CC BY
11
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2002. №3. С. 27-32.
\Т ГЛ.' f^QO 1 •К'] 70
(С Омский государственный университет УДК О30-1-51"'2
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
С.П. Барановский
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр.Мира, 55а1
Получена 17 мая 2002 г.
New method of the construction of invariant differential operators has been presented. The theory of A-representation has been used to investigate the obtained operators.
1. Инвариантные операторы на однородных пространствах.
Пусть G(M, H, п) — главное расслоение , где G — пространство расслоения (группа Ли), M — база расслоения, H — слой расслоения (группа Ли), п — сюръективная субмерсия (каноническая проекция) расслоения. Группа H действует на пространстве расслоения правыми сдвигами. Локальные координаты в таком расслоении вводятся стандартным образом. Пусть {д1}, i = 1, ..., dim G — координаты в пространстве расслоения G , тогда над областями триви-ализации U С M в полные прообразы п-1(U) можно ввести координаты прямого произведения U х H : (xa,ha), a = 1, ..., dim M, a = dimM + 1, ..., dimG. Таким образом, локально существует расщепление координат вида д = (x, h) (или д = (h, x)), такое расщепление может быть продолжено до глобального, если расслоение G(M, H, п) допускает глобальное сечение s. Напомним, что если (локально) задано гладкое сечение s : M ^ G расслоения G, то координаты произвольной точки p G G можно представить в виде д = h s(x) .
Пусть £ и ni — соответственно лево- и пра-воинвариантные векторные поля. Ограничением левоинвариантных векторных полей являются генераторы действия группы G на однородном пространстве M так, что X = . Выполняются следующие свойства:
] = Cj[ni,nj] = Cjnk, [nUj] = 0. (1)
Очевидно, что генераторы Xi образуют ту же алгебру Ли, что и векторные поля £.
1 e-mail: [email protected]
Нашей целью является построение инвариантных операторов D на однородном пространстве таких, что для рассмотрения уравнений вида
= £ф(ж) (2)
можно эффективно применить метод орбит (см. [2-4]).
Введем
Определение. 1 Назовем оператор D инвариантным оператором на группе Ли G (на однородном пространстве M = G/H ), если он удовлетворяет условию D = 0 (соответственно £х, D = 0 ), где ^ — левоинвариантные векторные поля на группе Ли G (Xi — генераторы, действия группы преобразований G на однородном пространстве M).
В смысле введенного определения 1 инвариантным будет произвольный правоинвариантный оператор D(n), а также операторы Казимира K(—Шп) = K(¿Й£), принадлежащие центру обертывающей алгебры UL(0) ® UR(G) . Рассмотрим пространство CTO(G, V) функций на группе Ли G , принимающих значение в пространстве представления алгебры H группы стационарности H. Вместо того чтобы рассматривать операторы на однородном пространстве, мы можем рассмотреть эквивалентную задачу на группе Ли G. Для этого воспользуемся существованием изоморфизма между подпространством F С CV) и функциональным пространством CV) (см. [5]). Подпространство F определяется условием
F := {ф G C~(G, V) | ¿(hg) = U(h#(g)},
где U (h) — (точное) представление группы H. Инфинитезимальным вариантом приведенного
28
С.П. Барановский
условия является уравнение
(Па + Ла)ф(д) = 0,
где Ла — генераторы представления Т(Н) алгебры Н •
Из сказанного выше имеем, что задача (2) эквивалентна следующей:
D(n)ф(g) = Е ф(д), (па + Л«)ф(д) = 0, (3)
где ^(п) — некоторый правоинвариантный оператор.
Рассмотрим оператор Казимира К^(-гНп) (для определенности будем рассматривать только невырожденные орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы О), в котором произведем следующее преобразование
К^(-гНц) ^ КД-г% + Yi),
(4)
где ^г — некоторые величины, свойства которых будут выяснены позднее. Разложим полученный оператор по параметру Н так, что
D = £ hnDP(-v, Y).
