CC BY
12
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2006. № 2. С. 38-40. © А.И. Бреев, 2006
УДК 539.12:530.145
УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ВТОРОГО ОПЕРАТОРА ДИРАКА
А.И. Бреев
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 12 сентября 2005 г.
We consider some analog of radiation conditions for second Dirac operators in the Minkowski flat space.
В плоском пространстве Минковского получены условия излучения для всех шести нестандартных операторов Дирака и показано, что они совпадают между собой для некоторых из них, так что имеется всего три различных формулы. Сформулирован и доказан аналог интегральной формулы Коши для второго оператора Дирака. Произведено обсуждение полученных результа-
1. Оператор МспзП-ТЬеос^гезсо
Пусть Н(С) - ассоциативная некоммутативная алгебра комплексных кватернионов (бикватерни-онов). Множество нулевых делителей этой алгебры обозначим через &.
Пусть задана функция /, принимающая значения в Н(С) и дифференцируемая в области !1 С К3. Следуя статье [2], определим левые и правые операторы Moisil-Theodoresco
Ihj У, >,'),/. 1>,.г Y^ihj.;,. (1)
fc=i
fc=i
где д]; = . Далее мы будем работать только с -О; и для этой формы оператора будем использовать символ П. Заметим, что -О2/ = В2/ = —А/. В силу этого важного равенства можно ввести следующее определение.
Определение 1. Операторы (1) называются левой (правой) кватернионной формой трехмерного оператора Дирака.
Более подробно свойства этих операторов описаны в статье [3].
2. Второй оператор Дирака
Под вторым (нестандартным) оператором Дирака понимается оператор симметрии Ь, на который наложено условие
L = V2
L^V, [D,L]= 0,
где Т> - стандартный оператор Дирака.
Из существования оператора Ь, такого, что Ь2 = ТУ2, вытекает существование невырожденной матрицы в, которая удовлетворяет условию
SL = VS.
(2)
В работе [1] показано, что в пространстве Минковского существует шесть нестандартных операторов Дирака Ь\, Ь-2, •••, ¿6 • Соответствующие им матрицы 6*1, б'г,..., 6'б имеют вид
= (А/2) (£4 - ¿7 - 701 - ¿723), (3) в-2 = (А/2) (£4 + «7 + 702 + «713 б'з = (А/2) (£4 - ¿7 - 703 - «712 54 = (А/2) (£4 + ¿7 - 7о1 + «723 в5 = (А/2) (£4 - ¿7 + 702 - «713 6'6 = (А/2) (£4 + «7 - 703 + «712
где 7 = 70717273 , Щ = (1/2) [ц,ц], £4 - единичная матрица 4x4. Параметр А введен для нормировки сШ^Б^) = 1 и равен (1/л/2)(1 + «) •
Заметим, что в нашем случае среди вторых операторов Дирака существует два антикомму-тирующих набора:
{¿1, Ьз} = {Ьз, ¿5} = {¿5, ¿1} = о, (4) {¿4, Ь6} = {Ь6, Ь2} = {¿2, Ь4} = 0. (5)
Условия излучения для второго оператора Дирака
39
3. Операторы Дирака в кватерни-онной форме
Воспользуемся способом, предложенным в [2]. Введем обозначение Ф = XI, хг, —хз). Пусть 0 с Ж4. Обозначим область, полученную из О отражением хз —>■ —хз через О.
Введем преобразование А функции Ф : О С К4 С4 в функцию Н(С), в мат-
ричном виде имеющее вид
О \ / §о \
Ф1 ф2
0 ) \ Ф з )
и обладающее свойствами
^712з7з^-1 [р] = -ЧР ^712з7о^-1 [р] = РЧ,
где 7123 = 717273 •
Оператор Дирака для свободной частицы массы т и спина 1/2 может быть записан согласно [2] в форме
/ 0 -1
1 i 0
2 -1 0
1 0 i
7оdt - кдк+ im [Ф]. V fc=i /
Рассмотрим гармоническое по времени нулевое решение Ф оператора Ш) в виде х) = = д(х)е1иг, где си £ М. На функцию д(х) имеем уравнение Вш тод(;г) = 0, где
1)ТО = гш7о - + iml
к=1
есть оператор Дирака, соответствующий q(x) и при помощи преобразования А приводящийся к кватернионной форме:
Da = D + Ма = -А11ЪЪВш,тА-\
где Ma[f] = fa, а = — {iwi\ + mi-i) •
Обозначим через LWjTO второй оператор Дирака для q(x). Пользуясь формулой (2), получим его явный вид:
= iuSi 1-l(]Si - ^ Si 1-/kSi
(6)
fc=i
где, подставляя матрицы 6*1, 6*2,..., б'е,, будем получать соответственно операторы (к=1..6), такие, что Ь^,тд(х) = 0.
Из формулы (6) очевидно следует, что второй оператор Дирака ш получается из стандартного оператора Дирака т эквивалентным
преобразованием 7-матриц при помощи матрицы в, откуда следует, что второй оператор Дирака сводится к кватернионной форме преобразованием
О а = -А71727з6'гЬШ)ТО(Л5'»)~1. (7)
4. Условия излучения для второго оператора Дирака
Пусть П - некоторая область в Ж3 с кусочно-гладкой границей. Рассмотрим функцию / £ С1 (R3 \ П) П C(R3 \ П). Тогда интегральное представление функции /, которое выражает значение функции вне области через значения этой функции на границе области, справедливо при условии / £ kerb, где L - некоторый оператор, и при некотором дополнительном условии на функцию, будем называть внешней интегральной формулой Коши для функции / и оператора D, а дополнительное условие - условиями излучения для оператора D.
