CC BY
12
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2000. N.4. С.22-24. © Омский государственный университет, 2000
УДК 543.123:530.712-534.12
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ДИРАКА НА РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С.П.Барановский
Омский государственный университет, кафедра общей физики, 6440 77 Омск, пр. Мира, 55-А 1
Получена 06 октября 2000 г.
Ill this paper the method of quantization of coadjoint representation orbits (geometrical quantization) is applied for spectral problem of Dirac operator on homogeneous spaces. The brief solution of the problem for Dirac operator on the de Sitter space S+ is presented.
1. Инвариантные операторы
Пусть T = (G,M,H,n) — главное расслоение, где G — группа Ли, являющаяся тотальным пространством расслоения, М — база расслоения, Н — типичный слой расслоения, который является подгруппой группы G, ж — сюръек-тивная субмерсия (каноническая проекция) 7Г : G —> М . Таким образом, М есть однородное правое G'-пространство: М & GjН, в этом случае II называется подгруппой стационарности (изотропии), s(x-) — сечения расслоения Т над точкой х € М. Кроме того, в касательном расслоении ТМ может быть введена послойная метрика, которая превращает М в риманово пространство. Над областями тривиализации расслоения Т существует расщепление координат g пространства G на пары {xa,ha), где х" — локальные координаты на М , а = 1,. . ., dimM , a ha — локальные координаты подгруппы Н, а = dim М + 1,..., dim G ■
Над расслоением Т моделируются два векторных расслоения: LTG и RTG — касательные расслоения к группе G. Сечениями этих расслоений являются соответственно лево- и правоинва-риантиые векторные поля: ( и rj, которые образуют алгебру Ли Q группы Ли G. Поля являются проектируемыми векторными полями, накрывающими векторные поля Х{, которые являются генераторами действия группы G на про-
1 e-mail: baranovsky@phys.om.4u.omskreg.ru
странстве М.
На группе Ли G существуют операторы Казимира А'„(г/г£) — /<„(—г/п'/). которые принадлежат центру обертывающей алгебры Ек х Е1 [1], у — индекс, нумерующий операторы Казимира, который пробегает значения V = 1,. . . ,г, где г = 1пс1 — индекс алгебры Ли <3 [1].
Рассмотрим пучок V, порождаемый операторами Казимира Ки{—гТи] + tyi) при разложении последних по параметру I. Здесь 7,- — величины, которые находятся из системы уравнений
[А», ъ] = Скаг1к, {7.', 1к} = 2д1к I, (1)
где Л„ — конечномерное представление алгебры Ли 'Н подгруппы стационарности II, д^ -— постоянная метрика лоренцевой сигнатуры, определенная на многообразии М . Уравнение (1) означает, что 7, — элементы алгебры Клиффорда, относительно квадратичной формы, определяемой (М-.
Операторы можно представить в виде
(ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО П И любого I/) Би^ — Т1,
где I — (*1«2 • • -¿п) ~ мультииндекс (симметри-зованный набор индексов), г/х - симметризоваи-ное произведение операторов г/,-, Г7 - поливектор из алгебры Клиффорда с элементами 7,. Поэтому операторы 4П) = г1 г/1 назовем обобщенными операторами Дирака на группе Ли С.
Чтобы получить операторы на пространстве М , спроектируем пучок V на М действием индуцированного отображения 7г*, то есть V —
Пр им, енен и е ме rn ода геометрического к в а н т оваи ия
23
яуР. Тогда элементы пучка V являются искомыми операторами на однородном римановом пространс тве М. Эти оиераторьг также можно представить в виде обобщенных операторов Дирака, поэтому операторы = Vs i]; назовем обобщенными операторами Дирака на однородном римановом пространстве М.
