CC BY
45
УДК 530.145
Гидродинамический метод в квантовой динамике
фермионов
JI. С. Кузьменков*, С. Г. Максимов1, X. JI. Гуардадо1
* Кафедра теоретической физики Физический факультет Московский Государственный Университет им. Ломоносова Россия, 119899, Москва, Воробьевы горы ' Технологический институт г. Морелиа Мексика, 58120, Мичоакан, Морелиа, ав. Текнолохико кол. Ломас де Сантиагито, 150
На основании уравнения Шредингера и квантовомеханического определения плотности вероятности приводится вывод фундаментальных уравнений микроскопической квантовой гидродинамики фермионов во внешнем электромагнитном поле (уравнения баланса частиц, импульса, энергии и магнитного момента), в которых явно выделены вклады чисто квантового происхождения, исследуются возможности метода для многоэлектронных атомов.
1. Введение
Основу микроскопической квантовой гидродинамики (МКГ) составляют локальные «законы сохранения» или уравнения баланса энергии, импульса, числа частиц в трехмерном физическом пространстве. Уравнения баланса могут быть получены из уравнения Шредингера для волновой функции в конфигурационном пространстве путем явного учета в динамике частиц квантовомеханического определения плотности вероятности [1]. Полевая форма квантовой динамики позволяет сохранить в ней представление о физических процессах как системах причинно-следственных связей. Каждое из уравнений баланса имеет соответствующий классический аналог и может рассматриваться также как результат прямого квантования уравнений, минуя процедуру квантования классического гамильтониана, что важно для диссипативных систем. Так как законы взаимодействия и динамики частиц одни и те же для'разных форм самоорганизации вещества, уравнения МКГ не образуют замкнутого математического аппарата до тех пор, пока в них не отражена физическая индивидуальность системы частиц. Макроскопическое описание может быть достигнуто путем перехода к макромасштабам [1], либо путем построения уравнений для статистических систем [2,3].
Ниже рассмотрена система фермионов во внешнем электромагнитном поле. Наличие собственных магнитных моментов у частиц приводит к тому, что пять уравнений баланса не образуют более фундаментальную систему уравнений гидродинамики и должны быть дополнены уравнением баланса плотности магнитного момента. Вывод этого уравнения потребовал уточнения вида гамильтониана спин-спинового взаимодействия. Во всех уравнениях МКГ для фермионов явно выделены слагаемые, имеющие чисто квантовую природу. Обсуждается также общая проблема замыкания уравнений баланса. Приводятся вычисления корреляционных функций и обменной энергии спин-спинового взаимодействия на основании непротиворечивого гамильтониана спин-спинового взаимодействия. В качестве приложения метода МКГ рассмотрена задача о многоэлектронном атоме, для которой получена замкнутая система уравнений. Эта задача является обобщением известной модели Томаса-Ферми-Дирака па случай нестационарных состояний атома и учитывает обменные спин-спиновые взаимодействия. Для стационарных состояний приведен интеграл уравнения баланса импульса, который определяет связь между концентрацией электронов и потенциалом поля.
2. Гамильтониан спин-спинового взаимодействия
Взаимодействие собственных магнитных моментов частиц подобно взаимодействию магнитных диполей. Поэтому гамильтониан спин-спинового взаимодействия обычно [4-6] принимается в виде:
н-* i; 4 - эдмгм- - -51; <»
где Гц = Гг - Г], х?] = х" - х°, а = 1, 2, 3; г, з — номера частиц или ячеек кристалла. При этом однако не учитывается тот факт, что дивергенция магнитной индукции равна нулю всюду. Действительно, магнитиая индукция системы N магнитных диполей в вакууме равна:
ва(*) = Enflfll 1 iMf = /^ о ?la I 1 /I Е - (2) dxadxß |r-rj| 3 J dxadxß |r - r'| ^ J y 3' w
N
где - Tj) = М(г') — микроскопическая плотность магнитного момента.
j=i
Простое дифференцирование (2) дает:
divB - [ dr'~Äi 1 ilMß(г') = -47rdivM(r) J ох? |г - r'|
и приводит, таким образом, к отличным от нуля источникам магнитного поля. В этом случае, как легко видеть, rotB = 0.
Корректный вид гамильтониана спин-спинового взаимодействия можно получить непосредственно из классических уравнений Максвелла:
divB = 0, rot(B - 4тгМ) = 0, (3)
где M(r, t) — плотность собственных магнитных моментов электронов. Из (3) имеем:
ЛВа = 4тг ( 6aß Л - 9\ а ) Mß. (4)
\ dxadxß) к '
Магнитную индукцию можно представить в виде
Ba(r) = Idr'Gaß(r - v')M0(r'). (5)
Тогда для функции Грина Gaß{г) получаем уравнение:
= (6)
В фурье-представлении Gaß имеет вид
= (7)
и поэтому
e^W-slsii + ^W. (8)
На основании принципа суперпозиции искомый гамильтониан равен 1 *
н = ОГ/ = С«*(г.-гД (9)
1 <Л=1
При переходе к квантовомеханическому описанию М? следует заменить оператором М? = мост" магнитного момента г'-й частицы.
Для двух фермионов гамильтониан спин-спинового взаимодействия может быть получен из релятивистского выражения для амплитуды рассеяния двух фермионов [7]:
Мп = е'2(й'170и1)Д00(р'1 ~ Р1)(й'21°и2) + с2(й'11ащ )П^(р[
Рх +Р2 =р;! +р'2, (л,^ = 1,2,3)
с последуюущим разложением ее в ряд до членов ~ 1 /с? (известное уравнение Брейта [7]). Здесь фотонный пропагатор в кулоновской калибровке имеет вид
= = 0, ^ =-М* У (11)
ч и2/с2-а?\ а2 )
Биспинорная амплитуда свободной частицы ир с требуемой точностью выражается через спинорную амплитуду шр волновой функции
ир = уЪгк?
