Метод некоммутативного интегрирования в задачах теоретической физики Текст научной статьи по специальности «Математика»

References

1. Kalashnikov, V. V. Consistent conjectures in mixed oligopoly / V. V. Kalashnikov, V. A. Bulavsky, N. I. Kalashnykova, F. J. Castillo Perez // European J. Oper. Res. — 2011. — № 3(210). — С. 729-735.

2. Kalashnykova, N. I. Consistent conjectural variationse-quilibriu minamixed duopoly oligopoly / N. I. Kalashnykova, V. V. Kalashnikov, V. A. Bulavsky, F. J. Castillo Perez // Journal of Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics. - 2011. - № 15(4). - С. 425-432.

3. Булавский, В. А. Структура спроса и равновесие в модели олигополии / В. А. Булавский // Экономика и математические методы. - 1997. - № 33(3). - С. 112-134.

4. Liu, Y. F. Existence and uniqueness of consistent conjectural variation equilibrium in electricity markets / Y. F. Liu, Y. X. Ni, F. F. Wu, B. Cai // Int. J. Electrical Power Energy Sys. - 2007. -№ 29 (4). - С. 455-461.

KALASHNIKOV Vyacheslav Ivanovich, doctor of physico-mathematical Sciences, Professor of the Department of Systems Engineering, Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey (on leave from the Central Economics and Mathematics Institute (CEMI), Russian Academy of Sciences, Moscow). BULAVSKY Vladimir Aleksandrovich, doctor of physico-mathematical Sciences, Professor, Russia Professor of the Central Economics and Mathematics Institute (CEMI) of the Russian Academy of Sciences. KALASHNIKOVA Natalia Ivanovna, candidate of physico-mathematical Sciences, teacher of the Department of Mathematics, Universidad Autonoma de Nuevo Leon, San Nicolas de los Garza.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 10.10.2012 г.

© V. I. Kalashnikov, V. A. Bulavsky, N. I. Kalashnikova

УДК 517.958:530.145 А. А. МАГАЗЕВ

В. В. МИХЕЕВ И. В. ШИРОКОВ

Омский государственный технический университет

МЕТОД

НЕКОММУТАТИВНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В статье представлен обзор применения метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений к различным задачам современной теоретической физики.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, группы Ли, алгебры Ли, Х-пред-ставление, уравнение Клейна-Фока, поляризация вакуума, матрица плотности. Статья опубликована при поддержке РФФИ, грант № 12-01-31400.

Введение. Многие важные задачи теоретической физики сводятся к интегрированию линейных дифференциальных уравнений в частных производных вида

Н(х,йх)ф(х) = £'ф(х) , (1)

где х&и^В!1, ф(х)еС“(Ц), Е — вещественный параметр.

Наиболее известным методом построения точных решений уравнения (1) является метод разделения переменных [1]. Согласно теореме о необходимых и достаточных условиях разделения переменных, уравнение (1) обязано допускать п-мерную коммутативную алгебру операторов симметрии не выше второго порядка, удовлетворяющих дополнительным алгебраическим условиям [2]. На основе этих результатов была проведена систематизация практически всех известных точных решений уравнений квантовой механики с внешними полями, а также найдены обширные классы новых полей и соответствующих решений [3]. Тем не менее следует отметить, что во многих важных случаях построение коммутативных операторных наборов либо невоз-

можно (например, в пространствах нештеккелево-го типа), либо сопряжено с рядом дополнительных трудностей. В этой связи наиболее естественным представляется использовать наборы операторов симметрии первого порядка, которые в общем случае образуют некоммутативные алгебры Ли.

Предположим, что оператор H(x, Зх) допускает алгебру симметрии g операторов вида: ^ (x)d:.

