О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ЛАГРАНЖА И ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (77) / 2021.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 531.38; 531.39

©2021. Г.В. Горр, А.В. Мазнев

О ДВИЖЕНИИ ГИРОСКОПА ЛАГРАНЖА И ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА

В статье исследовано движение гироскопа Лагранжа, основанное на применении комплексного подхода в истолковании движения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Наряду с кратким изложением полученных ранее результатов, установлены новые свойства движения гироскопа Лагранжа. Для динамически симметричного гиростата с переменным гиростатиче-ским моментом изучены прецессионные движения относительно вертикали. Ключевые слова: гироскоп Лагранжа, комплексный подход, истолкование движения, изо-конические движения, переменный гиростатический момент.

Введение. Решению Ж. Лагранжа [1] посвящена обширная литература. К. Якоби [2] показал, что движение гироскопа Лагранжа может быть разложено на два движения Пуансо [3] - прямое и обращенное. Значительные результаты по изучению движения этого гироскопа установили Г. Дарбу [4,5], В. Гесс [6] и другие. Опубликованы многочисленные монографии, в которых исследовано движение гироскопа Лагранжа. Наиболее полное изложение свойств движения симметричного гироскопа дано в монографиях К. Магнуса [7], Э. Раусса [8], Ф. Кляйна и А. Зоммерфельда [9], Г.К. Суслова [10], Г.В. Горра, Л.В. Кудряшо-вой, Л.А. Степановой [11], А.В. Борисова и И.С. Мамаева [12].

С помощью уравнений неподвижного годографа вектора угловой скорости, предложенных П.В. Харламовым [13], в статьях В.С. Ефимова [14,15] рассмотрены свойства движения гироскопа Лагранжа методом Пуансо [3]. Следует отметить, что в [16] исследовано большинство решений на основании теоремы Пуансо и уравнений [13]. Развитие метода Пуансо получено в статье [17], в которой предложен модифицированный метод Пуансо. Согласно подходу [17] движение тела представляется качением без скольжения подвижного аксоида вектора, коллине-арного вектору угловой скорости тела, по неподвижному аксоиду этого вектора. Применение модифицированного метода Пуансо [17] позволило во многих решениях уравнений Эйлера-Пуассона установить более наглядное представление о свойствах движения твердого тела, имеющего неподвижную точку (см., например, статью [18]). Кинематическая формула [17], которая связывает угол прецессии тела и полярный угол неподвижного годографа в уравнениях П.В. Харламова [13], позволила разработать комплексный подход [19] в истолковании

движения тела, имеющего неподвижную точку. Суть этого подхода состоит в том, что наиболее полные свойства движения тела можно получить, используя углы Эйлера, параметры Родрига-Гамильтона, прямую теорему Пуансо и модифицированный метод Пуансо.

В данной статье комплексный подход применен к исследованию решения Ж. Лагранжа; приведен не только краткий анализ полученных ранее результатов, но и установлены новые свойства движения симметричного гироскопа. В частности, для изоконических движений динамически симметричного гиростата, рассмотрено интегрирование уравнений класса Эйлера-Пуассона с учетом переменности гиростатического момента.

1. Две модели гиростата. Рассмотрим уравнения движения гиростата, имеющего неподвижную точку под действием силы тяжести [11]

(Аш+ \(г)У = (Аш+ хш+ 8 XV, (1)

V = V х со, (2)

где введены обозначения: ш = (ш\, и)2, Шз) ~ вектор угловой скорости; V = (У\,У2, Уз) ~ единичный вектор, сонаправленный с силой тяжести; в = (81,82,83) , в = тд | ОС| (т - масса тела, д - ускорение свободного падения, О - неподвижная точка, С - центр масс гиростата); А = (Ыад(А1, А2,Аз) - тензор инерции гиростата; А(¿) = (Л1 , Л2, Аз(^)) - гиростатический момент; точка над переменными А(£) обозначает дифференцирование по времени. Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла

у -V = 1, (Аш + Л(*)) • V = к. (3)

Здесь к - произвольная постоянная.

