Звездное произведение на коалгебре Ли и его применение для вычисления квантовых интегралов движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.81+512.546.4

ЗВЁЗДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НА КОАЛГЕБРЕ ЛИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ

А. С. Попов, И. В. Широков

Омский государственный технический университет,

Россия, 644050, Омск, пр. Мира, 11.

E-mails: anton_s_p@mail. ru, iv_shirokov@mail .ru

Приводится алгоритм построения квантовых интегралов движения по известным классическим. Для построения квантовых интегралов используется звёздное произведение символов операторов, применяемое в теории квантования. Рассмотрен нетривиальный пример уравнения Клейна—Фока на четырёхмерной группе Ли.

Ключевые слова: звёздное произведение, группы Ли, алгебры Ли, квантование.

Введение. При интегрировании уравнений квантовой механики методом разделения переменных становится актуальной задача поиска квантовых интегралов движения, то есть операторов, коммутирующих с оператором Гамильтона. Как известно, любому квантовому интегралу движения можно поставить в соответствие его классический аналог, являющийся интегралом движения соответствующей классической задачи. Обратное сопоставление связано с рядом математических трудностей, в частности, имеется известная проблема выбора упорядочения операторов, в особенности если классический интеграл движения не является полиномиальной функцией по «импульсам».

В настоящей работе мы используем символы операторов из универсальной обертывающей алгебры С/(д), где д — некоторая алгебра Ли. В статье приводится формула для вычисления звёздного произведения символов указанных операторов, использованного Ф. А. Березиным в работе [1], выраженная через компоненты лево- и правоинвариантных полей соответствующей группы Ли. Далее мы формулируем алгоритм построения квантовых интегралов движения по известным классическим интегралам гамильтоновой системы на коалгебре Ли д*.

1. Символы операторов и их звёздное произведение. Пусть О — связная и односвязная вещественная п-мерная группа Ли, д — её алгебра Ли, базисные элементы которой {е*} удовлетворяют коммутационным соотношениям: [вг,е^ = Пусть также задано представление Т группы С в линейном

пространстве %. Мы будем обозначать одной и той же буквой элемент группы £ € С, лежащий в окрестности единицы группы, и соответствующий набор его локальных координат £ = (¿1,..., ¿га) € Iй (Iй — п-мерный открытый куб), причём е = (0,... ,0). Линейные операторы Ху.

*> = т («М

, j = 1,... ,п = dimG,

t=о

Антон Сергеевич Попов, магистрант, каф. комплексной защиты информации.

Игорь Викторович Широков (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. комплексной защиты информации.

являются генераторами представления Т группы О и образуют базис представления алгебры д в пространстве % со следующими коммутационными соотношениями:

г-[х„хк] = слхт.

(Здесь К — некоторый вещественный положительный параметр, в квантовой механике ему соответствует постоянная Планка).

Взаимно однозначно поставим в соответствие каждому оператору X^ его символ Ху и распространим по линейности это соответствие на всю алгебру 0:

Х = а]Х^<—>Х = оРХ,,

Продолжим эту операцию на обертывающую алгебру и(д), т. е. каждой операторной функции /(X) Є и (а) поставим в соответствие полиномиальную функцию /(X) от символов Ху.

Произведению двух операторов /\(Х) /2(Х) (как элементов ассоциативной алгебры и(д)) будет соответствовать так называемое звёздное произведение (вЬаг-ргобисЬ) [1] их символов:

(Ш(х) = мх) */2(х). (і)

Ясно, что соответствие между функциями от символов и операторными функциями неоднозначно. Например, функция Х^Х2 из С'00(а*) может соответствовать различным операторам Х1Х2, Х2Х1, (Х1Х2 + Х2Х\)/2 и т. д. Для однозначности соответствия между символами и соответствующими операторами необходимо выбрать способ упорядочения. От выбора способа упорядочения зависит формула для звёздного умножения (1).

Основной формулой, связывающей операторные функции /(X) и их символы /(X), является следующее выражение:

/(1) = (¿^ / е~™КХ)ТУ)(ЫХ• (2)

Здесь сИ = (Й1... (Й™, (ІХ = (ІХі ... (ІХП. Интегрирование по переменным Хі производится по всему пространству М”, по переменным Ґ1 — по открытому п-мерному кубу содержащему 0. Если группа О — экспоненциальная, то Г = Мга.

Из формулы (2) можно вывести эквивалентную и заодно показать, что значение интеграла в правой части равенства (2) не зависит от выбора области Гп. Подставим произвольную полиномиальную функцию

]{Х) = ^ак1...кпХк11---Хкпп

к

в выражение (2) и при помощи несложных преобразований с использованием свойств дельта-функции получаем удобную формулу

ЛХ) = /(-«|)т(() |ы. (3)

Из формулы (3) следует, что выбор локальных координат в окрестности единицы группы определяет способ упорядочения операторов в операторных функциях.

