CC BY
9
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2001. №.1. С.21-22. © Омский государственный университет, 2001
УДК 539.12:530.145
О КЛАССИФИКАЦИИ РИМАоНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ, ДОПУСКАЮЩИХ ВТОРОЙ ОПЕРАТОР ДИРАКА
М.В. Должин, В.В. Клишевич1
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики, 644077 Омск, пр. Мира, 55а
Получена 10 января 2001 г.
We found three nonequivalerit metrics ill the four-dimensional flat space in which a second Dirac operator exist.
1. Введение и постановка задачи
Рассмотрим стандартный оператор Дирака в че-тырехмерном римановом пространстве:
D = ykPk. (1)
Здесь Pk = i{Vk + Vk), V/: - оператор кова-риантной производной, Г^ - спинорная связность, на которую наложено условие [Р'к, J¡] = 0, Sp(Fi) = 0. По повторяющимся индексам всюду подразумевается суммирование, индексы пробегают значения от 1 до 4. Как показано в работе [1], для спинорной связности можно использовать явную формулу: Г,- = Символ a-tk означает ковариантную производную по координате хк относительно метрики, символ а^ означает частную производную по координате хк.
Матрицы Дирака в римановых пространствах определяются как произвольное, но фиксированное решение системы 7*7J +7J 7' = , где Е^ - единичная матрица, дIJ - метрический тензор.
Вопрос о существовании второго оператора Дирака в искривленном пространстве был рассмотрен в статье [2]. Под вторым (нестандартным) оператором Дирака понимается оператор симметрии L, на который наложено условие
L2 = D2: Ьф D, [D,.L] = 0. (2)
Как показано в работе [3], среди операторов симметрии для оператора Дирака таким свойством
'e-mail: [email protected]
может обладать только оператор вида
ь =ъ-/*'>* +57,74*. (3)
Здесь 7*' = \Ък,~11], 7 = ~ЬечьпЧЧк11,
тп)^1]к1 полностью антисимметрич-ный тензор (£1234 = 1) ■ Тензорное поле в операторе (3) находится из уравнений
~ е^ы д1, Д[ + = 0. (4)
Здесь д1 - некоторый вектор, и называется тензорным полем Яно-Киллинга.
Как показано в статье [2], для того чтобы в римановом пространстве существовал оператор симметрии (3), удовлетворяющий условию (2), необходимо и достаточно выполнение равенства:
ЬкЪ=дц. (5)
Ковариантные условия (5) очень полезны для проверки существования второго оператора Дирака, если риманово пространство задано своим метрическим тензором . В этом случае сначала решается уравнение (4), а затем непосредственно проверяется условие (5). На практике, конечно, очень желательно знать конкретные виды метрик римановых пространств в некоторой фиксированной системе координат, в которых выполняется равенство (2). Таким образом, возникает задача классификации искривленных пространств, которую мы сформулируем следующим образом: найти все неэквивалентные классы четырехмерных римановых пространств, в которых существует второй оператор Дирака. Мы
22
М.В. Должин, В.В. Клишевич
считаем, что две метрики Сх и С^ принадлежат одному и тому же классу, если существует невырожденная матрица такая, что 1 С{.9 = С2 .
В предлагаемой статье мы наметим путь решения этой задачи и приведем конкретные результаты, касающиеся плоского пространства.
2. Алгоритм решения
Фактически весь изложенный далее алгоритм решения задачи, поставленной в предыдущем пункте, основывается на следующей теореме [4]:
Теорема 1 (Широков А.П.). Если тензорное поле fij ковариантно-постоянно, тогда существует система координат, в которой матрица ||/^|| приведена к нормальной жордановой форме.
Как показано в статье [2], тензорное поле Яно-Киллинга (4), удовлетворяющее условию (5), ковариантно-постоянно. Условие (5) мы перепишем в виде
ППдти = ян (6)
и, согласно теореме 1, будем считать тензор /\)-приведенным к нормальной жордановой форме. В четырехмерном случае все формы хорошо известны. Перебирая их, получим соотношения на компоненты метрического тензора, которые ограничат вид искомых метрик. К условию (6) следует добавить условие симметричности: д^ — д^ и условие невырожденности: с1е1,(<7,^) = 0. Кроме этого, задействуем условия ковариантного постоянства тензора /у в следу-щем виде:
9гпГуМ = 0. (7)
Расписывая ковариантную производную в последней формуле и используя определение символов Кристоффеля согласно [5]
7.9кп [яы,] + 9]п,1 ~ 9ч,п), (8)
и 2~
получим линейное дифференциальное уравнение на компоненты метрического тензора
¡1}{дц,к + Як\,I - зи.г) =
= /',■ {9н,к + 9ы,з ~ (9)
При вычислениях учтено, что /'• к = 0. Мы используем уравнение (9) для конкретизации компонент метрического тензора.
Перечислим основные шаги решения поставленной задачи:
Шаг 1. Для заданной жордановой формы /* ■ решаем уравнение (6) с дополнительными условиями дц = gji и ¿е^д^) = 0;
Шаг 2. Решаем линейное уравнение (9) на функции 9ц .
3. Результаты
Мы приведем результаты вычислений только для жордановой формы вида:
/
а1 0 0 0 \
0 02 0 0
0 0 аз 0
0 0 0 сц )
(10)
Здесь а; - произвольные комплексные не равные нулю числа. Имеется ровно 3 неэквивалентных тина метрик, удовлетворяющих условиям (6) для жордановой формы (10):
(И)
/ 0 0 0 014 \
0 0 023 0
0 023 0 0
\ 014 0 0 0 /
/ 0 0 0 014 \
0 0 023 024
0 023 0 0
V 514 024 0 0 )
/ 0 0 013 014 \
0 0 023 024
<713 023 0 0
\ 014 024 0 0 )
(12)
(13)
Во всех трех метриках (11)—(13) элементы дц являются вещественными константами, элементы ai формы (10) принимают значения ±г. Из полученных результатов видно, что сигнатура пространства возможна только двух типов:
либо (+ + ++), либо (-М---), сигнатура Мин-
ковского не допускается. Этот факт был отмечен в статье [2], где он был проверен прямым вычислением.
Основной интерес к пространствам, где возникает второй оператор Дирака, связан прежде всего с тем, что в них для уравнения Дирака возникает дополнительная групповая и суперсимметричная структура. Изучение этих структур для найденных метрик будет предметом дальнейших исследований авторов.
[1] Клишевич В.В. // Вестник Омского университета. Физика. 1998. №4. С.19.
[2] КН8Ьеу1сЬ У.У. // С1а88.<3шийит Сгау. 2000. 17. ¡'.305.
[3] Клишевич В.В., Должин М.В. // Вестник Омского университета. Физика. 2000. №2. С.25.
[4] Широков А.П. // ДАН, 1955. Т.102. №3. С.461.
[5] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.
