КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД В ИСТОЛКОВАНИИ РЕШЕНИЯ Д.Н. ГОРЯЧЕВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2-3 (67-68) / 2019.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 531.38; 531.39

©2019. Д.А. Данилюк КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД

В ИСТОЛКОВАНИИ РЕШЕНИЯ Д.Н. ГОРЯЧЕВА

В статье на основе комплексного подхода исследовано движение тяжелого твердого тела в решении Д.Н. Горячева, полученном для динамически симметричного твердого тела. С помощью модифицированного метода Пуансо изучены подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости и вектора, коллинеарного вектору угловой скорости. Найдены углы Эйлера в исследуемом решении, указаны зависимости основных переменных задачи от эллиптических функций Якоби.

Ключевые слова: решение Д.Н. Горячева, комплексный подход в истолковании движения, углы Эйлера.

Введение. Основы геометрических подходов в динамике твердого тела описаны в классической статье Л. Пуансо [1]. Свой подход он продемонстрировал в исследовании движения тела в решении Л. Эйлера, представив его посредством качения без скольжения эллипсоида инерции по неподвижной в пространстве плоскости. Л. Пуансо доказал, что любое движение тела, имеющего неподвижную точку, можно истолковать качением без скольжения подвижного аксоида угловой скорости по неподвижному аксоиду. Большой вклад в развитие геометрических методов динамики твердого тела внесли В.Гесс, И. Мак-Куллаг, Г.Дарбу, Ж. Кениг, К. Якоби, Ж.Сильвестр, Н.Б.Делоне, Н.Е.Жуковский и другие. Результаты этих ученых в полной мере отражены в монографии Г.К. Суслова [2] и книге [3]. Например, И. Мак-Куллаг установил, что при движении свободного твердого тела гирационный эллипсоид, соответствующий точке опоры, проходит во все время движения через точку пространства, лежащую на неизменном главном моменте количества движения. Ж. Сильвестр и К. Якоби изучали свойства вращений Л. Пуансо. Н.Е. Жуковский предлагал метод истолкования движения на основе качения со скольжением аксоидов вектора момента количества движения.

Универсальность метода Л. Пуансо проявилась после получения П.В.Харламовым [4] уравнений неподвижного годографа вектора угловой скорости, поскольку они содержат компоненты вектора угловой скорости и вектора оси симметрии действующих на тело силовых полей. К настоящему времени во всех решениях уравнений Эйлера-Пуассона исследовано движение тела методом годографов (см. обзоры [5, 6]).

Метод Пуансо получил дальнейшее развитие: в [7] предложен модифицированный метод Пуансо, позволяющий представить движение тела, имеющего неподвижную точку, качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости, по неподвижному годографу этого вектора. Этот метод позволяет использовать два подхода в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку. Первый подход основан на выборе подвижного или неподвижного годографа указанного выше вектора в некоторой плоскости в подвижной или неподвижной системе координат. С его помощью показано, что движение тела в решениях В.А.Стеклова [8] и А.И. Докшевича [9] можно представить качением без скольжения поверхностей, направляющие линии которых являются эллипсами [7]. Второй подход заключается в том, что конец вектора, коллинеарного вектору угловой скорости, выбирается на эллипсоиде инерции для неподвижной точки. Он использован в [10] для анализа некоторых частных решений уравнений динамики.

В статье [11] описывается комплексный подход в истолковании движения тела с неподвижной точкой. Он обоснован тем, что на практике необходимо иметь наибольший объем информации о свойствах движения тела (свойства углов Эйлера и параметров Родрига-Гамильтона, свойства годографов угловой скорости, свойства движения эллипсоида инерции и другие). Применение комплексного подхода использовано в статье [12] для частных случаев [13, 14] решения С.В. Ковалевской [15], в статье [16] для частного случая [17] решения Чаплыгина [18]. В данной статье исследовано решение Д.Н.Горячева [19].

1. Истолкование движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Рассмотрим уравнения движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, в векторном виде:

Аш = Аш х ш + в(е х V), V = V х ш. (1)

Эти уравнения допускают три первых интеграла

V • V = 1, Аш • V = к, Аш • ш - 2в(е • V) = 2Е, (2)

где к и Е - произвольные постоянные. В (1), (2) обозначено: ш = (ш\,ш2,шэ) - вектор угловой скорости; V = ) - единичный вектор, указывающий

направление силы тяжести; в - произведение веса тела и расстояния от неподвижной точки О до центра тяжести С^; е = (е1,в2,ез) = ; А - тензор

| ио |

инерции, построенный в точке О; точка над переменными ш и V обозначает дифференцирование по времени ¿.