№1 = 0, [£а'£ь] = СагДс,

где С£а = -СаЪ — структурные константы алгебры Ли g; a, b, c = 1, ..., dim g. Использование некоммутативной алгебры симметрии для интегрирования уравнения (1) состоит в построении алгоритма редуцирования последнего к дифференциальному уравнению с минимально возможным числом независимых переменных. При этом уравнение (1) называется интегрируемым, если указанный алгоритм сводится к вычислению квадратур, а редуцированное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением. Кроме того, предполагается, что базис решений исходного уравнения восстанав-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

36

ливается по базису решений редуцированного уравнения.

В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением одного частного, но важного случая, когда dim g = n и выполняется дополнительное условие гапк^'а(х) = л. При этом алгебру g мы будем интерпретировать как алгебру Ли некоторой группы Ли G, действующей просто-транзитивно в области UcRn.

2. ^-представление и гармонический анализ на группах Ли. Пусть G — связная унимодулярная группа Ли, g — ее алгебра Ли, g* — дуальное к g пространство, OX=G/GX — орбита коприсоединен-ного представления группы G, проходящая через дуальный элемент Хе g*, GX — стабилизатор элемента X. Подалгебра nc gc такая, что

dimn = dimg-^dimC\, (Х,[п,п]) = 0,

называется поляризацией элемента X. В монографии [4] показано, что для произвольной алгебры Ли поляризация существует для всякого невырожденного дуального вектора X, т.е. когда ОХ — орбита общего положения. Для целей гармонического анализа следует рассматривать именно невырожденные функционалы, поэтому далее через 1 мы будем обозначать элемент общего положения. В этом случае

dim Ох - dim g-indg, dimn = (dim g + ind g)/ 2 ,

где целое неотрицательное число ind g называется индексом, алгебры. Ли g и определяется как

indg = inf dimgx, дх = Lie(Gx).

A.eg‘

Пусть ^x=(Lg)*X, nx=-(^g)*X, — лево- и правоинвариантные векторные поля на группе G, Xeg*. Центральным элементом гармонического анализа на группе Ли G является построение специального неприводимого представления алгебры Ли g операторами IX'-UX, IY]=I[XY], которое мы называем Х-представлением. Данные операторы действуют в пространстве частично голоморфных функций на лагранжевом подмногообразии Q к орбите OX. В локальных координатах {qa} многообразия Q операторы Х-представления имеют вид:

1х=&№-^+{хх№). Хх(0Я) = М. dq п

Обозначим через T — поднятие 1-представления до локального представления группы G. По определению

тх (д )Ф(д) = { (д Mg’ Шч'),

^■(ех) = е^<?л>8(д,д')г

где -Dgg'(gr) — «матричные элементы» представления TX, S(g,g') — дельта-функция, заданная относительно меры ^(д) многообразия Q, Xeg. Свойства ортогональности и полноты обобщенных функций Dqq'(g) позволяют определить прямое и обратное преобразования Фурье:

фа, (д. д'1)={Dq,q (д)ф(д)Ф(д),

ф(9г)=|£,дд'(д)фх(д-д')^(д)йц(д'ж^). (2)

Здесь d^(X) — спектральная мера операторов Казимира в l-представлении алгебры Ли g.

Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений на группах Ли основан на следующей идее [5]. Преобразования (2) переводят действие генераторов левых (-Пх) и правых (у сдвигов в действие соответствующих операторов l-представления и наоборот. Векторные поля и nx зависят от dim g переменных, в то время как число переменных, входящих в операторы IX(q; X), равно (dim g-ind g)/2. Это позволяет применять обобщенное преобразование Фурье (2) для редукции дифференциальных операторов, являющихся полиномиальными комбинациями право- или левоинвариантных векторных полей, к операторам с меньшим числом переменных.

Предположим, что линейный дифференциальный оператор H(x, dX), хє G, отвечающий уравнению (І), инвариантен относительно правых сдвигов, т.е. коммутирует с произвольным левоинвариантным векторным полем В этом случае указанный оператор представим в виде полиномальной комбинации правоинвариантных векторных полей, поэтому к уравнению (І) может быть применен механизм редукции, основанный на формулах перехода (2).

