CC BY
56
Математические структуры и моделирование 2005, вып. 15, с. 74-91
УДК 512.815.8
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПОЛЯ (1, 0) 0 (0,1)
В ТЕРМИНАХ ФУНКЦИЙ НА ГРУППЕ ПУАНКАРЕ
В.В. Варламов
В работе определяется безмассовое скалярное поле спина 1 на 8-мерном конфигурационном пространстве; данное пространство является прямым произведением пространства Минковского и двумерной комплексной сферы. Полевые уравнения для поля со спином 1 получаются из диракоподоб-ного лагранжиана, разделенного на две составляющие, одна из которых связана с группой трансляций, а другая - с группой Лоренца. Показано, что диракоподобная форма уравнений Максвелла (электродинамика в так называемой формулировке Майорана-Опенгеймера) следует непосредственно из полевых уравнений для составляющей группы трансляций. Поле фотона представляется функциями Биденхарна на группе Пуанкаре. Полученные результаты позволяют нам рассматривать поля Дирака и Максвелла на равных основаниях, как функции на группе Пуанкаре.
Как известно, любая величина, которая преобразуется линейно под действием преобразований Лоренца, является спинором. По этой причине спинорные величины рассматриваются как фундаментальные в квантовой теории поля и основные уравнения для таких величин должны быть записаны в спинорной форме. Спинорная форма уравнений Дирака была впервые дана Ван дер Варденом [1], где было показано, что теория Дирака может быть полностью описана в этой форме (см. также [2]). В свою очередь, спинорная формулировка уравнений Максвелла изучалась Лапортом и Уленбеком [3]. В 1936 г. Румер [7] показал, что спинорные формы уравнений Дирака и Максвелла выглядят очень схоже* 1. Далее, Майорана [8] и Оппенгеймер [9] предложили рассматривать максвелловскую теорию электромагнетизма как волновую механику фотона. Они ввели волновую функцию вида ф = Е — Ш, удовлетворяющую безмассовым диракоподобным уравнениям2. Уравнения Максвелла в дирако-
Copyright © 2005 В.В. Варламов.
Сибирский государственный индустриальный университет.
E-mail: root@varlamov.kemerovo.su
1 Конечно, не существует эквивалентности между уравнениями Дирака и Максвелла, как это утверждает Камполаттаро [4,5] (см. также дискуссию, касающуюся этого вопроса [6]).
Главное различие между этими уравнениями содержится в том, что поля Дирака и Максвелла имеют различные спинтензорные размерности. Данные поля преобразуются соответсвенно в рамках конечномерных представлений (1/2, 0) 0 (0,1/2) и (1, 0) 0 (0,1) группы Лоренца.
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
75
подобной форме рассматривались многими авторами на протяжении длительного времени [12-24]. Интерес к электродинамике в формулировке Майораны-Оппенгеймера возрос в последние годы [25-33].
В современной теоретической физике общепризнанно, что большинство «элементарных» частиц имеют очень сложную внутреннюю структуру, т.е. элементарные частицы представляются пространственно протяженными. По этой причине реальные частицы нельзя рассматривать как точечные объекты (конечно, в общем эти более реалистичные поля являются нелокальными полями). В стороне от струнных моделей имеется другой путь для описания пространственно протяженных частиц, предложенный Финкелынтейном [34], который показал, что модели элементарных частиц с внутренними степенями свободы могут быть описаны на многообразиях более широких, чем пространство-время Минковского (однородные пространства группы Пуанкаре V). Все однородные пространства группы V) которые содержат пространство-время, были исследованы Финкелынтейном [34], Бакри и Кильбергом [35]. В 1964г. под влиянием теории полюсов Редже Люрса предложил построить квантовую теорию поля на групповом многообразии группы V [36]. Построения квантово-полевых теорий на различных однородных пространствах группы V рассматривались в работах [37-46].
Главной целью настоящей статьи является синтез двух упомянутых выше направлений (диракоподобная формулировка уравнений Максвелла и квантовая теория поля на группе Пуанкаре). Поле Максвелла представляется функциями Биденхарна [47] на групповом многообразии ./Ищ (данное многообразие является прямым произведением пространства-времени и группового многобра-зия группы Лоренца). Показывается, что общий вид волновой функции наследует свою структуру от полупрямого произведения SL(2, С) © Т4 и по этой причине поле Максвелла на ./Ищ определяется факторизацией ф(х)ф(д), где х Є Т4, Q Є SL(2, С). Очевидно, что диракоподобная форма уравнений Максвелла должна быть получена из диракоподобного лагранжиана. С использованием лагранжева формализма на касательном расслоении ТЛАю многообразия 2Ию находятся полевые уравнения отдельно для частей ф(х) и ф(д). Решения полевых уравнений для ф(х) получены в приближении плоской волны2 3. В свою очередь, решения полевых уравнений с ф(д) найдены в форме разложений по присоединенным гиперсферическим функциям4.
2В противоположность методу Гупта-Блейлера [10, 11], где квантуется ненаблюдаемый вектор-потенциал А^, одно из главных преимуществ электродинамики Майораны-Оппенгеймера заключается в том,что она оперирует с наблюдаемыми величинами, такими, как электрическое и магнитное поля.
3Как известно, экспоненты определяют унитарные представления подгруппы трансляций Х4. В некотором смысле функции егкх могут пониматься как «матричные элементы» группы ©4-
4Матричные элементы как спинорной, так и главной серий представлений группы Лоренца выражаются через гиперсферические функции [48] (см. Приложение).
