Метод обобщенной дзета-функции для скалярного поля на однородных пространствах с инвариантной метрикой и нулевым дефектом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145

МЕТОД ОБОБЩЕННОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ИНВАРИАНТНОЙ МЕТРИКОЙ И НУЛЕВЫМ ДЕФЕКТОМ

А.И. Бреев

Томский политехнический университет E-mail: breev@tpu.ru

При помощи метода орбит найдено выражение для локальной дзета-функции оператора Клейна-Гордона на статических однородных пространствах с инвариантной метрикой и нулевым дефектом. В рамках метода обобщенной дзета-функции рассчитаны вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярного поля.

Ключевые слова:

Поляризация вакуума, уравнение Клейна-Гордона, метод орбит, однородные пространства, дзета-функция.

Key words:

Vacuum polarizations, Clein~Gordon equation, orbits method, homogeneous spaces, zeta function.

Введение

Данная работа посвящена вычислению обобщенной дзета-функции, соответствующей уравнению Клейна-Гордона на статических однородных пространствах с инвариантной метрикой и нулевым дефектом. Полученное выражение для обобщенной дзета-функции используется для расчета вакуумных средних тензора энергии-импульса, описывающих поляризацию вакуума скалярного поля внешним гравитационным полем. Частный случай, когда однородное пространство является группой Ли, рассмотрен в работах авторов [1, 2].

К классу однородных пространств, имеющих нулевой дефект, относятся симметрические пространства, а также четырехмерные однородные пространства с группой преобразований де Ситтера [3].

Для решения поставленной задачи применяется метод орбит коприсоединенного представления (К-орбит), позволяющий редуцировать уравнение Клейна-Гордона к более простому уравнению на лагранжевом подмногообразии к К-орбите с меньшим количеством переменных [1, 2].

1. Инвариантные метрики

на однородных пространствах

Пусть О - связная односвязная вещественная группа Ли, Ь - алгебра Ли группы Ли О. Рассмотрим правое однородное пространство Р с группой движений О. Обозначим через Н замкнутую стационарную подгруппу некоторой точки у0еР размерности ШшО-ётН. Тогда Р диффеоморфно фактор-многообразию О/Н и с однородным пространством Р естественно сопоставляется главное расслоение группы О(Р,Н,ж), где п- каноническая проекция п: О^Р.

Над областями тривиализации ПеРв расслоенном пространстве О введем координаты хА=(у‘,На) прямого произведения ПхН (я=1,...,ё1шР,

а=1,...ДшН). При этом координаты произвольной точки хе О можно представить в виде х=Ну(у), где V: P^G - локальное гладкое сечение расслоения О (п°у=1). В свою очередь линейное пространство алгебры Ли Ь допускает разложение

в прямую сумму подпространств L= h®m, где h -алгебра Ли группы H, m - дополнение к h.

Зафиксируем в алгебре Ли L некоторый базис {eA}={ea,ea}, (A=1,...,dimG), такой что {ea}, (a=1,...,dimP)-базис алгебры h, {ea}, (a=dimP+1,...,dimG) - базис подпространства m. Обозначим за {e*} соответствующий базис в сопряженном пространстве L*: <eA,eB>=SAB, (Л,Б=1,..., dimL).

Метрический тензор правоинвариантной метрики на группе Ли G в локальных координатах имеет вид

Yijiх) = Yab°,A (х)^/(х)

Yab = В(Єа , Єа ), І, j = 1,..., dim G, (1)

где B - невырожденная квадратичная форма на алгебре Ли L, задающая метрику на группе Ли G в единице, оЛ(х) - базисные правоинвариантные 1-формы. G-инвариантная метрика на однородном пространстве P строится по правоинвариантной метрике (1) на группе:

Yab (У) = Bab (У, И)°Ь] (У, Bab = B( Є , Є X (2)

BabCbac + BcbChaa = 0,

(a, b, c = 1,...,dim m; a= 1,...,dim h), (3)

где CcM=([eA,eB])C - структурные константы алгебры Ли L. Условие (3) эквивалентно требованию Ad (Н)-инвариантности формы B и обеспечивает независимость определения G-инвариантной метрики от действия группы Hлевыми сдвигами на пространстве расслоения G.

