CC BY
159
Математические структуры и моделирование 2005, вып. 15, с. 66-73
УДК 539.12:530.145
О КВАТЕРНИОННОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
А.И. Бреев, В.В. Клишевич
Мы рассматриваем кватернионные формы уравнения Дирака и их связи с уравнением Гельмгольца. Дается доказательство формулы Коши.
Одно из направлений, связанное с разными обобщениями уравнения Дирака, основывается на различном представлении оператора Дирака как в плоском, так и в искривленном пространстве. В работе [1] предложена формулировка теории уравнения Дирака в случае, когда волновая функция рассматривается как полный набор антисимметричных тензорных полей по отношению к группе общекоординатных преобразований. В работе [2] дана матричная формулировка этого формализма, приспособленная для исследований соответствующей квантовой теории. Интересным аспектом построенной конструкции является факт «точного» извлечения квадратного корня из оператора Клейна-Гордона. Иначе говоря, квадрат оператора Дирака тождественно совпадает с оператором Клейна-Гордона как в плоском, так и в искривленном пространстве. В классической теории уравнения Дирака на римановом многообразии это свойство не наблюдается [3].
В данной статье мы изучаем одно специальное представление, которое было введено в работе Кравченко [4]. Мы работаем с уравнением Дирака в кватер-нионной форме. Фактически рассмотренное представление есть аналог уравнения Дирака в трехмерном евклидовом пространстве. Основной интерес к данной конструкции связан с различными приложениями в математической физике, в частности с уравнением Гельмгольца, и в кватернионном анализе, который рассматривается как некоторое обобщение комплексного анализа.
Краткое содержание нашей статьи: в разделе 1 приведены сведения о кватернионах, в разделе 2 — уравнение Гельмгольца и рассмотрены условия излучения Зоммерфельда, которые обычно используют для выделения физически значимых решений. Аналог этих условий используется в разделе 3 для введенной кватернионной формы уравнения Дирака. Раздел 3 основной. Здесь мы определяем правую и левую кватернионные формы оператора Дирака, представляем эти формы в виде скалярной и векторной части, а также находим фундаментальные решения. В заключительной 4-й части дано доказательство кватернионной интегральной формулы Коши, которая есть аналог известной формулы комплексного анализа.
Copyright © 2005 А.И. Бреев, В.В. Клишевич. Омский государственный университет.
E-mail: [email protected], [email protected]
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
67
1. Кватернионы
Кватернион а может быть представлен в виде линейной комбинации своих компонент ({од} С М для действительных кватернионов и {од} С С для комплексных кватернионов) и элементов ортонормированного базиса іk следующим образом:
з
CL ^ ^ 0Д2/г, к=0
где ф = 1 и {і/е | к = 1,2,3} - кватернионные мнимые единицы, обладающие свойствами: ik = — 1, = 1,2,3 и
Z1Z2 — ^2^1 — ^2^3 — — ^2 — И? г3^1 — — V3 — ^2-
В некоторых случаях кватернион а рассматривают в виде суммы скалярной Sc (а) = од и векторной части
Vec(a) — a — d\%\ a2z2 Н- 6Z3Z3.
Используя это представление, мы можем определить результат умножения двух произвольных кватернионов а и b в форме
a • b = а(фо
а, Ь } И- dob -Ь аЬ0 Н-
а х b
(Г
где (•, •) - скалярное умножение, [• х •] - векторное.
Кватернион, сопряженный кватерниону a = <20 + а, определяется как
a = ao — a.
Из (1) легко получить, что
CL • CL — (2q “Ь (22 “Ь &2 Н- ^3 =
Сопряженные кватернионы обладают свойством
a • b = b - а.
(2)
Отметим, что
\а • b\ = |а| • |Ь|.
Из (2) следует, что каждый ненулевой действительный кватернион а обратим и обратный кватернион дается формулой а-1 = а/|а|2.
Модуль в (2) может быть введен как
\а\ = д/|а0|2 + |ai|2 + |а2|2 + |а3|2
или в виде
|а|2 = | Rea|2 + I Ima|2.
Здесь |щ|2 = ака% и «*» означает комплексное сопряжение.
68 А.И. Бреев, В.В. Клишевич О кватернионной форме уравнения Дирака
2. Уравнение Гельмгольца
Рассмотрим уравнение Гельмгольца
Au + и2и = —fix).
(3)
В [5] показано, что
є±ііу\х\
4:71 \Х
есть фундаментальное решение оператора Гельмгольца:
(А + 1У2)в±1У = S. (4)
Чтобы выделить класс единственности решения для уравнения Гельмгольца в неограниченных областях, являющихся внешностью ограниченных областей, нужно накладывать дополнительные ограничения на поведение решений на бесконечности. Одними из таких ограничений являются условия излучения Зоммерфельда
0±„(х)
(5)
и(х) = О ^ —j-^ . (6)
Знак минус в формуле (5) соответствует расходящимся волнам, а знак плюс — сходящимся.
