СПИНОРНЫЕ ДУХИ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ $\delta$-ФУНК\-ЦИ\-О\-НАЛЬ\-НОГО ПОТЕНЦИАЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2004, вып. 14, с. 84-100

УДК 530.12:531.51

Е.В. Палешева, А.А. Печерицын

СПИНОРНЫЕ ДУХИ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ (5-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

В последние десятилетия наблюдается постоянный интерес к решениям уравнения Дирака с нулевым тензором энергии-импульса спинорного поля и не равной нулю плотностью дираковского тока. Такие решения принято называть спинорными духами. В тех случаях, когда масса спинорного поля равна нулю, употребляют также термин нейтринные духи. Следует отметить, что обзор результатов, касающихся таких полей, представлен в [1].В этой работе нами будет рассмотрено уравнение Дирака в постоянном магнитном поле, которое при некоторых допущениях можно считать приближением реально существующих физических полей. Будет показано, что полученные спинорные духи локализуются вблизи цилиндра радиуса а.

1. Спинорные поля в постоянном магнитном поле

Рассмотрим уравнение Дирака в заданном электромагнитном поле [2]:

(-^-Тк\ф+^'укАкф = тсф. (1)

Здесь

d\(rs)

дхк

У) - г

гк

(2)

вшг = 1 (у.у _ у у.), (3)

и для гамма-матриц Л справедливы соотношения Л = А|'аДа). в которых А|'а) — тетрада векторов, а ґуЛ) — матрицы Дирака, определяемые с помощью двухрядных матриц Паули:

7

(о) =

/ 0

0 -I

7(«) =

о (Та ~(Та 0

© 2004 Е.В. Палешева, А.А. Печерицын

E-mail: [email protected] Омский государственный университет

Рис. 1. Ток имеет направление вдоль оси цилиндра, а векторы напряженности и магнитной индукции направлены по касательной к окружности, расположенной в плоскости Xі — const. При рассмотрении 5-функции как предела пиковых потенциалов вектора В и Н имеют положительное направление вне цилиндра и

отрицательное — внутри.

Пусть в пространстве-времени Минковского задано постоянное магнитное поле:

А0 = А1=А3 = 0, A2 = 5^(x42 + (x3)2-a)j. (4)

Потенциал (4) равен нулю во всех точках трехмерного пространства, не лежащих на цилиндре (см. рис. 1)

(х1)2 + (х3)2 = а2. (5)

Поэтому в областях

(х1)2 + (х3)2 < а2 (6)

и

(х1)2 + (х3)2 > а2 (7)

уравнение (1) будет соответствовать свободному уравнению Дирака, которое в пространстве-времени Минковского1 принимает вид:

ih^k) УУ = тсф. (8)

Будем искать решения уравнения (8) в областях (6) и (7). При этом под внутренним решением будем понимать решение в области (6), а под внешним — решение

1 Заметим, что Г к = 0 и к\ так как пространству-времени Минковского отвечает

метрический тензор gik = diag{l, —1, —1, —1}.

85

в области (7). Соответствующие условия сшивания внутреннего и внешнего решения будут получены нами позже2.

Прежде чем начать искать решения уравнения (8), докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть решение уравнения Дирака в пространстве-времени Минковского удовлетворяет соотношению

Ф =

фі ■ е~ІХх° ■02 • егХх°

где

Фг =

uix1, X3)

V ‘ / /1 3 \ to

V[X , X )

Цх1, х3) -Цх1, X3)

(9)

(10)

причем А = mc/h, ф*ф ф 0, а и и и — вещественные функции. Тогда ф является спинорным духом.

Доказательство. Следует напомнить, что в пространстве-времени Минковского тензор энергии-импульса задается соотношением

=т Д'0’7-^ - +^‘7<о,7‘|? - ЦхД ■ <п)

при ЭТОМ3 7о = 7*Д 7а = —фа\

Поэтому несложно заметить4, что Too будет равно нулю только при условии

^_^ = 0.

дх° дх° Для спинорного поля (9) получим:

(12)

~ = _ИА д* + 2ІЛ^>

но так как

Ф*іФі = ф*2ф2 = и2 + v2,

то соотношение (12) является справедливым. Поэтому Т0о = 0.