Тензор Риччи связности Леви-Чивита, построенной по G-инвариантной метрике (2), на однородном пространстве P выражается через базисные правоинвариантные 1-формы aA(y,h) на группе Л и G: R.ij(y)=E^aba“(y,h)ab(y,h), yeP, heH, где величины Rab определяются компонентами формы B и структурными константами алгебры Ли L:

п _ T^d Т^с і fd с

Rab ac bd cd ab ,

ra = - - Cbc - -Bad [B C, + Bb Cd ].

bc 2 bc 2 ec bd eb cd -I

Здесь B“6=(Bai)-1, и латинские индексы принимают значения от 1 до dim m. Скалярная кривизна однородного пространства P постоянна и равна R=BabRall.

2. Гармонический анализ на группах Ли

Не имея возможности полностью изложить метод орбит коприсоединенного представления и обобщенный гармонический анализ на группах Ли, отсылаем читателя к работам [4, 5]. Ниже повторим основные понятия и определения.

Пусть группа Ли G действует на сопряженном пространстве L коприсоединенным представлением Ad: GxL’^L*. На дуальном пространстве L* определена скобка Пуассона-Ли

W,v)Lie (f) s( f ,[Vp( f), V¥( f)]),

y,y e C“(L*), f e L*. (4)

В силу вырожденности скобки (4) на L* существуют функции Казимира KJJ), коммутирующие со всеми функциями из C?(L*) и инвариантные относительно коприсоединенного представления. Число независимых функций Казимира indL называется индексом алгебры L.

Коприсоединенное действие Ad расслаивает L* на К-орбиты, и коалгебра L* является объединением связных инвариантных алгебраических поверхностей M), где каждая связная поверхность является объединением К-орбит размерности dimL-indL-2s.

Непостоянные на M{s) функции КД/), коммутирующие с любой функцией на M{s), называются функциями Казимира (s)-muna. Через r{s) обозначим количество функционально независимых функций Казимира (д)-типа. Причем dimM(s)=r(s). К-орбита называется орбитой s-типа, если OxeM{s), а число s - степенью вырождения орбиты. К-орбиты с нулевой степенью вырождения называются невырожденными, а остальные - сингулярными. Через Fff), (a=1,...,dimL-r(S)) обозначим независимый набор функций, определяющих поверхность M(s).

Пусть далее 0Я - К-орбита группы Ли G s-типа, содержащая ковектор Я. Введем на 0Я замкнутую невырожденную 2-форму аЯ, действующую на касательных векторах а,1еТЯ0Я к К-орбите следующим образом:

(a, b) = (Я,[ X, Y ]),

a = ad*^, b = adY-Я, X,Y e L,

(5)

где аё *: Ь’^Ь* - дифференциал коприсоединенного представления Аё*. 2-форма (5) называется формой Кириллова и задает на К-орбите Оя симплектиче-скую структуру. Ограничение скобки Пуассона (4) на К-орбиту совпадает со скобкой Пуассона, порожденной симплектической формой юя. Известно, что на симплектическом многообразии существуют канонические координаты Дарбу, в которых сим-плектическая форма имеет канонический вид.

Обозначим через (p,q)еPхQ канонические координаты Дарбу на К-орбите О*, в которых форма Кириллова шя принимает канонический вид: со>=ёралёда, a=1,...,дiшOJ2.