Запишем уравнения (1), (2) и интегралы (3) в скалярной форме, полагая А1 (*) = 0,Л2 (*) = 0, А2 = Аь

Агй 1 = Ш2 [(А1 - Аз) шз - Аз^)] + в2Уз - взУ2, А1Ш2 = -Ш1 [(А1 - Аз) шз - Аз(^] + взУ1 - в1Уз, (4)

Азшз = -Аз(г) + 81^2 - в2У1,

V1 = ШзУ2 - Ш2Уз, V2 = Ш^з - Шз^1, Ьз = Ш2^1 - Ш1^2, (5)

и2 + + = 1, А1 (шЩ>1 + Ш2У2) + (АзШз + Аз(í)) из = к. (6)

Систему (4)-(6) будем относить к первой модели гиростата. Вторую модель гиростата опишем уравнениями, которые следуют из (4)-(6) при условии Аз (¿) = В По, где В и По - постоянные, характеризующие соответственно момент инерции ротора относительно оси вращения и его постоянную угловую скорость. Обозначая Аз (¿) = А, из системы (4), (5) в случае 82 = 0, 81 = 0, получим

АхШ 1 = [ш (Ах - Аз) - Л] - взЬ2, АхШ2 = - [ш (А\ - Аз) - Л] шх + взУх, шз = 0 (шз = шо),

Vх = ш0и2 - Ш2и3, V2 = шхиз - ш0их, из = ш2их - шхи2. В рассматриваемом случае интеграл моментов из (6) примет вид

Ах (шхих + Ш2У2) + (А3Ш0 + Л) из = к,

а уравнения (7), (8) допускают и интеграл энергии

Ах Ш + ш22) + Азш2 = 2 (Е + в3и3),

(9)

(10)

где Е - произвольная постоянная. В динамике гиростата с симметричным распределением масс иногда полагают Л = 0, так как значение параметра Л не отражается на свойствах существования аналога интеграла Лагранжа и интегралов и2 + и"2 + и2 = 1 и (9), (10), и при Л = 0 интегрирование уравнений Эйлера-Пуассона осуществляется в квадратурах по Якоби. В данной статье будем рассматривать оба варианта Л = 0 и Л = 0, поскольку, например, для изо-конических движений гиростата условие Л = 0 является существенным.

2. Случай Л=0. Как сказано во введении, решение Лагранжа рассмотрено во многочисленных публикациях. Положим в уравнениях (7), интегралах (9), (10) Л = 0. В плоскости г = Ш0 подвижной системы координат Охуг с единичными векторами гх,г2,г3 введем полярные координаты р, и:

шх = р (1)совп (¿), ш2 = р (1)в'тп (¿). (11)

Тогда, в силу уравнений (7), (8) и соотношений и2 + + иЗ, = 1, (9)-(11) решение Лагранжа запишем в виде

ш3 = ш0, шх = реовп, ш2 = рвтп, р

й _ _И2_ (к - АзШрУз) Ах Ах (2взУз + Их)'

2 _ 2взиз + Их

А1

(12) (13)

их =

1

У2

А1р 1

(к — АзШоУз) со т — А^т-и • л/Щуз)

(к — АзШоУз) эти + у^сов« • л/Щуз)

(14)

Уз = л/Щуз), л/Щуз) = -Щ (1 - г|) (2з3у3 + Их) - (к - А3ш0ь3)

(15)

где Их = 2Е - Азш>1, И2 = (Ах - Аз) Ш0.

2

Варианты сведения задачи интегрирования уравнения из (15) изучать не будем, так как представление решения Ж. Лагранжа через элементарные или эллиптические функции времени рассмотрено во многих публикациях (см., например, [7-12]). Для применения комплексного подхода в истолковании движения гироскопа Лагранжа запишем на основании (12), (14) векторные уравнения годографов ш (¿), 17(£) в системе Охух:

шп (¿) = р (¿) со ей (¿) ¿1 + р (¿) вши (¿) ¿2 + ш0Тз, (16)

Уи СО = Ы (¿) -ц + у2 (¿) ¿2 + ^з СО ¿3. (17)

Используя результаты статьи [15], уравнения неподвижного годографа представим следующим образом

где

(¿) = щ (¿) Э1 + (¿) э2 + (¿) э3, (18)

Ш (г) = шр (¿)со8а (г) , = шр (г)вта (г) , (19)

