CC BY
26
Математические структуры и моделирование 2004, вып. 13, с. 97-102
УДК 539.12:530.145
О РАССЛОЕНИЯХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ, ДОПУСКАЮЩИХ ВТОРОЙ ОПЕРАТОР ДИРАКА
В.В. Клишевич, Р.А. Кузякин
We consider Riemannian spaces where a second Dirac operator exists. In such spaces one can construct main bundle with a structure group and some specific bundles. The group of conjugations of Dirac operators is a structure group in the main bundle. Examples with the Minkowski space and one curved space are discussed.
Введение
Пусть Л^4 - четырехмерное гладкое многообразие класса С°° с метрикой g произвольной сигнатуры (д - симметричный тензор второго ранга) со связностью Леви-Чивита. Пара (ІИ4, д) называется (псевдо) римановым пространством. Мы рассматриваем оператор Дирака D в некоторой системе координат {хг} многообразия ЛІ4І
D = 7 kPk. (1)
Здесь Pk — i(Vfc + ГД, V*; - оператор ковариантной производной, Г* - спинорная связность. Матрицы Дирака в римановых пространствах определяются как произвольное, но фиксированное решение системы уД-7 + 7J7Z = 2gli(x)E4:, где іД - единичная матрица, gli - метрический тензор.
Второй оператор Дирака определяется следующими соотношениями:
L2 = D2, L ф D, [D,L\ = 0. (2)
Как показано в работе [1] среди операторов симметрии для оператора Дирака таким свойством может обладать только оператор вида:
L =7j f’Pt. (3)
Здесь 7i= —\xe.ijbiX^kr)1. Тензорное поле в операторе (3) антисимметрично и ковариантно постоянно
fir,к = 0, fij + fji = 0, (4)
и называется тензорным полем Яно-Киллинга.
© 2004 В.В. Клишевич, Р.А. Кузякин
E-mail: [email protected] Омский государственный университет
98 В.В. Клишевич, Р.А. Кузякин. О расслоениях римановых пространств...
Как показано в статье [2], из существования оператора L со свойством (2) (и необязательно с условием коммутрирования), вытекает существование невырожденной матрицы S, которая удовлетворяет условию
SL = DS. (5)
В данной статье мы рассмотрим некоторые следствия условий (5).
1. Группа сопряжений операторов Дирака
Отметим свойства матриц S из уравнения (5), которые подробно доказаны в работе [3].
• Матрицы S образуют группу G; на матрицы накладывается дополнительное условие det(S') = 1;
• Группа G не зависит от выбора тетрады;
• Группа G не зависит от выбора системы координат.
Определение 1. Группа G называется группой сопряжений операторов Дирака. Мы также говорим, что многообразие ЛК допускает группу G.
Следствие 1. Если два римановых многообразия ЛК и Л/4 диффеоморфны, то группы сопряжений Gm4 и G_y4 операторов Дирака этих многообразий изоморфны. я
Группа G есть некоторый инвариант риманова многообразия.
2. Главное расслоение и расслоения
Предположим, что риманово многообразие ЛК допускает группу сопряжений операторов Дирака G. Рассмотрим тройку
£ = (ЛК х К,тг,ЛК)- (6)
Лемма 1. £ является главным расслоением со структурной группой G и
базой ЛК- ■
Доказательство. Проекция расслоения 7г действует по формуле 7т(х,д) = х, х Є ЛК, 9 Є G. Произведение ЛК х G является правым К-пространством относительно действия (x,g)h = (x,gh), х Є ЛК, 9,h Є G. я
Отметим, что расслоения вида (6) называются тривиальными главными расслоениями [4].
В этой статье будем рассматривать случай, когда группа G содержит бесконечное число элементов и в таком случае, как показано в [3], автоматически является группой Ли. Известны примеры, когда группа G конечна (дискретна)
[3].
Пусть X*;, k = 1, 2,..., п - генераторы группы G. Рассмотрим условие вида
[D, e~txDetx} = 0, (7)
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
99
здесь tX = t\X\ + ... + tnXni tk ~ действительные параметры. Это условие на параметры tk задает замкнутую поверхность <т_ в W1. По теореме Уитни [5] поверхность С— можно задать уравнением /_(П,... Дп) = 0, где /_ - бесконечнодифференцируемая функция. Рассмотрим условие вида
{D,e~txDetx} = 0, (8)
тогда получим поверхность <т+, которая задается функцией ... ,tn) = 0.