Определим каноническое вложение f 0Я^Г, когда ковектору feL ставятся в соответствие его канонические координаты на К-орбите 0Я, содержащей ковектор f. Каноническое вложение однозначно определяется функциямиfX(p,q,X), XeL, удовлетворяющими системе уравнений

{fx, frГ = f{Xy], fx (0,0, Я) = Я(X), X, Ye L. (6)

Так какfeM{s), то в случае сингулярных К-орбит каноническое вложение также должно удовлетворять условию Fas)f)=0, a=1,...,dimL-r(s). Рассмотрим важный частный случай, когда каноническое вложение (6) линейно по переменным р:

fX (q, p, Я) = aX (q) Pa + Xx (q, Я),

X e L, a = 1,...,dim ОЯ /2. (7)

Можно показать, что для существования линейного канонического вложения (7) орбиты 0Я необходимо и достаточно, чтобы функционал Я допускал поляризацию ncL. Напомним, что поляризацией n функционала Я называется подалгебра размерности dim n=dimL-dim0/1/2, подчиненная функционалу Я: <Я,[п, n]>=0.

Операторы lX{q,X)=if;(q,-idt,X) реализуют неприводимое представление алгебры Ли L в пространстве гладких функций L(Q,n^) от dimQ=dim0/1/2 переменных q. Будем называть данное представление Я-представлением алгебры Ли L s-типа. Введем на многообразии Q меру d^(q)=A(q)d^0(q), где А(х) -модуль группы Ли G, и скалярное произведение

(^i,^2) =[Wi(q)V2(q) dP-( tfX

JQ

где черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Потребуем, чтобы операторы Я-представления были косоэрмитовы относительно меры d^o(q). Для выполнения этого условия необходимо и достаточно ввести соответствующий «квантовый сдвиг»: Я-^Я+ip, где в - некоторое действительное число.

Введем поднятие Я-представления алгебры Ли L до локального представления ее группы Ли G:

д

dt

T (exp(tX)x) (p(q)

ТЯ(х) ф(д) = |Ок-(х) р(д’) dр(д’\ р е С“(0), (8)

в

где ехр(Х)— однопараметрическая подгруппа вдоль вектора ХеЬ. Из условия Т1(х1)Т1(х2)=Т1(х1х2) следует соотношение для «матричных» элементов представления Т-(х):

Dq(xix2) = [DЯ(xi)Dq"q(x2)dP(q”).

(9)

Можно показать, что обобщенные функции Б*-—, (х) удовлетворяют переопределенной системе уравнений (ХеЬ):

[Пх(х) + 1х (q, *)] в^( х) = o,

\£,х (х) - (х) = 0,

Q

где ^х) и па(х) есть лево- и правоинвариантные векторные поля на группе Ли О соответственно. Из требования однозначной определенности функций Б-(х) на группе Ли О следует условие Кириллова целочисленности орбиты

2- | ^,= пє г,

2/1 УєНг(0^)

где интеграл берется по любому двумерному циклу у на К-орбите Ох.

Семейство обобщенных функций Б—(х) полно и ортогонально. И для каждой функции <р(х) из плотного ядерного подпространства

Ці) = (Р Є Ц (в ІМX) \Ра)(Пх (Х))Р(X) = 0, Х є Ц

определено прямое и обратное преобразование Фурье вида:

(у, у', ) = А-1(^) (Х-1) (Х) і (x), (10)

в

р( х) =

= | ¥(У,4,^)в1у(х-1)іМ(у)іМ(у')ім№, (11)

вх-вх-І

где ф(А) - спектральная мера операторов Казимира КДп), Ф(х) - правоинвариантная мера на группе Ли G. Для невырожденных орбит прямое и обратное преобразование (10), (11) определено на всем пространстве Р2(О,ф(х)).

3. Интегрирование уравнения Клейна-Гордона

Статическое пространство-время представим в виде (т+1)-мерного многообразия И=Я 1хРт, где Р - т-мерное правое однородное пространство с «-мерной группой движений О.

Введем на М лоренцеву метрику статического пространства-времени:

8«='

Ъ

80і = 0 800 = 1, ', 1 = 1,•••, т +1

где у,, есть метрический тензор на однородном пространстве (2). Квадратичную форму В считаем положительно определенной.