V
• = (12)
р
С точностью до членов ~ 1 /с2 волновая функция ц> удовлетворяет уравнению Шре-дингера:
\2тп 8гп3с2 у к Из (10), (11) и (12) получаем:
М}^ = -4т1т2С4Ц+ги2+{/(РъР2,ч)1У11и2,
т \ а г/ 1 1 1 , (др1)(дра)
1/(р1,р2,Ч) = 41ге - ~ + т1т2с\< ~
_ (Р1Ра) + *0"1[дР1] _ **1[дра] _
где интересующий нас потенциал спин-спинового взаимодействия имеет вид:
В координатном представлении: &рш(г) = (¿р {¿чО^М^ =
дх°дх0 (2тг)3 У я2
е2 д2
47П1ТП2С2
Этот результат находится в согласии с найденным выше выражением для функции Грина (8). Следующим шагом в получении гамильтониана спин-спинового взаимодействия является выделение ¿-функции, присутствующей неявно в выражении -д2/дхадх^(1 /г), путем усреднения по всем направлениям вектора г, так что (см. [7])
д2 1 6а0 Зхахр 4тг „ ч
• + (16)
дхадх@ г г3 г5 3
Действительно, взяв шпур от обеих частей равенства (16), получаем тождество. В результате спин-спиновая часть потенциала Брейта приобретает вид:
В теории ЯМР вводится так называемое контактное взаимодействие Ферми (-87фв<72£(г)/3) для устранения неопределенности типа 0 х оо, возникающей при вычислении квантовомеханического среднего от гамильтониана спин-спинового взаимодействия в форме (1) (см. [8]).
Однако, как и выражение (1), формула (17) приводит к отличной от нуля дивергенции магнитной индукции. Причина такого противоречия лежит в некорректном выделении ¿-функции в формуле (16). Несмотря на то, что шпур от (16) приводит к тождеству, дифференцирование левой части (16) по дает:
9 Л1 А 9 Г/ N
--—А- - 4тг-—6(т), дха г дха v '
а для правой части (16) получаем:
47г д
3 дхс
¿(г).
По-видимому, в этом случае необходимы более тонкие методы анализа обобщенных функций. Здесь для нас важным является тот факт, что гамильтониан спин-спинового взаимодействия, свободный от указанных противоречий, должен быть принят в виде:
« = -5 £ = С«0(п - г,'). (18)
Этот гамильтониан лежит в основе выводов, изложенных ниже.
3. Исходные уравнения
Рассмотрим систему N взаимодействующих фермионов с одинаковыми массами, зарядами и собственными магнитными моментами, которая находится во внешнем электромагнитном поле. Состояние системы N фермионов задается волновой функцией в ЗМ-мерном конфигурационном пространстве:
являющейся снинором Аг-го ранга. Динамика такой системы описывается уравнением Шредингера:
Гамильтониан системы является матричной недиагональной формой по дискретным спиновым индексам, так что действие его на волновую функцию будет иметь вид:
Гамильтониан рассматриваемой системы равен:
й = + о - М<5чВ(г^))1 + \ Е' - (20)
»=1 I ) 1,7=1
где Щ = - еА?/с, цв = еН/2тс — магнетон Бора, Л® = Аа(г1Л) —
векторный потенциал поля В(г,£), = 1/|хч - — функция Грина оператора
Лапласа, а б^8 определена выше (8), (9). Для матриц Паули <7,а справедливы коммутационные соотношения:
• [а°,а0] = , (21)
где суммирование производится только по повторяющимся греческим индексам. Оператор а? действует лишь на соответствующую спиновую координату спинора фз(Я^), то есть его матричные элементы имеют вид:
№)зз> = (5|а?|5'> = П - 8% (22)
где <5£ , — обычные матрицы Паули в пространстве 5С/(2). Для перехода из конфигурационного пространства в физическое следует определить операторы материальных полей. Достаточно задать оператор плотности числа частиц (или концентрации) [1]. Тогда операторы плотностей потоков появляются автоматически в уравнениях непрерывности и баланса импульса.
Усредненная по квантовомеханическим состояниям концентрация частиц есть величина:
п(г,4) = Е /¿ВД(Д.*)Л(г,Д)1ЫЯ,*) =
С *
N
ст£5(г-п)х(23)
Л
где сШ= П(1гь к-1
4. Фундаментальные уравнения квантовой
гидродинамики фермионов
Вывод уравнений квантовой гидродинамики со спином аналогичен приведенному в работе [1] с той лишь особенностью, что в данном случае следует воспользоваться коммутационными соотношениями (21). В результате уравнение непрерывности и уравнение баланса импульса приобретают вид:
«^М + ^М-О. (24)
+ V'3 (Л^г, ¿) + - еп(г, I) -
- / аг'е2У*С(г - г'Мг, г', ¿) + I I) + J тс
+ М>3(г, г, ¿) + У - г/)М^(г, г', *), (25)
где плотность импульса частиц определена в виде
= + (26) Тензор плотности потока импульса
= Е ХХГ ~ Х + Ф?ОГФзУФв} (27)
связан с квантовым тензором Яа/3 [1,9,10] формулой:
так что плотность потока П^Р удовлетворяет классическому соотношению ¿Бр= е^п (гып — плотность кинетической энергии).
Уравнение баланса импульса (25) содержит плотность магнитного момента частиц М(г,4):
Г м
М^(г,0 = Е / (28)
я ¿=1
Кулоновские и спин-спиновые взаимодействия между частицами представлены в (25) слагаемыми, в которых:
г "
п2(г,г', 0 = Е / - Г'ЖГ' - ЪЖ^з (29)
в 1=1
— двухчастичная плотность вероятности (нормированная на N(N — 1)) нахождения двух частиц в окрестностях точек гиг' соответственно, и
N
в -1 1=1 ^ Л«?
N
='Е /ад^'ф-г.Жг'-г.^х
.......'Ы 1,7 = 1
— соответствующий (28) двухчастичный тензор плотности магнитного момента. Из (25) видно, что уравнение баланса импульса систем частиц со спином должно рассматриваться совместно с динамическим уравнением для плотности магнитного момента системы Ма(г,£). Такое уравнение нетрудно получить путем дифференцирования (28) по времени, последующего использования уравнения Шредин-гера (19) и коммутационных соотношений (21). В результате находим
= + /ёг'СЛг-ОМ^гУ,*)}, (31)
где
•>м (г,0 = Е/ + (32)
— тензор плотности потока магнитного момента.