Пусть в результате интегрирования уравнений (1) получены функции

з з

ш(1) = £ Шг(1)эг, V (1)=^ Vг (г)ъ, (3)

г=1 г=1

где Э\, Э2, Ээ - единичные векторы подвижной системы Охуг. На основании зависимостей (3) необходимо установить свойства движений тела, то есть получить истолкование этого движения.

Рассмотрим первый метод, который предложен Л. Эйлером. Он заключается в нахождении углов р, ф, в, определяющих положение тела в пространстве. В силу известных зависимостей [20]

(4)

U1(t) = psin в sin ф + 6 cos ф, U2(t) = Ipsin в cos ф — в sin ф, u3(t) = ф + ppcos ф;

V1(t) = sin в sin ф, V2(t) = sin в cos ф, V3(t) = cos в, (5

углы ф = ф(t), ф = p(t), в = в(t) можно найти по формулам:

сpit) = arctg^-^——, 6(t) = arccos(V(t) • эз), v(t) • э2

t

m = fm^p^pJádr.

j (v(t) X э3)2

to

(6)

На основании соотношений (6) сформировался метод апекса: исследование свойств характерной оси в теле (например, оси симметрии в случае Ж.Л. Лагранжа [2]).

Второй метод истолкования движения тела применяется в задачах определения ориентации твердого тела в неподвижном пространстве. Для его применения выбираются параметры Родрига-Гамильтона [20, 21], которые выражаются через углы Эйлера (6):

в ф + p .6 ф - ip

До = cos - cos-, Ai = sin - cos-,

2 2 ' 2 2 '

. . в , ф - p в , ф + p

Л2 = sin - Sin-, Аз = cos - sin-.

2 2 2 3 2 2

Укажем зависимости углов Эйлера через параметры Aq,Ai,A2,A3,t [21]:

(7)

А1А3 — А0А2 , , А0А2 + А1А3 О 2 \2 \ 2

х х , х х , tg^ = —---, cos0 = AO + A3-A1-A2.

А0А1 + А2А3 А0А1 — А2А3

К третьему методу кинематического истолкования отнесен метод годографов Пуансо [1] с использованием уравнений П.В.Харламова [4]. Для компонент вектора ш в неподвижной системе координат О^пС с единичными векторами 11, ¡2, ¡з имеем соотношения [4]

ш(г) = (г) ¡1 + Шп(г) ¡2 + (г) ¡з,

(t) = up(t)cosa(t), шп (t) = ш p(t)sin a(t), ш^ (t) = ^ ш,, (t)vi (t),

i=1 (9)

3

uj%t) = ¿42(í) -wc2(í), a(t) = f -^-[¿(r) • Ит) x u{r))]dr,

i=1 to Шр (T)

где Ш - производная от u(t) по времени t. В статье [7] получена более простая формула

tg a i - СО = 5--, ' -10

ээ • (í(t) x v(t))

где 5 = 0, если постоянен угол в между векторами v(t) и ээ, и 5 = 1, если в = const. Поскольку для ф(t) можно использовать формулу из (6), то для a(t) из (10) получим выражение (полагаем 5 = 1)

<*) = / ("(т); - х ^^ и"* »>. (щ

J (v(т) x ээ)2 ЭЭ • {°(t) x v(t))

to

В комплексном подходе истолкования движения тела целесообразно применять и соотношения [11]

(t) = ip(t) + tp(t) cos e(t), w2p(t) = e2(t) + ф2(t) sin2 e(t),

a(i) =,/.'(()-arctg(M|Lm).