76
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
1. Функции на группе Пуанкаре
Рассмотрим некоторые основные факты, касающиеся группы Пуанкаре V. Прежде всего группа V имеет то же число связных компонент, что и группа Лоренца. Будем рассматривать только компоненту Т,]г) соответствующую связной
компоненте Ь\_ (так называемая специальная группа Лоренца [49]). Как из-
т т
вестно, универсальная накрывающая V\_ группы V\_ определяется полупрямым произведением
v\ = SL(2, С) © Т4 ~ Spin+(1,3) © Т4,
где Т4 — подгруппа четырехмерных трансляций.
Каждое преобразование Та Є V\ определяется множеством параметров а(о'і,..., ац0), которое может быть представлено точкой пространства Л4ю- Пространство Мю обладает локально евклидовыми свойствами, следовательно, Мю является групповым многообразием группы Пуанкаре. Легко видеть, что множество сх может быть разбито на два подмножества ol{x\, х2, 01,02, 0з, 04, 05, 0б)? где х{ Є Т4 - параметры подгруппы транс-
ляций, Qj - параметры группы SL(2, С). В свою очередь, преобразование Тд определяется множеством g(gi,... , g6), которое может быть представлено точкой шестимерного подмногообразия £б С ТИю, называемого групповым многообразием группы Лоренца.
В настоящей статье мы ограничимся рассмотрением конечномерных представлений группы Пуанкаре. Группа четырехмерных трансляций Т4 является абелевой группой, образованной прямым произведением четырех одномерных групп трансляций, каждая из которых изоморфна аддитивной группе вещественных чисел. Отсюда следует, что все неприводимые представления группы Т4 являются одномерными и выражаются через экспоненту. В свою очередь, как было показано Наймарком [50], спинорные представления исчерпывают, по существу, все конечномерные представления группы SL{2, С). Любое спинорное представление группы SL(2, С) может быть определено в пространстве симметрических полиномов следующего вида:
p(zo,Zi,Zo,Zi) = ^2 ®yaQl"'afeai'"ai©ai • • -zakz&1 ■ ■ ■ Zar (1)
(ai ,...Дг)
(сц, бі{ 0, і),
где числа aai"'akai"'аг не изменяются при перестановках индексов. Выражения (1) следует понимать как функции па группе Лоренца. Когда коэффициенты Qa1---aka1---ar в ^) заВИСЯТ ОТ ПЄрЄМЄННЬІХ Х{ Є Т4 (г = 1,2, 3,4), мы приходим функциям Биденхарна [47]:
p(x,z,z)= ^2 -^aai'''akai'''ar(HZa1---ZaJa1---Zar- (2)
(ai ,...ДГ)
(a*, a* = 0,1).
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
77
Функции (2) следует рассматривать как функции на группе Пуанкаре. Некоторые приложения этих функций содержатся в [45,51]. Представления группы Пуанкаре SL{2, С) ©Т(4) реализуются посредством функций (2).
Пусть С(а) - лагранжиан на групповом мнообразии ЛДо группы Пуанкаре (другими словами, С(а) является 10-мерной функцией точки), где а -множество параметров данной группы. Тогда интеграл от С(а) по некоторому 10-мерному объему £1 группового многообразия будем называть действием на группе Пуанкаре:
А = J daC(a),
о
где da, - мера Хаара5 на группе V.
Пусть ф{а) - функция на многообразии ЛДо (сейчас достаточно предположить, что ф{а) является квадратично интегрируемой функцией на группе Пуанкаре) и пусть
дф да д
Т OOL
- уравнения Эйлера-Лагранжа на 2Ию (более точно говоря, уравнения (3) действуют в касательном расслоении ТЛ4ю = U ТаЛ4ю многообразия 2Ию,
аЄМіо
см. [52]). Введем теперь лагранжиан С{а), зависящий от полевой функции ф(а) следующим образом:
£(<*) = -1 (ф*(а)Вцд0^ - ^ЛТІ5^(а)) _ кф*(а)Виф(а),
где Ви {у = 1,2,..., 10) - квадратные матрицы. Число строк и столбцов этих матриц равно числу компонент функции ф{а), к - отличная от нуля вещественная постоянная.
Далее, если В и невырождена, то можно ввести матрицы
Пїї = Ви В11) у = 1, 2,..., 10, и представить лагранжиан С (а) в виде
£(«) = (^Д)Ъ^а^ - ^^П/Жа)) _
где _
Ф(ос) = ф*(а)Ви.
В случае безмассового поля (j, 0)® (0, j) рассмотрим на групповом многообразии 2Ию лагранжиан вида
С(а)
1 (-, m дф(а)
2
Ф(а)
да,.
ПД(а)
(4)
5Инвариантная мера doc на группе Пуанкаре может быть факторизована в виде doc = dxd$, где d$ - мера Хаара на группе Лоренца.
78 В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
Как прямое следствие определения (2) релятивистская волновая функция ф(сх) на групповом многообразии ТИю представляется следующей факторизацией:
ф(сх) = ф(х)ф(д) = ф(х 1, ж2, Хз, х4)ф(ір, е, 9, г, ф, є), (5)
где ф(хі) — функция, зависящая от параметров подгруппы Т4,
Х{ Є Т4 (і = 1,..., 4),
a ^(g) — функция на группе Лоренца, где шесть параметров этой группы определяются углами Эйлера (/?, б, в) т, ф є, которые образуют комплексные углы вида
(/?с = (р — ге, 6е = 6 — іт, фс = ф — іє
(см. Приложение).