Докажем теперь, что Т0а также будет равно нулю для любого а = 1,2,3. Несложно проверить, что в этом случае (11) эквивалентно следующему:

(0) _ эг (0) _ {а)»Ф + W(a) =

дха дха дх° дх°

дха дха

дх° дх°

(13)

2Следует отметить, что обсуждение проблем, возникающих при решении уравнения Дирака с (^-функциональным потенциалом, а также методы получения условий сшивания можно найти в [3-5].

3Индекс а пробегает значения 1,2,3.

43десь учитывается свойство гамма-матриц у(°)у(°) = Е, где Е — единичная матрица 4x4.

Подставляя (9) в (13), получим, что Тф = 0, только если равно нулю соотношение

ди ди

2 и^— + 2и-

дх°

дхс

ди

2-—и

дха

- ІХ (Ф1(Таф2) е2гХх° ~ І\ (ф^афі) Є 2гХХ" + ІХ (Ф1<Таф2) е

ди

>___

дха

и +іХ(ф*2аафі) е

—2 і\х°

(14)

—2 і\х°

i\x°

Несложно заметить, что выражение, содержащееся в скобках соотношения (14), равно нулю. Причем также взаимно сокращаются и остальные слагаемые в (14).

Так как приведенные выкладки были сделаны нами для произвольного <а, то мы доказали равенства

Тої — Т0 2 — Т0з — О

для рассматриваемого спинорного поля.

Для доказательства равенства нулю остальных компонент тензора энергии-импульса полученного спинорного поля рассмотрим следующее соотношение:

~ |^7(0)7(ЙФ, (15)

которое, после подстановки в него спинора (9) и выполнения некоторых преобразований, примет вид

Ф*2°(3

дф\ дф.

дха дха

2 <?ізФі

е~2ІХх° +

Ф*1°(3

дф2 дф\ дха дха

i\x°

(16)

После подстановки спинора (9) в данное соотношение, получим, что (16) тождественно равно нулю для каждого (3 = 1, 2, 3. Из этого следует равенство нулю остальных компонент тензора энергии-импульса (11).

Так как ф 0, то дираковский ток, вычисляемый по формуле

jk = сф+чкф,

не равен нулю. Поэтому волновая функция (9) соответствует спинорному духу. Теорема доказана. ■

2. Внутреннее и внешнее решения

Возьмем решение уравнения (8) в виде

где

ф

фі ■ е гХх° ф2 • егХх° ’

иіх1, X3) и(х1, X3)

\ > / /1 3 \ , Ф2 = \ > / / 1 \

V[X , X ) —и(х , X )

(17)

87

а и и v — вещественные функции. Согласно теореме 1 решения такого типа являются спинорными духами. Подставив (17) в уравнение (8), получим систему дифференциальных уравнений на функции и ни, так называемые условия Коши-Римана:

ди ди

дх1 дх3 ди dv

дх1 дх3

О,

0.

(18)

(19)

Поступим следующим образом. Так как функции, удовлетворяющие условию Коши-Римана, должны быть при этом и решением двумерного уравнения Лапласа, найдем решения данного уравнения. Частные решения уравнения Лапласа, которое в полярных координатах записывается как [6]

1 / dU\ 1 d2U г \ дг ) г2 дф2

(20)

представлены в [7]. Несложно проверить, что приведенные ниже пары функций удовлетворяют условиям Коши-Римана (18) и (19), которые в координатах

Xі = г cos ф, х3 = г sin ф

имеют вид

ди дг dv дг

Итак, для области (6) положим

и = Arn cos (пф),

v = Аг11 sin (пф), (21)

а в области (7) примем

JA>

и = cos [(тг + i)0],

v = + Ш (22)

где А и В — некоторые произвольные вещественные постоянные, а постоянная п связана ограничением

п > 0, (23)

которое будет объяснено позже.

Тогда, учитывая (17), а также соотношения

1 dv

г дф ’ 1 ди г дф

г2 = (ж1)2 + (ж3)2

= arctg

(24)

получим следующие решения:

Двнутр.)

