ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3-4 (64-65) / 2018.

УДК 53.38; 53.39

©2018. Г.В. Горр, Д.Н. Ткаченко

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ

Рассмотрена задача о движении твердого тела с неподвижной точкой в потенциальном силовом поле. Указан новый случай трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения. На основании комплексного подхода в истолковании движения тела исследованы свойства углов Эйлера, параметров Родрига-Гамильтона, годографов угловой скорости в методе Пуансо.

Ключевые слова: потенциальное поле сил, углы Эйлера, параметры Родрига-Гамильтона, метод Пуансо.

Введение. Наиболее общие подходы в исследовании уравнений движения твердого тела в потенциальном поле сил предложены Д.Н. Горячевым [1, 2]. Анализ результатов, полученных в этой задаче отражен в монографии А.В. Борисова и И.С. Мамаева [3]. Поскольку уравнения движения тела в потенциальном поле сил являются обобщениями классических уравнений динамики твердого тела (в частности, уравнений Эйлера-Пуассона и уравнений Кирхгофа-Пуассона), то проблемы интегрирования уравнений движения остаются прежними. То есть, в силу выводов С.Л.Зиглина [4], В.В.Козлова и Д.А. Онищенко [5], уравнения движения тела в потенциальном поле сил в общем случае неинтегрируемы в квадратурах. Хотя в отдельных случаях (см., например, статьи Д.Н.Горячева [1] и Х.М. Яхьи [6, 7]) можно найти дополнительный интеграл, что теоретически позволяет выполнить интегрирование уравнений в квадратурах.

Описывая состояние и перспективы развития классических задач динамики твердого тела, П.В.Харламов [8] отмечал, что в силу неинтегрируемости в общем случае уравнений в этих задачах, актуальным становится исследование частных решений уравнений движения. Для этой цели в динамике твердого тела разработан метод инвариантных соотношений (ИС) [9, 10] особенности которых изучены в [11]. К настоящему времени построены многочисленные частные решения в классических и обобщенных задачах динамики (см. обзоры [12, 13, 14]). Это позволило с помощью теоремы Л. Пуансо [15] и уравнений П.В. Харламова [16] получить наглядное представление о свойствах движения твердого тела и гиростата. В статье [17] предложен модифицированный метод Пуансо, в основе которого лежит кинематическое представление движения тела с помощью вектора, коллинеарного вектору угловой скорости.

В данной статье построен новый класс решений уравнений движения тела в потенциальном поле сил, характеризующийся тремя нелинейными ИС. С помощью метода решения обратных задач динамики найдена силовая функция

и условия на главные моменты инерции, которые зависят от натурального показателя степени заданных ИС. Интересно отметить, что из этих условий при фиксированном значении показателя следует либо условие С.В.Ковалевской, либо условие Д.Н. Горячева-С.А. Чаплыгина, а при произвольном натуральном значении они являются новыми.

Для исследуемых ИС задача интегрирования уравнений движения сведена к квадратурам. На основе найденного решения определены углы Эйлера, параметры Родрига-Гамильтона, подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости. Полученные результаты могут найти применение в приложениях механики твердого тела [18, 19].

1. Постановка задачи. Построение решения. Рассмотрим уравнения движения твердого тела в потенциальном поле сил:

л ■ /Л л \ , 9UdU(Vi ,V2,V3)

Aiuji = (A2 - А3)ш2ш3 + u3----u2---, (1

dv2 0V3

л • /А А Л , ди ("1,и2,и3) ди (их ,и2,и3)

А2ш2 = (А-3 - Аг)ш3ш1 + их-—--и3-—-, (2)

л • (А Л \ , ди (иЬи2,из) ди (их ,и2,из)

А-3ш3 = (Ах - А2)шхш2 + и2----их---, (3

дих ди2

йх = Шз^2 - ^2^3, V2 = Шхиз - Шзих, йз = Ш2^Х - Шх^2. (4)

Первые интегралы уравнений (1) —(4) таковы

и2 + и2 + и2 = 1,

АхШхих + А2Ш2и2 + АзШзиз = к, (5)

Ахш2 + А2ш2 + Азш2 - 2и(их,и2, из) = 2Е,

где к и Е - произвольные постоянные. В формулах (1) - (5) введены обозначения: UJí (г = 1,3) - компоненты угловой скорости ш твердого тела, имеющего неподвижную точку; щ (г = 1,3) — компоненты единичного вектора V оси симметрии силового поля; А± (г = 1,3) — главные моменты инерции тела; и(их,и2,и3) -силовая функция.