к и? , ч "С = ^ + (*) ■

и2 2 и1 к2

-^з2 (*) + -д (^1 - кц2) ^3 (*) + ^ - ^2 +

(20)

йа 1 2

,, - л2 2 (¿) + [вз^ - ~ (А1Ш0 + 1л2)]у3 (¿) +

аг А? ш? (21)

+шо (ки? - ^1)} . В общем случае ( не учитывающем случаи вырождения из (15)) имеем

^з (г) = 42) - (4?) - 43)) вп? (к*,ео(г - го)), (22)

где

£о =

\

«з (и32) - и33)) ^з?)-^31) , л

А1 ' * V®- ^3)

а г>3г) связаны со свойством функции Е(^3) из (15), которое характеризуется равенством

В силу (24) функция и>3(г) изменяется на отрезке

< из < и? ■ (25)

(3)

Отметим, что из < — 1.

Основные свойства годографов (16), (18) таковы: подвижный годограф (18) - плоская кривая, неподвижный годограф принадлежит сфере Дарбу [4]

шр + (шс — lf = К2, (26)

где I = —, R2 = ^---lk + uj2 + l2. И2 Ai pi

В силу (22), (24) в равенствах (25), (26) сферический случай A1 = A3 исключаем. На основании равенства /12 = (A1 — A3) и формулы для из (20) при A1 = A3 устанавливаем, что неподвижный годограф - плоская кривая (этот вариант будет изучен ниже).

Обозначим через в,ф,ф - углы Эйлера. Тогда на основании результатов статьи [19] находим:

ф (г>3) = arctg-^^4, 9 (v3) = arccost>3, (27)

V2(V3)

Фф (k - A3uj0v3(t))

dt Ax{l-v2(t)) ' 1 J

= + (29)

где функция u3(t) указана в формуле (22).

3. Модифицированный метод Пуансо в решении Лагранжа. Поскольку подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости изучены в достаточно полном объеме, то остановимся на применении модифицированного метода Пуансо [17].

3.1. Сфероконические сечения. Рассмотрим вначале аналог подхода Э. Ра-усса [8]. Положим, что вектор b(t) = b(t)uJ (t) выбран так, чтобы выполнялось условие

Ъ2х + b2 + b2 = К2, (30)

где Ro ~~ постоянная, bi (i = 1,3) — компоненты вектора Ь. В силу bi = b(t)uji и равенств (12), из (30) найдем

b (t) [р2 (t)+ и2) = К2, (31)

то есть с учетом (10), (12) функция b (t) такова

b (t) = RoVTl . (32)

V2s3v3 (t) + 2E + (Ai - A3) u>2

Подвижный годограф вектора Ь (¿) на основании равенств (12) представим в виде

— Ко

К (¿) = —===== (р (¿) со ей (¿) 11+ р (¿) вти (¿) ¿2 + ^оГз) • (33) V Р (г) + шо

Так как Ь3(Ь) изменяется на отрезке (25), а подвижный годограф вектора угловой скорости из (13) расположен в кольце, то из (33) следует, что сферическая кривая (33) расположена на сфере между двумя параллелями. Неподвижный годограф вектора &(£) можно записать, используя соотношения (18), (19), (31)

— -ño

Ън (í) = 0 = (шр (í) cos a (í) 3i +шр (í) sin a (í) э2 + wc (t) э3). (34)

VP2 (í) + w?

Движение гироскопа Лагранжа можно получить качением без скольжения кривой (33) по кривой (34). Данное представление движения тела целесообразно применять в том случае, когда необходимо определить свойства движения сферы, связанной с гироскопом, либо свойства некоторых ее характерных прямых (например, главных осей инерции). Следует иметь ввиду применение и других методов, таких как, например, метод сферической тригонометрии, который использовал Э. Раусс [8] в исследовании решений Эйлера.