А ((ж1)2 + (ж3)2)2 cos (п ■ arctg (fr)) е~гХх° А ((ж1)2 + (ж3)2)2 sin ('п • arctg ( Д ) е~гХх° А ((ж1)2 + (ж3)2)2 sin (п • arctg (^Д егЛж° —А ((ж1)2 + (ж3)2)2 cos (п • arctg ffr)) егХх°

для внутренней области и

(25)

Д(внешн.)

cos

в

(П + 1) arctg (ф

п-1-1

((ж1)2 + (ж3)2) 2

0—iXx°

sm

-В

(п + 1) arctg (

((ж1)2 + (ж3)2)П21

і\х°

sm

-В

(п + 1) arctg §т

уъ —|— 1

((ж1)2 + (ж3) ) 2

niXx°

COS

-В

(п + 1) arctg (2І

УЪ —|— 1

((ж1)2 + (ж3)2) 2

огЛж0

(26)

во внешней области.

Для дальнейшего исследования необходимо отметить следующее. Так как потенциал (4) симметричен относительно пространственного вращения вокруг оси X2 на произвольный угол, то условия сшивания внутреннего и внешнего решения проще получить в цилиндрической системе координат. Это связано с тем, что в данной системе координат в пространстве-времени Минковского уравнение (1) допускает разделение переменных.

В цилиндрической системе координат (т°, г, т2, Д) в пространстве-времени Минковского уравнение (1) будет иметь вид

^7(0)тп5 +

охи иг ох1

+ !Т(3)^ +

г дф

+—'У^ф + - 7^(5 (г - а) ф = тсф . 2 г с

(27)

При этом решения (25) и (26) тоже надо перевести в новую систему координат. Для этого необходимо проделать следующие операции.

Во-первых, используя соотношения (24), запишем компоненты спиноров (25) 89

89

и (26) как функции г и 0:

Arn cos (пф) е~гХх°

Аг11 sin (пф) е~гХх°

Аг11 sin (пф) егХх° ’ —Аг11 cos (пф) егХх°

(28)

ф(г + 0)

та+1 cos [(п + 1)ф]е гХх°

JA)

- п+1 sin [(п + 1)0] е~гХх°

JA>

----sin \(п + 1)0] егХх°

JA)

—777 cos 1(тг + I)1)1] elA;f0

(29)

Во-вторых, переход к новой системе координат влечет за собой переход к новым ориентациям тетрады Аг^ в каждой точке пространства-времени, последнее имеет характер локального преобразования Лоренца [8]. В нашем случае этим преобразованием является пространственное вращение на угол ф вокруг оси X2 [9,10], причем матрица такого преобразования имеет вид:

"10 0 0

0 cos ф 0 — sin ф 0 0 10 0 sin ф 0 cos ф

(30)

Тогда связь между новыми компонентами спинора Ф, с одной стороны, и старыми ф - с другой имеет вид соотношений Ф = вф, причем матрица S определяется как

cos f -sinf 0 0

sinf О О in to he- 0 0

0 0 cos f -sinf

0 0 sinf cos f

(31)

Поэтому решения (25) и (26) при переходе к цилиндрической системе координат будут преобразованы по закону

Ф(г — 0) = вф(г — 0), Ф(г + 0) = вф(г + 0),

где S — матрица (31), а ф(г — 0) и ф(г + 0) определены соотношениями (28) и (29) соответственно.

90

Тогда в новой системе координат мы получим:

Ф(г — 0)

Arn cos ((гг + |) ф) е~гХх° Arn sin ((гг + |) ф) е~гХх° Arn sin ((гг + |) ф) егХх° —Arn cos ((гг + |) 0) егХх°

при г < а, (32)

Ф(г + 0) =

В

гп+1

COS ((гг+1)0) е

—iXx°

В

Гп-\-1

в

в

rpTL~|-1

sin ((гг+ 1)0) е

—і\х°

sin ((?г + І) 0) е cos ((гг + I) ф) е

і\х°

іХх°

при г > а.

(33)

Теперь найдем условия, позволяющие сшить функции (32) и (33).

