Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2000. N.3. С.20-21. © Омский государственный университет, 2UUU

УДК:539.12:530.145

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ ЯНО И ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ ЯНО-КИЛЛИНГА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА

В.В. Клишевич, В.А. Тгоменцев

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а 1

Получена 6 июня 2000 г.

We have constructed a solution of equations on the Killing-Yano tensor field and the Yano vector held in Hat space and de Sitter space of the arbitrary signature.

1. Уравнение Дирака в искривленном пространстве и его симметрии.

Рассмотрим уравнение Дирака в четырехмерном римаповом пространстве:

= 7*РЙФ = тф.

Здесь О - стандартный оператор Дирака, т ~ константа, Рь — Г^), - оператор ко-

вариантной производной, Г& - спинорная связность, на которую наложено условие [РьТ»] — О, 8р(Г;) = 0. По повторяющимся индексам, если не оговорено, подразумевается суммирование, индексы пробегают значения от I до 4.

Как показано в работе [1], для спинорной связности можно использовать явную формулу: Г,' — — ■ Символ означает ковариант-

ную производную по координате осительно метрики, символ или д^а означает частную производную по координате хк .

Матрицы Дирака в римановых пространствах определяются как произвольное, но фиксированное решение системы у1^ +7^71 = , где ¿'4 - единичная матрица, д1? - метрический тензор.

Общий вид операторов симметрии для уравнения Дирака (1.) был впервые указан в работе Шаповалова В.Н.[2] и независимо в работах Картера, МакЛенагана и Спиндела [3]~[5]. Произвольный оператор симметрии уравнения Дира-

^-шаН: klisheiSuniver.omsk.su

ка (1.) есть линейная комбинация следующих независимых операторов:

Ь = (1)

Ь = + (2)

Ь = 277'*ЛР, + ^7/*;*- (3)

Здесь 7*' - 7 =

7» = ^Ч^аУУ . ¡4 - ¿е>чк1/и, С'ЦЫ = у/— - полностью антисимметрич-

ный тензор (£1234 = !)•

Векторное поле £к в операторе (1) определяется из уравнения

= 0 (4)

и называется векторным полем Кпллинга. Тензорное поле в операторе (2) находится из условий

- д1, ^ + ¡Ц - 0, (5)

где д1 - некоторый вектор, и называется тензорным полем Яно-Киллин?а. На векторное поле в операторе (3) имеется формула

I

^п? ~ -А = (6)

здесь г] - скаляр, это векторное поле называется векторным полем Яно. Уравнения на эти поля получены в работах [2]-[5]. По определению операторы (1)-(3) коммутируют с оператором Дирака (Т.), т.е. [Д1] = 0.

Векторное поля Яно и тензорное поле Япо-Киллиша

21

2. Поля Яно-Киллинга и Яно в плоском пространстве и пространстве де Ситтера.

Метрику плоского пространства запишем в виде

а метрику пространства де Ситтера в виде (каноническая форма)

=&ай(еЬ£2,ез,е4)/92. (8)

Здесь £:, =: ±1, выбор знаков определяет сигнатуру пространства,

В = 1 + | 4- + + ,

к - константа.

В этом пункте мы построим решения уравнений (5) и (6) в пространствах (7) и (8).

Для ковариантных производных мы используем стандартные формулы [б]:

/г ^ ~ /м — Г^-Д,

здесь Г^' - символы Крис/тоффеля,

~ \экп + дз9п* - дп9ч) ■

В плоском пространстве (7) все символы Кри-стоффсля равны пулю и ковариантные производные переходят в обычные частные производные. Решения уравнений (5) и (6) имеют вид:

!%з - е^к1акх1 + с,-,-, (9)

/г = Ьах' + Ь. (10)

Везде ак- произвольные постоянные, в формуле (10) по индексу г суммирования нет.

В пространстве (8) символы Кристоффелн отличны от нуля. Решения уравнений (5) и (6) в пространстве де Ситтера (8) ищем в виде:

/у=/у©Л И />=:}г9т, (11)

о о

где через /,■ ■ и fi мы обозначили соответствующие поля в плоском пространстве (9) и (10).

После подстановки предполагаемой формы (.11) в уравнения (5) и (6) с необходимостью получаем значения п = — го = —2, так что решения уравнений на ноля Яно-Киллинга и Яно в пространстве (8) имеют вид:

= е;зк}акх '/в3, (12)

Л = (13)

Везде ак,Ь - произвольные постоянные, в формуле (13) по индексу 2 суммирования нет.

3. Заключение.

С помощью найденных полей Яно-Киллинга и Яно (9), (10), (12) и (13) можно построить операторы симметрии (2) и (3) и изучить структуру алгебры симметрии уравнения Дирака (1.) в плоском пространстве (7) и пространстве де Ситтера (8). Отметим, что замкнутость этой алгебры служит критерием максимальности системы найденных частных решений уравнений (5) и (б) в рассмотренных пространствах. Правда, к операторам симметрии (2) и (3) необходимо еще добавить симметрии вида (1), а для этого нужно решить в пространствах (7) и (8) уравнения на поля Киллинга (4). Решением этой задачи занимались многие авторы, и здесь мы ее не рассматриваем. Сошлемся, для примера, на монографию [7], где приведены ноля Киллинга для пространства де Ситтера произвольной сигнатуры.

Хотя, как отмечено в монографии [8], операторы симметрии (2) и (3) в плоском пространстве (7) не образуют линейной алгебры Ли (алгебра, построенная по этим операторам, является квадратичной), в ней существуют линейные подалгебры, с помощью которых можно провести про цедуру разделения переменных в уравнении Дирака. Аналогичная задача для пространства де Ситтера (8) гораздо сложнее и будет предметом дальнейших исследований авторов.

Результаты статьи можно использовать для нахождения в пространствах (7) и (8) точных решений уравнения Дирака (1.).

[1] К лише* вич В.В.// Вестник Омского университета. 1998. №4. С.19.

[2] Шаповалов D.H. Известия вузов. Физика. J975. №6. С.57,

[3] Carter В. and McLenaghan R.G. 1979. Phys.Rev. D19. P. 1093.

[A] McLenaghan R.G, and Spindel Ph. 1979. Phys.Rev. D20, P.409.

[5] McLenaghan R.G. and Spindel Ph. 1979. Bull. Soc. Math. Belgique, XXXI, 65.

[6] Ландау Л .Д., Лифшиц K.M. Теория поля. М.: Наука, 1988.

[7] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований ц математической физике. М-: Паука, 1983.

[8] Фущич B.V)., Никитин Л.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. Ai.: Наука, 1990.