По определению представления Т(у)Т(г) = Т(х(у, г)), где х(у, г) — функция композиции (умножения) в группе Ли О в локальных координатах. Используя формулу (2), а также определение звёздного произведения (1), учитывая, что функции /2(Х) —полиномиальные и действуя так же, как

и при выводе формулы (3), получим формулу для звёздного произведения:

Л(Х) * /2(Х) = ¡\(-гПду)М-гПдг)еЛх^х . (4)

у=г=0

Введём на алгебре А скобку Пуассона:

МХ),ф(Х)уУтЪ =г-ЫХ)*ф(Х)-ф(Х)*<р(Х)), <р(Х),ф(Х)еА. (5)

Поскольку формула (4) для звёздного произведения зависит от выбранных в группе Ли локальных координат, каждому такому выбору координат соответствует своя скобка Пуассона (5). Как мы покажем ниже, все различные скобки (5) являются деформациями скобки Ли—Пуассона, т. е. {•, -}8утЬ —>■ —> {•, -}Ью при Н —> 0, где

{ьт,ых)}и‘ = с$хк^Щ, /ъЛ€С“(В-). (6)

Обозначим через £, г? лево- и правоинвариантные векторные поля (генераторы правого и левого регулярного представления соответственно); со, а — лево-и правоинвариантные 1-формы на группе О.

Используя свойства функции композиции и лево- и правоинвариантные поля, перепишем формулу (4) в виде

ЛРО * ЫХ) = Л [~1ШУ + ХуГ]Цх(у, г))аг(у)) х

х ¡2 (~Шдг + Х^(х(у,г))шг(г)) ■ 1 , (7)

\ / у=г=О

где у, г — координаты на группе. Из формулы (7) следует

Л(Х) * /2(Х) = Л(Х)/2(Х) - т§Ь-^-х3ешА0) +о(Я2),

/2(Х) * Л(Х) = Л(Х)/2(Х) - &т(0) + о (Я2).

Здесь £т,з(0) = д£т(г)/дг3 при г = 0. Учёт равенства ¿¡т,з(0)-^,т(0) = С%т и определения скобок Пуассона (6), (5) приводит к следующему соотношению:

{Л(Х),/2(Х)ртЬ = {Л(Х),/2(Х)}Ые +о(Й). (8)

2. Вычисление квантового интеграла движения. Рассмотрим классическую гамильтонову систему в пространстве 0*, порожденную скобкой Пуассона—Ли и полиномиальным гамильтонианом Н(Х) € ’Р(д*):

Пусть К(Х) —её интеграл движения, также полиномиальный по переменным X, т. е.

{Н(Х),К(Х)}Ые = 0. (10)

Обозначим через Н(Х), К(Х) гамильтониан квантовой системы и соответствующий полиномиальный квантовый интеграл движения, т. е. полиномиальную операторную функцию такую, что [Н(Х), К(Х)] = 0. Зафиксируем определённый способ упорядочения операторов и будем считать, что функция

Й(Х) = Н(Х) + ПНгіХ) є V(q*)

является символом оператора Н(Х), тогда поиск квантового интеграла движения, очевидно, эквивалентен поиску функции К(Х) такой, что

{Й(Х),К(Х)УутЪ = 0. (11)

Утверждение 1. Если существует полиномиальный квантовый интеграл движения и классическая гамильтонова система (9) интегрируема в квадратурах, тогда задача построения символа квантового интеграла движения решается в квадратурах.

Доказательство. В силу соотношения (8) введём для произвольных функций А(Х), В(Х) обозначение

{А(Х), В(Х)УутЪ = {А(Х), В(Х)}Ые + ПА(А, В), А(Х), В(Х) є V(q*).

Представим решение уравнения (11) в виде конечного ряда по степеням параметра h:

= £ ІЇК^(Х). з=о

Конечность этого ряда является следствием полиномиальности функции К(Х). Введём обозначение

з

KÁX) = ^hÍR^{x), K^(X) = Ко(Х) = К(Х).

г=0

Построим рекуррентную процедуру такую, что

{Н{Х),К3{Х)уУтЬ = W+l53{X), j = 0,1,... .