Запишем уравнения подвижного и неподвижного годографов угловой скорости из (3) и (9)

з

Ш = ^2 Ui(t) Эг, Ш = (t)ii + Шп (t)Í2 + (t)l3- (12)

i=1

Остановимся на модифицированном методе Пуансо [7]. Введем в рассмотрение вектор

b(t) = b(t)o(t), (13)

где b(t) - дифференцируемая функция. На основании вытекающего из (13) условия db(t)/dt = ddb(t)/dt получим, что подвижный и неподвижный годографы вектора b(t) имеют общую касательную, а длины дуг, описанные за одинаковый промежуток времени концом вектора b(t) на подвижном и неподвижном годографах, равны. Следовательно, движение тела с неподвижной точкой может быть представлено качением без скольжения подвижного годографа вектора b(t) по неподвижному годографу этого вектора. Необходимо при таком истолковании учитывать, что вращение тела вокруг вектора b(t) происходит с угловой скоростью ш. Этот метод позволил получить дополнительные свойства в частных решениях уравнений Эйлера-Пуассона [7, 10, 12]. Он может быть применен в следующих подходах.

Первый подход. Пусть в уравнениях (12) (t) = 0. Следуя [7] выберем в (13) функцию b(t) в виде

= ¿щ- (14>

В силу (12), (13), (14) неподвижный годограф вектора b(t) имеет представление

Подвижный годограф вектора b(t) найдем из первой формулы системы (12), используя равенство (14):

1 3

Движение тела воспроизводим качением без скольжения аксоида с направляющей (16) по аксоиду с направляющей (15). В силу (15) неподвижный годограф вектора b(t) является плоской кривой. Этот подход позволяет получить картину движения тела, близкую по наглядности к картине движения, указанной Л. Пуансо. В работах [7, 10] показано, что в решениях А.И. Докшевича [9] и В.А. Стеклова [8] движение тела можно представить качением без скольжения двух плоских кривых (эллипсов).

Для изложения второго подхода положим, что конец вектора b(t) принадлежит эллипсоиду инерции в неподвижной точке. Обозначим через A1, A2, A3 главные моменты инерции тела. Тогда уравнение эллипсоида инерции таково

A1X2 + А2У2 + A3Z2 = а2, (17)

где x, y, z - координаты точек, принадлежащих эллипсоиду, а^ - постоянная. Потребуем, чтобы конец вектора b(t) из формулы (13) принадлежал эллипсоиду (17). Для нахождения функции b(t) подставим в (17) вместо x, y, z величины bi = b(t)ui(t). Тогда [10]

2

b(t) = a° =. (18) ^а1Ш((1) + А2Ш^) + АзШ 2(í)

В силу (12) подвижный и неподвижный годографы вектора b(t) таковы:

bn (t) = b(t)(u1(t)*1 + Ш2 (t) Э2 + Ш3 (tfa), (19)

bn(t) = b(t)(up(t) cos a(t)Í1 + Up(t) sin a(t)Í2 + ш?(t)Í3). (20)

Функция b(t) определена значением (18).

Движение тела будем воспроизводить качением без скольжения поверхностей с направляющими (19), (20).

Если истолкование движения тела проводится для решений уравнений (1), то для упрощения формулы (18) можно использовать интеграл энергии из (2). Тогда вместо (18) целесообразно применить формулу

b® = /Т? , f л, (*о - const). (21)

y/E + s(e • v (t))

Таким образом, в комплексном истолковании [11] предлагается использовать указанные выше методы.

2. Вид решения Д.Н. Горячева. Д.Н. Горячев [19] получил новое решение Эйлера-Пуассона в случае, когда главные моменты инерции тела удовлетворяют условиям

Ai = A 2 = 4Аз, (22)

а центр тяжести принадлежит главной оси эллипсоида инерции: e = (1, 0, 0). Позже С.А.Чаплыгин обобщил решение Д.Н.Горячева [18] и показал, что при нулевой постоянной интеграла площадей (k = 0) имеет место дополнительный первый интеграл уравнений Эйлера-Пуассона. Исследованию решения Д.Н. Го-рячева-С.А. Чаплыгина посвящены многочисленные работы (см.обзор [5]).

Положим в уравнениях (1), (2) e = (1, 0, 0), а главные моменты подчиним условиям (22). Тогда получим в безразмерных переменных [17]

[м [м Гм гт

р=\—Wi, q = \ —W2, r = \ —w3, T = .—t (23)

V s V s V s V A3

следующие уравнения

4p = 3qr, 4q = —3rp — v1, r = v2, (24)

Vi = rv2 — qv3, V2 = PV33 — rvi, V3 = qvi — pv2, (25)

где точкой обозначена производная по т.