Следуя статье [20], для уравнений (1)-(4) зададим три ИС

n + 2

= + (6) из = Vi v3n,

где ц1,^2,в1,в2 - постоянные параметры, п - натуральное число или нуль. Поставим обратную задачу механики: найти условия существования ИС (6) системы (1)-(4). Для этой цели с помощью третьего соотношения системы (5) построим функцию и(^1,^2В силу (6) получим следующее выражение для силовой функции

2

2n 1 т

vmiPivi + M + хЫ\ + - Е.

n + 2

Если в (7) п = 0, то силовая функция содержит сингулярные члены. Аналогичные случаи имели место и в работах [1, 7]. Физическую интерпретацию потенциальной функции с сингулярными членами в квантовой механике изучали И.В.Комаров и В.Б.Кузнецов [21, 22].

Подставим Шг (г = 1,3) из (6) в уравнения Пуассона из (4):

п( 2(п + 1) ч

Щ = V п + 2 ^11У2 ~ №)'

„/ 2{п +1) ч (8)

и'2 = V п + 2 ^1 )'

"3 = - /З^).

Путем несложных вычислений можно показать, что уравнения (8) допускают

ИС

v2 + v2 + v2 = 1,

^^J^ln-in + lrt].

(9)

Интеграл момента количества движения из системы (5) на ИС (6), (9) будет тождеством при выполнении равенств

A 2 = Al = Аз (n + 2). (10)

Интерес условий (10) состоит в том, что при n = 0 они являются условиями С.В.Ковалевской, при n = 2 -условиями Д.Н.Горячева-С.А.Чаплыгина, а при произвольном натуральном n они описывают новый класс гироскопов.

Примем в качестве независимой переменной третью компоненту вектора v . Из равенств (9) определим v1(v3), v2(v3):

Mvs) = At2X2 ¡n + 2)[fJiMn - {n + 1)г/з2) "

=-- (n + 1)4) + fhVF(u3)].

V2X0(n + 2)

Здесь х2 = в2 + и

^ V) = + е^З + £0,

£2 = 1и(и + 1), £1 = 2ц\и(и + 1) - хЫ(п + 2)2, (12)

£о = хЫ(и + 2)2 - и2»2.

Если в уравнения (1)—(3) подставить величины (6) и воспользоваться уравнениями (8), инвариантными соотношениями (9), то при к = 0 получим тождества по переменной и3 . Для получения зависимостей щ{Ь) (г = 1,3) обратимся к третьему уравнению системы (8). В силу очевидного тождества

(р2»1 - /З^з)2 + (в1 VI + в2V2)2 = Хо(1 - 4)

и второго соотношения из (9) найдем

Подставим значение (13) в третье уравнение системы (8). Тогда получим, что функция Vз(t) определяется путем обращения интеграла

V'3

Г ** 1 (*-*>), (М)

4 )

где ^ - начальное значение t, а v30 - постоянная. Для получения функций сОг(^) ('- = 1, 3), необходимо в формулах (6) учесть и3(1). Таким образом, решение уравнений (1)-(4) построено, оно имеет место при наличии условий (10). 2. Исследование интеграла (14).

2.1. Случай £о = 0 Положим в (14) £о = 0. Тогда, в силу равенств (12), х2^2(и + 2)2 - и2ц."2 = 0. Следовательно,

V'3

[ Л* _ +

V

\ ЛГ^? п +2

30) ^ 0 3 (15)

2 _ п{п + 2) (п + I)2'

то есть переменная v3 е [—Ао, Л0], где v3 = 0.

Для того, чтобы интеграл из (15) вычислялся в элементарных функциях от v3, положим и = 2к + 1 (к е N). Тогда из (15) найдем

vз 2

^ - + (16)

I с^Л 2Л + з

V 3 )

V3

С помощью замены А0 — = г2 равенство (16) приведем к виду

г

[ йг 2^1 (к +1)

(А2 — г2)^1 2к + 3

(£ — ¿о). (17)

Интеграл в левой части (17) вычисляется в элементарных функциях. Приведем результат для случая к = 0 (п = 1). Используя вышеприведенную замену, получим

2 3е№ 2^1(1 — ¿о)

Щ = 1--—7То) Л V • (18)

3 (е№ + 1)2' Уз

Согласно соотношениям (18), начальное значение р-3 принято равным ——.