2. Поле (1,0) 0 (0,1)
Как уже отмечалось выше, диракоподобная форма уравнений Максвелла должна быть получена из диракоподобного лагранжиана. Это одно из главных утверждений, которое мы докажем в данной статье. С этой целью перепишем лагранжиан (4) в виде
г( Л 1 /Д, чг &Ф(а) дф(а) С(а) = -- Ы,(с)Г„— - —
Т„Ф(а)\ ~
1 {-( ^ дф(а) дф(а) ,
- 2 б(“)Т-^Г - ~ді7ГЖа'
(6)
где
ф(а) = ф(х)ф(д) {ц = 0,1,2,3, v = 1,..., 6),
И
г _ І о I) _ ( 0 -«1
i°- [7 0J, її- Ы о
где
Ti =
0 к\
Лі 0
Т4 =
0 гЛ* гЛі 0
Ч) о (Г
«і = | 0 0 г
,0 —г 0,
л1 =
Си
л/2
Ло —
0 0 -г
«2=100 о
г 0 0
0
—г
0
0 лЦ
Л3 о)’
(о
Щз о,
/0 г 0'
-г 0 0
V 0 0 0
10 0 Лз = Си I 0 0 0
0 0 -1,
(Г
(8)
(9)
(10)
0 1 о
1 о о
0 1 о
0 -г г 0 0 г
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
79
Варьируя независимо ф(х) и ф(х) в лагранжиане (6), приходим к уравнениям
дф(х)
дх„.
тдф{х)_ 11 дх,
О,
0.
Уравнение (11) может быть переписано следующим образом:
Шд_(0 Л _ д_ /0 -аЛ1 (ф(х) с dt \1 0) 5х 0 J \ф*(х)
где
(ф(х)\ _ /Е-гВ \ф*(х) і ~ ІЕ + гВ
Из уравнения (13) следует, что
/Ег - іВг\ і?2 — ІВ2 Ез — гЕз Е\ + iBi Е2 + ІВ2
\Ез + іВ3 J
0,
г h д д \
7Ш-іЛаіШ)ф{х) = 0’
7І + !&*-Д^) = а
(п)
(12)
(13)
(14)
(15)
Последние уравнения в совокупности с условиями поперечности
р • ф = 0, р • ф* = о
совпадают с уравнениями Максвелла. Действительно, принимая во внимание уравнение (р • а)ф = KV х ф, получим
Шдф
с dt -ihV • ф
—KV х ф,
0.
(їв)
(17)
Откуда
V х (Е - Ш) V • (Е - Ш)
і д(Е - Ш) с dt
0
(константа Н сокращается). Разделяя вещественную и мнимую части, получим уравнения Максвелла
V х Е
15В
”ё¥’
15Е
с¥’
О,
V х В
V • Е
V • В
0.
80
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
Легко проверить, что мы снова придем к уравнениям Максвелла исходя из уравнений
7 Ш + аД)г(х) = (18)
-ihv ■ Ф*(х) = о. (19)
Несмотря на то что уравнения (14) и (15) приводят к одним и тем же уравнениям Максвелла, физическая интерпретация данных уравнений различна (см. [28,32]). А именно уравнения (14) и (15) есть уравнения с отрицательной и положительной спиральностью соответсвенно6.
Как обычно, сопряженная волновая функция
ф(х) = ф(х) Го = (ф(х),ф*(х))
соответствует античастице (данное обстоятельство является прямым следствием диракоподобности лагранжиана (6)). Следовательно, мы пришли к очень спорному заключению, что уравнение (12) описывает античастицу (антифотон) и, более того, отсюда следует существование тока и заряда для фотонного поля. На первый взгляд, мы пришли к резкому противоречию с общепризнанным положением, гласящим, что фотон является истинно нейтральной частицей. Однако легко проверить, что уравнения (12) также приводят к уравнениям Максвелла. Это означает, что фотон совпадает со своей «античастицей». Следуя стандартной процедуре, приведенной во многих учебниках, мы можем определить «заряд» фотона следующим выражением:
J d-хфТоф, (20)
где фТ0ф = 2(Е2 + В2). Однако Ньютон и Вигнер [57] показали, что для фотона не существует локализованных состояний. Следовательно, интеграл в
6Интересно отметить, что соответствие между спиновыми состояниями фотона и комплек-сификацией группы SU(2) представляется локальным изоморфизмом вида SU(2) SU(2) ~ ~ SL(2, С). Как известно, корневая подгруппа полупростой группы Ли О4 (группа вращений четырехмерного пространства) является нормальным делителем группы О4. По этой причине шестипараметрическая группа О4 является полупростой и представляется прямым произведением двух трехпараметрических унимодулярных групп. По аналогии с группой О4 двукратное накрытие SL(2, С) собственной группы Лоренца (группа вращений четырехмерного пространственно-временного континуума) является полупростой и представляется прямым произведением двух трехпараметрических специальных унимодулярных групп, SL(2, С) ^ SU(2)®SU(2). Явный вид данного изоморфизма может быть получен посредством комплексификации группы SU(2), т.е. SL(2, С) ~ complex(5f7(2)) ~ SU(2) 0 SU(2) [53]. Более того, в работах [54-56] группа Лоренца представляется произведением SUr(2) ® SUl(2), а спиноры ф(р^) = (ф?(рф, фь(рф)Т преобразуются в рамках пространства представления (311З2) 0 (j2Л1)• Компоненты фя(рф and фь(рм) соответсвуют различным спиральным состояниям (право- и левополяризованные спиноры). Отсюда следует аналогия с фотонными спиновыми состояниями. А именно операторы Х = 1 + ЖиУ = J — г К соответствуют право-и левополяризованным состояниям фотона, где J и К - генераторы вращений и лоренцевых сдвигов соответственно.
