CC BY
29
Математические структуры и моделирование 2005, вып. 15, с. 102-106
УДК 539.12:530.145
О ПОЛЯХ ЯНО И ЯНО-КИЛЛИНГА В МОДЕЛЯХ
ФРИДМАНА
А.В. Шалупаев, В.В. Клишевич
В работе получены все решения уравнений Яно и Яно-Киллинга для открытой и закрытой моделей Фридмана. Представленные выводы сформулированы в виде двух лемм. Обсуждаются некоторые применения полученных решений.
Модели Фридмана [1] занимают важное место в теоретических исследованиях по современной космологии. В основе моделей лежат предположения об однородности и изотропии распределения вещества по пространству. Современные астрономические данные не противоречат такому предположению. Существенным свойством моделей является их нестационарность. По-видимому, именно это свойство дает правильное объяснение явления красного смещения
И-
Изучение в литературе моделей Фридмана ведется с разных точек зрения [3-5]. В зависимости от выбора в метрике масштабного фактора получают модели, описывающие те или иные распределения вещества в пространстве. Тема нашей статьи связана с уравнением Дирака и его операторов симметрии в пространствах Фридмана. Общий вид операторов симметрии для уравнения Дирака и уравнения полей, по которым можно построить операторы симметрии, впервые были получены в работе В.Н. Шаповалова [6] и независимо в работах Картера и МакЛенагана [7,8]. Фактически построение оператора симметрии для уравнения Дирака в произвольном римановом пространстве сводится к вопросу о существовании специальных векторных и тензорных полей, которые называются полями Киллинга, Яно и Яно-Киллинга (общие определения можно найти также в [9]). Зная решение уравнений на поля Киллинга, Яно и Яно-Киллинга в конкретном искривленном пространстве, можно построить операторы симметрии для уравнения Дирака в явном виде. Изучив алгебру, которую образуют операторы симметрии, мы имеем возможность исследовать вопросы интегрируемости уравнения Дирака и построения его решений.
Краткое содержание нашей работы следующее. В разделах 1, 2 мы рассматриваем уравнения на поля Яно и Яно-Киллинга и указываем необходимые алгебраические условия существования этих полей в произвольном римановом
Copyright © 2005 А.В. Шалупаев, В.В. Клишевич.
Омский государственный университет.
E-mail: Тао. a@mail. ru, klishe@univer. omsk. su
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
103
пространстве. В разделе 3, опираясь на необходимые условия, мы строим решения указанных уравнений в открытой и закрытой моделях Фридмана. Результаты сформулированы в виде двух лемм.
Элемент длины в закрытой изотропной модели записывается в виде
ds2 = a2(r])(dr]2 — dy2 — sin2 y(d92 + sin2 Odtp2)). (1)
Элемент длины в открытой изотропной модели записывается в виде
ds2 = a2(r])(dr]2 — dy2 — sinh2y(dd2 + sin2 6d(p2)). (2)
Функция a{rj) называется масштабным фактором.
1. Векторное поле Яно
Векторное поле Яно определяется из уравнений
fi\j ~ Л 9ijf -кч fi — 0, г•
(3)
Рассмотрим некоторые очевидные свойства этого векторного поля, подробно доказанные в работе [10].
Свойство 1. fi.j = fj-i. Следует из формулы (3).
Свойство 2. fij = fjj. Следует из свойства 1 в силу симметричности символов Кристоффеля по нижним индексам.
Свойство 3. Если все компоненты вектора Яно не зависят от координаты Xj) то компонента fj суть константа. Следует из свойства 2.
Свойство ф Если компонента вектора Яно fj суть константа, то все остальные компоненты не зависят от координаты Xj. Следует из свойства 2.
Свойство 5. Поднимая индекс і в формуле (3), получим /г • = 0, і ф j. Свойство 6. Положив в предыдущей формуле г = j = 1,2, 3,4, получим f\ = /22 = /33 = /44 = 0. С учетом последнего свойства уравнение (3) может быть переписано в виде /ф = 0ду/, ас использованием свойства 2 уравнению
(3) можно придать следующий вид:
frj + f„ = 2вЯі, в =!/’*„. (4)
По терминологии монографии [9] векторное поле, удовлетворяющее уравнению
(4) , называется конформно-кил л инговым, а по терминологии монографии [11] - обобщенным векторным полем Киллинга. В той же монографии [п, стр.72] указаны условия совместности этих уравнений в общем случае. Эти условия представляют собой соотношения на компоненты поля и их производные до определенного порядка. Покажем, что в нашей ситуации эти условия представляют собой соотношения только на компоненты поля.
Свойство 7. (Необходимое условие существования векторного поля Яно).
104 А.В. Шалупаев, В.В. Клишевич О полях Яно и Яно-Киллинга...
Сворачивая по индексам і и j формулу Риччи ~ fi-yj = fnRUijk и поД~ ставляя в нее формулу (3), получим /фд = —^gijfnRnk. Используя формулу Риччи, получим соотношение
Um,R\ - + зя%-*) = о. (5)
Тензор Римана определяется формулой:
Г)і ____ -pi ~ni I -pi pn -pi pn
^ jkl 1 jl,k 1 jk,l ' 1 nk*~ jl 1 nA jki
а тензор Риччи - сверткой по первому и третьему индексам:
(б»
Ъь = Rnjnt- (?)
Обобщим формулу (5) на произвольную размерность многообразия. Для этого следует использовать уравнение на вектор Яно в тт-мерном пространстве, оно имеет вид:
hi = Cijfk-k- (8)
Формула (5) в тт-мерном случае выглядит следующим образом:
fn(gl3Rnk - gikRnj + (n- 1 )Rnljk) = 0. (9)
2. Тензорное поле Яно-Киллинга
Антисимметричное тензорное поле Яно-Киллинга определяется из уравнений
fij + fji О? fij\k Cjkl9 j (fij;k T fik;j 0). (Ю)
Рассмотрим некоторые очевидные свойства этого тензорного поля, подробно доказанные в работе [10].