При í — те переменная Vз — 0, то есть решение (6) при п = 1 характеризуется тремя линейными ИС:

, а

= —+ Р1

= + /?2М2,

3

^3 = ^1^3

и описывает в силу (11), (19) асимптотическое к покою движение тела. Распределение масс этого тела удовлетворяет условиям

¿2 = ¿1 = 3^3.

Несмотря на то, что интеграл в левой части равенства (17) в общем случае представляется в достаточно сложной форме, характер движения тела описывается достаточно просто. Действительно, при г — А0 (и3 — 0) интеграл в (17) расходится. На основании соотношений (6), (11) приходим к выводу о том, что при Ь — те (^3 — 0) тело асимптотически стремится к состоянию покоя. Приведем результат исследования интеграла (17) в случае к = 1 (п = 4):

1п Ло + -г + = 16А^-£0)

Ло — -г Ад — г2 5

Найти г(£) из этого уравнения в элементарных функциях нельзя.

2.2. Случай п = 2к (к 6 N). Рассмотрим уравнение Г(и3) = 0. В силу (12) имеем

^з4 — £1VI — £0 = 0. (20)

Вычислим дискриминант уравнения (20)

О = Х0^2(п + 2)2 [4^2(п + 1) + Х0^2(п + 2)2]. (21)

Из условия (21) следует, что уравнение (20) по имеет действительные корни. Будем отдельно рассматривать случаи

1. п2^2 <х0^2(п + 2)2 : ГЫ = —£2(V22 — ^^ + «2), (22)

2.п2^2 > хЫ(п + 2)2 : ^(и3) = -еЦи2 - /З22)(и23 - а2). (23)

В формулах (22), (23) через в2 и в2,а2 обозначены действительные корни уравнения (20) по V2. В случае (22) переменная и3 изменяется на отрезке [—в1,в1] (в1 > 0); в случае (23) переменная v3 изменяется на двух отрезках, из которых будем рассматривать [а2,в2] (а2 > 0,в2 > 0).

Запишем интегральное соотношение (14) при п = 2к и ^V) из (23): 1/3 2

Г ^ + (24)

Выполним замену переменных

4 = + + (25)

В силу (25) из (24) имеем

[ dtp _ + 1) [а2 + р2 + (а2 - (З2) sin (к + 1)2*

(t - to). (26)

V0

Из соотношения (24) при а2 = 0 следует, что Vз периодически изменяется на отрезке [а2,в2]• Поэтому в качестве начального значения примем величину р = 0 ( (и32)о = (а2 + в|)/2 )• Запишем результат интегрирования при к = = 1 (п = 2):

(а2 + в^т 3^1 а2в2и ,, ш = 2ахсЛ%-^ , „-о^-) т =---27

Для получения зависимости Vз(t) необходимо подставить в (25) р(Ь) из (27). Дальнейшее построение решения получим с помощью формул (6), (11). Из (6), (11), (25), (27) следует, что данное решение является периодическим. В силу (10) и принятого условия к = 1 распределение масс в теле удовлетворяет условиям Горячева-Чаплыгина. При к > 1 решение тоже периодическое, что следует из формул (6), (11), (26).

Формула (27) при а2 = 0 (е0 = 0) теряет смысл. Однако в этом случае можно использовать формулу (26). Полагая, что при t = ^ переменная р = 0, из (26) найдем

^ = 2аГС^2Т^)' = (28)

Из формулы (28) при I —> оо следует, что р —> то есть переменная г/3 —> 0 (см. формулу (25)). Движение тела носит асимптотический характер: при t ^ оо со^ —У 0 = 1,3). Аналогичное свойство имеет место и при к £ N (к ф 1).