3.2. Элипсоидоконические сечения. Предположим, что конец вектора Ъ (t) = b(t)üJ (t) в подвижном пространстве лежит на эллипсоиде инерции тела, то есть выполняется равенство

Al (b? + b??) + АзЬ2 = а?, (35)

где do - постоянная. Тогда, в силу равенств = b (t) (г = 1, 3) и формул (12), имеем

Ъ (Í) = =. (36)

VHE+

В силу (12), (18), (19), (36) запишем равенства

bu (t) = , ^ a° (р (t) cos и (t) il + р (t) sin и (t) i2 + oJokí) , (37)

л/2 (E + S3U3 (t))

ba (t) = a° (ojp (t) cos a (t) Э1 +uip (t) sin a(t) 2 + wç (t) э3). (38)

V 2 (E + S3U3 (t))

Исследование свойств кривых (37), (38) должно быть основано на формулах (12), (13), (15), (20), (21). Движение гироскопа Лагранжа может быть осуществлено с помощью качения без скольжения аксоида с направляющей линией (37) по аксоиду с направляющей линией (38) с угловой скоростью uJ(t) = щу.

Очевидно, что неподвижный годограф &(£) не будет лежать на сфере Дарбу. Данное представление в некотором смысле носит дополнительный интерес в исследовании свойств движения тела, но, тем не менее, имеет определенный аналог кинематического истолкования Пуансо решения Эйлера, так как оно дает информацию о движении эллипсоида инерции гироскопа. 4. Изоконические движения гироскопа Лагранжа. 4-1- Случай А=0. Изоконическими движениями называются движения, при которых подвижный и неподвижный годографы угловой скорости симметричны друг другу относительно касательной плоскости, проходящей через неподвижную точку [20]. В данной монографии отмечено, что первый результат в теории изоконических движений получил Р. Фабри при исследовании решения В.А. Стеклова. Свойство изоконичности в решении В.А. Стеклова изучали и Г.В. Мозалевская и Е.И. Харламова; они использовали уравнения П.В. Харламова [13].

Запишем инвариантное соотношение, которое характеризует изоконические движения тела [20]

Ш • (V - с) = 0, (39)

где вектор с неизменно связан с телом, а ш и у - переменные, которые введены ранее. Изучим изоконические движения в решении Лагранжа (см. формулы (12)-(15)). Запишем первый интеграл (9) при А= 0 и соотношение (39) в скалярной форме (полагаем с = (0,0,1))

А1 (ш\У1 + Ш2У2) + А3шоУ3 = к, Ш\У1 + Ш2У2 = щ (1 - из). (40)

Очевидными условиями зависимости соотношений (40) являются равенства

А1 = Аз, к = А1Ш0, (41)

то есть эллипсоид инерции - сфера (в этом случае используется термин сферический гироскоп Лагранжа [10]). Рассмотрим формулы (12)-(15) при выполнении равенств (41)

2 283У3 + 2 Е-

Ш3 = Ш о, и) 1 = рсови, Ш 2 = реши, р = ----, (42)

А1

й= 283у31{2Е-ХиГ ^ = М + ац^ + ао), (43)

у\ = ^ Уз — У3со$и — эти • а2У3 + а\У3 + ао^ ,

Ь2 = ^ Уз — г^вт« + со$и ■ ^а2У3 + а\У3 + ао^ .

ГПР а - п - „ _

где <12 , а 1 — —-г—, а0 —--.

(44)

Запишем уравнения (15) для переменной из

А

где

¿3 = (^3 -4^) (^3 -43))> (45)

(-Й1 + /о) ,43) = ("а1 " > ^ = а? - 4а0а2. (46)

Тогда из уравнения (45) следует

из (¿) = 1 - (1 - 43)) «п2 (к*,ео(г - ¿с) • (47)

Здесь параметр ес имеет значение из (23), а параметр к* удовлетворяет условию 1 - у{1)

к* =-т^г • Переменная Уз (¿) изменяется на отрезке

1 - 43)

< из < 1. (48)

Условием существования решения (47) является неравенство 2^зиз + Е)--А^2 > 0. Представление решения Лагранжа в виде (42)-(44), (47) обусловлено

(1)

тем, что в случае изоконических движений можно указать явные значения из , посредством соотношений (46).

Из условия шз = шс и формулы для р(из) из системы (42) следует, что подвижный годограф в решении Лагранжа для случая изоконического движения находится в плоскости г = Шс ив силу (48) расположен в кольце с радиусами Р КО , Р(1). При этом, так как и > 0, полярный угол и возрастает с течением времени, и в силу соотношений (42), (43) подвижный годограф вектора угловой скорости касается окружности р (и^1^, но к окружности р(1) подходит под прямым углом.