(5)
В^ назовем однопараметрическим пучком инвариантных операторов. Каждый из операторов
гл(п)
D( является инвариантным в смысле определения 1, то есть [D^n),£i] = 0 для всех i = 1,..., dim G.
Чтобы определить величины yi, потребуем выполнения следующих условий:
[Yij Yj]+ = 2gij, [Yi, Л„] = ClaYj.
(6)
Первое из условий означает, что ^г являются базисными элементами алгебры Клиффорда С1(д), задаваемой квадратичной формой д^ . Второе условие получается из требования совместности уравнений задачи (3). Отметим, что в последнее время появилась гипотеза, что система условий (6) задает спинорную структуру (см. [6-8]) на однородном пространстве М в смысле определения Милнора (см. [6]).
Очевидно, что любой из операторов мо-
жет быть представлен в виде
D(n) = г1
VI j
(7)
где Г1 — некоторый элемент из алгебры С1(д), П1 — элемент из тензорной алгебры правоинва-риантных векторных полей, I — мультииндекс: I = ... . Отметим, что произведение операторов пг упорядочено по Вейлю.
Определение. 2 Оператор вида (7) назовем обобщенным оператором Дирака.
Таким образом, искомые дифференциально-матричные операторы строятся по формуле (4). Если оператор Казимира Кц полиномиален, то пучок (5) содержит ровно ¿вдК^ + 1 оператор, где <1вдКц — степень полинома Кц. Учитывая полученные результаты, перепишем задачу (3) в следующем виде:
Нп Я^(д) = Е?(д), (па + Л«Мд)=0. (8)
Нашей основной задачей является применение метода орбит к задаче (8).
2. Метод интегрирования инвариантных операторов.
Пусть , Х(з)) — А-представление, соответ-
ствующее рассматриваемой орбите либо однородному пространству М, если это необходимо (см. [2]). В соответствии с работой [2] введем полный и ортогональный набор функций Dqq, (д), определяемый из решения уравнений
[Ш+ ШЛ> ,А ьтхт, (д) = о, (9) [Пг (д) + Чq',ддq> ,А (д) = о. (10)
Полнота и ортогональность обобщенных функций D^q, позволяет ввести для функции из плотного ядерного подпространства Ъч(О, dg) прямое и обратное преобразования Фурье:
Фх(ч,4) = Ф(д) D* (g) dg,
(11)
ф(д) = ! Фх(«,«') Dqq'(д) d|4q) <!ц(д') ^(А). (12)
Подробнее см. работу [2].
Представим решение уравнения (8) в виде (12). Воспользовавшись соответствием дуальности (см. [2,3]):
Шф(д) ^ , А(^))фл(q,q'), пг(д)ф(д) ^^ li(q,дq,А(з))фх);
сведем задачу (8) к дуальной задаче
Нп D<n\-ll,1)(px) = Е(рх),
(£a(q,j) +Л„)(^л(д,д') = 0.
(13)
Так как переменные q' в уравнения не входят, то функцию q') можно представить в виде
Ф^л') = С(а)№)фх)^) , где с(а)(q') — произвольные функции от переменных q'. Тогда (13) сведется к уравнениям на функцию ф\(^) (индекс (а), нумерующий независимые решения опущен), т. е.
нп D(n)(-i,Y^(q) = Ефл(^), (la(q,j) + Л„)фл(q) = 0.
vy I/ l/l/IOL/i/K; 1/1Я/
1/IOUjUl Ч/ii l/Uill УУ t jf 14» 11 и ksУУ U
Таким образом, первоначальная система (3) и (8) свелась к задаче (14), решение которой проще, так как дуальное уравнение содержит меньшее количество независимых переменных.