3. Граничные условия

Следуя работам [3-5,11], подставим решения

Г Ф(г — 0), г < а, і Ф(г + 0), г > а,

(34)

где Ф(г — 0) и Ф(г + 0) определены соотношениями (32) и (33), в уравнение (27). Затем проинтегрируем (27) по г от (а — є) до (а + є) и перейдем к пределу при є —> 0. При этом мы доопределим решение в точке г = а как линейную комбинацию решений Ф(а — 0) и Ф(а + 0) с произвольными коэффициентами и уже после перехода к пределу найдем значения этих постоянных.

Вначале перепишем решение (34) в виде

’ Фі • е~ІХх° ф=[ 0.Є-» J' (35)

#i(r)cos ((гг+ \) ф) ' 1 |_ і?2(г0 sin ((гг + \) ф) \ ’ (36)

Г R2{r)sm ((гг + \) ф) ' 2 В\(г*) cos ((п+і)ф) \ ’ (37)

91

a Ri(r) и R>(r) — кусочно-непрерывные функции, определяемые выражениями

Ri(r — 0) = Аг11, г < а,

Ri(r) =

Ri(r + 0) =

В

(38)

Дтг+1)

Д2(г)

R2(r — 0) = Аг

ТДг + 0) =

,тг

в

г(п+1) ’

, г > а,

г < а, г > а.

(39)

Положим

Ri(r — 0) = R2{r — 0) = R(r — 0) = Атг

Rx{r + 0) = -R2{t + 0) = R{r + 0) =

Для того чтобы доопределить спинор (35) в точке г = а, будем считать,

і?і(&) = С\ R\(cl — 0) Н- D\ R\(cl + 0),

Rz(a) = С2 Rz^u ~ 0) + R^ifl + 0),

где СД С*2 и Di, D2 — некоторые постоянные.

Итак, подставим (35) в (27). Получим, после приведения подобных,

(40)

(41)

ЧТО

(42)

(43)

<9Ф2 1

<71 —-----1---СГ3

71

дг г <9Фі

5Ф2

дф 2 г 1 ^ Яс

аіФ2 = (гсг2) 5 (г - а) Ф2 ,

■ст3

<9Фі

+

(ТіФі = (га2) 5 (г - а) Ф3.

ас

(44)

дг г “й дф 2г Далее, в силу соотношений (36) и (37), несложно заметить, что

Ф2 = го2 Фі.

Поэтому система уравнений (44) эквивалентна следующему:

(9Фі 1 (9Фі 1 е

^1—-----н+ — (7іФі = — (іа2) 6 (г - а) Фі,

о"1

<9r г 3 дф 2г

<9Фі 1 <9Ф

<9г

сгіФі = (гсг2) 5 (г - а) Фі

he

(45)

г аз дф 2r "L "1 he

Уравнения (45) будут справедливы при условии

1 <9Фі 1 т

+ = °’ г дф 2г

<9Фі _

<7l ----Н - <73

дг

Т~ {га2) 8 (г — а) Ф3 = 0 . he 92

(46)

(47)

92

Подставив теперь (36) и (37) в уравнения (46) и (47), придем к системе

dR2

дг

sin \ п + -

дЯг

дг

cos { { п +

1\ R1

— | п + - ) — sin | ( п + -

= О 1

+

(48)

+ §sin((" + ^

1\ r2

п + - I — cos | ( п +

Ri ( 1

+1*гК"+і

— cos ( ( ті + - ) ф ) R\8 (г — а) = 0 ,

2

= 0,

+

he

sin ( ( n + ^ ) ф ) R2S (r — a) = 0.

(49)

(50)

(51)

Нетрудно видеть, что система уравнений (48) - (51) равносильна следующим уравнениям:

8R

2 ( 1 \ R\ R2 _ n

лМП+2,)т + 2Щ0'

(52)

(53)

(54)

R2S (г — а) = 0. (55)

В уравнениях (52) - (55) перейдем к интегрированию по г от (а — є) до (а + є):

dRx ( 1\ R2 Ri п

Ifr -\П+2)Т

R\8 (г — а) = 0,

I / (п+\)тЛг+ І t* = 0’

(56)

CL~\~Є CL~\~Є CL~\~£

/ / {n+12)vdr+ / ^dr = °'

г-s a—ea+z а—є

f R\S (r — a) dr = 0 ,

а—є a-\-e

f R2S (r — a) dr = 0.