Операторы Dif1'1 являются инвариантными в силу следующего соотношения £х, D = 0, где £'х, .......- производная Ли вдоль векторного поля
AV
Операторы ДГ' (г), у) действуют на пространстве функций, которое выделяется следующим соотношением {ih>}a + Аа)ф(у) — 0, где г/а — правоипвариантные векторные поля, образующие алгебру изотропии %, Аа — • соответствующие генераторы конечномерного представления алгебры 'Н . Отметим, что индуцированное отображение 7Г, должно быть согласовано с существованием конечномерного представления Л.
2. Геометрическое квантование
Согласно [4,5], геометрическое квантование есть способ, как функциям / (классическим наблюдаемым) на симплектическом многообразии сопоставить операторы / (квантовые наблюдаемые) в гильбертовом пространстве 11. Формализм, развитый в [1] п применяемый в данной статье, позволяет решить задачу геометрического квантования, практически не выходя за рамки теории групп и алгебр Ли.
Группа G (тотальное пространство расслоения Т), действуя на коалгебре Q* коприсо-единенным представлением, расслаивает коалге-бру на четномерные орбиты (K-орбиты), которые являются симплектическими многообразиями (см. [2]), определяемыми формой Кириллова w\, которая действует на касательных к орбите векторах а и b по закону ю{а.Ь) = (А, [а,/?]}, где а = ad*aА, Ь — ad*ß\, a А £ Q* — ковектор, через который проходит орбита ö\ .
Согласно теореме Дарбу, существуют локальные координаты (координаты Дарбу), в которых форма Кириллова си принимает канонический вид u>x = dpa A dqa , а = 1, . . ., | dim ö\ ■
Пусть /,:(</,р) — функции перехода.к каноническим координатам. Потребуем, чтобы этот переход был линейным по координатам ра . В [3] приведена теорема, являющаяся критерием существования линейного (по ра ) перехода к координатам Дарбу.
Пас не будут интересовать топкости построения перехода к каноническим координатам, достаточно знать, что такой переход существует в интересующих нас случаях.
Квантование К-орбит заключается в сопоставлении орбите (более точно каждому спектральному типу орбит, см. [4]) специального бесконечномерного представления алгебры Ли (А-представления). Сопоставим функциям fi{q,p, A(j)j линейные операторы по правилу
fi (<?. Р. ЧЛ) fi {Я,-ihdq, А{})). (2)
Процедура квантования (2) неоднозначна, для того чтобы убрать эту неоднозначность, потребуем, чтобы операторы fi удовлетворяли соотношениям I'l/jj/j] = Cfjlk- Параметры j связаны с параметрами j соотношением: j — j + ih0, где вектор в определяется из условия вещественности функций KL,(f) (см. [3]). В ве; м one parr оры
lk(q,dg,j) = jJk{q,-ihdq,\Q)). (3)
Реализация алгебры Ли Q операторами называется А -представлением, алгебры Ли Q.
3. Спектр оператора Дирака
Пусть группа G имеет квадратичный но полям гц оператор Казимира К{—Шгц). Тогда операторный пучок V содержит оператор D^ , который имеет вид
£(1)Ы = гАгЧЫ- (4)
Соответствующий оператор на однородном пространстве М имеет вид £)(l) = ih^ fjj (х).
Для определения спектра оператора Дирака рассмотрим спектральную задачу
0{1)Ф(Л = »Ф{9), (5)
{ihr)a + Аа)ф(д) = 0. (6)
Применяя метод геометрического квантования, спектральную задачу, построенную выше, можно свести к системе уравнений на К-орбите:
0(1]Ь;,1)Ф('1,Ч') = тф(Ч,д'), (7) {ihia(q') + Aa)4(q,q') = 0. (8)
Связь между функциями ф(д) и ф{q,q') устанавливается соотношением (см. [1])
ф(д) = j i(q,q')D^dfi(q)d,Ji(q)drtX), (9)
где (см. [1]) d/.t.(q) - мера, в которой операторы являются косоэрмитовыми, dp.(X) - спектральная мера операторов Казимира, величины - это набор, обладающий свойствами полноты и
24
Барановский C.II.