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
81
правой части выражения (20) представляет собой неопределяемое выражение. Поскольку интеграл (20) не существует в общем, то «заряд» фотона не может рассматриваться как постоянная величина (в противоположность электронному полю, которое имеет локализованные состояния [57] и хорошо определенный постоянный заряд). По существу, можно сказать, что «заряд» фотона равен энергии Е2 + В2 для д-кванта.
Таким образом, уравнение (13) приводит к двум диракоподобным уравнениям (14) и (15), которые в комбинации с условиями поперечности (17) и (19) эквивалентны уравнениям Максвелла. Представим решения уравнения (14) в виде плоской волны
После подстановки формы решения (21) в (14) приходим к следующей задаче на собственные значения:
Легко проверить, что мы придем к той же задаче на собственные значения, начиная с уравнения (15). Вековое уравнение имеет решения ии = ±ск, 0.
Следовательно, решения уравнения (13) в приближении плоской волны задаются функциями
и комплексно-сопряженными функциями ?/ф(к;х, £), ^(к;х) (Е + гВ), соответствующими положительной спиральности; здесь ии = с|к| и бд(к) (Л = =Ь, 0) — векторы поляризации фотона:
ф(х) = e(k) exp[ih х(к • х — ujt)\.
(21)
1 Г—АгіЛтз ± гЛг2|к|
£±(к) = {2|к| 2(kl + kl)}~* -k2k3^iki\k\
k\ + k\
k\
e0(k) = |k|-1 k2
кз
Варьируя теперь ф($) и ф($) в лагранжиане (6), приходим к уравнениям
тдДд)
0.
(22)
82
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
Последние уравнения записаны в параметрах группы SL(2, С). Поскольку универсальная накрывающая SL(2, С) собственной группы Лоренца является ком-плексификацией группы SU(2) (см., например, [58]), то будет более удобным выразить шесть параметров группы SL(2, С) через три параметра ai, а2, аз группы SU(2). Очевидно, что 0i = аь 02 = а2, 0з = а3, 04 = гаъ 05 = га2, бб = іаз. Принимая во внимание структуру матриц Т^, задаваемой выражениями (7)-(8), перепишем первое уравнение из (22) следующим образом:
3 гч / 3
к=1 3
'5щ
к=1 3
дф
да!
* дф . v-л дф
£л^+г£л*
fc=i к
rfa*
к=1
= 0,
= 0,
(23)
где Д = — гд4, = — «05, a2j = —где, а щ, а£ - параметры, соответствующие
дуальному базису. По существу, уравнения (23) определены в трехмерном комплексном пространстве С3. В свою очередь, пространство С3 изометрично шестимерному бивекторному пространству М6 (пространство параметров группы Лоренца [59]). Бивекторное пространство М6 является касательным пространством группового многообразия £(; группы Лоренца, т.е. групповое многообразие £б в каждой своей точке локально эквивалентно пространству R6. Таким образом, для всех g Є £б имеем Ts£.<} — R6• Учитывая явный вид7 матриц А*, задаваемый выражениями (10), перепишем систему (23) в следующем виде:
л/2 дф2 . л/2 дф2 дфг . л/2 дф2 у/2 дф2 . дфг
2 дх\ 1 2 дх2 дхз % 2 дх\ 2 дх\ % дх\
дфг дфз .дфг _ .дфз _ .дфг _ .дфз _ <Лі дфз
дх\ дх\ дх2 дх2 дх\ дх\ дх*2 дх*2
Ддф2 лДдф2 дфз хДдф2 Ддф2 .дфз 2 дх\ ' 1 2 дх2 дхз % 2 дх\ ' 2 дх\ ' % дх\
л/2 дф2 . л/2 дф2 дф\ . л/2 дф2 л/2 дф2 . дфг
2 дх\ 1 2 дх2 дхз % 2 дх\ 2 5x2 % дх\
дфг дфз .дфг _ .дфз .дфг .дфз _ дфг дфз
дхг дхг % дх2 1 дх2 % дх\ 1 дх\ дх\ дх\
\Лдф2 _ дфз ^Ддф2 _ Ддф^ _ дфз
2 дхг 2 дх2 дх3 2 дх\ 2 дх\ дх3
(24)
7Матрицы (10) могут быть получены при I = 1 из более общих выражений (62)-(67), данных в [62].
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
83
Разделение переменных в системе (24) реализуется посредством факторизации:
Фі = /і,і (г)Жі Д Є, 6», т, 0,0), ф2 = /Дг)Ш1°(0,0Д,т,0,0),
Фз = f[-i (г)ШІГ1 «б г> б 0).