а—є

(57)

(58)

(59)

Учитывая соотношения (38) - (43), получим, что система уравнений (56) - (59) эквивалентна равенствам

R{a — <s) — R{a Н- є) = 0 .

СіДі(а - 0) + ДДі(а + 0) = 0 , (60)

(щ2^2(^ — 0) + 4?2І?2(^ + 0) = 0 . 93

93

Переходя к пределу при є —> 0, получим:

R(a — 0) = R(a + 0), C\R\(cl — 0) + D\R\(cl И- 0) = 0 , C2R2 ~ 0) + H- O) — 0.

В силу соотношений (42) и (43) получаем:

в = Ла(2“+1),

(61)

а также

R\ (cl + 0) R2 (^ Н- 0)

сі 0

0

G

D2

Ri(a — 0) i?2(^ — 0)

(62)

(63)

Кроме этого, мы также получим из системы (61) соотношения на коэффициенты:

Сг = -Оъ C2 = D2.

В результате (63) примет вид:

R\ (а 0)

І?2(& + 0)

= СГЗ

Ri(a — 0) #2 (а - 0)

(64)

Таким образом, учитывая соотношения (35) - (37) на волновую функцию Ф, получим условия сшивания внутреннего и внешнего решения:

ф(° + о)=(о3 Т ) ф(а ■

(65)

Нетрудно заметить, что переход решения из одной области в другую осуществляется с помощью унитарного преобразования

U =

Итак, мы получили следующее решение:

Ф =

Ф(г — 0), г < а,

где

Ф(г + 0), г > а,

Ф(о + 0) = г7^7^У^Ф(о — 0)

и

Ф(г - 0)

Arn cos ((п + |) ф) е~гХх° Аг11 sin ((п + |) ф) е~гХх° Arn sin ((п + |) ф) егХх° —Arn cos ((п + |) ф) егХх°

(66)

(67)

(68)

94

Ф(г + 0)

~^п+ї cos ((п+1)ф) e~iXx°

-Дт8Іп ((п + ї)Ф) е~ІХх° -Дт8Іп ((П + І)^) е'Лж°

-^rcos ((п+1)Ф) eiXx°

(69)

4. Свойства решения

Покажем, что полученное решение уравнения (27) является спинорным духом. Для этого надо выяснить вопрос о равенстве нулю тензора энергии-импульса спинорного поля, определяемого соотношением (11). Отметим, что решение уравнения Дирака (1) в областях г < а и г > а было получено нами сначала в пространстве-времени Минковского, а потом, учитывая преобразование спинора при переходе из одной координатной системы в другую, было переведено в цилиндрическую систему координат. Это означает, что формулы (32) и (33) задают то же самое решение, что и формулы (25) и (26). Но решение (25) и (26) удовлетворяет условию теоремы 1. Поэтому оно является спинорным духом.

Следовательно, и в цилиндрической системе координат тензор энергии-импульса

(11) будет равен нулю в областях г < аиг > а.В точке же г = а тензор энергии-импульса также будет равен нулю, так как в силу граничных условий Ф(а) = 0.

Для того чтобы пронормировать5 решение (32) и (33), положим

1

с

2тг Too

j °rdrd(f)

о о

1.

Получим:

27г а

27г Too

Ф*Ф rdrd(f> +

Ф*Ф rdrd<p

1.

0 0 О а

Подставляя в левый интеграл выражение (32), а в правый — (33), будем иметь

a Too

4тгA2 J r2n+1dr + 4тгВ2 J = 1. (70)

0 а

Оба интеграла в (70) будут сходиться лишь при условии п > 0, этим и объясняется ограничение (23).

Итак, учитывая (62) и вычисляя (70), получим:

А — ^п(п+1) - (71)

ап+! Т2тг(2п + 1) * 95

5См. работу [12].

95

Рис. 2. Распределение вероятности при п = 15 и а = 10.

Соотношение (71) определяет нормирующий множитель А.

Рассмотрим теперь, как ведет себя квадрат модуль амплитуды вероятности.

Одной из основных особенностей соотношения Ф+Ф является следующее:

lim Ф+Ф = lim Ф+Ф ,

г—> а—0 г—> а+0

хотя в точке г = а волновая функция Ф имеет разрыв. Графики, соответствующие распределению вероятности спинорных духов (66) - (69), представлены на рис.З и рис.2 при некоторых значениях параметров п и а.

