О построении второго оператора Дирака с помощью векторного поля Яно Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2000. N.2. С.25-26. © Омский государственный университет, 2000

УДК:539.12:530.1.45

О ПОСТРОЕНИИ ВТОРОГО ОПЕРАТОРА ДИРАКА С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЯНО

В.В. Клишевич, М.В. Должин

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644 077, Омск, пр. Мира, 55аi

Получена 20 февраля 2000 г.

We have proved lhat in four-dimensional Riemannian manifold it is impossible to constract, a second Dirac operator using Yano vector field.

1. Стандартный оператор Дирака в искривленном пространстве-времени

Рассмотрим уравнение Дирака в четырехмерном римановом пространстве:

ОМ» = 7 кРкЪ = тЪ. (1.1)

Здесь О оператор Дирака (стандартный), гп -константа, Рк = ¿(У/, + Г*), V* - оператор ко-вариатггной производной, Г\ спинорная связность, на которую наложено условие [Рк,ъ] — О, 8р(Г,) = 0. По повторяющимся индексам всюду подразумевается суммирование, индексы пробегают значения от 1 до 4.

Как показано в работе [1], для спинорной связности можно использовать явную формулу: Г,- = —\1к\Цк ■ Символ а;к означает ковариант-ную производную но координате хк относительно метрики, символ ак означает частную производную но координате хк .

Матрицы Дирака в римановых пространствах определяются как произвольное, но фиксированное решение системы 7'У + 7*7* = 2д'Цх)Е^ , где £'4 - единичная матрица, д- метрический тензор.

Общий вид операторов симметрии для уравнения Дирака (1.1) был впервые указан в работе В.11. Шаповалова [2] и независимо в работе Картера и МакЛенагана [3], эти операторы имеют следую 1 ций вид:

Ь = Е^кРк - (1.2)

1 е-таП: кПяЬеСйитуег.ornsk.su

Ь = (1-3)

Ь = 2Т/к/кР1 + ~-1/к;к. (1.4)

Здесь = Нт'-УЬ 7 = - УтпЧЧЧ, 7»= -щеу*<Г,7кУ, /у = \в%}ы1м, ет =

тпп)£гук1 полностью антисимметрич-НЫЙ тензор (£1234 = 1) •

Векторное поле в формуле (1.2) определяется из уравнения = 0 и называется векторным полем Киллинга. Тензорное поле в формуле (1.3) находится из условий = е^*/ </' , fij + /¿,- = 0, где д1 некоторый вектор, и называется тензорным полем Яно-Киллинга. Па векторное поле в уравнении (1.4) имеется формула

/« = \9ц/% /.■ = (1-5)

здесь г] - скаляр, оно называется векторным, полем Яно. Для векторного поля Яно мы иногда используем краткую запись

/. , = (1.6)

Уравнения на эти поля получены в [2], [3]. По определению операторы (1.2)-(1.4) коммутируют с оператором Дирака (1.1), т.е. [О, Ь] — 0.

2. Второй оператор Дирака

Вопрос о существовании второго оператора Дирака в искривленном пространстве был рассмотрен в статье [4]. Под вторым (нестандартным)

26

В. В. Клишееич, М. В. Должны

оператором Дирака понимается оператор симметрии ¿, на который наложено условие

I2 = О2, I ф I). (2.7)

В статье [4] описан класс римановых пространств, в которых существует оператор симметрии (1-3), удовлетворяющий условию (2.7), приведена примеры римановых пространств, в которых существует второй оператор Дирака, и изучены некоторые следствия этого явления.

В предлагаемой статье мы исследуем вопрос о построении второго оператора Дирака с помощью оператора симметрии (1.4). Как мы увидим ниже, ответ на поставленный вопрос отрицателен. Мы покажем, что не существует римановых пространств, в которых для оператора симметрии (1.4) возможно выполнение тождества (2.7).