Решение уравнения Гельмгольца (3), удовлетворяющее условиям излучения (5) и (6), можно рассматривать как амплитуду установившегося колебания, полученную с помощью предельного перехода из неустановившихся колебаний, вызванных периодическим внешним возмущением с частотой v и амплитудой
/Щ
дщх) . . / 1
——- ^гии{х) = о — о\х\ \\х
3. Кватернионная форма оператора Дирака
Пусть заданная функция / принимает значения в Н(С) и дифференцируема в области Г2 С М3. Следуя статье [4], определим оператор Moisil-Theodoresco
где
з
Dtf = Y^hdkf,
k=1
dk
д
dxk
(Г
Определение 1. Оператор (7) называется (левой) кватернионной формой трехмерного оператора Дирака.
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
69
Получим представление оператора (7) в виде векторной и скалярной части
Di ^ ^ И
k=1
+*2
+4
dfo
дх\
dfo
dx2
dfo
dx з dfi
dfi.
-H
dh ■ 9/3.
-*2 + 7( ^3
<9xi dx і <9xi
+
dx\
dh_______
<9x9 9x3
9Л.
b -r «1 dx2
dfi.
Ь -r «1 9x3
df2
+ — 4 dx2
dh
dh . df3 .
A + 7^*3
<9x
9x2
+
+
dh . df3.
*2 + “7 ^3
9x3
dh
9x3
dx я
+
9/o ■ ^ 9/0 .
4 + 7^2
*1 +
dfi
dx і 9/3
<9x2
<9хз <9xi
*2 +
dfo. dx34 dh_dfi dx і dx2
із =
= ( -div/, grad /о + rot Л ,
(8)
где / и /о — векторная и скалярная часть кватернионной функции / соответственно. Аналогично определяется правый оператор Moisil-Theodoresco:
Dr! - У
(9)
к = 1
Определение 2. Оператор (9) называется (правой) кватернионной формой трехмерного оператора Дирака.
Поступая так же, как в (8), получим
Drf = (-div/, grad /0 - rot
Далее мы будем работать только сДи для этой формы оператора Дирака будем использовать символ D. Заметим, что
D]f = Dlf =гх
+г2
+із
d dx і d dx2 d
9x3
■ К
%1 dx і
• К
1 dx і
• К
%l dx і
+ ii
+ i2 + i3
d dx і 5 9X2 d dx з
9Л 9Л 9V
<9xf <9xf <9xf
• JV
4 dx2
• JV
12 dx2
. df_
%2dx2
= -A/.
+ H + *2 + *3
<9
<9х3 <9 dx 2 <9
9хз
9/
9x3
9/
9x3
•
4 9хз
*3
*3
Введем оператор
D±u = D±ul,
где v - комплексное число. С помощью этого оператора можно представить оператор Гельмгольца в форме
А + и2 = — (I) + и) (D — и) = — I) v Dp.
(10)
70 А.И. Бреев, В.В. Клишевич О кватернионной форме уравнения Дирака
Лемма 1. Фундаментальное решение оператора D±u имеет вид
(11)
Доказательство. Из формулы (10) следует, что
(А + v2)9y = —DyD_y0y = 8.
Функция — (D — v)9y является фундаментальным решением оператора Dv\
К v = -{D-v)Qv. (12)
Заменим v на — v и, учитывая формулу (4), получим
-(D - v)(D + v)9_v = -(D - v)(D + v)9v = D_V(-(D + v)9v) = 5.
To есть функция — (D + v)9y является фундаментальным решением оператора D_v. Учитывая (12), получим (11). ■
Найдем представление в виде скалярной и векторной части. В силу формул (11), (8), а также того, что 9 у является скаляром, получим:
К±и = — (D -F и)ву = —D9y ± иву = (13)
=dW(9y) - grad(^) - rot(^) ± v9y = (±v6„, -grad(^)).
Отсюда, в частности, следует, что
DrJC±u = DJC±U (14)
(так как Dr отличается от D только знаком перед ротором, а из предыдущей
формулы видно, что ротор К±у равен нулю).
Отдельно вычислим градиент
grad(^) = ^2(dkev)ik = - У —ггтгїУ ^= (15)
к=1
^ 4:7г\х\
к=1 1 1
еги\х\
47г|т|
zr— — --7
\х\
\х\
т .ж = -ву I т-гт ги—
\х\
и ' Ы2
Таким образом, учитывая (13), получаем выражение для /С±„ в явном виде:
JC±y = ( ±v
X . X \
-—г - IV- г ву.
\x\z \х\)
Приведем без доказательства важную теорему, которая будет использована в дальнейшем.
Теорема 1. (Кватернионная формула Стокса) Рассмотрим область PL, лежащую 6І3 с кусочно-гладкой границей Г = дРі. Пусть fug есть кватер-нионные функции (из Н(С)), дифференцируемые в этой области и непрерывные на ее границе. Тогда
((Drf(y))g(y) + f(y)(Dg(y))) dy= f(y)n(y)g{y)dT.