При всех значениях параметров п и а максимум функции распределения расположен на поверхности цилиндра г = а, причем наблюдается асимметрия функции Ф*Ф. Исследуем изменение интенсивности при фиксированном параметре п.

При п = 2 максимальное значение увеличивается примерно в 100 раз с уменьшением параметра а в 10 раз. При п = 5 функция распределения аналогичным образом зависит от изменения значения параметра а.

Заметим также, что максимум функции Ф*Ф будет увеличиваться с ростом параметра п (при постоянном значении величины а).

Таким образом, наиболее вероятное положение частицы, описываемой волновой функцией (66)—(69), находится вблизи поверхности цилиндра г = а. Можно также сказать, что спинорное поле сосредоточено вблизи поверхности магнитного поля.

5. Магнитное поле

Следует отметить, что ток, порождающий магнитное поле (4), определяется из уравнения

ViFki = -—jk

С

и, вычисленный в цилиндрических координатах (х°,г, х2, вид:

(72)

, имеет следующий

7° =Г = 73 = 0 7 2

Jmap Jmao Jmao i J',

mag

С б"(г — а)

4лт

96

Рис. 3. Распределение вероятности при п = 2 и а = 0.01.

97

Рис. 6. Распределение вероятности при п = 5 и а = 0.01.

98

Так как в рассмотренных цилиндрических координатах интервал ds определяется соотношением

ds2 = (dx°f — dr2 — (dx2)2 — r2d02,

то вектор напряженности магнитного поля Н и вектор магнитной индукции В, вычисленные с помощью известных формул6 [13], принимают следующие значения (см. рис. 1)

В = Н = 0,0,

S'(г — а)

Полученное решение может соответствовать следующей физической задаче. Рассмотрим цилиндр радиуса а и высотой /г, на поверхности которого определено достаточно большое магнитное поле, причем вне поверхности цилиндра поле очень быстро падает. Тогда можно в некотором приближении говорить о магнитном поле с ^-функциональным потенциалом. Рассмотрим достаточно малый по сравнению с h участок цилиндра и исследуем поведение спинорного поля в данной области. Тогда мы можем считать цилиндр радиуса а бесконечно протяженным. При таких приближениях мы как раз получим задачу (1) в пространстве-времени Минковского и ее решение (66) - (69).

Литература

1. Палешева Е.В. Решения уравнения Дирака с нулевым тензором энергии-импульса. // Математические структуры и моделирование. 2004. Вып.13. С.114-118.

2. Гололобова А.С., Кречет В.Г., Лапчинский В.Г. Динамика спинорной материи в ОТО І/ Теория относительности и гравитация / Под ред. В.И. Родичева и др. М.: Наука. 1976. С.133-158.

3. McKellar B.H.J., Stephenson G.J., Jr. Klein paradox and the Dirac-Kronig-Penney model // Phys. Rev. A. 1987. V.36. P.2566.

4. Roy C.L. Boundary conditions across a 5-function potential in the one-dimensional Dirac equation // Phys. Rev. A. 1993. V.47. P.3417.

5. Sutherland B., Mattis D.C. Ambiguities with the relativistic 5-function potential // Phys. Rev. A. 1981. V.24. P.1194.

Ba = - A= Ha = -Деа^Н^,

2y7 2

где 7 — определитель трехмерного метрического тензора

УаД — gaf3 4"

доадор

9оо

— единичный антисимметричный тензор 3-го ранга, вт.ч. Є123 = 1, а тензоры Вар и На& определяются по формулам

Ва0 = Fap, =

Здесь Fik - тензор электромагнитного поля.

99

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Гостех-издат, 1953.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978.

8. Фок В.А. Геометризация Дираковской теории электрона / Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С.415-432.

9. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966.

10. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М.: Физматгиз, 1958.

11. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.

12. Barut А.О., Duru I.H. Exact solutions of the Dirac equation in spatially flat Robertson-Walker space-times // Phys. Rev. D. 1987. V.36. P.3705-3711.

13. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Теория поля. M.: Физматлит, 2001.

100