Для нахождения углов ф(из), 9(уз) необходимо обратиться к формулам (27), (44). Угол прецессии определим из (28) с учетом условий (41)

I' сН

ф(() = "Чтт^у (49)

В силу свойства изоконичности гироскопа Лагранжа формулы (20), (21) приведем к виду

ис = ио, и2р (у3) = Р2 (ь3), ^ = -й,

из которых следует также свойство, что и полученные ранее для подвижного годографа вектора угловой скорости. Определенный интерес имеет только подробное представление формулы (49) и формулы (29). После очевидных вычислений, основанных на применении зависимости (47) для из (¿), из (28), (29) находим

и

з

(1 а

Ф (*) = / -7--, (50)

2 - (1 - ц>зз)] «п2 (к*,ес(Ь - ¿с))

. , . «п(к*,ес(í - ¿с)) о; ш = ао + то ш — агс^е---7---;—--7---, 51

где «п (к*, ес(£ - ¿с)), сп (к*,ес(£ - ¿с)) , ёп (к*,с (£ - ¿с)) - эллиптические функции Якоби с модулем, равным к*. Формулы (50), (51) играют важную роль в комплексном подходе [19] истолкования движения твердого тела, имеющего неподвижную точку.

4-2. Случай X = 0. Рассмотрение этого случая является важным, так как при изучении изоконических движений гиростата, с учетом первого интеграла моментов, из (9) и условия изоконичности (второе соотношение из системы (40)) получим

к = А1Шс, X = (А1 - Аз) шс. (52)

Из второго равенства системы (52) следует, что в общем случае А1= Аз, то есть распределение масс гиростата не обладает свойством сферичности, так как это установили при Х= 0. Тем не менее при выполнении данного равенства, уравнения (7) принимают вид

А1Ш1 = -взУ2, А1Ш 2 = взУ1, Шз = Шс,

а уравнения Пуассона не изменяются. Данные системы имеют место и в случае изоконических движений сферического гироскопа. Отсюда следует, что свойства изоконических движений сферического гироскопа и гиростата со значением ги-ростатического момента из (52) совпадают. Но необходимо иметь ввиду, что при X = 0 условие Аз= А1 может не выполняться.

5. Об асимптотически-равномерных движениях гироскопа Лагранжа. В статье [21] рассмотрен класс движений гироскопа Лагранжа, который характеризуется следующими условиями на параметры решения (12)-(15):

к = -Азшс, А1Ш2 = 2 (Е - вз),

о 4взА1 вз (2А1 + Аз) (53) ш0<-щ~, вз<Е<-^-•

Запишем решение (12), (13) при наличии ограничений (53)

2 (1 + Уз) шо^Аг-Аз)^ , Р {Vз) =-д--, и(Ь) =--^-г + ио, (54)

Уз = (1 + Уз) л/аео ~ Уз, зео =-^^-• (55)

Первое уравнение из (55) интегрируется в элементарных функциях времени

1 , ^0 83 (1+Жо) 2 , .

= + а1 = ~У-2А~1-' = 0'

Внесем значение из (Ь) из (56) в первое соотношение из системы (54)

Из соотношений (54), (55) следует, что переменная из (Ь) изменяется на отрезке: — 1 < и3(Ь) < ж0- Так как ш3 = ш0, Ш\ = реови, ш2 = реши, то, в силу (57), можно сделать вывод, что при выборе в качестве начального значения из величины жо подвижный годограф является плоской кривой (г = Шо), а при Ь ^ ж стремится к точке (0,0, Шо )- То есть подвижный годограф вектора угловой скорости является спиралевидной кривой, предельной точкой которого служит точка (0, 0, ш0 )-

Для применения комплексного подхода [19] в истолковании движения гироскопа Лагранжа запишем функции (27), (28)

ф = аг<^—, 9 = агожиз, (58)

У2

, / ч , Ь2 + ШооЬ . .