Уравнение Клейна-Гордона скалярного поля на М, взаимодействующего с внешним гравитационным полем, имеет вид

КрСу,0 = 0, р = д? - Ар + ^Я• (12)

где |=(т-1)/(4т) - конформный множитель, АР -оператор Лапласа на однородном пространстве Р. В пространстве решений уравнения (12) определено иденфинитное скалярное произведение

Построим полный базис решений ра(у,0 уравнения (12), нумеруемый коллективным индексом а и удовлетворяющий условию нормировки относительно скалярного произведения (13): (ра,ра)=8аа:

В силу статичности пространства-времени решение будем искать в виде р(у,/)=/(/)Р(у). Подставляя в уравнение (12) и учитывая (13), имеем

/А (0 = -^ еш, а2 = Л2 + ^Я + ш2,

2а

где Л - параметр разделения переменных. Функция Д(х) удовлетворяет уравнению Клейна-Фока на Р.

-А рРл (у) = Л2 ^Л (7) (15)

и условию ортогональности

(16)

|р К(У)Р,'(У)і М( У) =8^^%

где ф(у) - квазиинвариантная мера на однородном пространстве Р.

Пространство гладких функций на однородном пространстве Р изоморфно пространству Р функций на группе Ли О, постоянных на правых классах смежности по подгруппе изотропии Н. Функциональное подпространство Р в виду связности группы Ли Нопределяется выражением:

К = (р є С"(в)\пх(х)р(х) = 0,Xє Ь,хє в}.

Для инвариантной метрики АРР(у)=Н(п)Р(у), где Н(п) - оператор Лапласа на группе Ли О, и уравнение (15) равносильно уравнению Клейна-Фока на группе Ли О для функций из подпространства Р:

-Н (п)К ( х) = Л2 К (X),

Кл

(17)

Решение уравнения Клейна-Фока (17) на группе (в общем случае неунимодулярной) получено в работе [1] и имеет вид

^ (х) = А-1/2(д) всл(д', Я)£>*-(х-1)d((д0. (18)

Для того чтобы функция Да(х) принадлежала Д на искомую функцию еЛ(д ,Я) наложим условие

¡а (д', Я)Сл (д', Я) = 0, а = 1,...,Шш Ь. (19)

С учетом (19) преобразование Фурье (10), (11) определено на функциональном подпространстве Ь)(Р) пространства Ь1(Р,8(у)):

Ч»(Р) = ¿м ^р = (РеЬ2(Р,d(у))\Д(1 >(X)р = 0},

где Х - генераторы группы Ли О преобразований, действующей на Р. Число sr, такое что И(8г)(лк^Ф0, но И(8г1)Г\к^Ф0, называется степенью вырождения однородного пространства Р. В [5] показано, что на однородном пространстве имеют место тождества: ~ ‘ ~ ,)(,-у\=о ,,= 1 ~ "

(р1,р?) = -i\/Pl(y,Фfр2(y,Оім(у). (13) 0, крКФ 0, М 1,•••, гр,гд| о функ

:р ции Казимира дР-типа, такие что л„(їр)< пі.. =0.

Уравнение Клейна-Гордона (16) является уравнением Эйлера относительно действия скалярного поля $=.|Р(у,і)ф(у) йіна Мс лагранжианом:

,=0.

Ц(У, і) =41 8І

ё'1 д¡(p(y, г) д 7.р(>’, г) --(т2 +$И)\р( у, г )|2 ё = ¿ег( 8«).

л

(14)

Откуда следует, что функциональное подпространство Ь(5Р)(Р) совпадает со всем функциональным пространством Ь2(Р,ф(у)), а Я-представление алгебры Ь должно быть согласовано с тождествами на однородном пространстве Р. К(*р)(Я)=0, »=1,...,^р.

Тогда обобщенное преобразование Фурье (18) не зависит от кеН и определено на всем функциональном пространстве Ь2(Р,ф(у)).