Рассмотрим случай (22). Положим к = 1 (п = 2). Тогда из формулы (14) получим

V 2

Г --%*-*>). (29)

х3 V (°) 3

из

Переменная у-3 £ [—в1, в1 (полагаем Д > 0 ). Выполним замену переменных:

+ = + (30)

Из равенства (30) следует

2 _ $ - а\г2 в\

В силу (30) новая переменная г £ [0, —1 . Начальное значение г выберем так:

а1

^(0) = 0. Тогда начальное значение у-3 можно считать равным вь Подставляя функцию (31) в левую часть формулы (29) и выполняя интегрирование, получим

= Ф = (32)

«1(1 + е£(г>) 2

в\

Свойства функции г(1) из (32) очевидны: г(0) = 0, при £ —>• оо г —> —.

а1

Функция ^з(Ь) имеет также асимптотический характер: при Ь — ж ь*з(Ь) — 0. Так как при п = 2 соотношения (6) принимают вид

= +/З1Ц2),

<¿2 = ^(--у + ^2^2 ), (33)

^3 = Ц1 у\,

то Шг (г = 1,3) являются ИС второго порядка. Если í —>■ оо , то из (11), (32), (33) следует, что ш^Ь) — 0. Это означает, что движение тела обладает свойством асимптотичности к состоянию покоя. Следует отметить, что в силу (10) и п = 2 твердое тело представляет собой гироскоп Горячева-Чаплыгина. Таким образом, в этом случае имеем два варианта движения тела (см. п. 2.2).

2.3. Случай е0 = 0 п = 1. Пусть в формуле (14) п = 1. Тогда

vз

/т^Н«-*»-

из

Интеграл (34) будем рассматривать в двух случаях

1.^2 < 9x2^2 : РЫ = 4^2(в? - 4)(У23 + а?), (35)

2.^2 > 9x0^2 : РЫ = 4^1(в22 - ^2)(^2 - а2)

где

& = Р! = щ (е1 + ^21+4е0е1

а22

а=

^л/е^Т^еоЩ ~ £1) ■

Здесь в силу (12) и п = 1:

£2 = 2^1, £1 = 4^1 - 9хо^2, £о = 9x0^2 - 14.

Применяя формулы (35), (36) из (14) получим два варианта:

,(0)

^з

(36)

(37)

(38)

"3

dvз

I) 3

(39)

Используя известный метод исследования интегралов Лежандра (38), (39), найдем в случае (38):

Vз(t) = в1сп(к*,Т1),

к & у/^+Щ'

(40)

в случае (39):

П =---(г - го);

Vз(t) = в2ап(к*,Т2),

у/&2 ~ «2

к* =

в2

(41)

Т"2 = —д—- ¿О),

где полагаем ц1 > 0, в2 > 0. Таким образом, зависимости определяются

соотношениями (40), (41), где сп(к*,Т1), ёп(к*,Т2) - эллиптические функции

3

3

Якоби, имеющие периодический характер. В случае (40) период функции ^э(^) равен

7Г 2

Г, = —А', = / » , (42)

ViVaf + ef 7 V1 - kf sin2 ж

а в случае (41) период функции v3(t) равен

7Г 2

Г = ^ к, = / (43)

2 L4lh' 2 У л/l - (fc*)2 sin2 ж'

В случае п = 1 соотношения (6) имеют вид (19), где на основании формул (11) функции ^1(^3) и vf(v3) равны значениям

1

= --a IPM1 ~ 2г/з2) " Ih VH^)], (44)

3^2X5

1

= тгтЫЫ! - 2v32) + А(45)

В равенствах (44), (45) функция ^(^э) может принимать значения из (35), (36), которые влияют на структуру функций (44), (45). Запишем их соответственно для вариантов (40), (41):

У^Ы = \/а[7^8п(к*,т1)<1п(к*,т1), (46)

/РЫ = 2^{02 - а22)8п(к*,т2)сп(к*,т2). (47)

Функции найдем из (19) с учетом вариантов (40), (41) и выражений (46),

(47). Таким образом, решение (19), (44), (45) в случае (40), (46) имеет период Т\, в случае (41), (47) оно имеет период 2Т2, где значения Т\, Т2 указаны в формулах (42), (43). Решения с линейными ИС в динамике твердого тела рассматривались С.А.Чаплыгиным, П.В.Харламовым, Х. Яхьей (см. обзоры [13, 14]). Однако случай п = 1 (А2 = А\ = ЗАэ) ими не изучался.

