CC BY
27
Математические структуры и моделирование 2004, вып. 13, с. 119-125
УДК 539.12:530.145
ПОЛНОТА АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА И ФУНКЦИОНАЛБНБІЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОПЕРАТОРАМИ
В.А. Тюменцев
In the four dimensional space de Sittera free signature all deciding on field Yano and Yano-Killing are found. According work Shapovalov A.V. on this fields are built spinor operators of symmetry of equation Dirac in this space, in this sense is understood fullness of algebra, since all linear independent spinors operators are found. All subalgebras consist of the Killings and spinors symmetry operators, which satisfy a theorem on noncommutative integrating. These subalgebras are divided in subalgebras with functional relations between operators - such it is impossible to use for integrating and without them -these subalgebras are used for an ing a procedure of integrating. Also brought greater number found functional relations between symmetry operators in the class of square-law type.
Введение
В статье [1] была приведена алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. Для построения спинорных операторов симметрии были найдены одно решение уравнения на поля Яно и четыре решения уравнения на поле Яно-Киллинга.
В данной статье приводятся следующие (обобщающие) результаты: найдены полное число решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры, им соответствует полное число линейно независимых спинорных операторов симметрии; построена алгебра киллинго-вых операторов и спинорных, данная алгебра является квадратичной. Также найдены некоммутативные соотношения между операторами симметрии - т.е. такие функциональные соотношения между операторами, которые не являются коммутаторами. Эти некоммутативные соотношения занимают особую роль, т.к. они определяют интегрируемость уравнения Дирака, именно их наличие говорит о неполноте решения и поэтому очень важно их обнаружение в алгебре операторов симметриии.
© 2004 В.А. Тюменцев
E-mail: [email protected]
Омский государственный университет
120 В. А. Тюменцев. Полнот алгебры операторов симметрии уравнения...
1. Векторное поле Яно
Уравнение на векторное поле Яно в римановом пространстве имеет вид :
hi = \9ijfik, (1)
где fk - вектор Яно. Решение уравнения (1) ищем в виде
fi = ti(xl }х2, х3, ж4)/02.
На функции Цх1, х2, х3, х4) получаются дифференциальные уравнения, всего их решений - пять векторов Яно. В работе [1] приведено одно решение. В данной работе найдены еще четыре. Они приведены ниже (верхний индекс в скобке нумерует векторы Яно, нижний индекс - компоненты вектора):
' /Р = (-4 + К£іхі2 - Кє2х22-Кє4х42 - Кє3хз2)/в2,
< /2(1) = 2 К Xі є2х2/Є2,
= 2 К Xі є3 ж3/02, k /j1} = 2 К Xі Xі/в2 f^ = 2 К Є\ х2 ж1/©2,
/2(3) = (-4- КЄіхі2 + Кє2х22-
< Кє3хз2 - Кє4х42)/02 /3(3) =2 Кє3х2х3/в2,
/Д = 2 К х4 х2 є4/02,
' /{2) = 2 К єг Xі Xі/Є2,
/Д = 2 К х2 хА £2/02,
< /з(2) = 2 Кє3х4х3/в2,
/4(2) = {-А-К єх Xі2 - К є2х22+ Кє4хі2-Кє згД/02, = 2 К х3 Єї Xі/О2,
/2(4) = 2Кх2х3є2/в2,
< /3(4) = {-А-КЄіх12 -Кє2х22+
К є з х32 -Кє 4ж42)/02,
^ f^ = 2 К х4 х3 є4/02,
Анализ полученных дифференциальных уравнений показывает, что больше решений нет, т.е. нет других векторных полей Яно. Также все пять полей Яно можно представить в форме записи (общее решение):
fi = afP + fafP = (KaijkxJxk + aSijx3 + $) /02,
где в данном выражении есть пять произвольных констант <т, /Зі, /32, /?з5 /?4 -const, dijk = dijkiP 1,/^2?/З3,/З4), dijk = щ&д коэффициенты этой матрицы легко найти, сравнив общий вид с найденными решениями.
2. Векторное поле Яно-Киллинга
Поле Яно-Киллинга в римановом пространстве задается условиями
/д Т /д 05 fij’,k * 9 (3)
где д1 - некоторый вектор; — у/| det(g^-)| • здесь e^ki ~ абсолютно
антисимметричный тензор. Решение уравнения (3) ищем в виде
fij = tij(x4,x2, х3, х4)/03.