Теорема 1. Пусть уравнение (І), заданное на группе Ли G, является, инвариантным, относительно правых сдвигов, то есть допускает, алгебру симметрии. gL(G)sg, реализованную левоинвариантными векторными полями на группе. Тогда (І) редуцируется. к уравнению с (dim g-ind g)/2 независимыми переменными и, в частности, является, интегрируемым тогда и только тогда, когда

(dim g-ind g)/2<2. (3)

Ниже мы рассмотрим некоторые приложения описанного метода, представляющие интерес в различных вопросах теоретической физики.

3. Интегрирование уравнения Клейна-Фока во внешнем электромагнитном поле на группах Ли. Зададим на вещественной связной унимодулярной группе Ли G произвольную правоинвариантную метрику. Соответствующий оператор Лапласа является операторным полиномом от правоинвариантных векторных полей вида

A=GAXV (4)

где G — билинейная невырожденная симметрическая форма на алгебре Ли g группы G, {eA} — некоторый базис в g, {eA} — дуальный к нему базис в g*, nA=-(-Rg)* eA — базисные правоинвариантные векторные поля, GAB = G(eA, eB). Очевидно, что оператор (4) коммутирует с левоинвариантными полями на группе: [A,y = 0.

Рассмотрим на группе G уравнение Клейна-Фока:

(д+лі2)р(д) = 0, (5)

где m — масса частиц скалярного поля фєС"^). Согласно теореме І уравнение (5) интегрируемо в случае выполнения алгебраического условия (3).

Приведенный результат обобщается на случай «включения» внешнего электромагнитного поля, тензор которого инвариантен относительно правых сдвигов. Пусть FєZ2(g; R) — 2-коцикл алгебры Ли g, принимающий значения в тривиальном модуле R. Зададим на группе 2-форму F с помощью правила:

F(\, ny) = F(X,Y), где X,Yeg. Замкнутость F приводит к локальному равенству F=dA, где A — 1-форма, интерпретируемая как векторный потенциал электромагнитного поля. Вместо 1-формы A можно рассмотреть g*-значную функцию AeC“(G) такую, что A(nx)= A(X) для любого Xeg. Тогда функция A и 2-коцикл F связаны условием:

nxA(Y)-nA(X)-A([X,Y])=F(X,Y). (6)

«Включение» электромагнитного поля в уравнение Клейна-Фока (5) сводится к формальному преобразованию г\х —>т|^ =т\х _1еА(Х), произведенному в исходном операторе Лапласа:

(лИ +m2)tp(g) = 0, (7)

где

д(е) =GABT1(e)11(e) =gab(t1a -1вААХлв -ieAB). (8)

Уравнение (7) будем называть уравнением Клейна—Фока во внешнем, электромагнитном, поле.

В общем случае алгебра операторов симметрии уравнения (7) не совпадает с алгеброй операторов у Наиболее общий вид оператора первого порядка, перестановочного с (8), следующий:

~^х+ ie(AdgA(X) + х(Х)), (9)

где g*-значная функция ^eC^(G) определяется следующей квадратурой: X(X) = -\F£x г") зать [6], что алгебра Ли неоднородных операторов (9) является одномерным центральным расширением алгебры Ли g, отвечающем 2-коциклу FeZ2(g; R).

Метод интегрирования уравнения (7) основан на обобщении гармонического анализа, описанного в разделе 2, на случай т. н. проективного Х-представления группы Ли G. Проективное 1-представление является поднятием соответствующего 1-представления центрального расширения алгебры Ли g.

Приведем критерий интегрируемости уравнения (7). Для этого введем целое неотрицательное число [6]

indrF1g= inf dimkerF,

1 J Fe[F]

называемое комологическим индексом, алгебры. Ли g класса [F]eH2(g; R).

Теорема 2. Пусть электромагнитное поле на группе Ли. G задано с помощью замкнутой правоинвариантной 2-формы F, ассоциированной с 2-коциклом FeZ2(g; R). Тогда уравнение (7) относительной, произвольной. правоинвариантной, метрики, на G интегрируем, если, и только если

(dim g-ind[F]g)/2<2.