т = -ы+«ъф-^-г (59)

где

VI = - У^^3 ^АзШосот - вти ■ л/283Аг (ае0 - у3) V 2 = ~ (^з^т-и + со т ■ л/283Аг (зе0 - у3)

1 + и__^{2А1-Аз)

(60)

28зШоАз Ш0А3

ьо = л9 о , п—:—о, о 1 =

А1ш1 + 28гА1ц1' рол/^зАг'

Таким образом, если представлять движение гироскопа Лагранжа с помощью углов Эйлера, то необходимо использовать соотношения (58)-(60).

Определим уравнения неподвижного годографа вектора угловой скорости. При этом для нахождения а (Ь) будем использовать формулу (29) и равенство (59). Тогда получим следующие уравнения

(63)

, , , Ы + 1Ъа1Ь

глр _ „2 (* л ) I л О А п _ "0(^1-^3) Л _

где с0 - р,0 (Л1 - А3) + А3 - 2АЬ ^ --л-, а0 - —— '

Из соотношений (61)-(63) можно сделать заключение о том, что при Ь ^ ж (Ь) ^ -шс, шр (¿) ^ 0, а (¿) ^ ж (полагаем вз > 0, шс > 0). То есть, неподвижный годограф вектора угловой скорости имеет вид "спирали", но в отличие от подвижного годографа он не является плоской кривой, а находится на сфере Дарбу.

Остановимся на исследовании эллипсоидоконических сечений в случае, когда движение гироскопа Лагранжа является асимптотически-равномерным (см. формулы (56), (57)). Пусть конец вектора Ъ (¿) = 6(£)а7 принадлежит эллипсоиду инерции (35). Обозначим через Ь\,Ь2,Ьз компоненты вектора Ь(Ь) в подвижной системе координат, а через Ь% ,Ьц ,Ь£ - в неподвижной системе координат. Тогда в силу формул (37), (38) имеем

аср (Ь)соБи(Ь) аср (Ь)Бти(Ь)

01 (I) = , , 02 (г) =

^{Е + взУз (*))' ^{Е + взУз (*))' т

Ъз (¿) = ,

1 ил с°р (Ь)сова(Ь) асШр (¿)вта(Ь)

У) = , /^ч' Ьг> № =

л/2 (Е + взУз (*))' л/2 (Е + 53^3 (*))'

(65)

ьс®= , ,

у/2(Е + 83У3 (*))'

где функции р (Ь) , и (¿), из (Ь) указаны в формулах (54), (56), (57), а функции шр (¿), (Ь), а(Ь) - в (61)-(63). На основании соотношений (64), (65) можно сделать заключение о том, что подвижный годограф вектора Ь (¿) лежит на эллипсоиде инерции, а неподвижный годограф этого вектора лежит на алгебраической поверхности Е (Ьр, Ь£, в) = 0, которая имеет вид

{Ьр + Ь2)2 Щт + Ш^Ш^) + (Ьр + Ь2) (шз + Ш^Ш^) + Ш5 = 0,

где функция Ър(1) определена равенствами Ъ% (£) = Ъп(^сова^), Ъп ф = Ър(1)-•йша^); /3 (¿) = аг^^; (г = 1,5) - постоянные параметры. Таким образом, применение модифицированного метода в данном случае нецелесообразно. Но, как отмечено в п. 3.2, данный подход дает возможность исследовать движение эллипсоида инерции тела в неподвижном пространстве для случая асимптотически-равномерных движений гироскопа Лагранжа.

6. О движении динамически симметричного гиростата. Рассмотрим уравнения (4), (5) на инвариантном соотношении

А (Ь) + (А3 - Аг) и3 (г) = 0. (66)

Используя векторную форму записи, из уравнений (4), (5) при условии (66) получим

А\ш =И ху, V = у хш. (67)

Уравнения (67) имеют первые интегралы

у-у = 1, ш-у = к0, Ахш2 - 2 (в • V) = 2Е, (68)

где ко = В первом уравнении системы (67) полагаем, что вектор з не колли-неарен вектору г3 подвижной системы координат (то есть з ф вгз ). При данном предположении и условии А2 = А\ тело-носитель по распределению масс не является гироскопом Лагранжа. В частном случае (например, при вз = 0) тело-носитель обладает распределением масс, которое можно охарактеризовать либо обобщенными условиями С.В. Ковалевской (А1 = А2 = 2Аз), либо обобщенными условиями Д.Н. Горячева-С.А. Чаплыгина (А1 = А2 = 4Аз).