К примеру для условий излучения Зоммер-фельда интегральное преобразование - обычная формула Грина, а оператор - оператор Гельм-гольца Д + к2 .
В предыдущем пункте мы свели второй оператор Дирака для q(x) к кватернионной форме, а точнее, к оператору Da . И поэтому задача отыскания условия излучения для второго оператора Дирака сводится к отысканию условия излучения для оператора Da . Согласно статье [2], имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть / € C^R3 \ П;Н(С)) П C(R3 \ ft;H(C)), / £ ker Da(R3 \Щ, а £ Н(С), Se а = 0 и удовлетворяет условию излучения
vf{x) + т—г/(х)а = о ( -1-
М-оо, (8)
где V := у/ос* £ С , а (£ &, Im v > 0. Тогда
f(x) = А'„[/](х), Vx ек3\п, где А„[/](х) =
х — у iv(x — у) |2
- J{в„(х-у)
-vY
1;Г - у\
n(y)f(y)+
+0и(х - у)1г(у)/(у)а}с1Ту,
где в 1,(х) есть фундаментальное решение оператора Гельмгольца Д + V2 .
Получим условия излучения для второго оператора Дирака в представлении, использующем 7 -матрицы. Пусть функция / удовлетворяет условиям теоремы 1. Введем обозначение д =
40
А.И. Бреев
= (АБ)^1/.!! соответствии с (7), если / € кег_Оа , то д € кегЬШ)ТО. Рассмотрим произведение
х/а = г' " ^ =
= ^71727з171727з(-г^7о - «т) д,
где х1у = 5^6=1 ;Г?о7?о • Подставив его в (8) и умножив полученное выражение на слева, окончательно получим условие излучения для второго оператора Дирака в виде
щ(х) + 75щ7з(^7о + т)д(х) = о , (9)
где 7$ = б'-1717273 .
Докажем аналог интегральной формулы Кошм для второго оператора Дирака ЬШ)ТО в неограниченной области.
Теорема 2. (Внешняя интегральная формула Кошм для ЬШ!т.) Пусть д € С^К3\Д Н(С)) П С(Ж3\П;Н(С)),д € кегЬШ1ТО(К3\П) и д удовлетворяет условию излучения (9). Тогда
д(х)=Пш,т[д](х), ,г€(К3\П), (10)
где Мш,т := (АБ^К^Б.
Доказательство. Используя (7), легко получить, что если д € кегЬш ш , то / € кег Ва . Проделав вышеприведенные операции по нахождению формулы (9) из (8) в обратную сторону, получим, что / удовлетворяет условию (8), откуда очевидно, что / удовлетворяет условиям теоремы 1 и имеет место равенство
/(.г) = ка[/](х), Ух ек3\п, (11)
заменив / на АБд в (11) и домножив получившееся равенство на , получим формулу (10).
Заметим, что при подстановке Б = Е4 в (9) и в (10) получим условие излучения и аналог кватер-нионной формулы Коши для первого оператора Дирака В>Ш)ТО, которые приведены в [2].
Подставляя в (9) явный вид матриц Б^ из формул (3), получим:
^Цд(х) + (^70 + т)'^лд(х) = о ( -1- ) , (12)
М V М /
^цд{х) + (сс>7о + т)^73д(х) = о ( — ) , (13) |х| \\x\J
^12д{х) + (сс>7о + т)^72д(х) = о ( — | , (14)
х
ОО,
где (12) - условие излучения для операторов (13) - для ,Ь%'т , (14) - для
5. Обсуждение результатов
Таким образом, мы имеем всего три различных условия излучения для шести вторых операторов Дирака. Из того, что условие излучения является общим для двух различных операторов, следует, что на бесконечности эти два оператора эквивалентны между собой. Причем заметим, что операторы , антикоммутирующие меж-
ду собой, на бесконечности эквивалентны операторам ¿4, ¿6, ¿2 соответственно, которые, в свою очередь, также антикоммутируют между собой, так что мы можем сказать, что на бесконечности два набора операторов (4) и (5) не различаются.
Перейдем к операторам Ьк = гЬ^ т+т и Т> = = ¿Ю)Ш)ТО + т и поставим две задачи на собственные значения:
Т>'ф\(х) =mi'0i(x) Ькф i(x) = ±mi'0i(.r),
Т>ф2(х) = т2'02(.г) Ь"ф 2 (.г) = ±пг 2'Î/'2 (ж),
где к = 1..3, п = к+3 и '01,2 = д1;2(х)еш('. Из того, что условие излучения совпадает для операторов Ьк и Ьп , следует, что на бесконечности ¡/>1 ~ . Так что состояние частицы, описываемое волновой функцией 01, на бесконечности нельзя отличить от состояния частицы, описываемого волновой функцией 02.
[1] Klishevich V. V. Group conjugations of Dirac operators as an invariant of the Riemannian manifold // Class. Quantum Grav. 19. P. 4287.
[2] Kravchenko V.V. and Castillo R.P. An analogue of the Sommerfeld radiation condition for the Dirac operator // Math. Meth. Appl. Sei. 2002. 25. P. 1383.
[3] Бреев А.И., Клишевич B.B. О кватернионной форме уравнения Дирака // Математические структуры и моделирование. 2005. № 15. С. 7683.
Leu, га т (jj
1 и L4
7- oj,m 7- ÜJ,m
ь5 , Ь.