Для полупростых алгебр Ли справедлива вторая лемма Уайтхеда, согласно которой группа вторых когомологий таких алгебр равна нулю. В этом случае ind[F] g = ind g, то есть когомологический индекс совпадает с обычным индексом алгебры Ли. Отсюда следует, что для полупростых групп Ли свойство интегрируемости уравнения (3) переносится и на случай уравнения (7).

4. Поляризация вакуума. Применение метода некоммутативного интегрирования для расчета

вакуумных средних перенормированного тензора энергии-импульса (поляризации вакуума) скалярного поля на однородных пространствах подробно рассмотрено в работе [7]. Здесь мы, для иллюстрации, приведем частный случай этой теории.

Пусть M = R^G — пространство Робертсона-Уокера с элементом длины ds= dt2-a2(t)dI2, где dI2 — двусторонне инвариантный квадрат расстояния на вещественной компактной группе Ли G, A = d? -a~2(t)Ac — соответствующий оператор Лапласа на пространстве M, AG — оператор Лапласа на группе G. В силу двусторонней инвариантности метрики, оператор Лапласа на группе является квадратичным оператором Казимира

Ac=GABrlAr]B=GAB^B,

Gab =tr(adeAad0B).

Скалярное поле ф(^д) на M является решением уравнения Клейна-Фока

(д+т2)ср((,дг) = 0. (10)

На пространстве решений (І0) вводится скалярное произведение

(9.¥) = !'|(w-9v)dn(Sr),

где d^(g) — двусторонне инвариантная мера на группе G.

Используя преобразование Фурье (2), построим базис решений уравнения (І0):

(Pa(ff) = &x(t)Dqq'(Sr)' G = [q,q',X) , (11)

где функция ®X(t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

0x(f) + (a-2(f)K(X)+/n2)©xW = O

и условию нормировки: г(©х®Х_ ®х®х)= 1. Здесь k(X)=- GAB IA(q; X) IB(q; X) — собственное значение оператора Казимира (не зависит от переменных q).

Проквантованное скалярное вещественное поле ^F(t,g) является решением уравнения (І0), удовлетворяет коммутационным соотношениям ['P(f,g)1 и представляется в виде

%.?) = /(фо(^?)Чо+Фо(^?)^)ф(о). (12)

Здесь a — операторы рождения и уничтожения состояний (ІІ), [aa,a++'] = 5(<j,a').

Пользуясь формулой (І2), выпишем выражение для функции Грина и плотности энергии вакуума:

(о | %,<;)%',<я |o)=J ©хіїЩПхНдд'-1 )ФМ,

в = |j( 0x(f) I2 +П2(01 &x(t) |2)xX(e)d^(X),

где

XX{g) = JDgq(g)d\i(q), = a_2(f)K(X) + m2.

Для стационарной метрики, т.е. при a = const, получаем ®i(t) = exp(-iQ^t)^2П-А ,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

38

0|%,дг)%',дг')|0

2Пт,

xNffff’-VuM, 8 = ^Jn„xNe)dn(X)

5. Вычисление статистической суммы. Статистической суммой на псевдоримановом многообразии М называется величина

zp = tr(exp(-p Д(х))),

(13)

где A(x) — оператор Лапласа (мы указываем явную зависимость оператора от точки х многообразия M), а параметр p=1IkT имеет смысл обратной термодинамической температуры. Выражение (1З) может быть записано как сумма по спектру оператора A(x):

ZP=ZdnexP(-P^)-

п

где dn — степень вырождения собственного значения En оператора A(x). Матрица плотности или тепловое ядро (heat kernel) оператора Лапласа определяется следующим образом

Рр (х, х’) = £(х’) ехр (-Р Д (х)) ■¥п (х) =

= Х'РП (*’) Ч'п М ехр(-(3£л),

п

где Тп(х) — собственная функция оператора Д(х). Нетрудно видеть, что матрица плотности удовлетворяет следующему уравнению:

дРр(*.*Ч

ер

+ Д(х)рр(х,х') = 0,

причем

Рр(х>х) |р=0- 5(х,х'),

zp=Jpp(x-x№W-

где интегрирование ведется по римановои мере на многообразии. Уравнение (14) называется уравнением. Блоха.