Рассмотрим класс прецессионных движений гиростата для уравнений (67). Пусть а - единичный вектор, неизменно связанный с телом-носителем ( а = 0). Тогда для прецессий тела выполняются инвариантные соотношения [20]

а-у=ао, ш=ф*а + ф*у, (69)

где <£>*(£), г/>*(£) - углы Эйлера, ао = совво, во = /.( а, 17 ).

Подставим значение угловой скорости из (69) во второе соотношение системы (68) и в уравнение Пуассона из (67). Тогда получим

ф*=ко — а0ф*, ф = ф*(у х!). (70)

В силу первого равенства (70) вектор угловой скорости из (69) примет вид

ш=ф* а + (ко - а0ф*) V. (71)

Запишем третий интеграл из (68) с учетом значения ш из (71)

'2 12 ,

А1(сг2ф1 + к1)=2{Е + {-§-у)), (72)

где а0 = эт^о- Подставим значение ш из (69) в динамическое уравнение из (67) и рассмотрим равенство, которое следует после операции скалярного умножения левой и правой частей полученного уравнения на вектор V х а

А\аоф^(ко - а0ф*) — (а ■ в) = а0 (в ■ у). (73)

Если в (73) ао = 0 (во = §), то из (70) следует тр*=ко, а из уравнения (71) получим для ф* постоянное значение. То есть прецессия тела-носителя является регулярной прецессией. При этом, в силу полученных результатов, из равенства (72) можно сделать заключение о том, что вектор а коллинеарен вектору

Пусть в (73) ао ф 0. Исключая из уравнений (72), (73) переменную И-у, приходим опять к выводу о том, что прецессия тела-носителя является регулярной прецессией и вектор а коллинеарен вектору в.

Для получения окончательного результата обозначим по = ф*, шо=ко-аоф*. Тогда из (71) найдем

ш=по а + гпоУ. (74)

Подставим Ш из (74) в первое уравнение системы (67) и интегралы из (68). Тогда получим условия

у = щ (у х а), (75)

¿з = -А1П0Ш0, ко = поао + шо, 2Е = А1 (п° + т°) + 2ао (поШоА1 - $з) • Для интегрирования уравнения (75) положим

(76)

а1 = ётц,осовао, а2 = ётц,овтао, аз= со8^о, (77)

где цо € (0д) , ао € [0, 2^] - постоянные параметры. Соотношения (77) имеют особенности при ¡л0= 0,7г. Поэтому в этом случае можно считать, что а = (0, 0,1). Запишем общее решение уравнения (75) используя инвариантное соотношение а ■ у=ао и равенство V\ + V\ + = 1. Тогда решение уравнения (75) таково

и1 = ао8т^осо80о - ао(втаосо8поЬ - со8аосо8/ло 8тпоЬ),

и2 = ао8т^о8т0о + ао(соваосовпоЬ + ётаосовц,о 8тпоЬ), (78)

/

из = аосо8^о - ао8'тц,о8тпоЬ•

Здесь ао = 8т$о, а начальное значение Ь положено равным нулю. Компоненты вектора Ш из (74) имеют вид

Шi = щао + т0Ьг (г = 1,3) . (79)

Таким образом, условиями существования решения (78), (79) уравнений (67), (68) являются равенства (76). Функцию Х(Ь) определим из равенства (66) на основании (78), (79)

Л (t) = (A1 — A3) (n0 + a0m0) cosß0 — m0a0s'mi0s'mn0t

(В0)

Заключение. В статье рассмотрен комплексный подход в исследовании движения гироскопа Лагранжа. Изучено движение динамически симметричного гиростата при условии существования у уравнений движения одного инвариантного соотношения на основные переменные задачи в случае прецессий гиростата относительно вертикали.

1. Лагранж Ж. Аналитическая механика У Ж. Лагранж. - В 2-х т. - М.; Л.: ГИТТЛ. - 195G.

- Т. 2. - 44G c.