Уравнение (31) является обобщением известного уравнения Блоха (см., например, [11]) на случай пространственно распределенной системы частиц.
5. Поле скоростей
Представим волновую функцию в виде:
,. N V
1Рз(Н, 0 = ехр 0 £ тг^ ^(г, Я, ¿), (33)
где гидродинамическая скорость v(r, £) определяется из условия:
.Кг, г) = тп(т,г)у(т,г), при этом для нового спинора ^{г, Д. 0 получаем:
Е / аДЕ+№>5)>5} =0.
Л, ¿) — волновой вектор, определенный относительно локальной системы координат с началом в точке г и мгновенной скоростью у(г,<).
Действуя оператором на волновой вектор 1/>(Д,£), получаем:
ф{Д, £) = шиа(г, Ь) ехр^V Е тг») 0 + ®Фу Е тг') ^
(34)
В результате уравнения (24), (25) и (31) приобретают вид:
^М + у(п(г^Мг,0)=0, (35)
7nn(r, t) (jt + v(r, t)v)i>«(r, t) + V" ^(r, t) + 6Qß~An(r, i)j =
= cn(r, t)£"xt(r, i) - J dr'e2VaG(r - r')n2(r.r',i) +
+ -e"^n(r,i)i.0(r, t)B2xl{r,t) + M0(r, t)VaBfUr, t) + с
+ y"dr'VaG/37(r-r')A//37(r,r',i), (36)
fi^ + V'^r.imr.O+itftr.t))«
= + |dr'G7Ä(r-r')M^(r,r',i)}, (37)
где тензоры и отличаются от соответствующих им П^3 и J%f лишь заменой спинора ф в (27) (32) на "локальный" спинор </?.
6. Уравнение баланса энергии
Следуя методу построения оператора плотности энергии в квантовой механике многих частиц, изложенному в работах [1,3,9,10], легко получить следующее выражение для плотности энергии (без учета внешних полей), которое имеет вид:
£(г, ,) = / сШ £ i(r - r,)i ± + J_ (д^)"+
N
' + / dЯ ¿(г - rt)-^+ (e2Gij - (38)
После выделения гидродинамической скорости плотность энергии е(г, £) можно представить в виде суммы конвективной части и плотности внутренней энергии n(r,t)e(r,ty.
e(r, t) = n(r, t)mV + n(r, t)c(r, t), e(r,i) — удельная энергия частиц. Она определяется выражением:
пМММ) = / «£«(, - „^{„♦¿(DJ») + +
+ i JiR S(r - r,)»>+(E2Cy - (39)
Дифференцируя (38) по времени, используя уравнение Шредингера и исключая конвективные слагаемые, получаем следующее уравнение баланса внутренней энергии:
(I + уУ)е + (рс + ^ + ^ = - - 2». (40)
п. .„
где
N
л'
+ ^ - («'Су (О
1,7=1
— плотность теплового потока внутненнй энергии.
Плотность работы 2Щг,г), совершаемой системой со спинами на тепловых скоростях (относительно локальной системы координат, связанной с гидродинамическим потоком) во внешнем магнитном поле имеет вид:
х |п2(г,г', ¿)е2^С(г - г') - Л^Чг.г'^^Чг - г')| - 11 с1г' (та70(г, г', 0 + ШГ^г'. г, У^Чг - г') +
+ (г>*)£°*г [ ММ*'(г, Г', - г' ). (42)
тс у
где тензор 3-го ранга ЦЛау0(г, г',£) имеет смысл двухчастичной плотности потока магнитного момента относительно локальной системы координат (на тепловых скоростях) и имеет вид:
огЛг,г', 4) = /¿я *(г - г,Жр' - гх
1,7=1
+ (43)
Заметим, что тензор ЯЛ является симметричным по первым двум индексам, так как входящие в (43) матрицы Паули относятся к разным частицам и, следовательно, коммутируют.
Интегро-дифференциальное уравнение (40) является исходным уравнением неравновесной квантовой термодинамики системы заряженных частиц со спином в соответствии с представлениями динамической концепции [12].
Система уравнений квантовой гидродинамики (35), (36), (40) и (42) является точной в том смысле, что при ее выводе не привлекались какие-либо дополнительные для квантовой механики предположения. Эти уравнения являются незамкнутыми, так как содержат в слагаемых с взаимодействием двухчастичные функции
п2(г,г',*), и Для величин, определенных через такие
функции, также можно получить уравнения, но они будут содержать трехчастич-ные функции. Продолжая эту процедуру, мы придем к цепочке уравнений для физических полей различной тензорной размерности. Такая цепочка уравнений эквивалентна уравнению Шредингера. Поэтому фундаментальные уравнения МКГ, как
и уравнения классической гидродинамики, должны быть дополнены уравнениями состояния, конкретизирующими состояние системы частиц и характер физических процессов.
7. Проблема замыкания уравнений баланса и
одночастичное уравнение шредингера
Двухчастичные гидродинамические функции являются функционалами волнового вектора ^(г,R,t). Процедура получения замкнутого аппарата сводится к установлению функциональной зависимости двухчастичных функций от одночастич-ных полевых функций n(r,t), v(r, £), M(r, t) и e(r,i). С этой целью выделим в волновом векторе в каждый момент времени антисимметризованное произведение одночастичных ортогональных спиноров ^(xj,i):
ip(r,Xi,. . .,XN, t) = (х 1, . . . ,1дг|щ,П2, ...\t)+ C(r,Xl, ...,XN)t),
(xU...,XN\nun2,...-,t) = ^-J2(-1)Pp{<Pfl(X^t) " '^fN^N^)). ^
P
Через Xi мы для краткости обозначили совокупность пространственных координат rj и спинорного индекса s,. Поскольку одночастичные спиноры ipff{xi,t) не зависят от координат в физическом пространстве г, то зависимость от г в «локальном» волновом векторе <p(r, R. t) может реализовываться через числа заполнения п/, то есть числа заполнения являются функциями г и в общем случае t.
Потребуем, чтобы одночастичные волновые функции хорошо аппрок-
симировали гидродинамические функции, такие как концентрация, ток, плотность магнитного момента и т.д.