Рассмотрим на связноИ вещественной унимо-дулярной группе Ли G уравнение Блоха (14), где А = Н[-4Щ — оператор Лапласа относительно правоинвариантной метрики на группе. Решение данного уравнения можно представить в виде интегрального разложения [8]

Здесь VolG — объем группового многообразия, который в случае некомпактной группы G является бесконечным. Выделение объема группы в качестве отдельного сомножителя позволяет перейти к рассмотрению удельной статистической суммы

2

гр =—^ = |Др(д,д;А,Рц(д)ф(А,).

У°1С

Удельная статистическая сумма может быть использована для нахождения различных термодинамических функций, таких как средняя энергия, энтропия и т.д. Например, теплоемкость при постоянном объеме может быть найдена с помощью формулы

Су = -&Р

2 S lnZo

ар2

-ip

2 <32lnzn

ар2

т. к. расходящаяся величина VolG сокращается как константа при дифференцировании выражения 1п

Zp=ln zp+ln VolG'

Библиографический список

1. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. - М. : Мир, 1981. - 336 с.

2. Шаповалов, В. Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка / В. Н. Шаповалов // Дифф. уравнения. - 1980. - Т. 16. - № 10. -С. 1864- 1874.

3. Bagrov, V. G. Exact solutions of relativistic wave equations / V. G. Bagrov, D. M. Gitman. - Kluwer, 1990. - 331 p.

4. Диксмье, Ж. Универсальные обертывающие алгебры / Ж. Диксмье. - М. : Мир, 1978. - 407 с.

5. Шаповалов, А. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений / А. В. Шаповалов, И. В. Широков // Теоретическая и математическая физика. -1995. - Т. 104. - № 2. - С. 195-213.

6. Магазев, А. А. Интегрируемые магнитные геодезические потоки на группах Ли / А. А. Магазев, И. В. Широков, Ю. А. Юревич // Теоретическая и математическая физика. -2008. - Т. 156. - №. 2. - С. 189-206.

7. Бреев, А. И. Поляризация вакуума скалярного поля на группах Ли и однородных пространствах / А. И. Бреев, И. В. Широков, А. А. Магазев // Теоретическая и математическая физика. - 2011. - Т. 167. - №. 2. - С. 78-95.

8. Mikheyev, V. V. Application of Coadjoint Orbits in the Thermodynamics of Non-Compact Manifolds / V. V. Mikheyev, I. V. Shirokov // Electronic Journal of Theoretical Physics. - 2005. -V. 7. - P. 1-10.

pptff.g'HjKptg-g'^Pgg'tg' V)

xdn(g)dn(qr')dn(X),

(15)

тогда функция Rp(<7,g ’;1) будет удовлетворять уравнению

fllfefog ;Х) +н{_Щс1.Х)щд^.Х) = 0|

Др(д.д,;*')1р=о=5(<Т'д')- (16)

Таким образом, решение задачи (14) на группе Ли сводится к интегрированию уравнения (16) на частично смешанном многообразии Q размерности dim Q=(dim g-ind g) = 2.

Используя разложение (15), получаем

zp = JPptff.S^Sr) = VolG • Jflp(grg;X)d|j.(g)d|j.(a.).

МАГАЗЕВ Алексей Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Комплексная защита информации».

Адрес для переписки: [email protected] МИХЕЕВ Виталий Викторович, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры «Комплексная защита информации».

Адрес для переписки: [email protected] ШИРОКОВ Игорь Викторович, доктор физикоматематических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Комплексная защита информации». Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 14.09.2012 г.

© А. А. Магазев, В. В. Михеев, И. В. Широков