Уравнения (24), (25) имеют первые интегралы

v2 + vl + v2 = 1, 4(pvi + qv2) + rv3 = 0,

1 (26) 2p2 + 2q2 + -r2 -г/i = E, r(p2 + q2) + pv3 = c0,

где E, co - произвольные постоянные.

Сведение задачи к квадратурам выполнил С.А.Чаплыгин [18]. Во втором соотношении постоянная интеграла площадей положена равной нулю, так как интеграл С.А.Чаплыгина (четвертое равенство из (26)) существует только в этом случае.

Для наглядности результатов рассмотрим частный случай решения Д.Н. Горячева. Положим в равенствах (26) Со = 0, Е = л/1 + 463. Тогда уравнения (24), (25) допускают решение Д.Н.Горячева [19], которое запишем в обозначениях [22]:

q2 = p2/3(b — p4/3), (27)

r2 = ^—(Vl + 4&V/3-2&2), (28)

^ = Т#У/3 - 2&У/3 - Ъл/ГТ463),

г/2 = 1 (УГ+4Яр2'* - Ъ2)^Ъ-р^), (29)

1/3 = —2л/Ъ^^Г+4^2/3 - 2б2,

^ = - рф)(р2/3^1 + 4&3 - 2&2)' (30)

где Ь > 0 (Ь - постоянный параметр). Введем новую переменную а: р = а3/2. Решение (27) - (30) примет вид [23]

р = а3/2, (31)

Я = \1 а(а2 - а2), г = 2а^2а-1а(а - а2), (32)

2а2

2 а1 2 2 V1 =-(2(7 — а2а — (Тг),

а2 1

2гт2 /-

и2 = —Ц2а-а2)\а2-а2, (33)

а2

. з ¡а — <Т2

где

^ = (34)

гг 2Ъ2

(71 = у/Ъ, а2 = ■ 35

VI + 4Ь3

Переменная а изменяется на отрезке

а2 < а < а1, (36)

который получен из требования действительности решения (31)-(34).

3. Истолкование движения тела в решении (27) — (30) методом Пу-

ансо. Подвижный годограф вектора угловой скорости определяется соотношениями (27), (28) из статьи [22]:

р2 + д2 = Ьр2/3, г2 = ^2/3(УГ+#у/3 - 2Ъ2). (37)

Введем обозначения

В силу (38) уравнения (37) примут вид

q2 = Р2/ЧРГ - Р4/% г2 = 3(^/3 _ (39)

Из (39) следует, что переменная p изменяется в двух промежутках, из которых в силу симметрии рассмотрим положительный (p > 0):

Р2 < p < pi- (40)

Очевидно, что q2(pi) = 0, r2(p2) = 0. Приведем уравнения к полиномиальному виду

(p2 + q2)3 = p\p2, (41)

, f r2 = СV2 + q2) (P2 + q2~ pTvT) • (42)

4\/± + 4b3

При r = const = 0 из уравнения (42) следует уравнение кривой Персея.

Подвижный годограф вектора угловой скорости - линия пересечения поверхности шестого порядка (41) и поверхности четвертого порядка (42). Для исследования кривой (41) введем полярные координаты: p = р cos y, q = р sin 7. Тогда из равенства (41) получим

P2(Y)= p2 cos y- (43)

Поверхность (42) является поверхностью вращения, меридиан которой описывается уравнением

b3 b3

, ° г2{р) = р2(р2 - , ° ). (44)

4V1 + 463 ' Vi + 463 V 7

Основные свойства подвижного годографа таковы: он состоит из двух замкнутых кривых (здесь рассматривается только часть, которая соответствует отрезку (40), плоскости q = 0 и r = 0 являются плоскостями симметрии). Движение конца вектора угловой скорости по подвижному годографу периодическое с периодом

vi

Т = J02 í da -■ (45)

V J ,/2a(a( - a2)(a - a2)

Запишем уравнения неподвижного годографа для решения (31)-(35) [23]:

6(7?

wc =--L{(T - а2)л/(т, (46)

Г2

^ = ^^<7(<7-<7з)(0-4-<т), (47)

(Г о

а = Щ\-+ (4g)

3^1 J (^4 - а)(а - a3)y/2(af - а1)(а - ai)

0"2

где

\о(Л 4- + /A л. (wH „ Ы^УЗ =р узaf + 1)

3,4 = ( ^ v4 + 9(TiJ' (75'6 =-щ7f-•

Используя соотношение

dwç _ (а2 - 3 а) у/(а3 - а)(а - о а) dwp 3(а - а8)(а7 - а)

где

ai

а7'8 54^

4(1 + 9af) ± \J324<т{2 + 99af + 16

можно построить меридиан поверхности вращения, параметрические уравнения которого приведены в (46), (47). На этой поверхности лежит неподвижный годограф.

dwt d2wt

Отметим, что при изменении а в промежутке (36) производные ——,

dip di^2

отрицательны.