Свяжем с каждой точкой многообразия ЛІ4 поверхность сг_, в этом случае получим расслоение Аналогично, если свяжем с каждой точкой многообразия Л^4 поверхность с_|_, получим расслоение £+. Таким образом
f = (Л^4 х (j±,k,M^). (9)
Проекция 7Г действует ПО формуле 7г(х, s) — X, X Є Л^4, S Є a±. В общем случае неизвестно, как группа G действует в слоях нашего расслоения.
Как показано в работе [3] для пространства Минковского поверхности <тт в R6 = R3 х R3 распадаются на две независимые последовательности сфер, а группа G есть группа SO(4). Поскольку SO(4) = SO(3) х SO(3), то подгруппы SO(3) действуют транзитивно на каждой сфере. В данной работе мы вычислим расслоения f (слои) для искривленного пространства, которое рассматривалось в работе [6].
3. Пример расслоения искривленного пространства
Рассмотрим риманово пространство с линейным элементом
ds2 = x1dxl2
а 1 2 о 2
Ах + х Ах1
dx22 - 4Mdx2dxz + ^dx2dx4
2xL xl
a 1 2 o2
4x + x 4т1
dx3
dx4
Xі
(10)
Метрика (10) является частным случаем метрики (32.4) из монографии А.З. Петрова [7, стр.284] при an = ст42/3, а22 = 4е4С2т4 2/3/9, Є4 = ±1. Если в метрике Петрова сделать замену координат х1' — ст42/3, х2' — т3, х3' = —т1, хА’ — —х2 — XіXs/2, с3 = 9е4/4, мы получим (10). Метрика (10) была независимо найдена Нюровским и Прзановским в работе [8]. Отметим, что (10) удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна, является почти кэлеровым и некэлеровым пространством.
Операторы Дирака в пространстве (10) были построены в работе [6]. Поскольку эти операторы имеют довольно громоздкий вид, в данной статье они не приводятся. Общее число вторых операторов Дирака три и они образуют ан-тикоммутативный набор. В общем случае матрица вида (5) имеет следующий вид:
5 = (А/2 )[ЁА + І7 - аі(713 - О24) + а2(т12 + О34) + a3(f4 + if3)]. (11)
Параметр А определяется из условия det(£) = 1 и принимает значение А =
е\ ехр(е2І7г/4), е\ — ±1, е2 = ±1. Числа щ,а2,а3 - действительные параметры,
100 В. В. Клишевич, Р.А. Кузякин. О расслоениях римановых пространств...
на которые наложено условие a\ + а\ + а\ — 1. Поскольку матрица S неисключительная (det(i?4 + S) ф 0), мы применим к ней преобразование Кэли (5# = (Я4- S)(E± + S)~1) и вычислим алгебру Ли нашей группы. Вычисления приводят к следующим результатам (мы придаем поочередно параметрам щ в матрице (11) значения сц — ±1. а2 = а3 = 0; а2 = ±1, а і — а3 = 0; а3 = ±1, а\ — а2 = 0; кроме того, мы добавляем к рассматриваемому множеству матриц матрицу Sq = 7):
55 = -7;
S'! = еДдчЛД — q(y — І712 — 734)]/(2p); s\ = е2[е1іл/2Е4-q(j+ vy12+ ju)]/(2p);
= е2[Єііч/2Т4-5(7 + І713 - 724)]/(2р);
S{ = e2[eiiv^^4 - 9(7 - І713 + 724)]/(2p);
Si = е2[Єііч/2Т4-5(7-І714 - 723)]/(2р);
Sl = е2[е1іу/2Д-9(7 + І714 + 723)]/(2р).
Здесь p = 1 + еіл/2, q — P + 1. Выбирая линейно-независимые матрицы среди £; = 0,1,...,6, коммутационные соотношения приведем к виду
[ХьХ2]=Хз;[Х2,Х3]
Х1;[Х3,Х1]=Х2.
Группа G представляет собой локально группу вращений SO(3). Генераторы X*;, k = 1, 2, 3 имеют следующий явный вид
X!