Здесь 5j(X)—полиномиальные функции по параметру h и переменным X. Очевидно, что

5о(Х) = \{Й, куУтЬ = Д(Я, К) + {tfb K}Ue. (12)

п

В силу нашего предположения для некоторого п: 5п(Х) = 0. Подставляя функцию К(Х), представленную в виде ряда по степеням параметра h, в

уравнение (11), получаем рекуррентные соотношения на функции (X),

63+1(Х):

{Н(Х),К^+1Нх)}ие + 53{Х) = О, ] = 0,1,... , (13)

5з+1 = -{ЯьК^+1)}Ые - А(Й,К^+11). (14)

Уравнение (13) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции К^+1\Х), задача интегрирования которого полностью эквивалентна задаче интегрирования классической гамильтоновой системе (9). Уравнение (14) является определением функции 5j-1-1 (X). Нетрудно также показать, что классический интеграл движения продолжается до символа квантового интеграла при фиксированном правиле упорядочивания единственным способом. □

3. Пример построения квантового интеграла движения для оператора Лапласа на четырёхмерной группе Ли с правоинвариантной метрикой. Пусть О — четырёхмерная вещественная группа Ли, её алгебра Ли д имеет коммутационные соотношения

[е1,е4]=2еь [е2,е3]=еь [е2,е4]=е3, [е3,е4] = —е2 + 2е3.

Определим на группе О локальные координаты ха и в этих координатах выпишем право- и левоинвариантные векторные поля (да = д/дха):

г] 1 = -д1, г]2 = -д2, щ = -д3 + х2д1,

Щ = ~9а ~ хзд2 + (2ж3 + х2)дз + (2х\ - х\)2 + х\/2)д\]

6 = е~2хАд\, & = е~ХА(хАдз + (1 + ж4)<92 - (1 + х^хздх),

Ь = е~Х4(х4д2 - х3х4дг + (1 - ж4)<Э3), {4 = дА.

Выберем на группе О правоинвариантную метрику д{щ,г]3) = д^, где

9ы = 923 = 1) 922 = 2, а остальные матричные элементы постоянной мат-

рицы равны нулю. Квадрат интервала йв2 для такой правоинвариантной метрики в локальных координатах на группе С будет иметь вид

(1в2 = 2(1х\(1х4 + 2 (с?ж2)2 + 2 (1х2(1хз + 2ж2с?ж2с?ж4+

+ 2(ж2 — хз)(1хз(1х4: + (Ах\ + х\ + 2X2X3 — ж3)(с?ж4)2. (16)

Исследуем проблему интегрируемости уравнений геодезических с метрикой (16).

Выпишем гамильтониан геодезического потока

н(х,р) = ^даЬ(х)рарь = ^дгзг}°:{х)г})рарь =

= Х1(х,р)Х4(х,р) + Х2{х,р) Хз{х,р) -Х$(х,р). (17)

Здесь д%з = (ду)-1, Хг(х,р) = г?“(:х)ра = (р,гц).

Очевидно, что линейное пространство с базисными элементами Х^(х,р) образует алгебру Ли д с коммутационными соотношениями (15) относительно

канонической скобки Пуассона, порождаемой симплектической формой dp = = (ip а A dxa на ко касательном расслоении T*G.

Левоинвариантные поля являются векторами Киллинга для метрики (16) и линейная оболочка величин Yi(x,p) = £i(x)apa = (p,£i) образует алгебру 0 интегралов движения геодезического потока с гамильтонианом (17). Таким образом, мы имеем пятимерную алгебру интегралов движения g = = 0 ф {Я}, являющуюся центральным расширением некоммутативной алгебры g с базисом {Yi} и одномерного центра {Я}. Известно, что 2п-мерную гамильтонову систему с помощью некоммутативной алгебры независимых интегралов движения g можно редуцировать к 2п;-мерной гамильтоновой системе [2], где п' = п — (dimfl+indfl)/2 (ind g — размерность аннулятора ковектора общего положения: indg = supAefl* dimgA). В нашем случае п = 4, dimg = 5, indfl = 1. Таким образом, получаем п1 = 1, т. е. для интегрируемости геодезического потока не хватает одного интеграла движения.

Так как indfl = 0, т. е. алгебра инвариантных операторов ID(G') тривиальна, произвольную функцию от переменных (ха,ра) можно формально выразить как функцию от величин (Xi, Yi). В силу того что функции Yi(x,p) являются интегралами движения и {Yi,Xj} = 0, а гамильтониан Н(х,р) является квадратичной формой от величин Xi, дополнительный интеграл движения следует искать как функцию от переменных X. Иначе говоря, дополнительный интеграл К(х,р) определяется функцией на коалгебре 0* такой, что

{Н(Х),К(Х)}Ые = о,

где Н(Х) = ц(Н(х,р)), /л : Г М —> fl*, ц(х,р) : Xi(x,p) = Xi — отображение момента, К(х,р) = ¡л~1К(Х) = К(Х(х,р)).

Для рассматриваемой метрики гамильтониана (16)

Н(Х) = ц(Н(х,р)) = Х,Х4 + Х2Х3 - Х32.

Существует функция К(Х), удовлетворяющая равенству (10):

К(Х) = ХгХ4 + ЗХ2Х3 + X2.

Производя операцию обратного отображения момента, т. е. подстановку Xi —>■ Xi(x,p), получаем дополнительный интеграл движения К(х,р).