Для изучения проекции неподвижного годографа на горизонтальную плоскость проследим за изменением в этой плоскости функций ip и а в зависимости от а. При изменении а от а2 до а1 шр увеличивается от шр(а2) до шр(а1), то есть проекция расположена между окружностями радиусов шр(а2), ш(а1).

Если через 9* обозначить угол между направлением радиуса шр и касательной к проекции в данной точке, отсчитываемый против хода часовой стрелки, то

/1 ipda, , ч , ч

tgc/* = —j—. Подставив сюда (47), (48), придем к выводу, что проекция нигде в dip

промежутке (36) не встречается с окружностями ip = const под прямым углом, а к граничным окружностям она подходит, касаясь их [23].

Выберем начальное значение а равным нулю: при а = а2 а = 0. С течением времени а возрастает. Так как при b > 0 корень а5 заключен между граничными значениями а2, ai, то в начальный момент разность а — a5j отрицательна. Поэтому угол а убывает до тех пор, пока переменная а не достигнет значения da

<75. После этого — > 0 и а возрастает до значения ско, которое получаем из (48), когда верхний предел равен аь На основе численного интегрирования в статье [23] показано: если параметр b удовлетворяет неравенству 0 < b < b* = 0.653182, то ao < 0 при b = b*, а0 = 0 и при b > b* а0 > 0. Таким образом, движение этого гироскопа при b = b* будет периодическим, а при b = b* - условно-периодическим.

Отметим, что функция ш2(а) не обращается в нуль на отрезке [а2, а1], так как функция (а — аз)(а4 — а) относительно переменной а принимает положительные значения при а G [а2,а1 ].

4. Модифицированный метод Пуансо. Рассмотрим первый подход модифицированного метода. Запишем векторное уравнение подвижного годографа. В силу (31), (32) получим

<*>п = 0"2/2 Э1 + V a(aï - °"2) э2 + с\/а(<7 - (72) э3, (50)

где

с = 2(7i д / — • (51)

V

Вектор b(i) = 6(i)w выберем таким образом

b(i) = (52)

Тогда из (50), (52) следует

1 Ô с

Ьп(^) = Э1 + -\!о\ - (72 э2 + -л/о- - (72 Э3, (53)

а » а

то есть компоненты 61,62, Ьэ вектора (53) имеют вид

1 /- с

61 = 1, 62 = -\/(7? - (72, 6з = — л/с - С2. (54)

а » а

Подвижный годограф Ьп(£) с координатами (54) является плоской кривой, лежащей в плоскости 61 = 1. Уравнение этой кривой определяется параметрическими уравнениями из (54) (второе и третье уравнения). Исключим из них переменную а:

[а2б2 + с2 а2(1 + 62)]2 = а2с4(1 + 62). (55)

Уравнение (55) в силу равенства (51) приведем к уравнению

а22 а22

62 .

которое с помощью замены 62 = —1=, где 62 - новая переменная, преобразуется

к уравнению четвертого порядка, описывающему овалы Кассини.

Если сравнить подвижный годограф вектора угловой скорости (уравнения (41), (42)) с годографом вектора b(i) (53), то можно сделать вывод о том, что годограф (53) имеет более простой аналитический вид (например, этот годограф лежит в плоскости). Для численного исследования (53) можно использовать параметрический метод, положив 62 = shu, где u - новая переменная. С учетом этого равенства из соотношений (54) получим

c2

б2 = —chu ■ (а\ — a2chu). (57)

Рассмотрим неподвижный годограф вектора b(t):

bH(í) = -J^(üJpcosa ■ ii + Wpsma i2 + • i3). (58)

На основании (46), (47) из (58) находим компоненты вектора b(t) в неподвижной системе координат:

Ье = —- д/(сг — <7з)(<74 — a) eos а, а 2а

Qa3 _

br¡ = —-\/(а - (Т3)((Т4 - a) sin а, (59)

а 2а

6af(a - а2)

b с =--,

о2о

где а(а) удовлетворяет уравнению (48).