61 = АД*)ЩД^^,т,0,0),
Ф2 = До(г*Щ(0,0,в,т,0,0),
Фз = є, 0,7-, 0, 0),
где б, т, 0, 0) (ШТр(д, б, т, 0, 0)) — присоединенные гиперсферические
функции, определенные на поверхности двумерной комплексной сферы радиуса г, flmkC) И funk (г*) — радиальные функции (более подробно о двумерной комплексной сфере см. [60-62])8.
Повторяя для случая I = 1 все преобразования, проведенные для общей релятивистски-инвариантной системы [62], получим
dr і
■\/ 21(1 + 1)
Г
дА,~д > +
dr
1
dr* г*
/им + ^ДЧиМ = о,
Д-W + іД±Ч,о(г) = о,
2 /(/ +1)
3------До(г*) = 0,
8Выбирая двумерную комплексную сферу в качестве внутреннего спинового пространства, мы видим, что конфигурационное пространство Л4ю = М1,3 х сводится к Л4g = R1-3 х С2.
Б акри и Кильберг [35] утверждали, что восьмимерное конфигурационное пространство А4% является наиболее подходящим для описания как полуцелого, так и целого спина. А4% является однородным пространством группы Пуанкаре. Действительно, пространство С2 гомео-морфно расширенной комплексной плоскости С U оо, которая представляет абсолют (множество бесконечно удаленных точек) пространства Лобачевского S1,2. При этом группа дробнолинейных преобразований плоскости С U оо изоморфна группе движений пространства S1,2. В свою очередь, пространство Лобачевского S1,2 является абсолютом мира Минковского М1,3, и, следовательно, группа дробно-линейных преобразований плоскости С U оо дважды накрывает группу вращений пространства М1,3, т.е. группу Лоренца. Нетрудно видеть, что двумерная комплексная сфера является комплексификацией небесной сферы Пенроуза [63]. Далее, используя каноническую проекцию 7Г : Cj —> S'2, где Cj = С2/{0, 0} и S2 - двумерная вещественная сфера, видим, что конфигурационное пространство Л4§ = М1’3 х С2 сводится к АА§ = М1,3 х S2. Вещественная 2-сфера S2 имеет наименьшую возможную размерность среди всех однородных пространств группы Лоренца. По этой причине A4q является минимальным однородным пространством группы Пуанкаре (пространственно-временные трансляции действуют тривиально на сфере S2). Полевые модели на конфигурационном пространстве Л4б рассматривались в недавних работах [41-43]. Дрекслер [43] рассматривал 2-сферу как «спиновую оболочку» S2=2s радиуса г = 2s, где s = 0, 1, |,...
84
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
і J 2/(/ + 1) . J 2/(/ + 1) .
■■^---Л-і(0 + ^—/1д(0 =
df[ і(г*) 1 у
2 /(/ + 1) : т,—/ІД’-') = 0.
(25)
Из второго И ПЯТОГО уравнений следует = /ід(г) и Л-іМ = /іуі-*).
Учитывая эти соотношения, запишем систему (25) в следующем виде:
df[Ar)
dr
- -JІд (Є -
У 21(1 + 1)
-2
Ду + Ді.-пг) + ^Ді)/і,0(г) =
/ІдД) = о, 0,
d/Ur*) і у ДДі) •
- -/і,і г* - V . До г*
/у**Т" 5 /у*'Iе 5
df[ Д*) 1 / л/2І(І +1) .
-2-+ V г. /І,о(г*
0,
0.
(26)
Легко видеть, что первое уравнение эквивалентно второму, а третье уравнение эквивалентно четвертому. Таким образом, мы приходим к следующей системе неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка:
2rdf 1,1 Є) _ _ у2Д + 1)Ц0(г) = 0,
2г:
dr
dfUr‘)
dr*
~ /1,іД) - у2Д + l)/l,0(r*) = 0,
где функции /іо(г) и /іо(г*) понимаются как неоднородные части. Решения
данных уравнений выражаются через элементарные функции:
/1,Д) = СД+^/21(1 + 1)г,
Jn(r*) = Гл/г* + л/ 2Ц/ + 1)г
Следовательно, решения для радиальной части имеют вид:
/1,10 = /1,-1 (г) = СД+у/21(1 + 1)г,
/1,о (У = л/2/(/ + 1)г,
/1,і (Г) = /1-і (г*) = Сл/г*+ ^2І(І+1)г*,
/і,о(Г) = фі(і + іу.