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
121
На функции tij(xl, х2, х3, х4) получаются дифференциальные уравнения, и решая данную систему уравнений, получим все тензоры Яно-Киллинга - десять тензоров. В работе [1] приведено четыре решения решения уравнения (3) в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В данной работе найдены еще шесть. Они приведены ниже (верхний индекс в скобке нумерует тензоры Яно-Киллинга, нижние индексы - компоненты тензора):
= — 2 К Xs Єї Xі/О3,
Д) = 2Ке1х2
X
7е3,
А і)
J 14
о,
/2(31} = (4 + Кєгх3* -К Єі xlZ+
532 ^ 12
Кє2 х22 - Кє±х42^п /-2І = 2 К Xі X3 Є4/03,
/зР = —2 К хА х2 Є4/03,
в4 Л2 —
)/03,
= 2 К х2 х3 є2/03,
/{f = (4 + if £3 ж32 - К Є4 X42-Кє2 Х22 + Кє 1xl2)/e: ff3) = 2 Кх4х3є4/03,
/2? = 2 К Xі є2х2/03,
fS} = о,
/з(3) = -2Кх1є4х4/03,
/12 = —2 К £l х4 Xі/О3,
45) = о
= 2 Кх2х4е2/в3,
Л(2) = 2 Кє3х4х3/в3, fif = (А-Кє3хз2 + К1
Кє2х22 + Кє іЛ2)/03, (4)
/і? = о,
/2(2) =2 К Xі є2 х2/03,
/з? = 2, К Xі є3 х3/в3,
А 4) 112
(4-^е3із2 + А'е2 х22+ Кєгх12 -Кє4 х42)/Є3, 2 К є3 х2 х3/<93,
= 2 Кх4х2Є4/в3,
/іі = -2КXі є3х3/®3,
/2(4} = -2 Кх1Є4Х4/в3,
. /з? = 0,
/і(26) = 0,
= 2 К ві ж4 ж1/©3,
= —2 К х3 Єї Xі/О3,
2 К х2 х4 e2/Q3,
f(4)
J13
f(6)
'23
f(6) _
/7 = -2 Kx2x3£2/Q3,
fi? = (-4
К£4Ж42 + І^2 Ж22)/03,
ife3 жз2 + КеіЛ2-
(5)
(6)
Л(4} = 2КЄіХ2Х1/Є3)
/2? = 2 К є3х4 ж3/03,
/2(4} = (4-К£зЖ32 -І^£іЛ2 +
Кє4 / + ^£2 Х22)/в3,
/з(45) =2Кє3х2х3/в3,
Анализ полученных дифференциальных уравнений показывает, что больше решений нет, т.е. нет других тензорных полей Яно-Киллинга. Также все 10 тензорных полей Яно-Киллинга можно представить в форме записи (общее решение):
fij — X + SijhiCl X + /^Г/) 5
где в выражении есть десять произвольных констант ak,/3ij - const, —
aijki(akj Pij) aijki = aijikj aijki + ajiki = 0,fiij + Pji = 0, коэффициенты матрицы a^ki легко найти, сравнив общий вид с найденными решениями.
3. Алгебра операторов симметрии и некоммутативные соотношения
Теперь по найденным полям строятся спинорные симметрии (одна симметрия Яно и четыре Яно-Киллинга приведены в статье [2], здесь приведены другие из
122 В. А. Тюменцев. Полнот алгебры операторов симметрии уравнения...
новых найденных симметрий): по полям (2) строятся операторы симметрии Яно АД.., и по полям (4),(5) операторы симметрии Яно-Киллинга АД,Мб, нумерация решений совпадает с нумерацией соответствующих симметрий. Тетрада для построения симметрий в пространстве де Ситтера выбрана как в статье [2]: е1^ — л/Щ51а. В виду грамоздкости этих операторов их явный вид в статье не приводится. В отличие от спинорных операторов из статьи [2] эти операторы зависят от кривизны К пространства де Ситтерра. Сохранены другие обозначения для операторов симметрии из статьи [1]: Li,...,Z/4 - симметрии Яно-Киллинга, Jq _ симметрии Яно, Yi,..., Yq - Киллинговы симметрии; бД..., £/4 -это также Киллинговы симметрии, отличные от симметрий из статьи [1].
Таким образом, мы имеем двадцать пять операторов симметрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры ер пять симметрий Яно, десять симметрий Яно-Киллинга, десять симметрий Киллинга. Поля Кил-линга есть во многих монографиях и хорошо изучены во многих пространствах, их решения в пространстве де Ситтера можно взять из [5], и ссответсвенно по ним строятся симметрии Киллинга [3].
Далее будет несколько определений для основных объектов исследования: алгебра операторов симметрии и некоммутативные соотношения.
Определение 1. Пусть между любыми двумя операторами определена операция коммутирования: [АД АД] = АДАД — XjXi, Тогда коммутатор квадратичного типа определим как выражение:
п п
№. А'у] = Е Е Ч'ЗД + Е с%хг, (7)
к=11>к р=1
а алгебру операторов А = {АД ..., Хп}, состоящую из таких коммутаторов, назовем квадратичной. ■
Определение 2. Некоммутативным соотношением квадратичного типа между операторами АД г = 1,гг называется функциональное соотношение типа:
п п
о • №.. №1 = Е Е o$xtx, + Е cf,xr. <8)
к=11>к р=1
Пример некоммутативного соотношения в рамках определения 2. АД + Х2 + АД + Х| + Х2Х6 + АДо = 0 (нет — АД АД), т.е. в отличие от коммутатора в некоммутативном соотношении нет перестановок 2-х элементов.
Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры очень большая, поэтому ниже будут приведены наиболее важные результаты следующие в рамках следующих задач: 1) перечислить некоммутативные соотношения согласно определению 2. между операторами симметрии; 2) найти все подалгебры Ли (Киллинги + спинорные операторы симметрии, чисто Киллинговы подалгебры не рассматриваются), удовлетворяющие условию теоремы о некоммутативном интегрировании и поделить их на
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
123
подалгебры без некоммутативных соотношений между операторами (эти подалгебры используются для проведения прцедуры некоммутативного интегрирования) и на содержащие некоммутативные соотношениями между операторами симметрии (эти подалгебры нельзя использовать для проведения прцедуры некоммутативного интегрирования из-за неполноты решения).
Вся алгебра операторов симметрии Л = {Уь E/i,..., Е/4, Li,..., А4, Mi,Ms, <Ль •••? АГ4} является квадратичной в смысле определения 1 на стр. 122.
Алгебра Л — найдены такие функциональные соотношения между операторами, причем некоторые сгруппированы как системы:
3 М\ + 2 £\Y\ М3 — 2 с і 12 М4 — 2U\ L1 = О З М2 — 2 Є2 Yi М3 -Ь 2 £215 М4 — 2 [/3 Z/2 — О З М3 — 2 С2 ї ї М\ -Ь 2 С2 14 М4 2 U3 Lі = 0 /„ч
' З М4 + 2 в3 У2 Мі - 2 в3 У4 Мз - 2 U4 Lx = 0 ^
З ІІ/5 —|— 2 6Г3 1 з Мі — 2 сз 1 з ІІУ() Н- 2 [/4 L \ — 0
^ 3 Мб — 2 Єї У2 М2 — 2 Єї 1 з М3 — 2Ui L3 = 0
— З 6Д 62 <^4 A" Z/2 Н- 2 6Д 62 U2 М/і —|— 2 6Г4 6Г4 U3 М2 2Є2 £4 Ui М3 — 0
—3 Єї £2 £3 К L\ 2 є і C2U4 М4 + 2 С2 сз Uі Мі — 2 г і Дз U3 М3 = 0 , 4,
—З Єї £3 £4 К А3 2 Єї Є3 U2 М3 2 є\ £4 U4 М2 ~\~ 2 £3 £4 Ui М3 — 0 —З £2 £3 £4 А А і -|- 2 Є3 £4 Uз М6 2 є2 є з U2 Мі — 2 Є2 £4 U4 М3 — 0
6 Є з Є2 (— L4 + Уі L3 Єї) £4 К + М2 N2 + 6 Є 4 Є з t/g М3 — М3 N4 + 2 М4 N3 — 0,
6 (— А2 + Yq Li Є3) £2 £i £4 А" + 6 £2 £і U$ М4 + 2 М3 N2 + М3 N1 + Мі N3 = 0, , ч
—6 є з є 2 £\ {є 4 Y3 L/2 Li) К М2 N1 Н- 2 М3 N4 + 6 Є2 £\UiO М4 — М3 N3 = 0,
—6 є 3 (L3 Y3 Ьі є 2) Єї £4 К Мі N4 — 2 М3 N2 — М4 Ni 6 є з Єї U$ М3 — 0
L3 — 2 6Г2 Ml L4 + 2 £2 Y4 Z/2 — 2 £2 Y3 Li = 0
Li — 2 £4 Y3 L2 + 2 £4 Y3 L3 — 2 £4 Y3 L4 — 0
А2 + 2 63 Y3 Li — 2 63 У4 A3 + 2 £3 І2 А4 = 0
А4 + 2 Єї Yi A3 — 2 Єї І2 А2 + 2 Єї Y3 Li — 0
(12)
{Є2 ^3 Єї L\2 — Є4Є2 Y\2 — Єї Єз Y22 — є2 £3 Y42 — 1/4 — 0, £2 Єї є4 L22 - є2 Єі Y2 - Є\ є4 Y2 - є2 є4 Y2 -1/4 = 0 є4 Єї є3 L2 - Єї єг Y2 - є4Єї У32 - є4 єг У62 - 1/4 = 0, Є2 Єз Є4 ь42 — Є2 Єз Y42 — Є2 Є4 У52 — Єз Є4 Yq2 — 1/4 = 0
(13)
124 В. А. Тюменцев. Полнота алгебры операторов симметрии уравнения...