Эволюция одночастичного спинора <pft(xi,t) описывается одночастичным уравнением Шредингера:
ihd-^=(hvf)(x,t) (45)
с эффективным одночастичным гамильтонианом h. Потребуем, чтобы одночастич-ный гамильтониан h 0ыл согласованным с уравнениями (35-37), (40) и (42) и уравнениями поля. При этом основными для нас уравнениями, определяющими динамику системы, являются уравнения гидродинамики. Уравнение (45) носит вспомогательный характер. Поэтому нет необходимости требовать, чтобы одночастичный
гамильтониан h содержал квантовые корреляции и уравнение (45) было полностью эквивалентно уравнениям квантовой гидродинамики.
Подстановка (44) в двухчастичные функции (29), (30) и (43) дает следующее групповое разложение:
n2(r, г', t) = п( г, t)n{ г', t) + д{ г, г', t) + $[С], Maß(r, г', t) = Ma(r, t)Mß{ г', t) + maß(r, r', t) + mQ/3[C],
mrß{T,r>tt) = i{j^(r,i)M7(r',i)+я?м)м°(г',*)} + ГЛгУ^ + ГЛс],
(46)
где g(r,r',t), ma/3(r,r/,i) и fja7^(r,r',i) определяют обменные корреляции, а ¿[С],
ij [С] и mö^[C] — слагаемые, содержащие Подстановка (46) в
уравнения (35-37), (40) и (42) приводит к появлению самосогласованных электрического Eint и магнитного В8Рш полей, удовлетворяющих следующим уравнениям:
divEmt = 4тгеп, divB8pin = 0,
rot(B„pin - 4тгМ) = 0, rotEint = 0.
Уравнения (36), (37) не содержат магнитного поля, вызванного диамагнитными токами. Кроме того, в выражении для силы Лоренца отсутствует взаимодействие тока с полем Взр!п. Эти обстоятельства связаны с недостатком исходного нерелятивистского гамильтониана, взятого за основу для получения гидродинамических уравнений. Указанный недостаток может быть устранен, в частности, путем сравнения уравнений классической и квантовай гидродинамики. Классические уравнения для частиц с электромагнитным взаимодействием содержат аддитивно внешнее магнитное поле и поле, обусловленное токами. Соответствующие квантовые уравнения в пределе должны совпадать с классическими и, следовательно, содержать информацию о всей совокупности гидродинамических эффектов классической физики. Это возможно, если в уравнениях квантовой гидродинамики будет присутствовать полная сила Лоренца и учтено взаимодействие магнитного момента с полным магнитным полем. Таким образом, учитывая требования принципа соответствия непосредственно в уравнениях баланса, мы оставляем без внимания проблему конструирования нового гамильтониана на основании того же принципа и приходим к уравнениям:
тпп(г, I) + 4)'V) „°(г, 4) + V* ^(г, I) + 6<*Ё-Дп(г, ь)
+ еп(г, 0 (Я°(г, *) + 4)В7(г, <)) +
+ М13(г, (г,I) - I с1г'е2УаС(г - т')д{г,т',Ь) +
+ 1<1т'ЧаС13~>(г-г')т^{г,г',1) + Г\(;}, (48)
+ ^ (>(r, t)M* (г, t) + tf? (г, t)) = г, t)iT (г, t) +
+ J-fßy [ dr'G^r - r'K* (r, r', t) + /£[<], (49) mc J
где /Q[C] и ЛЯС] — слагаемые, содержащие C(xi...., асдг, £). а поля Е(г,£) и В(г,£) удовлетворяют полным уравнениям Максвелла:
divE = 47ren, divB = 0,
, 10Е , 4тг 10В (50)
rot (В - 47гМ) = -— + —env rotE =---—.
4 с dt с с dt
В качестве одночастичного гамильтониана естественно взять гамильтониан с самосогласованными полями Ф(г,£) и A(r,i):
ih*£L = J_(pA(r,t))%f - Цв(&В(т ,t))<pf + еФ( r, t)<pf. (51)
ot ¿m \ с '
Поля Ф(г,£) и A(r, t) являются решениями совместно уравнений Максвелла (50) с источниками n(r,t), v(r,t) и M(r,i) и уравнений квантовой гидродинамики (48) и (49) с обменными корреляционными функциями g(r,v\t), maß{r,r',t) и ^"^(r.r'.i), функционально связанными с одночастичными волновыми функциями cpf{r,s,t). Таким образом, задача становится замкнутой и самосогласованной не только относительно полей Ф(г,*) и A(r,i), но и одночастичных спиноров <р/(т, £). Заметим, что рассмотрение процессов при конечных температурах приводит к необходимости включения в рассматриваемую систему уравнений также уравнения баланса энергии (40) и (42).
Общая схема получения замкнутого аппарата квантовой гидродинамики после расчета корреляционных функций реализована ниже для нестационарной задачи о многоэлектронном атоме.
Развитый выше общий метод получения замкнутого аппарата микроскопической квантовой гидродинамики предполагает вычисление корреляционных функций, которые могут быть вычислены с использованием итерационной процедуры. В качестве нулевой итерации возьмем ортогональные одночастичные волновые функции, являющиеся решениями одночастичного уравнения Шредингера, приведенного в (51), в котором из взаимодействия оставим лишь взаимодействие спина с внешним магнитным полем. Учет этого взаимодействия необходим для получения зависимости обменных корреляционных функций от плотности собственного магнитного момента электронов. Пренебрежение этим членом в одночастичном гамильтониане приведет к существенной потере информации о спине в уравнениях квантовой гидродинамики. Таким образом, одночастичное уравнение Шредингера в нулевой итерации принимает вид:
Очевидно, что координатная и спинорная части волновой функции ¡pf разделяются и мы получаем уравнение для спинора to:
= -М*ВоН 1 D2 (53>
Предположим также, что спины всех электронов прецессируют, оставаясь в каждый момент времени параллельными или антипараллельными. Таким образом, система спинов прецессирует как единое целое. В дальнейших расчетах нам понадобится поляризационная матрица плотности в произвольный момент времени t. Поэтому получим для pa{t)\
ш = w„{t)w+(t) (l + a (<xf(i))), (54)
где £(t) — единичный вектор, определяющий направление магнитного момента электрона в произвольный момент времени и равный
f(t) = (l - cos(2^i)) + ncos(2^i) - ^pi sm{2uLt), (55)
cj/„ = c.Bo/2mc — частота ларморовской прецессии электрона, n — единичный вектор направления магнитного момента в момент t = 0.