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
85
Следовательно, решениями SL(2, С)-полевых уравнений (24) являются
где
Фі(г, Vе, 0е)
ф2(г, <рс,0с)
Фз(г, <рс, 0е)
фі(г*,фс,0с)
ф2(г*,фс,0с)
Фз(г*,фс,0с)
До(г)Ш1°(О,О,0,г,О,О), Д-1 (г)ШІ^1 (<+ £,0, т, 0, 0), f[,i(r*)Wt}(<P,e,0,T,O,O), До(^)Ш1°(О,О,0,т,О,О), fi-i є, 0, т, 0, 0),
1 = 1,2, 3,
1 = 1, 2, 3, ...,
С 0, ту 0, 0) = eT{e+l<f)Zfll(0, т),
2Ґ(0’ т) = cos21 \ cosh2/ \ i
Z k=-l
il — / + 1,1 — l — k
x2FJ
1 ±1-k + 1
±x~k tan±1_fc - tanh~fc - x
г2 tan2 - I 2Fi
-l + l,l-l-k —k + 1
T
tanh — ,
m°l{o,o,0,T,o,o) = z^0,r),
Zf(6, t) = cos2i - cosh2* — г tan k - tanh
Z Z '
k = -l
, -1 + 1,1-l-k X2jPi* -k + 1
-k
■ x
T
tanh - ,
Zf\e, t) = cos2* - cosh2* - У i±l~h tan±1-^ - tanh^ - x l y 1 ’ 9 9 9 9
X 2П
k=—l
±1 — І + 1,1 — І — k ±l-k+l
і2 tan2 - I 2Fi
0
-/ + 1,1-/-/г —k + 1
tanh"
т
2 ’
m(;(o,o,0,T,o,o) = zf(e,T),
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
Zf(6, т) = cos2/ - cosh2Z — і * tan ^ - tanh ^ — 1 v ’ ’ 9 9 Z-^ 9 9
X
X 2^11
k=—l
4 + 1,1-І-к
—к + 1
Є
і2 tan2 2 I 2-Fi І
—k + 1
tanh"
r
2 /’
где Ш1°(0,0, в, т, 0,0) (Zi(6,t)) — зональные гиперсферические функции
(см. [48]).
Таким образом, в согласии с факторизацией (5) явный вид релятивистской волновой функции ф(сх) = ф(х)ф($) на группе Пуанкаре в случае представления (1,0) ® (0,1) (поле Максвелла) определяется следующими выражениями (полное множество):
Фі(<*) = ^+(k;x,t)^i(fl) =
= {2(2тг)3}“5 exp[i(k-^-ujt)]fl1A(r)m}(p,e,e,T,0,0),
фо(сх) = ф0(к;х)фо(д) = {2(27г)3}_3 (^|£|) exP[ik ’ x]/i,o(r)^(0,0, в, г, 0,0),
ф-і(а) = ^_(k;x,t)^_i(fl) =
= {2(2тг)3}"5 (^"(kj) ехР[*(к'х_^)]Л-і(г)^Г^®Л®°Л), фі{сх) = Д(к; х, t)4i(g) =
= {2(2тг)3}-5 (^|£|) ехр[-г(к • х - wt)]f[tl(r*)Wt](tp, е, в, т, 0, 0), ^о(а) = Щк;хЦо(0) = {2(2тг)3}-5 (^|) ехр[-гк-х]/г1о(г*)ШІг-(О,О,0,т,О,О),
ф-і(сх) = C(k;x,t)^_!(g) =
= {2(2тт)3}"3 єхР[_і(к'х_^)]Д-1(Г*)9ИГ1(^є>0>г>О,О). (27)
Множество (27) состоит из поперечных решений ф±і (а) (положительная энергия), ф±і(а) (отрицательная энергия) и продольных решений ф0(сх), ф0(сх). Решения с отрицательной энергией ф±\{сх) должны быть опущены, поскольку фотоны не имеют античастиц. Продольные решения фъ(сх) и фъ(сх) не дают вклада в реальное фотонное поле благодаря условиям поперечности (17) и (19).
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
87
Следовательно, любой реальный фотон должен описываться только решением
ф±1(а):
Ф± i(ct) = ^±(k;x,t)^±i(fl) =
Таким образом, мы нашли множество решений, определяющее поле Максвелла (1,0) ® (0,1) на группе Пуанкаре (или эквивалентно на групповом многообразии АА%). Следует отметить, что ранее полученные решения для ПОЛЯ (1/2, 0)® (0,1/2) (поле Дирака) [64] имеют аналогичную математическую структуру, т.е. они являются функциями на группе Пуанкаре. Данное обстоятельство позволяет рассматривать поля (1/2,0) 0(0,1/2) и (1,0) ® (0,1) на равных основаниях, с единой теоретико-групповой точки зрения.
Приложение. Комплексная 2-сфера и гиперсферические функции
Построим в пространстве С3 двумерную комплексную сферу из величин
Как известно, величины х2 —у2, ху инвариантны относительно преобразований Лоренца, поскольку поверхность комплексной сферы инвариантна (операторы Казимира группы Лоренца конструируются из таких величин, см. также (А.4)). Более того, поскольку вещественная и мнимая части комплексной 2-сферы преобразуются подобно электрическому и магнитному полям соответственно, то инвариантность величины z2 ~ (Е + гВ)2 под действием преобразований Лоренца очевидна.
Группа SL(2, С) всех комплексных матриц
второго порядка с определителем aS — yf3 = 1 является комплексификацией группы SU(2). Группа SU(2) является одной из вещественных форм группы SL(2, С). Переход от SU(2) к SL(2, С) реализуется посредством комплексифи-кации трех вещественных параметров (/?, 0) ф (углы Эйлера). Пусть 0е = 0 — гт,
Zk 4“ ъукч zk %k Щк
следующим образом:
2 2,2,2 2 2,о* 2
z =z1+z2+z3=x —у + 2гх у = г и ее комплексно-сопряженную (дуальную) сферу
(А.1)
*2 * 2 I * 2 I * 2 2 2 О- *2
z = Zi -h z2 + zз = х —у — 2гху = г .
(А.2)
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
дс = (р — ге, фс = ф — іє - комплексные углы Эйлера, где
0 < Re Г = 9 < Я", —оо < ІШ 9е = Т < +оо,
0 < Re (рс = V < 2тг, —оо < Im дс = б < +оо,
— 277 < Re фс = ф < 2тг, —оо < Im фс = є < +оо.