Свойство 1. fij.k = fjk-i = fki;j, то есть индексы можно циклировать. Следует из формулы (10).
Свойство 2. у = 0 при совпадении любых двух индексов. Следует из формулы (10).
Свойство 3. 3fij]k fij;k fjk\i fki\j fij,k fjk,i fkij• Следует из ан-
тисимметрии этого тензора и симметрии символов Кристоффеля по нижним индексам.
Свойство ф (Необходимое условие существования тензорного поля Яно -Киллинга). Рассматривая два уравнения на поле Яно - Киллинга, можно получить соотношение
Rn,iJtn + = о, (її)
которое должно выполняться для всех индексов І ф j.
Свойство 5. (Необходимое условие существования тензорного поля Яно -Киллинга). Рассмотривая тройку уравнений на поле Яно - Киллинга, можно получить соотношение
(R\,< + «",*)/,„ - «’W/j» - «"«Л» = 0
(12)
которое должно выполняться для всех различных индексов г, j, к. Отметим, что формула (11) есть частный случай формулы (12), если положить к = j.
Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15. 105
3. Поля Яно и Яно-Киллинга в моделях Фридмана
При нахождении решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга мы существенно использовали необходимые условия существования этих полей (5), (11) и (12), а также отмеченные их свойства. Приводим окончательные результаты. Всюду указываем только ненулевые компоненты.
Лемма 1. Метрики Фридмана (1) допускают единственное нетривиальное векторное поле Яно и Яно-Киллинга только при значении масштабного фак-
тора
а = а0ехр(сту), (13)
ненулевая компонента поля Яно имеет вид
/і = /о ехр(2с?7), (14)
ненулевые компоненты поля Яно-Киллинга для метрики (1) имеют вид
/23 = -(cicos(^) -c2sin((/?))sin(x)exp(3c?7), (15)
/24 = (ci sin(</?) + C2 cos(<^)) sin(x) sm($) cos(6) exp(3c?7), (16)
/34 = (ci sin (ip) - c2 cos((f)) sin(x)2 cos(x) sin(6>)2 exp(3c?7) +
C3 sin($) sin(x)3 exp(3c?7), (17)
здесь ао, c, Сі, C2, Сз, /о - произвольные постоянные.
Доказательство. Из необходимых алгебраических условий (5) следует, что если а = аоехр(сту), ао,с - постоянные, то /2 = /з = /4 = 0. Далее из системы уравнений (3) находим общий вид поля Яно в виде (14). При а ф аоехр(сту) системы (3) и (5) допускают только тривиальное решение. Используя необходимое алгебраическое условие на поле Яно-Киллинга (12), видим, что если а = аоехр(сту), ао,с - постоянные, то /12 = /13 = fu — 0. Используя систему уравнений (10), находим общий вид поля Яно-Киллинга в виде (15-17). При а ф аоехр(сту) системы (10) и (12) допускают только тривиальное решение. ■
Лемма 2. Метрики Фридмана (2) допускают нетривиальное тензорное поле Яно и Яно-Киллинга только при значении масштабного фактора
а = а0ехр(сту), (18)
ненулевая компонента поля Яно имеет вид
/і = /о ехр(2с?7), (19)
ненулевые компоненты поля Яно-Киллинга для метрики (2) имеют вид
/23 = -(ciCos(</?) - c2sin(</?))sinh(x)exp(3c?7), (20)
/24 = (ci sin(</?) + C2 cos(p)) sinh(x) sin(0) cos($) ехр(Зс^), (21)
/34 = — (ci sin(<£>) — C2 cos(<^)) sinh(x)2 cosh(x) sin(0)2 exp(3c?7) +
c3 sin(0) sinh(x)3 exp(3c?7); (22)
здесь ао, c, сі, C2, сз - произвольные постоянные.
106
Доказательство. Из необходимых алгебраических условий (5) следует, что если а = аоехр(сту), ао,с - постоянные, то /2 = /з = /4 = 0. Далее из системы уравнений (3) находим общий вид поля Яно в виде (19). При а ф аоехр(сту) системы (3) и (5) допускают только тривиальное решение. Из необходимых алгебраических условий (12) следует, что если а = а0ехр(сту), а0,с - постоянные, то /12 = /із = /14 = 0. Далее из системы уравнений (10) находим общий вид поля Яно-Киллинга в виде (20)-(22). При а ф а0ехр(сту) системы (10) и (12) допускают только тривиальное решение. ■
Литература
1. Фридман А.А. О кривизне пространства. Петроград. 1922.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Том II. М.: Наука. 1988.
3. Розенталь И.Л. Элементарные частицы и космология // УФИ. 1997. Т. 167, №. 8.
С. 802-810.
4. Гинзбург В.Л. О некоторых успехах физики и астрономии за последние 3 года // УФИ. 2002. Т. 172, №. 2. С. 213-219.
5. Глинер Э.Б. Раздувающаяся Вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // УФИ. 2002. Т. 172, №. 2. С. 221-228.
6. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Известия вузов. Физика. 1975. N.6. С.57-63.
7. Carter В. Killing tensor quantum numbers and conserved currents in curved space // Phys.Rev. 1977. V.16D. P.3395-3414.
8. Carter B. and McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-time // Phys.Rev. 1979. V.19 D. P.1093-1097.
9. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. М.: ИЛ. 1957.
10. Клишевич В.В. К вопросу о существовании спинорных операторов симметрии для уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. 2000. Т. 43, №. 10. С. 87-91.
11. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.