3. Углы Эйлера. Параметры Родрига—Гамильтона. Для нахождения углов Эйлера используем известные формулы (см., например, [23]), записанные в векторном виде:

9 = агссов^- Э3), (р = агс!^ 91,

V ■ Э2

й-ф (их ээ) ■ (VX ээ) (48)

(1т (их э3)2

где Эг (1) (г = 1,3)— единичные векторы подвижной системы координат. Используя соотношения (6), (11), (12) и переход к дифференцированию в третьей

формуле из (48) по независимой переменной v-¿ с помощью (14), из (48) получим

MiAIn -(n + lWl- A/FR)

ВЫ = «о». ,,„ „М = «к*- _ (.„ + 1)>a +/¡¡vmr

Ф^з) = rn j

v^dvs

(49)

(50)

(o) v3

Выпишем параметры Родрига-Гамильтона [23] как функции v-¿ :

т / ч ^(vs) Ф(из) + <p(vs) Ао(^з) = COS - cos---,

Ai(z/3) = sin м cos ÍM^I,

т / ч • ^э) . Ф^з) - ^(vs) А2(^з) = Sin —sin---,

Аз(г/з) = cos М sin М^з) _

Интерес формулы для функции ^(v3) из (49) состоит в том, что при ео = 0 можно указать явный вид этой функции

Í>{vз) = -arctg\Jn{n + 2) - (п + l)2z/f + ф0, (51)

где фо - постоянная, n Е N. Важно, что данный результат имеет место при ео = 0 для произвольных натуральных значений n. Исследование интеграла (14) выполнено для нечетных n. В частности, для n = 1 получены соотношения (18). Подставим значение v2 из (18) в формулу (51)

J?Jew - 1)

m = -arctg 2{eW + 1) + '0o, (52)

где w указано в (18). При t ы<х> угол прецессии (52) стремится к значению

0о = агй^—, (53)

то есть (53) показывает предельное значение ф(и3). Для получения зависимостей углов в и р , а также параметров Родрига-Гамильтона от необходимо V2 из формулы (18) подставить в соотношения (49), (50).

Рассмотрим интеграл из (49) при ео = 0, п = 1. Так как в случае (40) имеет место формула (46), то для функции ф(и3 (т})) из (49) получим

Т1

Ргк* Г сп2(й*,т1) • (1т1

=-—] тыщщыгу (и>

о

По аналогии с (54) в случае (41) имеем

Т2 2 1 [ ёп2(к*,Г2) ■ йТ2

В данных вариантах для получения свойств углов Эйлера 9, ф и параметров Родрига-Гамильтона необходимо воспользоваться соотношениями (40), (41), (46), (47), (54), (55).

В случае ео = 0 интеграл из (49) не представляется в виде элементарных функций переменной ^э, следовательно, и переменной Ь. Например, когда п = 2 имеем два варианта представления переменной ^э: первый вариант описывается соотношениями (25), (27), второй вариант - (31), (32). Функция ф(^э) в первом из них такова

2 ,

1

3 7 (1 ( ^ <Ф'

V.

3

где vэ(t) в силу (25), (27) имеет периодический характер. Следовательно, функция ф(Ь) = Ь0Ь + х(Ь), где Ь0 - ее среднее значение, х(Ь) - периодическая функция Ь. То есть функция ф(Ь) имеет условно периодический характер. Для варианта (31), (32) получим следующее представление

vз

1>Ы = -1 I ^

3/

v3}

В силу соотношений (31), (32) при Ь данная функция стремится к конеч-

ному пределу.

4. Уравнения неподвижного годографа угловой скорости.

Для применения теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела, имеющего неподвижную точку, используются уравнения неподвижного годографа, указанные П.В.Харламовым [16]. Данные уравнения получены в цилиндрической системе координат (р, (, а). Если динамические уравнения (1)-(3) и уравнения Пуассона (4) проинтегрированы, то есть получены функции

ш = Шх(Ь) Э1 Э2 +Шэ(Ь) Ээ, (56)

V = VI(Ь) Э1 +Р2(Ь) Э2 +Vэ(i) Ээ, (57)

то для компонент вектора ш в неподвижной системе координат с единичными

векторами ¿1, ¿2, iэ = V имеют место уравнения [16]:

э

ш^(Ь) = шр(Ь)соб а(Ь), шп(Ь) = шр(Ь)Бта(Ь), ш^(Ь) = ^ шг(Ь)иг(Ь),

г=1

ш%1) = £ ш2(Ь) - ш2(Ь), (58)

г=1

то ^

В статье [17] доказана более простая формула для полярного угла:

аф

поскольку с учетом формулы для —из (48) из равенства (59) получим г

^ 0 У Ит) х э3)2 й э3 -М*) х 1/(4)) ;

го

Следовательно, в отличие от а(Ь) из (58), выражения для а(Ь) из (60) не содержат производной ш.