(А.З)
Как известно, группа Лоренца имеет два независимых оператора Казимира
X2 = X2 + Хз + Хз = ^(А2 - В2 + 2гАВ), Y2 = Y2 + Y2 + Y| = ^(А2 - В2-2ІАВ).
(А.4)
Используя параметры (А.З), получим для операторов Казимира следующие выражения:
X2
Y2
д2 , ПС 9 1
-|- cot 9 +
двс2
д2
двс sin2 9е \_d(f
д2
пс2
о ПС 9 9 92
2 cos 9 -—+
d(fc дфс дфс2
-^+cot 0СА + — д9с2 д9с sin2 9е
Э2 п ■ Э д д2 — 2cos0 ТГГ-——b
дф
■пс2
дфс дфс дфс2
. (А.5)
Матричные элементы унитарных неприводимых представлений группы Лоренца являются собственными функциями операторов (А.5):
[х2 + ((г +1)] <?,фс) = о,
Y2 + /(( +1)1 = о,
(А.6)
где
L(<pc,oc,i’c
_ -ЦтсД+шД) yl (пс\
^ ^тп\и )ч
(А.7)
Подставляя функции (А.7) в (А.6) и учитывая операторы (А.5), получим комплексный аналог уравнений Лежандра: 9
9ч d2 л d т2 + n2 — 2mnz 7/7 .
^-z^~2zd-z------+
d2
(1-ДД--2.Д-
d m2 + n2 — 2mnz
+l (l + 1)
ZL = 0. (A.8)
ZL = 0, (A.9)
<Є2 dz 1 - 22
где о = eos0c и z = eos0c. Последние уравнения имеют три особые точки —1,
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
89
+ 1, сю. Решения уравнения (А.8) имеют вид
Zlmn = У іт~кД(1 -т + 1)Г(/ + т + 1)Г(/ -к + 1)Г(/ + к + 1) х
к=—1
21 0 к в х cos - tan - х
min (l-m,l-\-k)
x E
j=max(0,/c—m)
tan2j -2
T(j + 1)Г(/ — m — j + 1)Г(/ + к — j + 1)Г(т — к + j + 1)
x
x y/T(l -n + l)T(l + n + 1)Г(/ - к + 1)Г(І + k + 1) cosh2' - tanhn-fc - x
Z Z
min (7—n,l-\-k)
x E
s=max(0,/c—n)
tanh
2s
T
Г (s + l)r(Z — n — 5 + l)r(Z + к — s + 1)Г(п — к + 5 + 1)
. (A. 10)
Будем называть функции Zlmn в (A. 10) гиперсферическими функциями9. Функции Zlmn могут быть записаны через гипергеометрические ряды следующим образом:
yl
^тп
COS
21
0 21 Т - cosh — 2 2
Е*
k=-l
m~k tanm_/c
tanh
n—k
T
-x
2
m — l + 1,1 — l — k
m
k + 1
„ ^ ( n — I ~\~ 1,1 — I — k
itaD22Fl n-k + l
tanh"
T
(A.ll)
Следовательно, матричные элементы выражаются посредством функции (обобщенная гиперсферическая функция)
ML(0) = coS03e-”«'+i''’>, (А.12)
Z!„„(cos»c)= ^2 P'mk(cos0)<#'ы(coshг), (АЛЗ)
k=-l
здесь P^^cosO) - обобщенная сферическая функция на группе SU(2) (см. [66]), а функция У[$1тп является аналогом обобщенной сферической функции для группы QU{2) (так называемая функция Якоби [58]). QU{2) является группой ква-зиунитарных унимодулярных матриц второго порядка. Как и группа SU{2), группа QU(2) есть одна из вещественных форм группы SL(2, С) (QU(2) некомпактна). Группа QU{2) изоморфна группе 577(1,1) ~ 5Х(2,№)) (трехмерная
9Гиперсферические функции (или гиперсферические гармоники) известны в математике давно (см., например, [65]). Эти функции являются обобщением обычных сферических функций на случай n-мерных евклидовых пространств. По этой причине мы оставим это название (гиперсферические функции) и для случая псевдоевклидовых пространств.
90
В.В. Варламов Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1)...
группа Лоренца). Присоединенные гиперсферические функции получаются из (А.12) при п = 0:
= ет(б+^)^т( cosflC).
Литература
1. В. L. van der Waerden, Nachr. d. Ces. d. Wiss. Gottingen, 100 (1929).
2. W. L. Bade, H. Jehle, Rev. Mod. Phys. 25, 714 (1953).
3. O. Laporte, G. E. Uhlenbeck, Phys. Rev. 37, 1380 (1931).
4. A. A. Campolattaro, Int. J. Theor. Phys. 29, 141, 477 (1990).
5. J. Vaz, Jr., W. A. Rodrigues, Jr., Int. J. Theor. Phys. 32, 945(1993).
6. A. Gsponer, Int. J. Theor. Phys. 41, 689 (2002).
7. Ю. Б. Румер, Спинорный анализ (ОНТИ, М.-Л., 1936).
8. Е. Majorana, Scientific Papers, unpublished, deposited at the “Domus Galileana”, Pisa, quaderno 2, p. 101/1; 3, p.ll, 160; 15, p.l6;17, p.83, 159.