Изучим меридиан поверхности вращения, на которой лежит конец вектора b(t). Исключая переменную а из соотношений (59), получим

2

bl (bz + со)

Í+ ь 2 = 1» (6°)

"о b0

где b2 = b2 + b2v и

4 /4 + 9(7? , 12 (А Г---18(7?

00 = ^У 60 = (72(7 + 36(7^ V 4 + = (72(7 + 36(7^) ' (61

Таким образом, меридианом является эллипс (60) с полуосями ао, Ьо из (61); центр эллипса находится на вертикальной оси на расстоянии со от неподвижной точки. Свойства угла а сохраняются, то есть они являются такими же, как в случае истолкования движения гироскопа Горячева прямым методом Пуан-со. Полученный здесь результат показывает, что кинематическое истолкование движения тела в решении Д.Н. Горячева с помощью модифицированного метода Пуансо имеет более наглядный вид. Действительно, качение без скольжения аксоида с направляющей линией (53), который является плоской кривой класса кривой Персея, по аксоиду с направляющей (58), который принадлежит эллипсоиду (60), дает достаточно наглядное представление о движении гироскопа Горячева. В прямом методе Пуансо подвижный годограф вектора угловой скорости - линия пересечения алгебраических поверхностей (41), (42), имеющих шестой и четвертый порядок, а неподвижный годограф вектора угловой скорости принадлежит поверхности (44), имеющей более высокий порядок.

5. Решение Д.Н. Горячева в эллиптических функциях времени. Углы Эйлера. Сведение задачи интегрирования уравнения (34) в функциях Яко-би выполнено в книге [5]. Запишем основные переменные, используя обозначения [5]:

0 /я ,— 1 — з?с1и4 V ёш; . . д = (63)

(1 + $2 ёи^)э/2

4кв1 , .

г =--т—-т— эи-г; си-и аиг>, (64)

1 + V

о / я .— к вш; си-и , .

= [(&;<1ц1" -1 -4<1ц8 (66)

-46э/281ёи2V - 45Э6э/2аи^],

(1 . -(б7)

-6э/2(1 -

где

1 + УТТ№ 2 1

51 = 263/2 > к = утГ7ттШ> у = тк{т-т0)- (68)

Модуль эллиптических функций в равенствах (62) - (67) равен к, где его значение указано в системе (68).

Переменная а(и) в силу (31) такова

а(ь) = , , 2 ■ (69)

1 + з^и2 V

Углы Эйлера найдем, подставив решение (33) в соотношения (6

! \ , 3 Iа ~ а2 / Ч 2а2 — (72(7 — <т?

(а) = агссов 4ах < —-, <р(<т) = arctg —--, (70)

V 2а2 (2а - а2)л/а2 - а2

I / \ 3 /7,- I ~ а2 (1(7 ,

2- (71)

СТ2

Для получения зависимости углов Эйлера (70), (71) от времени необходимо в указанные уравнения внести функцию (69).

Представляет интерес функциональная связь между а и ф. На основании равенства (10) и формул (31) - (33) получим

, / л/2[6а^а - (72(1 + ба®)] у/а - а2 , > tg {а-ф) =---=-. (72)

Соотношение (71) позволяет установить скорость прецессии относительно переменной а:

~ а1 V 2(72 г , „ --——-7====== • (73)

ЛО [(Т2 (1 + 8(7®) - 8(7(7®] ^/(<71 -а) ((71 + а)

а

Из (73) следует, что при a = 02 скорость прецессии равна нулю, при изменении a от о2 до ai скорость прецессии положительна (ф(о) - возрастает). При переходе через точку gi радикал — g изменяет знак на противоположный и угол Ф(о) убывает. Это происходит до того времени, пока a > 02. Если a = 02 скорость прецессии вновь обращается в нуль. Когда a возрастает от о2 до о1, ф{о) возрастает. Для анализа зависимостей 9(a) Ф(о) можно использовать равенства

(70).