/о
2C
(16)
где п(у) — внешняя нормаль к поверхности Г : п(у) = Ylk=i^nk(y)-
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
71
4. Кватернионная интегральная формула Коши
Представим интегральный оператор
Kv[f](x) = - J Kv(x-y)n(y)f(y)dry, х£І3\Г, (17)
который может быть рассмотрен как аналог интегрального оператора Коши вследствие теоремы, приведенной ниже.
Лемма 2. Справедлива формула
IC^x - у) = -ICviy- х) + 2иОД - х).
(18)
Доказательство. Используя (13) и (15), получим:
K,v(x-y) = -DOu(x - у) + v6v(x - у) =
= -gxadev(x - у) + v6v(x - у) =
х - уI2 У- х _ IУ ~ х\2 У — х
\х - уI
х-у . X-у х
- ги----г I 0V{X - у) + иОи{х - у) =
\У ~ х\
У — т
IV-----г ) 0и(у- х) + нви{у- х) =
—~т ) 0v(y- х) + v9u(y — х) ) +
\у-х\2 | у-х
+ 2v9u{y - х) = -К.и{у - х) + 2v9u{y - х).
Теорема 2. (Кватернионная интегральная формула Коши). Пусть функция / Є И((С)) дифференцируема в области П из №3 и непрерывна на ее границе. Тогда если / Є kerDv(Q), то
f(x) = K„[f](x), Vx Є П.
Доказательство. Применим к (17) кватернионную формулу Стокса (16):
а'ллм = - / к„(х-т$){шт,=
= - /({-Dr K.Xx-y)}f{y)+ICM-y){DfW)}). (19)
Jn
Воспользовавшись формулами (19), (14), леммой 2 и учитывая, что Dvf = О,
72 А.И. Бреев, В.В. Клишевич О кватернионной форме уравнения Дирака
преобразуем (19):
Kv[f\{x) = ~ f ({DICv(x-y)}f(y) + JCv(x-y){Df(y)})dy =
Jci
= - J ({DvKlu(x-y)-vJCl/(x-y)}f(y)+
+ JCv(x - y){Duf(y) - vf(y)}) dy =
= - [ ({Dv(-JCv(y-x) + 2i/ev(y-x))- (20)
Jci
- иКДх-у)} f{y)-vK,p(x-y)f{y))dy =
= - [ ({-^(y-^) + 2iyDu0u(y-x)}f(y)-
Jn
—2uICu(x — y)f(y)) dy =
= f(x)-2u f {Dvev(y~x)}f(y)dy + 2v [ JCv(x-y)f(y)dy.
Jn Jn
Вычислим первый интеграл последнего выражения:
[{D„eu(y- x)}f(y)dy = [{Deu(y-x) + v6u(y-x)}f(y)dy. (21) Jn Jn
Воспользовавшись формулами (11) и (19), вычислим D9y{y — х):
D9u{y — х) = - ІСДу- х) + vev(y- х) =
= Kv(x - у) - 2vQv{y - х) + v6v(y- x) =
= Kv{x-y) - v9v{y — x).
Подставляя последнее выражение в интеграл (21), получим:
[{D„ev(y-x)}f(y)dy = [ JC„(x-y)f(y)dy.
J Q J Cl
Теперь подставим этот интеграл в формулу (20) и получим
Kv[f]{x) = f(x).
Что и требовалось доказать. ■
5. Заключение
В статье рассмотрено кватернионное представление уравнения Дирака, которое связано с уравнением Гельмгольца. Как известно, уравнение Гельмгольца есть трехмерный аналог стационарного уравнения Шредингера для свободной нере-лятивисткой частицы. В этом контексте можно придать физический смысл доказанной кватернионной формуле Коши, которая является естественным обобщением интегральной формулы Коши из комплексного анализа. Физически значимые решения (убывающие на бесконечности) выделяются при помощи условий излучения Зоммерфельда и удовлетворяют задаче на собственные значения в интегральной форме.
73
Литература
1. Вепп I.M., Tucker R.W. Weyl scaling and conformal properties of the Kahler equation // Phys.Lett. B. 1983. V.132. N.4. P.325
2. Ционенко Д.А. Уравнение Дирака-Кэлера в неевклидовом пространстве-времени. // Вести над.акад.наук Белоруссии. 2003, N.l. С.81.
3. Klishevich V.V. On the existense of the second Dirac operator // Class. Quantum Grav. V.17. P.305
Klishevich V.V. Group conjugations of Dirac operators as an invariant of the Riemannian manifold // Class. Quantum Grav. V.19. P.4287.
4. Kravchenko V.V. and Castillo R.P. An analogue of the Sommerfeld radiation condition for the Dirac operator. // Math. Meth. Appl. Sci. 2002. V.25. P.1383.
5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1984.