9. J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. 38, 725 (1931).
10. S. N. Gupta, Proc. Phys. Soc. A63, 681 (1950).
11. K. Bleuler, Helv. Phys. Acta 23, 567 (1950).
12. W. J. Archibald, Can. J. Phys. 33, 565 (1955).
13. S. A. Bludman, Phys. Rev. 107, 1163 (1957).
14. T. Ohmura, Prog. Theor. Phys. 16, 684 (1956).
15. R. H. Good, Phys. Rev. 105, 1914 (1957).
16. J. S. Lomont, Phys. Rev. Ill, 1710 (1958).
17. A. A. Borhgardt, Sov. Phys. JETP 34, 334 (1958).
18. H. E. Moses, Phys. Rev. 113, 1670 (1959).
19. M. Sachs, S. L. Schwebel, J. Math. Phys. 3, 843 (1962).
20. R. Mignani, E. Recami, M. Baldo, Lettere al Nuovo Cimento 11, 568 (1974).
21. H. Bacry, Nuov. Cim. A32, 448 (1976).
22. A. Da Silveira, Z. Naturforsch A34, 646 (1979).
23. E. Giannetto, Lettere al Nuovo Cimento 44, 140 (1985).
24. K. Ljolje, Fortschr. Phys. 36, 9 (1988).
25. H. Sallhofer, Z. Naturforsch A45, 1361 (1990).
26. V. M. Simulik, Theor. Math. Phys. 87, 386 (1991).
27. T. Inagaki, Phys. Rev A49, 2839 (1994).
28. I. Bialynicki-Birula, Acta Phys. Pol. A86, 97 (1994).
29. J. F. Sipe, Phys. Rev. A52, 1875 (1995).
30. S. Bruce, Nuov. Cim. B110, 115 (1995).
31. V. V. Dvoeglazov, Nuov. Cim. 112, 847 (1997).
32. A. Gersten, Found. Phys. Lett. 12, 291 (1998).
33. S. Esposito, Found. Phys. 28, 231 (1998).
34. D. Finkelstein, Phys. Rev. 100, 924 (1955).
35. H. Bacry, A. Kihlberg, J. Math. Phys. 10, 2132 (1969).
36. F. Lurgat, Physics 1, 95 (1964).
91
37. A. Kihlberg, Ann. Inst. Henri Poincare 13, 57 (1970).
38. С. P. Boyer, G. N. Fleming, J. Math. Phys. 15, 1007 (1974).
39. H. Arodz, Acta Phys. Pol. B7, 177 (1976).
40. M. Toller, J. Math. Phys. 37, 2694 (1996).
41. S. M. Kuzenko, S. L. Lyakhovich, A. Yu. Segal, Int. J. Mod. Phys. A10, 1529 (1995).
42. S. L. Lyakhovich, A. Yu. Segal, A. A. Sharapov, Phys. Rev. D54, 5223 (1996).
43. W. Drechsler, J. Math. Phys. 38, 5531 (1997).
44. A. A. Deriglazov, D. M. Gitman, Mod. Phys. Lett. A14, 709 (1999).
45. D. M. Gitman, A. L. Shelepin, Int. J. Theor. Phys. 40, 603 (2001).
46. J. -Y. Grandpeix, F. Lurgat, Found. Phys. 32, 109 (2002); ibid. 32, 133 (2002).
47. L. C. Biedenharn, H. W. Braden, P. Truini, H. van Dam, J. Phys. A: Math. Gen. 21, 3593 (1988).
48. V. V. Varlamov, Hyperspherical Functions and Harmonic Analysis on the Lorentz Group, Mathematical Physics Research at the Cutting Edge (Ed. С. V. Benton) pp.193-250 (Nova Science Publishers, New York, 2004).
49. Ю. Б. Румер, А. И. Фет, Теория групп и квантованные поля (М.:Наука, 1977).
50. М. А. Наймарк, Линейные представления группы Лоренца (М.:Физматлит, 1958).
51. М. A. Vasiliev, Int. J. Mod. Phys. D5, 763 (1996).
52. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики (М.:Наука, 1989).
53. V. V. Varlamov, Hadronic J. 25, 481 (2002).
54. D.V. Ahluwalia, D.J. Ernst, Int. J. Mod. Phys. E2, 397 (1993).
55. V.V. Dvoeglazov, Nuov. Cim. Bill, 483 (1996).
56. L. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1985).
57. T. D. Newton, E. P. Wigner, Rev. Mod. Phys. 21, 400 (1949).
58. H. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп (М.:Наука, 1965).
59. А. 3. Петров, Пространства Эйнштейна (М.:Физматгиз, 1961).
60. М. Huszar, J. Smorodinsky, Preprint JINR No. E2-5020, Dubna (1970).
61. Я. А. Смородинский, M. Xycap, ТМФ 4, 328 (1970).
62. V. V. Varlamov, Int. J. Theor. Phys. 42, 583 (2003).
63. P. Пенроуз, В. Риндлер, Спиноры и пространство-время (М.:Мир, 1987).
64. V. V. Varlamov, J. Phys. A: Math. Gen., 37, 5467 (2004).
65. Н. Bateman, A. Erdelyi, Higher Transcendental Functions7 vol. II (Me Grow-Hill Book Company, New York, 1953).
66. И. M. Гельфанд, P. А. Минлос, 3. Я. Шапиро, Представления группы вращений и группы Лоренца7 их применения (М.:Физматлит, 1958).