8. Расчет спин-спиновой обменной корреляционной функции
Найдем обменные функции <?(r,r',i), m0/J(r,r', t) и f)a7/3(r, г', t). Имеем из формулы (30) с учетом тождественности частиц:
уУ SN- J
х <р*(г, г/; г', и'; RN^,SN-2; t)(&fd$<p) (r, и\ г', v'\ RN-2, SN-2\t) =
+ (56)
, 2 •/.и'
где черта над тензором означает комплексное сопряжение, = • • <1г\-, — Е ■ ввеДенного в (56) комплексного тензора второго ранга
1$(г,г',0 имеем:
4*
= £ ¡Мы-
X ,/: г', 1>'\ ДЛ'_2, (г- ^ г'< ^ Дл-2. 5л-. 2:0 +
+ Ял-_2, О}. (57)
Подставляя волновую функцию (44) в (57), где в качестве одночастичных функций р/ взяты решения уравнения (52), а также воспользовавшись двойным разложением детерминанта Слейтера:
£ п>
х
/ /'</ У * х ((г,ы|/;4)(г',^|/,;0-(г',и;'|/;0(г,и;|/';4)) х
х (Ддг-а, ,..., (п/. - 1),..., (71/ - 1),...: *), (58)
приходим к следующему выражению:
2 „<
+ {/¡^.»/ХЛ^^УХг.и^^^Хг'У!/';«) -
- </; ¿Иг',\ и)(г, и\д*I/: 0 (г', „'|/'; 0 ) • (59)
Выражение, стоящее в круглых скобках, обращается в нуль при / = /'. Поэтому сумму можно распространить также на случай /==/'. Окончательно получаем:
(г>= 1 (№ь) + 1?(г,о) -
-¿(Ел/ЫГ^Ч/^М/;^)
X (Е 71 (г'' "VI/';
х (60)
где
№. *) = Е (/; "> <г> И*в1/; *>, /
. 0 = 1 (/¿'(г, ¿)+*)).
Подставляя полученное выражение для (60) в (56), окончательно получаем двухчастичный тензор плотности магнитного момента:
иУ
М%{т, г', г) = м?(г, г)М* (г', ¿) + т$(г, г', *),
+ (г, +
+ (г, и\р{£)\г', г/)(т\ 1/\орр{г)оа\т, и). (61) р(Ь) — одночастичная матрица плотности, которая имеет вид:
/
Таким образом, мы получили выражение для спин-спиновой обменной корреляционной функции (61) для произвольных одночастичных волновых функций Выбирая в качестве нулевой итерации те или иные одночастичные волновые функции, мы получим уравнения квантовой гидродинамики для конкретных физических систем (кристаллов, атомов и т. п.). Например, используя одно-частичные функции Блоха, мы получим уравнения для систем с периодической пространственной структурой, т.е. кристаллов. Так как одночастичный волновой вектор равен
(г, ИР, (Г) = -^еК'р'-М 4), (62)
то, суммируя по индексам у и и', получаем из (61): т^г.г',*) = £т^(г,г',*) = *
+ е-*(р-р')(--г') 8р(¿0Шаара1(1))^ . (63) Используя перестановочные свойства матриц Паули и формулу (54), находим:
Эр(»"Ш^рАЦ) = + + +
+ ^'/"(О/ЧОвр (*в<7"а*<х") =
= \баР{ 1 - сто"') + - а') + <г<х'П0/*(«). (64)
Подставляя полученное выражение в формулу (63), и одновременно заменяя сумму по импульсам интегрированием, находим плотность обменной энергии спин-спинового взаимодействия:
¿зршМ) = 6г'Са8(т-г')тав(т,г',1) =
^ ' а,а'
X ((1-аст')Саа(р-р,) + 2аа'Г(0/'3(0С^(р-р/))- (65)
Здесь учтена симметрия тензора С?0'3 относительно перестановки индексов. Подставляя сюда функцию Грина спин-спинового взаимодействия в фурье-представле-нии (7), получаем:
4Рт(г, 0 = 2тг/4п2 - 27Г^В(2^)б /Йр/АР'{Пр<+1 ~ Пр "О *
, ч ((р - р'ж*))
Поскольку интегрирование в (66) происходит при фиксированном времени, ось г системы координат можно выбрать таким образом, что Г = ег. А так как область интегрирования сферически-симметрична, то окончательно получаем:
¿8рт(г, 0 = 2тгц2вп2 - /6р/^'^("р.-и - "р.-О х
х (пр/,+1 - Пр.,-!) » 2тгд^п(г, £) - у М2(г, г). (67)
Выражение (67) получено на основании корректного гамильтониана спин-спинового взаимодействия и, как видно, всегда положительно, в то время как обменная энергия, рассчитанная на основе общепринятого гамильтониана (1), была бы равной:
Ёврт = -2чгр%П+П--£Ив(п+ ~ П-) »
и, как легко видеть, отрицательно определенной (п± — плотность электронов с ориентациями спинов вдоль (против) вектора
Вычислив плотность обменной энергии спин-спинового взаимодействия, мы можем найти плотность силы обменного взаимодействия спинов, входящую в уравнение баланса импульса (48):
О = / - Г')т^(г, г', <) =
х -aa'í\t)) +2ТО7йМ/^(())^«п[(р-р')(г-г')А]. (68)
Если система неограничена, то второе слагаемое равно нулю, так как Gafl(г -г') — функция четная, то есть Ga/3(г - г') = Ga/}(г' - г), и она интегрируется
по неограниченному пространству с нечетной функцией sin (р - р')(г - г')//! . В результате получаем:
^piIl(r, t) = j dr'VG^r - r')m07(r,r',í) = -2VQespin(r,í). (69)
9. Обменный вклад в уравнение Блоха
Полученное выражение для обменной спин-спиновой корреляционной функции позволяет найти обменный вклад в уравнение Блоха. Из формулы (63) имеем:
BQ(r,i) = —€*fh I dv'GlS{r-v')m0s{v,r',t) = тс J
" JápJdp'^X vv'^AtWiP-PVs(t)- (70)
* a,a'
В результате приходим к формуле:
М = / dp / dp' Е х
а,а'
*W'l¡r^r1(r-(p-p'))- (71)
Так как пР|(Г не зависит от направления вектора р, то
Унп/нп'^я « (Р7-Р,7)(Р"-?Л м у dp у dp ^ Пр1<тПр/>(Г--jp_p,j2-~
Поэтому интеграл в (71) равен нулю:
Ба (г, í) ~ /»6™ = 0. (72)
Таким образом, в рамках рассматриваемого приближения, когда в качестве нулевой итерации выбраны одночастичные волновые функции (62), обменное спин-спиновое взаимодействие не дает вклада в уравнение баланса плотности магнитного момента (49).