Jo1 /(^4 є1 £2) + (4 Y2 £2 Є\ + 4 Y2 £3 Єї + 4Y32 54 5і+
+4Yj2 53 52 + 4 У52 52 54 + 41б2 £4) + 3/2 = О
2 51 52 5з 54 К Jo — £2 £3 £4 Cl N1 — Є\ £2 Єз U2 N2 —
Єї £2 £4 U4 N4 — Є\ Є8 £4 U3 Аз = О
' 542 £22 М52 + £42 £22К Y52 + є2 и82 + є4 и92 + є2 £4 к/4 = О, £32 £22 Мі2 + 532 £22 к Y42 + £3 f/92 + £3 U102 + £3 £2 к/A = О,
£32 £42 М62 + 532 £42 К Y62 + є3 U82 + Є4 U102 + є8 £4 К/А = О,
£32 £і2 М32 + 532 5і2 К Y2 + £i Ur2 + 53 Uiq2 + £3 Єї К/4 = 0,
£42 £і2 М22 + є2 єі2 К Y32 + £4 U72 + £1 Us2 + £4 £1 К/A = 0,
k £22 £l2 M42 + 522 £l2 К Yi2 + 52 U72 + £iUg2 + 52 £l K/A = 0
(14)
(15)
(16)
где К - кривизна пространства де Ситтера. В алгебре Л выделим две квадратичные подалгебры: Л А) = {Yb Y8, Аъ • ••, А4, J0} — с такими функцио-гальными соотношениями (12), (13), (14), Л^2) = {Yi,..., Y$, Ui,..., U4,
Jq, N1,N4} — (14), (15). Соотношения (9), (10), (11) принадлежат всей алгебре
4-х мерные подалгебры = {Yi, U\, U3, М4}, = (Y2, U\, U4, М3},
AW = (Y3, Uu U2, M2}, AW = (Y4, U3, U4, Mi}, A^ = (Y5, U2, U3, M5},
AW = {Y6,U2,UA,M6} с соотношениями между элементами подалгебр (16). Эти подалгебры удовлетворяют условию теоремы о некоммутативном интегрировании, но из-за наличия соотношений типа (16) их нельзя применять для проведения процедуры некоммутативного интегрирования, т.к. полученное решение будет являться лишь частным решением. Т.к. в рассматриваемых алгебрах есть соотношения (16) то для средуцирован-ного решения будет нарушаться условие полноты.
4-х мерные подалгебры = {Yi, [Д, t/3, N2}, = {Yi, [Д, [Д, І\Д},
Л^) = {Y2, Ui, и4, N2}, Л№) = {Y2, Ui, Ua, N3}, A™ = {Y3, Uu U2, N3},
АЫ) = {y3, Ui, U2, N4}, A(Y) = (y4, [/3, Ub jVj, АШ = {y4> C/3> Ub iv2};
A(pi) = (Y5, U2, U3, N1}, AW) = (Y5, U2, U3, N4}, A^) = (Y6, U2, U4, M},
A^) = (Y6, U2, U4, iV3} в себе не содержат соотношений. Они также удовлетворяют условию теоремы о некоммутативном интегрировании и их можно использовать для проведения редукции.
4. Выводы.
Основные результаты работы: 1) найдены все решения на уравнения Яно и Яно-Киллинга, т.е. в предыдущих работах автора были найдены одно решение Яно и четыре Яно-Киллинга, а в этой работе приводятся новые: еще четыре решения Яно и шесть решений Яно-Киллинга, они и приведены в данной; 2) по полям Яно и Яно-Киллинга построены спинорные симметрии, и в данной работе приведены все найденые функциональные соотношения в классе некоммутативных, согласно определению 2. на стр. 122, между операторами симметрии; 3) перечислены все подалгебры Ли, состоящие из Киллинговых и
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
125
спинорных операторов симметрии, которые удовлетворяют теореме о некоммутативном интегрировании; эти подалгебры поделены на подалгебры без некоммутативных соотношений и с ними. Наличие некоммутативных соотношений необходимо исследовать в подалгебре, т.к. их обнаружение приводит к тому, что редуцированное с помощью такой подалгебры решение уравнение Дирака не обладает полнотой, общностью. В последующих работах автор будет проводить исследование интегрируемости уравнения Дирака в пространстве де Ситтера для подалгебр удовлетворяющих условию теоремы о некоммутативном интегрировании и дальнейшее изучение структуры алгебры оператров симмтерии
Литература
1. Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де-Ситтера // Вестник Омского университета. 2000. N.3. С.20-21.
2. Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Об алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2001. N.8. С.52-58.
3. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Известия вузов. Физика. 1975. N.6. С.57-63.
4. Шаповалов В.Н., Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака. Элиста: Калмыцкий университет, 1972.
5. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.
6. Биррел И., Девис И. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1984.
м