Подставим (18) в уравнение Клейна-Фока (17) и получим на искомую функцию уравнение [Н(/(д',А))+Л2]еЛ(д',А)=0. Для однородного пространства нулевого дефекта оператор Лапласа Н(п) относительно инвариантной метрики является оператором Казимира. При переходе в А-представление оператор Казимира переходит в функцию, зависящую только от параметра орбиты: Н(/(д',А))=-к(А), и уравнение Клейна-Фока в А-представлении сводится к условию на спектр Л2(А)=к(А). Тогда базис решений уравнения Клейна-Фока на однородном пространстве можно записать в виде

К (7) = А-1/2(у) Ая( 7),

а = (у, А),

А

(у) =\вс(д',Я)°Я(х-1)d,(д'), х=(у,^ (20)

где функция е(д,Я) с точностью до постоянного множителя определяется из системы уравнений (19). Подставив (20) в условие ортогональности (16) и воспользовавшись свойствами (8) и (9) матричных элементов Я-представления, получим условие нормировки

|вс(д', Я)|2 d,(д,) = Volн, Уо1н = Н4(к(.h),

где фк(к) - правоинвариантная мера Хаара на подгруппе изотропии Н.

Таким образом, полный набор решений уравнений Клейна-Гордона имеет вид

Ряд( У) = (2а(Я) А( д))-1/2 £дЯ( у),

а2 (Я) = к(Я) + ^Я + ш2.

4. Обобщенная ¿-функция уравнения Клейна-Гордона

Рассмотрим обобщенную ¿^-функцию оператора уравнения (12):

С(Х) = |((а),

где ка - собственные значения оператора Д. Обобщенная ^-функция £(д) допускает аналитическое продолжение в комплексную плоскость, регулярное в точке 5=0, и может быть определена как интеграл по Мот локальной ¿-функции:

С(У, ^ =| К* Ра(У,*) Ра(У, *)d ((а),

= уЩ |РZ(У, * ¥ М.УХ (21)

где ра(у,0 - полный и ортогональный набор собственных функций оператора Д. В нашем случае уравнение на собственные функции оператора /сводится к (12). Тогда кЯ=к(Я)-а2(Я)+ш2+^Я, а набор собственных функций определяется выражением

Ра (7, *) = ф\А(д))-1/2 АдЯ( 7), а = (д, Я).

Подставим (22) в (21):

1 г 44

1 2п

(22)

С(7,5) = 1 ¡х(А)кЦіц(А),

>/Й

Х(А) =\д\АКу)\ ім(д).

Функция х(А) не зависит от локальных координат на однородном пространстве и выражается через коэффициенты разложения с (д,А):

Х(1) = [2\с(у ,,А)|2 сМ(УX

Таким образом, локальная ¿-функция (23) не зависит от локальных координат на однородном пространстве, а определяется О-инвариантной метрикой и алгеброй Ли Ь.

5. Перенормировка тензора

энергии-импульса скалярного поля

Рассмотрим эффективное действие Ж скалярного поля с лагранжианом (14):

Ж = '2\ А[р] ехр('£ (р)) = 21пёй Р ), (24)

где м - нормировочная константа, не зависящая от метрики и имеющая размерность массы. Вариация эффективного действия (24) по метрике дает вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярного поля:

2 .

, ', 1 = 1,..., т +1. (25)

(?,)=-

Основной задачей является проведение процедуры перенормировки и получение конечных значений вакуумных средних (25), характеризующих эффект поляризации вакуума гравитационным полем. Из выражения (25) следует, что задача сводится к нахождению перенормированного эффективного действия Wкn. В рамках ¿-регуляризации эффективное действие выражается через обобщенную ¿-функцию оператора Д:

г (*) = - 2 К'( *) + С( *)1п(-2п(2)],

^ = Г (* )|* =0.

Основную трудность представляет собой вычисление функциональных производных эффективного действия по метрике. Воспользуемся методом, предложенным в работе [6], когда сначала вычисляются функциональные производные по g¡J от эффективного действия, а уже потом берется аналитическое продолжение при л=0:

1 8Ж(*) |

е |*=0

8ёц

2

^ ----г~ / > (26)

где функция 2(у,$) представляет собой аналитическое продолжение по переменной л от вариации ¿-функции ^(я) по метрике:

, 2 8£(у, *)

2 о(У, *) = - П 8„и (27)

£| 8ё

и в работе [6] носит название ¿-функции тензора энергии-импульса, определенного формулой (26).