Для доказательства этого факта мы подставим в формулу (2.7) оператор Дирака (3 .1) и спи-норный оператор симметрии (1.4). Приравнивая коэффициенты при старших производных, находим, что для выполнения условия (2.7) необходимо выполнение формулы

/«/.7 — !Н]1 /п — 9г] ■

Мы докажем следующее утверждение:

Утверждение 1. Не существует четырехмерных римановых пространств, в которых для векторного поля Яно (1-5) выполнено условие

]',/] - ЯгзП'п = А.(2.8)

где А произвольная константа.

Доказательство разобьем на несколько этапов.

Лемма 2.. 1. Случай А = 0 тривиален.

Доказательство. Полагая в (2.8) А = 0 и сворачивая по г и ] , получим ./'"'Д. =0 и, следовательно, /,/, = 0, откуда }\ = 0. □

В дальнейшем без ограничения общности полагаем А = 1.

Лемма 2..2, Вектор Яно (1.5) с условием (2.8) ковариантно постоянен.

Доказательство. Дифференцируя (2.8) ковариантно по к и используя (1-6), будем иметь ®{9гк/] + а:к.1'г) = 2&дц/к . Делая свертку по I и ], получим ОД = 0, поскольку Д ф 0, приходится полагать О — 0 и, следовательно, = 0, что и требовалось доказать. □

Утверждение 2. Риманово пространство в котором для векторного поля Яно выполнено условие (2.8), является плоским.

Доказательство. Из (2.8) имеем /,,/, = g,j( 1 + /п/„). Свертка по г и j дает /"/„ = откуда /if) = ~l9ij. Так как Д, = 0, то Irj.k = 0, и из классической формулы Риччи [5, с.336] fi-j-k - U'k',3 - fnR"lk будем иметь fnRnljk = 0. Умножая последнюю формулу на /т , получим = 0, т.е. Rmijk = 0. □ Таким образом, остается исследовать поставленный вопрос только для плоского пространства. В плоском пространстве с сигнатурой

9ij = 91J = diag(ei, е2,ггз, е4) (2-9)

£,: = ±1 , ковариантные производные переходят в обычные частные производные, общее решение системы (1.5) для метрики (2.9) имеет вид fi = (ае\х1 Т Ь\, ае-2Х2 + 62> ае^х3 + 63, ае4х4 + 64), где а, 6; некоторые константы. Использование леммы 2 дает а = 0, так что вектор Яно есть некоторый постоянный вектор fi = 6,-. Явная проверка формул (2.8) для плоского пространства (2.9) приводит к противоречию, так что задача (2.8) для А = 1 смысла не имеет. Можно пойти и другим путем. Построив по найденному полю Яно операторы симметрии (1.4) в плоском пространстве (2.9), можно непосредственно проверить формулу (2.7) и убедиться, что она не выполняется. Это полностью доказывает утверждение 1.

3. Заключение

Рассмотренный нами вопрос о существовании второго оператора Дирака L (1.4) был сведен к вопросу о существовании векторного поля Яно (1.5), удовлетворяющего условию (2.8). Мы показали, что не существует четырехмерных римановых пространств, в которых это условие было бы выполнено. Отсюда следует, что для оператора симметрии (1-4) -тождество (2.7) не имеет места ни для каких римановых пространств. Из леммы 1 также вытекает, что для оператора (1.4) невозможно равенство L2 = О. Таким образом, оператор (1.4) в этом отношении резко контрастирует с оператором (1.3), для которого выполнение равенств L2 — 0 и L2 = D2 возможно (примеры приведены в [4]).

[1] Клишевич В.В. Вестник Омского университета.

Физика. 1998. №4. С. 19-21.

[2] Шаповалов В.Н. Известия вузов. Физика. 1975.

№6. С.57-63.

[3] Carter В. and McLenaghan tt.G. Phys.Rev. 1979.

D19. P. 1093.

[4] Klishevich V.V. 2000 Class.Quantum Grav. 17.

P.305.

[5] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.:

Наука, 1988.