиростата / Г.В.Горр , А.М.Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2013. -408 с.
7. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой / Г.В.Горр // Механика твердого тела. - 2012. -Вып. 42. - С. 26-36.
8. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку / В.А. Стеклов // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. - 1899. - 10, № 1. - С. 1-3.
9. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона / А.И. Докшевич.
- Киев: Наук. думка, 1992. - 168 с.
10. Горр Г.В. О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой / Г.В.Горр, А.И. Синенко // Прикл. математика и механика. - 2014. - 20, вып. 3. - С. 334-345.
11. Горр Г.В. Применение параметров Родрига-Гамильтона при истолковании движения твердого тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр, А.М. Ковалев // Прикл. математика и механика. - 2015. - 79, вып. 5. - С. 635-643.
12. Горр Г.В. О движении тяжелого твердого тела в двух частных случаях решения С.В. Ковалевской / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Нелинейная динамика. - 2018. - 14, № 1. - С. 123138.
13. Горр Г.В. Об одном случае движения тяжелого твердого тела в решении С.В. Ковалевской / Г.В. Горр, А.Я. Савченко // Механика твердого тела. - 1970. - Вып. 2. - С. 66-73.
14. Горр Г.В. Об одном периодическом движении в решении С.В. Ковалевской / Г.В. Горр, А.Я. Савченко // Механика твердого тела. - 1971. - Вып. 3. - С. 64-69.
15. Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки / С.В. Ковалевская // В кн.: Ковалевская С.В. Научные работы. - М.: Изд-во АН СССР, 1948. - С. 153-220.
Kowalevski S. Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Math. - 1889. - 12, №2. - Р. 177-232.
16. Горр Г.В. Об одном периодическом движении гироскопа Горячева-Чаплыгина / Г.В. Горр, Г.Д. Левицкая // Механика твердого тела. - 1971. - Вып. 3. - С. 101-106.
17. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = 4C / Д.Н. Горячев // Мат. сб. Кружка любителей мат. наук. - 1900. - 21, вып. 3.
- С. 431-438.
18. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке / С.А. Чаплыгин // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. - 1901.
- 10, вып. 2. - С. 32-34.
19. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И.Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.
20. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела / В.Н. Кошляков. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. - 176 с.
G.V. Gorr, D.A. Danil, D.N. Tkachenko
Kinematic interpretation of the motion of the body in one particular case of the solution Goryachev—Chaplygin.
One particular case of solution D.N. Gorachev-S.A. Chaplygin in the problem of motion of a heavy solid body with a fixed point is considered. For the kinematic interpretation was used: an integrated approach based on the modified Poinsot method; Euler angles; Rodrigue-Hamilton parameters; elliptic Jacobi functions.
Keywords: massive solid body, interpretation of the movement, integrated approach, solution of Goryachev-Chaplygin, ellipsoid motion in a fixed space.
ГУ "Ин-т прикл. математики и механики", Донецк Получено 27.11.17
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк
gvgorr@gmail.com