1

Из (26) следует, что вычисление перенормированного значения тензора энергии-импульса сводится к поиску аналитического продолжения по s=0 производных от функции Zj(y,s). Беря вариацию (27) от локальной дзета-функции, получим [6]:

Za (Уs) = 2sZ(-У’s +1 - sZ (y >s )g >

Z (У’s) = J (28)

Так как мы рассматриваем ситуацию, когда применение метода обобщенной Z-функции позволяет регуляризовать эффективное действие Wren, то величины Z(y,0) и Z(y,0) должны быть конечными:

lim sZ'{ y s) = 0, lim s£( y, s) = 0. (29)

s^0 s^0

C учетом соотношения (29) подставим (28) в (26) и после ряда вычислений получим выражение для перенормированного тензора энергии-импульса на M:

(?,)

\ In

(Z(У’s+1 - ^ gZ( У’s)+^

+s[Z (У, S +1) +

+Z(У’s + 1)1п(-2^/>2)]

(30)

Cab (У’ s) = Cob (s) + - gab С (.У’ s - 1) -ЇЯь Z (У’ s)’ Cab (S) = JК"П(а M \

Переходя в Я-представление для Z,(s) имеем: 1 “

Zab (S) = -

J dj0

И

х Iс(д', оЖ (д', Л 4 (д', о)}+с( д', о)4 ,(д) ,(Я

Подставляя выражение для ¿-(у,-5) в (30) и переходя к компонентам ТаЬ=Тц(у)ц;(у,Н)г11(у,к) окончательно получим

(Таь) =

\ I ген

= - i

Cab (.У’ S + 1) -ZRabC( У’ S ) +

+s[C'ab (.У’s + 1) + Cab (У’s + 1) ln(-2п )]

Л=0

Используя выражение для метрического тензора энергии-импульса скалярного поля [1, 2, 6] и учитывая, что ковариантная производная от £(у,5) равна нулю, найдем явное выражение для ¿-(У,5) в компонентах ^(у^^У^п/ (у,й)П (У,А):

1

Данное выражение для компонент перенормированного тензора энергии-импульса скалярного поля не зависит от выбора локальных координат и определяется алгебраическими характеристиками однородного пространства.

Выводы

При помощи метода орбит рассчитаны вакуумные средние тензора энергии-импульса скалярного поля и обобщенная дзета-функция, соответствующая уравнению Клейна-Гордона на однородных пространствах с инвариантной метрикой и нулевым дефектом.

Обобщение полученных результатов на случай однородных пространств ненулевого дефекта требует учета алгебры инвариантных операторов.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», контракты П691; П789 и госзадание «Наука» контракт № 1.604.2011.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бреев А.И. Поляризация вакуума на неунимодулярных группах Ли // Известия вузов. Сер. Физика. - 2010. - Т. 53. -№ 4. - C. 34-40.

2. Бреев А.И., Широков И.В., Магазев А.А. Поляризация вакуума скалярного поля на группах Ли и однородных пространствах// Теоретическая и математическая физика. - 2011. -Т 167. - № 1. - С. 78-95.

3. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. К-орбиты, тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах с группами преобразований Пуанкаре и де Ситте-ра // Известия вузов. Сер. Физика. - 2000. - Т. 47. - № 11. -С. 72-78.

4. Широков И.В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // Теоретическая и математическая физика. - 2000. - Т. 123. - № 3. - С. 407-423.

5. Широков И.В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений: Препринт. - Омск: ОмГУ, 1998. - 100 с.

6. Moretti V. Direct ^-function approach and renormalization of one-loop stress tensors in curved spacetimes // Phys. Rev. D. - 1997. -V. 56. - № 12. - P. 7797-7818.

Поступила 07.06.2012 г.