В уравнениях, рассмотренных выше, ключевую роль играет представление алгебры Н, реализуемое величинами Ла. Выбор представления Т(Н), или, в физических терминах, калибровочного заряда, содержит достаточно большой произвол, который должен быть ограничен «разумными» требованиями, например, физической осмысленностью решаемых задач. Основным (очевидным) требованием является конечномерность представления Т (Н), что позволяет рассматривать генераторы Ла как конечномерные линейные операторы, т.е. матрицы. Тогда функции <£> 6 Т являются многокомпонентными вектор- или спинор-функциями, преобразующимися по векторному, соответственно, спинорному представлению алгебры Н. Отметим, что мы не будем требовать конечномерности представления Т (Н), что значительно расширяет класс допустимых представлений. Однако отказ от требования неприводимости приводит к тому, что мы должны дополнить задачу (14) условием проектирования на неприводимую компоненту представления Т(Н). Впрочем, этого можно и не делать, и, хотя мы не получим единственного значения спектра рассматриваемого инвариантного оператора, но это не является для нас проблемой.
Еще один важный момент - установление связи между весом представления Т(Н) (фактически спином) и соответствующими параметрами , фигурирующими в Л-представлении. Эта задача - обобщение вопроса о нахождении соответствия между однородным пространством и соответствующим ему Л-представлением (см. [2]). Необходимое условие можно получить из анализа дополнительного условия задачи (14): (1а + Ла)(р\(ц). Достаточно положить д = 0, и получим условие
(л„0) + Л„) = 0,
которое и дает нам необходимую связь между параметрами и весом представления Т (Н).
Существует широкий класс групп Ли, алгебры Ли которых имеют разложение Леви-Маль-цева (см. [9]) вида © = Т > К, где Т — коммутативный идеал. В этом случае кратко изложенный выше метод позволяет свести спектральную задачу (14) к решению задачи о собственных значениях некоторой матрицы, а именно имеет место следующая
Теорема 1. Пусть алгебра Ли © группы Ли О имеет следующее разложение Леви-Мальцева: © = Т > К, где Т — коммутативный идеал.
Тогда все обобщенные операторы Дирака для соответствующей группы Ли О, действующие в пространстве функций Т, в Л-представлении будут линейными алгебраическими операторами.
Из теоремы 1 получим, что собственные значения обобщенных операторов Дирака в условиях данной теоремы находятся как собственные значения соответствующих матриц (д, . Под определения теоремы 1 попадают многие важные с точки зрения математической физики группы и соответствующие им однородные пространства, например, все обобщенные группы Пуанкаре Р1,п и соответствующие пространства Л1'", все евклидовы группы Е(п) и, соответственно, пространства И".
В заключение отметим, что схема построения инвариантных дифференциально-матричных операторов, предложенная выше имеет непосредственную связь (при надлежащем выборе рассматриваемой группы О ) с задачей о построении релятивистских волновых уравнений. А именно, уравнение (8) с оператором вида (7), связано с уравнениями Гельфанда-Яглома (см. [11]).
[1] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1, 2.
[2] Широков И.В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Омск, ОмГУ, 1998.
[3] Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. // ТМФ. 2001. Т. 129. №1. С. 3.
[4] Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. // Изв. ВУЗ. Физика. 2002. №10.
[5] Менский М.Б. Группа путей: измерения, поля, частицы. М.: Наука, 1983.
[6] Milnor J. W. Spin-structures on manifolds. Enseign. Math., 9:198-203, 1963.
[7] Morrison S. Classifying Spinor Structures. arXiv:math-ph/0106007, 2001.
[8] Esposito G. Dirac operator and spectral geometry. arXiv:hep-th/9704016, 1997.
[9] Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Бишкек: Айнштайн, 1997. Т. 1-2.
[10] Широков И.В. Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений. (Диссертация). Томск, 1994.
[11] Gelfand I.M., Yaglom A.M. General relativistic-invariant equations and infinite-dimensional representations of the Lorentz group. Zh. Ehksp. Teor. Fiz. 18, 703-733, 1948.