10. Кулоновские обменные корреляции
Рассмотрим двухчастичную плотность вероятности:
?i2(r,r',í) = Y^ rw(r,r',í),
Vil'
где
iw(r,r',0 = N(N - 1) x
в N-'2
х (r,v■,r',v'\RN-■¿,SN-.2\nl.n2,...■.t). (73)
Используя разложение (58), получаем:
пии, (г, г', ¿) = п„(г, 1)пи,{т'.¿) - |(г, 1/|р(0|г', 1/')12. Отсюда легко видеть, что
им'
= -^2 (74)
р,р' 0",вг'
где
Эр^ЛОМО) = ^ 8р(1 + (<7 + а') (**(*)) + ^2(<)) = 5(1 +
Обменная энергия кулоновского взаимодействия была получена Дираком. Поэтому приведем окончательный результат для плотности обменной энергии кулоновского взаимодействия:
«'•«>■- -'«'(¿г{(»++ (- ж|м<м)|),'т<75)
Формула (75) при М(г,4) = 0 получена также в работе Киржница [13] (а также см. работы [14-16]).
Плотность силы обменного кулоновского взаимодействия равна:
= ~ у"<1г'е2У°С(г- г')<й(г,г',¿) = ~2У%(г.О (76)
в силу того, что интегрирование по импульсам ведется во всем пространстве и функция Грина оператора Лапласа — четная функция.
11. Явный ВИД ТЕНЗОРА ДАВЛЕНИЯ
Для дальнейшего замыкания уравнений баланса нобходимо получить явный вид тензора давления. Как было получено ранее, тензор кинетического давления р^Р определяется формулой (27), в которой волновая функция ^(Я.*) заменена на «^(Я, 0 из соотношения (33). С учетом тождественности частиц имеем из (27) и (44):
V -1
х ОаОс1(г, и\ 5,уу-1|п1,П2, ...;£)+ к.с.|. (77)
Используя разложение детерминанта Слейтера по одной из строк, получаем:
РсЬ *) = 4 Е Е (</; ^ I) + к.с.). (78)
» У
Выражение для тензора давления (78) получено для произвольных одночастичных волновых функций Выбирая одночастичную волновую функцию опре-
деленным образом, то есть учитывая индивидуальные свойства рассматриваемой системы, можно получить уравнение состояния, пригодное для описания конкретной системы, например, кристалла, ядра атома и т.п. В частности, для систем с большой плотностью электронов можем взять в качестве нулевой итерации волновые функции в виде плоских волн (62).
Подставляя в (78) одночастичные волновые функции (62), приходим к следующему выражению для кинетического давления:
(2^3/(79) гдер^ — давление Ферми, которое имеет вид:
, . (2тг/г)2 / 3 \2/3[/ 2тс, Л5/3 ( 2тс, Л5/31
|(п+|Ф1м|) чп-]Ф|М|) /• (80)
Как легко видеть, полученная из уравнения Шредингера формула для тензора давления при М = 0 дает давление Ферми при нулевой температуре.
В уравнение баланса магнитного момента (49) входит плотность потока магнитного момента .7^(г,£). Действуя так же, как и в предыдущих случаях, получаем, что
Я? (*. *) - \ Е Е*/ ^ {■' М&Ь И*в1/; «) +
+ = (81)
поскольку в рассматриваемом приближении импульс и собственный магнитный момент электрона оказываются нескоррелированными.
Суммируя результаты, полученные в (67), (69), (72), (75), (76), (80) и (81), окончательно получаем:
шп(г, *) + £)'(г,¿) + У*р( г, £) =
= еп(г, 0 (яа(г, *) + £)57(г, £)) + Мр(г, г, £), (82)
+ V" (^(г, £)М°(г, £)) = 0- (83)
Здесь все обменное взаимодействие заключено в р(г, , так что получаем для квантового давления:
К2
р=рР + 2ёс + 2ёцР\п + —Лп, (84)
4т
где ёвр|П и ёс получены выше (см. (67) и (75)). Уравнения (82) и (83) рассматриваются совместно с уравнениями поля (50).
12. Многоэлектронный атом
Рассмотрим задачу о многоэлектронном атоме с зарядом ядра, равным Ze (е > 0). Магнитное поле предполагается равным нулю. Плотность собственных магнитных моментов электронов, если заполнены все нижние энергетические уровни, отлична от нуля лишь на внешней оболочке атома, и для многоэлектронного атома вкладом нижних уровней можно пренебречь. В нестационарном случае многоэлектронный атом описывается системой уравнений (82), (83) и уравнением непрерывности, которые в сферической системе координат имеют вид:
дп 1 д / о \ 10/ . 1 0 / \
-7ГГ + н--:—Z"5ZIn?Jesm0 + —r-TJ-^-l^J =0,
dt т2дг\ > г sin 0 00 \ / rsin0 0yA '
fdvr , dvr vedvr vv dvr dp дФ
\ at or г дв rsinfl 0уз r / or dr
(dvg dv9 vg dv$
+
dve
rsmd dip
+ 0
r r
+
1 dp 1дф + = —, 85) г дв r do
mn
(dvv dvv vg dvv vv dvv vrvv v$vv \
__2_0р _ 1 дФ
Гв\nddtp ГБтвдр'
Потенциал поля Ф(г,0,у>) удовлетворяет уравнению:
0 / 20Ф\ ( I д(. 1 dЧ\ 2
— г —— + тхт; яп^тг Н--5—7—^ = -е2д(г) +4лепг'1. (86)
дг\ дг) \81пвдв\ дв) ьхгРвдч?)