Найдем уравнения неподвижного годографа для решения (6), (11). В качестве вспомогательной функции опять примем Vэ. Подставим значения (6), (11) в формулы для ш£, ш2р из (58) и в формулу (60):

-с(-з) = И1П+;3 , (61)

V 2(п-1)

= + 1)4 + + 1)(» + 2>з + ео1, (62)

V3

22

. . I' v2dvэ ш иэ[(п + — (п + 2)] . .

=У ¡гтфтщ+ТШГ +

^(0)

В дальнейшем будет использована формула

V3

*Ы = -1*1 [ С(г/3)^3 , (64)

V(0) Vз

С^э) = —^2(п + 2)(п + 1)2^ — 2(п + 1^2 + (п + 2)ео, Н (vэ) = —^2(п + 1)М + 2^1 (п + 1)(п + 2^ + ео.

Интеграл (64) получен из формулы П.В.Харламова (последняя формула из системы (58)). Для получения зависимости компонент неподвижного годографа от времени необходимо рассматривать интегральное соотношение (14). Отметим, что формула (63) значительно проще формулы (64). В случае е0 = 0 из (63) получим

(п + 2)

а(и3) = аг<^ ' + а0. (66)

д/п(п + 2) — (п + 1)2 щ

Это же значение для а(^3) следует и из (64), (65), однако после трудоемких вычислений интеграла (64), что показывает преимущество использования формул (60). Переменная и3 изменяется на отрезке:

^э €

п(п + 2) п(п + 2) п+1 ' п+1

(67)

Ранее (п. 2) наиболее полное исследование зависимости из из (15) проведено для случая п = 2к + 1. Например, при к = 0 имеют место формулы (18). В общем варианте, который характеризуется нечетными п, показан асимптотический характер изменения и3(Ь) : при Ь ыте и3 ы 0.

Запишем функции (61), (62) при е0 = 0, п = 2к + 1:

2щ{к + 1) 2{к+1)

2/Г+~3 '

2 (68)

2/ \ 4^1 (к + 1)г0, , о П , 21 2к(2к+1)

= (2к + З)2 ^ ~ ( )г/3^3

Из формул (68) следует, что проекция неподвижного годографа угловой скорости на горизонтальную плоскость является кривой, заключенной в окружности.

у/(2к + 1)(2 к + 3)

Принимая в качестве начального значения и3 величину -—---,

2(к + 1)

получим, что, так как при Ь ы<х> ы 0, то при Ь ы<х> и Шр ы 0. Функция ШСпри и-3 ы 0 также стремится к нулевому значению. Функция а(^) при и-3 ы 0 стремится к значению:

2к + 3

ао+атсЬЧйгг-

Таким образом, в случае ео = 0 движение тела носит асимптотический характер: при Ь ы <х> оно стремится к состоянию покоя. При этом проекция неподвижного годографа не является спиралевидной кривой.

Если п = 1 и ео = 0, то в силу (40), (41) функции описываются периодическими (эллиптическими) функциями Ь. На основании соотношений (61)-(63) приходим к выводу о том, что движение тела, согласно [13], можно отнести к а-условно-периодическому движению.

Исследование движения тела в общем случае, которое может быть проведено с помощью формул (61)-(65), представляет собой самостоятельную задачу. В данной статье они рассмотрены в рамках комплексного подхода изучения свойств движения тела в потенциальном поле сил, описываемого ИС (6).

Сходимость интеграла из системы (58) для более общего класса ИС, чем ИС (6) уравнений (1)-(4) в случае асимптотического движения тела к состоянию покоя доказана в книге [24] и в статье [25].

1. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела У Д.Н. Горячев. - Варшава, 1910. - 62 с.

2. Горячев Д.Н. Новые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки У Д.Н. Горячев. - Варшав. унив. изв., 1915. Кн. 3. - С. 1-11.

3. Борисов А.В. Динамика твердого тела У А.В. Борисов, И.С. Мамаев. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 384 с.

4. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела У С.Л. Зиглин ^ Тр. Москов. мат. о-ва. - 1980. - № 41. -С. 287-303.

5. Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа У В.В. Козлов, Д.А. Онищенко УУ Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 266, № 6. - С. 1298-1300.

6. Yehia H. M. Transformations of mechanical systems with cyclic coordinates and new in-tegrable problems У H.M. Yehia ^ J. Phys. A.: Math. Con. - 2001, № 34. - P. 11167-11183.

7. Yehia H.M. New solvable problems in the dynamics of a rigid body about a fixed point in a potential field У H.M. Yehia ^ J. Mechanics Research Communications. - 2014, № 57. -P. 44-48.

8. Харламов П.В. Современное состояние и перспективы развития классических задач динамики твердого тела У П.В. Харламов УУ Механика твердого тела. - 2000. - Вып. 30. -С. 1-12.

9. Леви-Чивита Т. Курс теоретической механики. В 2-х т. У Т. Леви-Чивита, У. Амальди. -М.: Изд-во иностр. лит., 1951. - Т. 2, ч. 2. - 555 с.

10. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений У П.В. Харламов УУ Механика твердого тела. - 1974. - Вып. 6. - С. 15-24.

11. Горр Г.В. Инвариантные соотношения уравнений динамики твердого тела (теория, результаты, комментарии) У Г.В. Горр. - М., Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2017. - 424 с.

12. Горр Г.В. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние У Г.В. Горр, Л.В. Кудряшова, Л.А. Степанова. - Киев: Наук. думка, 1978. - 296 с.

13. Гашененко И.Н. Классические задачи динамики твердого тела У И.Н. Гашененко, Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2012. - 400 с.

14. Горр Г.В. Движение гиростата У Г.В. Горр, A.M. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2013. -408 с.

15. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps У L. Poinsot ^ J. Math. Pures et Appl. - 1851. - № 16. - P. 289-336.

16. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку У П.В. Харламов ^ Прикл. математика и механика. - 1964. - № 28, вып. 3. -С. 502-507.

17. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой У Г.В. Горр УУ Механика твердого тела. - 2012. -Вып. 42. - С. 26-36.

18. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела У В.Н. Кошляков. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. - 176 с.

19. Челноков Ю.Н. К теории гирогоризонкомпаса в параметрах Родрига-Гамильтона У

Ю.Н. Челноков // Прикл. механика. - 1984. - Т. 20, № 1. - С. 111-116.

20. Горр Г.В. Об одном классе решений уравнений динамики твердого тела под действием потенциальных и гироскопических сил / Г.В. Горр // Прикл. математика и механика. -2018. - Т. 82, вып. 5. - С. 547-558.

21. Комаров И.В. Обобщенный гиростат Горячева-Чаплыгина в квантовой механике / И.В. Комаров, В.Б. Кузнецов // Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. Записки научных семинаров ЛОМИ НАН СССР. - 1987. - № 9. - С. 134-141.

22. Комаров И.В., Кузнецов В.Б. Квазиклассическое квантование волчка Ковалевской / И.В. Комаров, В.Б. Кузнецов // Теор. и мат. физика. - 1987. - Т. 73, № 3. - С. 335-347.

23. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

24. Нелинейный анализ поведения механический систем / Г.В. Горр, А.А. Илюхин, А.М. Ковалев, А.Я.Савченко. - Киев: Наукова думка, 1984. - 288 с.

25. Горр Г.В. Поведение неподвижного годографа для асимптотически равномерных движений гиростата в обобщенной задаче динамики / Г.В. Горр, Е.П. Носырева // Механика твердого тела. - 1994. - Вып. 26 (I). - С. 13-20.

G.V. Gorr, D.N. Tkachenko

The research of a body motion in the case of three invariant relations.

The problem of motion of a rigid body with a fixed point in a potential force field is considered. The new case of three nonlinear invariant relations of the equations of motion is given. The properties of Euler angles, Rodrigues-Hamilton parameters, and angular velocity hodographs in the Poinsot method are researches on the basis of an integrated approach in the interpretation of body motion. Keywords: potential force field, Euler angles, Rodrigues-Hamilton parameters, Poinsot method.

ГУ "Ин-т прикл. математики и механики", Донецк Получено 11.12.18

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк

gvgorr@gmail.com