O'* — О,
4 V
Х2
Хз
+І °у (Ту
4 \ ч ~°у Оу
і / &Х
4 \ ®х
Здесь axiayiaz - матрицы Паули.
Пусть 3 - произвольные действительные параметры. Матрица
tX = ПХі + t2X2 + t3X3 имеет следующий вид:
е
1 [cos (в) + 1] Д + ^ [- cos (6») + 1] 7 +
Ц ^14 , + /^13 5^24^ , + ^12 , ;^34MSin(^)
2^1(7 +17 ) ^2 (7 -17 )+W +!7 Л Q •
Здесь введено сокращение 0 = |\/Г+^Г+~^з- Г точностью до множителя эта матрица включает в себя матрицу (11).
Поверхности сг=р из условий (7), (8) для пространства (10) задаются уравнениями:
(т_ : sin Q\Ai +Ц + ti) = 0;
°+ : cos (-y^i + Ц + ц\ = 0.
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
101
Таким образом поверхности <тт в М3 представляют собой последовательности сфер
с — : t\ + + t\ — 47г2п2;
сг+ : t2 + = 47Г2 ^71 + -
п = 0,1,2,...,
причем, расстояние между любыми двумя соседними поверхностями С_|_ и o’-не зависит от 71 и равно 7г. В отличие от плоского пространства таких последовательностей по одной.
Отметим, что вопрос о нахождении точных решений уравнения Дирака (даже с внешними полями) в пространстве Минковского неявно с учетом второго оператора Дирака рассмотрен в статье [9]. Данные результаты можно перенести на искривленное пространство (10).
Близкие конструкции типа (5) для скалярных уравнений рассматривались в работе Фейгина [10].
4. Заключение
В данной статье показано, что в римановом пространстве с условием (4) естественным образом можно определить главные расслоения со структурной группой, а также расслоения некоторого специального типа. Структурная группа в расслоении представляет собой группу сопряжений операторов Дирака на заданном многообразии и является глобальной калибровочной группой. Согласно теории объединения полей для описания конкретного поля в расслоении необходимо связать с каждой точкой базисного многообразия одну точку слоя. Набор всех таких точек в расслоении называется сечением расслоения; сечение эквивалентно некоторому полю. Отметим, что электромагнитные поля можно ввести стандартным образом, как это делается в физике. В операторах Дирака (1), (3) сделаем замену Р^ -д Р^ + А*., здесь А- векторный потенциал. Поля А*,, которые сохраняют условие (2), назовем допустимыми полями. Класс таких полей согласован (объединен) с гравитационным полем в расслоениях <^±. Нахождение такого класса электромагнитных полей для метрики (10), а также в общем случае будет предметом дальнейших исследований авторов.
Литература
1. Клишевич В.В., Должны М.В. О классификации римановых пространств; допускающих второй оператор Дирака. 2001. Вестник Омского университета. Физика. N1. С.21-22.
2. Klishevich V.V. On the existence of the second Dirac operator in Riemannian space. 2000. Class.Quantum Grav. 17. N.2. P.305-318.
3. Klishevich V.V. Group conjugations of Dirac operators as an invariant of Riemannian manifold. 2002. Class. Quantum Grav. 19. N.16. P.4287-4300.
102 В. В. Клишевич, Р.А. Кузякин. О расслоениях римановых пространств...
4. Постников М.М. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988.
5. Постников М.М. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1988.
6. Klishevich V.V. Exact solution of Dirac and Klein-Gordon-Fock equations in a curved space admitting a second Dirac operator. 2001. Class. Quantum Grav. 18. N.17.
P.3735-3752.
7. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. M.: Наука, 1961.
8. Nurowski Р. and Przanowski М. 1999 A four-dimensional example of a Ricci flat metric admitting almost-Kahler non-Kahler structure. Class. Quantum Grav. 16. N3. L.9-L.13.
9. Bagrov V.G., Baldiotti M.C., Gitman D.M. and Shirokov I.V. 2002. New solutions of relativistic wave equations in maqnetic fields and lonqitudinal fields. J. Math. Phys. 43. N.5. P.2284-2305.
10. Фейгин M.B. Сплетающие соотношения для сферических частей обобщенных операторов Калоджеро. 2003. ТМФ. 135. N.l. С.55-69.