Будем искать стационарные осесимметричные решения. Выбирая систему координат таким образом, чтобы ось г являлась осью симметрии, и полагая, что Ув = 0, получаем для уравнения непрерывности из системы уравнений (85):
10/, \ 1 0
— — (r2nur) + —= 0. г2 dr \ 1 rsin0 0yj\ W
Так как система обладает осью симметрии, то производная по переменной </> от любой из полевых функций равна нулю. Отсюда сразу получаем ьг(г,в):
<87)
Введем величину ги, такую, что:
Уар(г,0)==п(г,0)УашМ), (88)
тогда уравнения (85) принимают вид:
0г \ 2 ) г
1 д / \ ГПУ2
= (М)
+ (9„
Уравнение (91) имеет два решения, одно из которых — г>г = 0. Интегрируя это уравнение в случае иг ф 0, получаем, что </>-я составляющая гидродинамической скорости равна
= (92)
Подставляя (92) и (87) в (89) и (90), приходим к следующей системе:
В'(в) = т%(6)сЬ&0.
Здесь /г(0), /<Д0), С(0) и £(0) — функции, определяемые из системы уравнений (93). Из системы (93) легко получить выражение для плотности электронов п(г, в), которое имеет вид
Полученное выражение приводит к неправильному результату для числа электронов. Действительно, интеграл от (94) по всему объему, занимаемому системой, дожен быть конечным и равным числу электронов в атоме. Тем не менее, число электронов в атоме, вычисленное на основании формулы (94), равно
N
к оо
= 2-кМ [5твйв\Ш\ [ Гйг
V 2 7 У у/С{0)г*-В{9)-т%(0У2
Легко видеть, что этот интеграл расходится. Следовательно, ьг = 0. С учетом этого результата получаем из (89)—(91)
Переменные г и & в этом уравнении разделяются, то есть
Цг, в) - еФ(г, в) = Я{г)Т{в) - еФ0, где функции И(г) и Т(в) удовлетворяют уравнениям:
г сМ(г) кёв с1Т(в)
Д(г) ¿т Т{9) АО
а Ф0 — значение потенциала Ф(г,0) на бесконечности; к — константа, определяемая из граничных условий. Интегрируя эти уравнения, находим Щг) и Т{0)\
П{г) = А^к, Т(в) = АцАпк0.
Отсюда получаем следующий интеграл уравнений (89)-(91):
ш(г, в) - еФ(г, в) = Ark sin* в - еФа. (95)
Так как плотность электронов и потенциал Ф(г, 0) быстро спадают при г —> оо, то к < 0 в уравнении (95). С другой стороны, подставляя (95) в уравнение (89), находим, что
mv2. . , ,
г
Так как к < 0, а в правой части уравнения стоит положительная величина, то А > 0, а поскольку входящий в правую часть этого уравнения sinö принимает как положительные, так и отрицательные значения, то выражение, стоящее в уравнении справа от знака равенства, принимает положительные значения только при четных к. Таким образом, к = -2/, где / = 0,1,.... Полагая на бесконечности потенциал равным нулю, окончательно получаем выражения для скорости г- и уравнение для концентрации:
^ = (96)
+ 4п/4п2 + = Vг,в) - sin'2'в j . (97)
Последнее должно рассматриваться совместно с уравнением (86) для потенциала Ф. Величина (96) имеет смысл удельного момента количества движения электрона. Как видно из (96), возникает дискретный спектр этой величины из условий на границе системы. Выражение в правой части (96) обращается в бесконечность при 0 = 0, я. Однако этот факт не должен приводить к противоречиям, так как при расчете интегральных характеристик системы: полной энергии системы, полного момента импульса и т. п., гидродинамическая скорость входит в виде произведения с плотностью электронов п(г, 9). Например, момент количества движения атома определяется формулой:
1Г ОО 9
/Г „ Tnvfo sin 0 d6 / г dr—£ =
о о
г оо
= 4тгЛ/ j{ Sin0r2/+1d0 J r-2/+1d rnM). (98) o o
Условие отсутствия особенностей в nvv можно рассматривать как одно из условий, накладываемых на плотность п(г, в) при решении рассматриваемой задачи. Удобно выделить в потенциале Ф(г,в) поле, создаваемое электронами Ф(г,в):
= ~ + (99)
г
Тогда плотность энергии системы с учетом поступательной энергии равна:
3 . cZ 1 s , mrl
е = -pF + ес + £«pin - --- - 2епф + 2 П'
а полная энергия системы оказывается равной:
7Г оо / 2 / \ ^^
E(A,f) = 2x ¡smedd Jr2drn(r,6) "2/3 "
0 0 \ ^ '
(\ 'У3 \
+ (101)
Из системы уравнений (97) и (86) легко получить приближение, в котором справедлив метод Томаса-Ферми-Дирака. Действительно, в основном состоянии, когда / = 0, учет граничных условий приводит к необходимости положить в уравнении (97) А = 0. Если пренебречь слагаемым h2An/4m в уравнении (97), мы приходим к модели Томаса-Ферми-Дирака многоэлектронного атома с той разницей, что в полученных нами уравнениях учтена обменная энергия спин-спинового взаимодействия, рассчитанная в данной работе на основании корректного гамильтониана спин-спиновых взаимодействий (9). Если при вычислении полного квантового давления, а не только pff, использовать в каческтве первой итерации плоские волны, как это сделано в работе [10], условие An ~ 0, при котором справедлив метод Томаса-Ферми-Дирака, будет выполнено автоматически.
В заключение произведем оценку вклада обменного спин-синового взаимодействия в энергию многоэлектронного атома, сравнив ее с обменной энергией куло-новского взаимодействия. Найдем концентрацию электронов, при которой плотности обменных энергий спин-спинового и кулоновского взаимодействий становятся равными, то есть |ес| = |ё3,,т|. ^ ЭТ0М слУчае получаем
3/2
Оценим среднее расстояние между электронами при таких концентрациях:
Таким образом, на электронных концентрациях порядка 1029ст-3 плотности обменных энергий кулоновского и спин-спинового взаимодействий практически совпадают. При дальнейшем росте концентрации электронов плотность обменной энергии спин-спинового взаимодействия становится больше плотности обменной энергии кулоновского взаимодействия, так как последняя растет медленнее с ростом концентрации, как это видно из (67) и (75).