2. Jacobi C. G.J. Second memoire sur la rotation d'un corps non soumis a des forces acceleratrices У C.G.J. Jacobi Gesammelte Werke. Berlin: G. Reimer, 1882. - Vol. 2. - S. 427-467.

3. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps У L. Poinsot ^ J. Math. Pures et Appl.

- 1851. - Vol. 16. - P. 289-336.

4. Darboux G. Sur le mouvement d'un corps pesant de revolution fixe par un point de son axe У G. Darboux УУ J. Math. Pures et Appl. - 1885. - Vol. 1. - P. 4G3-43G.

5. Darboux G. Sur la theorie de Poinsot et sur des mouvements correspondants a la mame polhodie У G. Darboux ^ C. r. Acad. sci. - 1885. - Vol. 1G1. - P. 1555-1561.

6. Hess W. Uber des Jacobische Theorem von der Ersetzbarkeit einer Lagrangeschen Rotation durch zwei Poinsotische Rotation У W. Hess ^ Z. Math. Phys. - 1888. - Vol. 33. - P. 292-3G5.

7. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение У К. Магнус. - М: Мир, 1974. - 526 с.

8. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел У Э.Дж. Раус. - М.: Наука, 1983. - Т. 1. -464 с.; Т. 2. - 544 с.

9. Klein F. Uber die Theorie des Kreisels У F. Klein, A. Sommerfeld. - New York: Johnson reprint corp. - 1965. - 966 s.

1G. Суслов Г.К. Теоретическая механика У Г.К. Суслов. - М.: Гостехиздат, 1946. - 655 с.

11. Горр Г.В. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние. У Г.В. Горр, Л.В. Кудряшова, Л.А. Степанова. - Киев: Наук. думка, 1978. - 296 с.

12. Борисов А.В. Динамика твердого тела У А.В. Борисов, И.С. Мамаев. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2GG1. - 384 с.

13. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку У П.В. Харламов УУ Прикл. математика и механика. - 1964. - Т. 28, вып. 3. -С. 5G2-5G7.

14. Елфимов В.С. Исследование подвижного годографа гироскопа Лагранжа У В.С. Елфимов УУ Механика твердого тела. - 1978. - Вып. 1G. - С. 1G-24.

15. Елфимов В.С. О геометрическом исследовании движения гироскопа Лагранжа У В.С. Ел-фимов УУ Механика твердого тела. - 1979. - Вып. 11. - С. 22-32.

16. Гашененко И.Н. Классические задачи динамики твердого тела У И.Н. Гашененко, Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка, 2G12. - 4G1 с.

17. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой У Г.В. Горр ^ Механика твердого тела. - 2G12. -Вып. 42. - С. 26-36.

18. Горр Г. В. Об одном аналоге истолкования Пуансо решения Эйлера в задаче о движении твердого тела в потенциальном поле сил У Г.В. Горр УУ Прикл. математика и механика. -2G2G. - Т. 84, № 1. - С. 13-25.

19. Горр Г.В. Комплексный подход в истолковании движения твердого тела, имеющего неподвижную точку У Г.В. Горр ^ Известия РАН. Механика твердого тела. — 2G21. - №6. -С. 58-79.

2G. Горр Г.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку У Г.В. Горр, А.В. Мазнев.

- Донецк: ДонНУ, 2G1G. - 364 с.

21. Ковалев А.М. Асимптотически равномерные движения гироскопа Лагранжа У А.М. Ковалев УУ Механика твердого тела. - 1974. - Вып. 7. - С. 45-47.

G.V. Gorr, A.V. Mazniev

On the motion of the Lagrange gyroscope and the dynamically symmetric gyrostat.

The article investigates the motion of the Lagrange gyroscope, based on the use of an integrated approach in the interpretation of the motion of a rigid body with a fixed point. Along with a brief presentation of the results obtained earlier, new properties of the motion of the Lagrange gyroscope are established. For a dynamically symmetric gyrostat with a variable gyrostatic moment, precessional motions relative to the vertical are studied.

Keywords: Lagrange gyroscope, integrated approach, interpretation of motion, isoconic motion, variable gyrostatic moment.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 01.12.2021

Donetsk National University, Donetsk

[email protected]