При квантовании гамильтониан Н(х,р) переходит в оператор Лапласа Я = —h2А на группе G с правоинвариантной метрикой (16):

Н = H(-ihrj) = + (—ihr]2)(—ihris) — (—ihr/s)2 + 4ih(—ihrji).

Рассмотрим задачу нахождения собственных функций оператора Я (уравнение Клейна—Фока):

ЯФ = т2Ф. (19)

В координатах это уравнение выглядит следующим образом:

- t? ((-*! - 4 - + (2*з - + (2^2 - +

+2 ^ 2 ^ + 2 ^ 7 ^

coctel 9ж2 dx2dxs dx\

Алгебра fl, реализованная левоинвариантными векторными полями, является некоммутативной алгеброй симметрии этого уравнения: [£¿, Н] = 0. С помощью некоммутативной алгебры g линейное дифференциальное уравнение с п независимыми переменными редуцируется к уравнению с п' переменными: п' = n — (dimfl + indg)/2 [3,4]. В нашем случае: n = dimg = 4, indg = = 0, п' = 2. Таким образом, для интегрируемости уравнения (19) необходимо предъявить еще один оператор К, не зависящий от левоинвариантных полей и коммутирующий с оператором Н. Для построения этого оператора воспользуемся методом, изложенным в параграфе 2.

Зафиксируем упорядочивание операторов в виде ХхХ2ХзХ4, тогда символ оператора Н будет имеет вид

Й(Х) = ХгХ4 + Х2Х3 - Х$ + 4ihX1}

Формула (12) даёт 5о = lOiX2. Найдём частное решение уравнения (13) при j = 0 : К= ЫХ\. Подставляя это решение в формулу (14), получаем

= 0. Таким образом, при выбранном нами способе упорядочивания мы построили символ дополнительного интеграла движения:

К{Х) = Х1Х4 + ЗХ2Х3 + Х\ + ЫПХЪ

Совершая замену Xk —> —ihrjk, получаем явный вид оператора симметрии

К = (-гКщ)(-гКщ) + 3 (-Шг]2)(-гКщ) + (-гпщ)2 + ЫК(-Шг}{),

который в выбранных локальных координатах записывается следующим образом:

К = -fi2 ((^1 - *1) +

(2 ) ^2 ^ ^

хз + %2 + dx2dxs ^ дх\дх4 )

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ф. А. Березин, “Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли” // Функц. анализ и его прил., 1967. Т. 1, №2. С. 1-14; англ. пер.: F. A. Berezin, “Some remarks about the associated envelope of a Lie algebra” // Funct. Anal. Appl, 1967. Vol. 1, no. 2. Pp. 91-102.

2. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с. [V. V. Troflmov, А. Т. Fomenko, Algebra and Geometry of Integrable Hamiltonian Differential Equations. Moscow: Factorial, 1995. 448 pp.]

3. А. В. Шаповалов, И. В. Широков, “Некоммутативное интегрирование линейных

дифференциальных уравнений”// ТМФ, 1995. Т. 104, №2. С. 195-213; англ.

пер.: А. V. Shapovalov, I. V. Shirokov, “Noncommutative integration of linear differential equations” // Theoret. and Math. Phys., 1995. Vol. 104, no. 2. Pp. 921-934.

4. С. П. Барановский, В. В. Михеев, И. В. Широков, “Квантовые гамильтоновы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка”// ТМФ, 2001. Т. 129, №1. С. 3-13; англ. пер.: S. P. Baranovskii, V. V. Mikheyev, I. V. Shirokov, “Quantum Hamiltonian Systems on К-Orbits: Semiclassical Spectrum of the Asymmetric Top” // Theoret. and Math. Phys., 2001. Vol. 129, no. 1. Pp. 1311-1319.

Поступила в редакцию 09/XI/2012; в окончательном варианте — 24/11/2013.

MSC: 81Q20; 81R10, 37N20, 70Н05, 70Е15, 22Е70

STAR PRODUCT ON THE LIE COALGEBRA AND ITS APPLICATION FOR CALCULATION OF QUANTUM INTEGRALS OF MOTION

A. S. Popov, I. V. Shirokov

Omsk State Technical University,

11, pr. Mira, Omks, 644050, Russia.

E-mails: anton_s_p@mail. ru, iv_shirokov@mail .ru

The article gives an algorithm for constructing quantum integrals of motion on the basis of well-known classic integrals. To construct quantum integrals, we apply star product of the operators’ symbols, which is used in the quantization theory. A nontrivial example of the Klein-Fock equation is considered on the four-dimensionaI Lie group.

Key words: star product, Lie groups, Lie algebras, quantization.

Original article submitted 09/XI/2012; revision submitted 24/11/2013.

Anton S. Popov, Graduate student, Division of Complex Information Protection.

Igor V. Shirokov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Division of Complex Information Protection.