Плотность электронов в атоме качественно можно оценить, полагая, что электронная плотность распределена в атоме однородно:
п
4?
где га — радиус атома, 2 — число электронов в атоме. Поскольку радиус атома порядка 10~8сттг, то плотность электронов в атоме имеет порядок п ~ 1024ст~3. Для атома железа, например, эта концентрация имеет порядок 102аст~3.
Литература
1. Кузьменков JI. С., Максимов С. Г. Квантовая гидродинамика систем частиц с кулоновским взаимодействием и квантовый потенциал Бома // ТМФ. — Т. 118, № 2. - 1999. - С. 287-304.
2. Гуров К. П. Основания кинетической теории. — М.: Наука, 1966. — 269-287 с.
3. Боголюбов Н. Н. Избранные труды в трех томах. Том третий. — Киев: Наукова думка, 1971.
4. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Спиновые волны - М • Наука, 1967.
5. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Том 1. — М • Мир 1971 — 72 с.
6. Ashcroft W. N., Mermin N. D. Solid state physics. — New York, Chicago, San Francisco, Atlanta, Dallas, Montreal, Toronto, London, Sydney: Cornell University, Holt, Rinehart and Winston, 1976.
7. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1989. - 383-390 с.
8. Александров И. В. Теория ядерного магнитного резонанса. — М.: Наука 1964. - 95-102 с.
9. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г., Федосеев В. В. Микроскопическая квантовая гидродинамика систем фермионов I // ТМФ. — Т. 126, № 1. — 2001. — С. 136-148.
10. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г., Федосеев В. В. Микроскопическая квантовая гидродинамика систем фермионов II // ТМФ. — Т. 126, № 2. — 2001. — С. 258-270.
11. Roald К. W. Magnetic Resonance for Arbitrary Field Strengths // Phys. Rev. — Vol. 98, No 4. - 1955. - P. 927.
12. Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — М.: Высшая школа, 1973. — 215-228 с.
13. Киржниц Д. А. Квантовые поправки к уравнению Томаса-Ферми // ЖЭТФ. — Т. 32, вып. 1. - 1957. - С. 115.
14. Cell-Mann М., Breuckner К. A. Correlation Energy of an Electron Gas at High Density // Phys. Rev. - Vol. 106. - 1957. - P. 364.
15. Gell-Mann M. Specific Heat of a Degenerate Electron Gas at High Density // Phys. Rev. - Vol. 106. - 1957. - P. 369.
16. Компанеец А. С. Об установлении теплового равновесия между квантами и электронами // ЖЭТФ. - Т. 31, вып. 5. - 1956. - С. 876.
UDC 530.145
Hydrodynamic Method in the Quantum Dynamics of Fermions
L. S. Kuzmenkov S. G. Maxltnov*, J. L. Guardado *
* Department of Theoretical Physics Moscow state University "M. V. Lomonosov" Vorobyevy gory, Moscow, 119899, Russia * instituto Tecnológico de Morelia Av. Tecnológico No. 1500 col. Lomas de santiaguito, C.P.58I20 Morelia, Mich., México
Fundamental equations of the microscopic quantum hydrodynamics of Fermions in an external electromagnetic field are derived from the Schrfidinger equation and the probabilistic interpretation of the wave function. Purely quantum contribution is separated in the balance equations, i. e. the local conservation laws of the momentum, the energy, etc. Possibilities of applying the hydrodynamic method to the many electron atoms are investigated.
Правила оформления статей
В журнале печатаются оригинальные и обзорные статьи российских и зарубежных авторов по следующей тематике: 1) Частицы и поля; 2) Квантовая и статистическая физика; 3) Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом; 4) Вычислительная физика; 5) Радиофизика.
Редколлегия журнала «Вестник Российского университета дружбы народов», серия «Физика» просит авторов придерживаться следующих правил при представлении статьи в журнал.
1. Статьи представляются на русском или английском языке.
2. Объём статьи не должен превышать 1 печ. л.
3. Автор представляет в редакцию электронную версию рукописи, набранную в системе 1ДТ£Х(используется версия Ш£Х2е, для набора формул используется макропакет Дд4«5-ШеХ). К электронному варианту прилагается отпечатанный на бумаге экземпляр или файл в формате Postscript или PDF.
4. Текст статьи должен включать аннотацию (в аннотации не допускаются ссылки на цитированную литературу и громоздкие формулы), введение, заключение. Глубина разбивки текста не должна превышать трёх уровней (разделы, пункты и подпункты).
5. Для каждой статьи указываются коды УДК и MSC (PACS), а также ключевые слова (на языке статьи).
6. Название, аннотация, фамилии и инициалы авторов, название организации, где работают авторы, предоставляются на русском и английском языках.
7. Рисунки принимаются в электронном виде. Каждый рисунок должен быть помещён в отдельный файл. Принимаемые форматы файлов: 1) растровые: TIFF, GIF, PNG (возможна инкапсуляция в EPS); 2) векторные: EPS, PDF, TEX.
8. Размер рисунка вместе с подписью не должен превышать 14x19 см. Разрешение растрового рисунка должно находиться в пределах 300-600 dpi.
9. Рисунки должны быть чёрно-белые. Возможность использования полутоновых и фотографических изображений может быть рассмотрена отдельно. Фоны должны быть только штрихованные. Сеточные фоны и полутона не допускаются.
10. Список литературы подготавливается в системе BibT^X и должен соответствовать требованиям ГОСТ 7.1-84. Ссылки на неопубликованные работы не допускаются.
11. Рукопись должна быть тщательно выверена. Необходимо указать точный почтовый и электронный адрес места работы авторов и телефоны. После подготовки редакцией к набору размеченный и исправленный автором текст статьи и исправленная электронная версия возвращаются в редакцию. Корректура для просмотра высылается по e-mail.
12. Возвращение статьи автору на доработку не означает, что она принята к опубликованию. Доработанный вариант статьи редколлегия рассматривает вновь. В случае отклонения статьи редколлегия оставляет за собой право не возвращать автору один ее экземпляр.