ортогональности, такой набор всегда существует (см. [1]).
В силу того что переменные д не входят в систему уравнений (7-8), его общее решение можно представить в виде Ф(д, д') = С(„)(д, ])Ф^пЦд'), тогда получим окончательно систему уравнений на К-орбите
£)м(ъЫ{я') = гпФМ), (Ю) (тЦд') + \а)ф(д') = 0. (11)
Оператор 1а можно записать в виде [3]:
¡(х = +Ха(д\МЛ)- (12)
Тогда, в силу невырожденности 1% , (11) можно переписать в виде
+ Ьа(д\\и)))ф(д') = 0. (13)
Система уравнений (13) позволяет выразить вес производные функции Ф{д') ■ Следовательно, уравнение (7) становиться матричным, где собственные значения матрицы, стоящей в левой части уравнения, дают нам искомый спектр т.
В качестве примера рассмотрим однородное пространство с группой преобразования де Ситтера. В этом случае главное расслоение Т будет иметь вид Т = (50(1,4),5+,5О(1,3),тг). То есть однородное пространство де Ситтера 5+ представляется как фактор-многообразие: 5'+ = 50(1. 4)/50(1, 3). Пространство 5+ — это пространство постоянной положительной кривизны, топологически гомеоморфное Д1 х 53. Отметим, что существует, еще одно пространство де Ситтера: 5_ , которое в литературе по теории поля называют пространством анти-де Ситтера (АдС), оно представляется как ,$'0(2, 3)/50(1, 3).
Группа де Ситтера 50(1,4) имеет два оператора Казимира: К\ — второго порядка по полям гц , К2 - - оператор четвертого порядка по полям гц . Применяя изложенную теорию, находим опе-
(1)
ратор Дирака D] ' :
П U)
D
ilJL.
р с) хс
д
Т
дх1 cos (еж1) дх2
4-
73 cos(еж3) д 3 , 1ч 1
+ -J - 2fftan(ex )7 ~
efa1)
Р
где р — cos(~а'1) со8(5з:2) cos(eх3) -— 7-матрицы Дирака, х*, г — 0, ные координаты на 5+ , г
7® , i = 0,...,3
. ., 3 — локаль-параметр группы
де Ситтера. Оператор Дирака (14) тождественно совпадает с оператором Дирака, построенным
по метрике
ds2 = p2(dx0)2 - (dxlf - cos2(£i:] )(dx2)2 -- cos2{ex])cos 2{ex2){dx3)2. (15)
Спектральная задача имеет вид
D
тф(д), (16)
(ihr) а + Аа)Ф(д) = 0.
(17)
После проведения процедуры геометрического квантования получим следующую систему уравнений на К-орбите:
1)\1]Ь.1)ф{д') = тф(д'), {Ма+Аа)ф(д') = 0.
(18) (19)
Здесь /г- — операторы сопряженные к операторам и , получение и свойства этих операторов описано в [1]. Применив уравнение (13), окончательно получим следующее матричное уравнение на спектр т:
(-Л7° + £7^01 + £72Ло2 + £73Лоз) = т1, (20)
где Д — вещественный положительный параметр, возникающий при геометрическом квантовании [3], 1 — единичная матрица. Генераторы A-ij конечномерного (спинорного) представления алгебры во(1,3) даются выражением, ^ij =
Из уравнения (20) легко находим спектр:
3 3
т - (ть т2) = (Д + -е,~(Д + Те)). (21)
[1] Широков И.В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Омск: Ом-ГУ, 1998.
[2] Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамилътоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995.
[3] Широков И.В. Координаты Дарбу на, К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли. ТМФ, Т. 123, N3, 2000.
[4] Echevcrria-Enriquez A. et al. Mathematical foundations of geometric quantization. Preprint math-ph / 9904008 (1999).
[5] Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля. Т.З Алгебраическая квантовая теория. М.: УРСС, 1999.