Равенства (69)-(71) позволяют провести исследование оси динамической симметрии гироскопа Горячева в неподвижном пространстве. Для этой цели запишем значение единичного вектора в базисе i 1, Î2, i3

эз(о-) = ^/1 - v"1{g) sinp(a)ii - sj 1 - vI(g) cos ф(я)12 + z/3(a)i3. Обозначим через w1 (a), w2(a), w3(a) - компоненты вектора э3(о):

— и2(ст)итф(ст), w2(ст)= у 1 — и2(ст)<СО$,ф(ст), w3(ст) =

В силу равенства (65) переменная из является периодической функцией времени; то есть проекция вектора эз на вектор вертикали 1з = V также является периодической функцией времени. Для дальнейшего исследования свойства функции э3(а(Ъ)) достаточно рассмотреть проекцию годографа э3(ст(Ь)) на горизонтальную плоскость (О^п)

w\(ст) + w2 (ст) = 1 — V2 (ст),

а также воспользоваться свойствами функции ф(ст), которые описаны выше. Таким образом, получим общие свойства апекса в решении Д.Н. Горячева.

Зависимости переменных (46) - (48) от функций т устанавливаются с помощью (69).

6. О движении эллипсоида инерции в неподвижном пространстве.

Положим, что конец вектора Ь(ст) принадлежит эллипсоиду инерции тела. То есть координаты Ь^ этого вектора

Ьп (ст) = Ь1Э1 + Ь2 Э2 + Ьз эз (74)

удовлетворяют уравнению

4(Ь2 + Ь2)+ Ь2 = ст2, (75)

где стО - постоянная. При записи (75) использованы условия А1 = А2 = 4Аз и выполнен переход к безразмерным параметрам и переменным. Используя равенство Ь(ст) = Ь(ст)и(ст) и решение (31)-(33), из (75) получим

Ъ{о) = / 1X0 (76)

у/ст(2ст — ст2)

где ^о - новая постоянная, которую положим равной единице. Тогда из (31), (32), (74), (76) следует

Ьп(о-) = -^а- ст2 + аА7! ~ °"2 32 + ~ °"2 Эз)' (77)

То есть

Ь = . Ь = Ь = (78)

у2ст — ст 2 V 2ст — ст 2 у2ст — ст 2

Исключим переменную ст из первого и третьего уравнений (78):

ст2(Ь2 — с2)2 + с2Ь2(2Ь2 — с2) = 0. (79)

Таким образом, подвижный годограф вектора Ь(ст) - линия пересечения эллипсоида (75) и цилиндрической поверхности (79), направляющей линией которой является кривая четвертого порядка, а образующие параллельны второй координатной оси.

Рассмотрим неподвижный годограф вектора Ь(ст):

Ьн (ст) = Ь£ (ст)11 + Ьп (ст)12 + Ьс (ст)1з. (80)

На основании формул (46), (47), (76) определим компоненты вектора (80)

к(а) =-/о 1 л/(^-^з)(ст4-ст)сова(ст), (81)

0"2У 2ст — ст 2

6(7

Ьг,(а) =- 1 л/(ст - (73)((74 - ст) 8та(ст), (82)

0"2У 2ст — ст2

К < \ 6ст4(ст — ст2)

=--/0 (83)

ст^ 2ст — ст 2

где а(ст) определяется интегральной зависимостью (48).

Из соотношений (81)-(83) найдем уравнение меридиана, на котором лежит конец вектора (80):

ст2Ь2 [ст2(Ь2р + Ь2) — 4ст2] + 3ст6 [ст2 — ст2(Ь2р + Ь2)]2 = 0. (84)

Уравнение (84) описывает алгебраическую кривую четвертого порядка. Следует отметить, что уравнение меридиана (84) проще уравнения меридиана поверхности вращения, на которой лежит неподвижный годограф вектора угловой скорости, которое можно получить из уравнений(46), (47):

8ст2 [16ш2 + 81ст6(ш2р + ш2)]2 — 64ст2ст2 [ст2ст2 + 8(ш2р + Ш2)] X

X [16ш2 + 81ст6(ш2 + ш2)] — 81ст 1 0 [ст2ст2 + 8(ш2 + ш2)] = 0.

Движение эллипсоида инерции тела в неподвижном пространстве воспроизводится путем качения без скольжения годографа (77) по годографу (80) с учетом (81)-(83).

Заключение. В статье изучены аналитические свойства годографов вектора угловой скорости и вектора, коллинеарного вектору угловой скорости. Рассмотрен комплексный подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, предложенный Г.В.Горром в статье [7] и использованный в статьях [10, 11, 12].

1. Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps / L. Poinsot // J. Math. Pures et Appl. -1851. - 16. - P. 9-130.

2. Суслов Г.К. Теоретическая механика / Г.К. Суслов. - М.: Гостехиздат. - 1946. - 655 с.

3. Горр Г. В. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние / Г.В. Горр, Л.В. Кудряшова, Л.А. Степанова. - Киев: Наук. думка, 1978. - 296 с.

4. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку / П.В. Харламов // Прикл. математика и механика. - 1964. - 28, вып. 3. - С. 502-507.

5. Гашененко И.Н. Классические задачи динамики твердого тела / И.Н. Гашененко, Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2012. - 401 с.

6. Горр Г.В. Движение гиростата / Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2013. -408 с.

7. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр // Механика твердого тела. - 2012. -Вып. 42. - С. 26-36.

8. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку / В.А. Стеклов // Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания. - 1899. - 10, вып. 1. - С. 1-3.

9. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона / А.И. Докшевич. - Киев: Наук. думка, 1992. - 168 с.

10. Горр Г.В. О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр, А.И. Синенко // Прикл. математика и механика. - 2014. - 20, вып. 3. - С. 334-345.

11. Горр Г.В. Применение параметров Родрига-Гамильтона при истолковании движения твердого тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр, А.М. Ковалев // Прикл. математика и механика. - 2015. - 79, вып. 5. - С. 635-643.

12. Горр Г.В. О движении тяжелого твердого тела в двух частных случаях решения С.В. Ковалевской / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Нелинейная динамика. - 2018. - 14, № 1. -С. 123-138.

13. Горр Г.В. Об одном случае движения тяжелого твердого тела в решении С.В. Ковалевской / Г.В. Горр, А.Я. Савченко // Механика твердого тела. - 1970. - Вып. 2. - С. 66-73.

14. Горр Г.В. Об одном периодическом движении в решении С.В. Ковалевской / Г.В. Горр, А.Я. Савченко // Механика твердого тела. - 1971. - Вып. 3. - С. 64-69.

15. Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки / С.В. Ковалевская // В кн.: Ковалевская С.В. Научные работы. - М.: Изд-во АН СССР, 1948. -С. 153-220.

16. Горр Г.В. Кинематическое истолкование движения тела в частном случае решения Горячева-Чаплыгина / Г.В. Горр, Д.А. Данилюк, Д.А. Ткаченко// Журнал теоретической и прикладной механики. - 2017. - №3-4 (60-61). - С. 19-32.

17. Горр Г.В. Об одном периодическом движении гиростата Горячева-Чаплыгина / Г.В. Горр, Г.Д. Левицкая // Механика твердого тела. - 1971. - Вып. 3. - С. 101-106.

18. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке / С.А. Чаплыгин// Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания. - 1901. - 10, вып. 2.

- С. 32-34.

19. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Л = Б = 40 / Д.Н. Горячев // Мат. сборник Кружка любителей мат. наук. - 1900. - 21, вып. 3. - С. 431-438.

20. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

21. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела / В.Н. Кошляков. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. - 176 с.

22. Горр Г.В. Об одном движении тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина / Г.В. Горр // Прикл. математика и механика. - 1970. - 34, вып. 6. - С. 1139-1143.

23. Горр Г.В. Подвижный годограф вектора угловой скорости решения Д.Н. Горячева / Г.В. Горр // Механика твердого тела. - 1971. - Вып. 3. - С. 95-100.

D.A. Daniljuk

An integrated approach to the interpretation of D.N. Goryachev solutions.

For decision D.N. Goryachev the motion of a heavy rigid body was investigated in the article. The moving and fixed hodographs with angular velocity were studied. An integrated approach for a dynamically symmetric rigid body and a modified Poinsot method were used. Euler angles were found to the investigated solution. The dependences of the main values on the Jacobi elliptic functions were indicated.

Keywords: solution of Goryachev, interpretation of the movement, integrated approach, Euler angles.

ГУ "Ин-т прикл. математики и механики", Донецк Получено 11.03.2019

[email protected]