Причинная функция Грина на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2003, вып. 12, с. 120-129

УДК 534.123

ПРИЧИННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ИНВАРИАНТНЫМИ И ЦЕНТРАЛЬНЫМИ МЕТРИКАМИ

А.А. Магазев

In this article the method of calculation of causal Green’s function on the homogeneous spaces with central and Riemans’s metrics is being developed. As an illustration of the proposed method the Green’s function on the four-dimension solvable Lie group, which is the homogeneous space with trivial subgroup of isotropy, have been calculated.

Введение

Как известно, постановка задачи в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени сводится к рассмотрению внешнего гравитационного поля как классической фоновой метрики некоторого риманова многообразия, на котором материальные поля выступают как стандартные квантованные объекты. Одной из актуальных проблем данного формализма является проблема выбора моделей римановых пространств которые, с одной стороны, наиболее соответствовали бы реальному гравитационному взаимодействию, с другой стороны, позволяли бы проводить детальное аналитическое исследование различных квантовополевых эффектов.

До настоящего времени большинство известных результатов по квантовой теории поля на искривленных пространствах были получены в рамках простейших космологических моделей, многие из которых сводятся к классу однородных изотропных пространств, допускающих действие различных групп движений [1], [2]. Популярными примерами подобных моделей являются пространства Робертсона-Уокера, а также пространство де Ситтера, являющееся единственным искривленным пространством с максимальной группой движений (10-параметричеекая группа УО(1,4)). На современном этапе, однако, все больший интерес представляют классы римановых многообразий, допускающие в качестве групп симметрий произвольные группы преобразований, действие которых в общем случае не сводиться к движениям метрики. Так, в данной работе в качестве одного из наиболее естественных обобщений известных моделей мы рассматриваем класс однородных правых G-пространств М = G/H

© 2003 А.А. Магазев

E-mail: magazev@mail.ru

Омский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

121

с двумя типами римановых структур. Это G-инвариантные римановы метрики и центральные метрики [3], в общем случае не являющиеся инвариантными относительно действия группы.

Основным результатом, полученным в настоящей работе, является построенный алгоритм явного вычисления причинной функции Грина (фейнмановского пропагатора) массивного скалярного поля на однородных G-пространствах с инвариантными и центральными метриками. Причинные функции Грина играют ключевую роль при расчете матричных элементов амплитуды рассеяния («S-матрицы ), поэтому получение для них точных аналитических выражений представляет важную техническую задачу, В качестве иллюстрации в заключении работы приводится пример вычисления фейнмановской функции Грина на четырехмерной разрешимой группе Ли, которая является однородным пространством с тривиальной подгруппой изотропии.

1. Инвариантные и центральные метрики на однородных пространствах

Введение центральных римановых метрик на однородных G-пространствах, а также подробное изучение интегрируемости соответствующих геодезических потоков было представлено в работе [3]. Здесь мы кратко повторим некоторые определения и факты, которые понадобятся нам для последующего изложения настоящей статьи.

Пусть G - вещественная связная //-.мерная группа Ли, Q - алгебра Ли группы G, М - m-мерное однородное пространство, на котором группа G действует правыми сдвигами: М xG-) М. х -У х = хд, х, х Є М, д Є G. Выберем некоторую точку хо Є М. Ей соответствует (п — т)-мерная подгруппа стационарности Н С G, оставляющая xq на месте, то есть xqh = xq V h Є H. Однородное пространство М в этом случае эквивалентно пространству правых смежных классов М G/H.

На кокасательном пространстве Q* = T*G определим невырожденную квадратичную форму G( •. •), задающую метрику на G в единице. Действуя на форму G правыми и левыми сдвигами, получаем соответственно правоинвариантную и левоинвариантную римановы метрики на группе Ли:

9^Т)

G(R*

іО, Щ.

lO

g9l(

G (Ц

^ о, L*r

it)

а, те T*G.

(1)

Пусть 7г : G —У M — каноническая проекция группы G на пространство правых смежных классов G/Н. Любой элемент группы в этом случае можно представить в виде: д = hs(x), где х Є М, h Є Н, as - гладкое локальное сечение G —>• М главного расслоения (G, М, тт, II). такое что тт о s = id. Так как группа G действует на М правыми сдвигами и квадратичная форма G^ правоинвариантна, проекция G^ на пространство правых смежных классов определяет на однородном пространстве М G-инвариантную риманову метрику

G'jijr'M. 77*г) = G(n*R*-ia, 7T*R*-it), rank G 1{ = dim M.

(2)

122 А.А. Магазев. Причинная функция Грина на однородных пространствах

Здесь Н - алгебра Ли группы //. а Н - ортогональное дополнение к 'Н. і о есть Н = {А Є Q*\ (А.%) = 0} С Q*. Отметим, что определение инвариантной метрики (2) корректно лишь при условии Д-инвариантноети формы G:

G(Ad*h-,Ad*h-) = G(-, •) У he Н. (3)

Аналогичным образом проектируя левоинвариантную метрику G^ на правое однородное G-проетранетво мы получим центральную риманову метрику, которая в общем случае не является инвариантной относительно действия группы G:

G':(77V.77'V) = G(77*/.; «л. 77*/.; «г), ran k G(Ad*-, Ad*-)\n± = dim М. (4)

Ввиду того, что для центральных метрик выполнение условия (3) не требуется, они образуют более широкий класс метрик на однородных пространствах, связанных с группой G, чем инвариантные метрики.

Пусть {xa}(a = 1..ш) н {ya}(d = 1,,,,, n — m) - координаты на однород-

ном пространстве М и в подгруппе изотропии Н соответственно. Компоненты центральной римановой метрики в этих координатах имеют вид:

gah(x) = GABX%(x)XbB(x), А,В = 1,..., п, (5)

где дифференциальные операторы XA(x,dx) = XaA{x)dxa являются генераторами действия группы G на М и образуют алгебру Ли Q относительно обычной операции коммутирования,

2. Причинная функция Грина х1) на однородных

пространствах с инвариантными и центральными метриками

Пусть (Л /. д) - однородное правое G-пространство с римановой метрикой вида (2) или (4), на котором распространяется вещественное скалярное поле (р(х) массой т. Как известно, фейнмановская причинная функция Грина Gp(x,xf) представляет собой вакуумное среднее хронологически упорядоченного произведения операторов поля

iGp(x, х') = {0\Тф(х)ф(х')\0), (6)

и удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению:

dim М

л/д[Х{х) + т2]Ср(х, х1) = 5(х — х1), 5(х — х1) = S(xa ^ x,a) (7)

a=1

Оператор Д(т) является оператором Лапласа на римановом пространстве (Л/, д) ив фиксированной системе координат имеет вид:

(8)

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

123

Построим алгоритм редукции уравнения (7) и выясним в каких случаях оно является интегрируемым, то есть получение его решений сводится к квадратурам и интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основным инструментом интегрирования уравнения (7) в рамках нашей модели будет являться гармонический анализ на однородных пространствах, разработанный для нахождения точных решений квантовых уравнений на многообразиях групп Ли [4]. Приведем кратко основные определения и факты, лежащие в основе данного формализма.

Алгебра Ли Q генераторов ХА(х,дх) в общем случае допускает функциональную алгебру Т дифференциальных и пеевдодифференциальных операторов L^(x,dx) таких, что

[Lp(x,dx),XA(х,дх)] = 0, [Lfl,Lu] =nflu(L), д, v = 1,..., dimjF,

Наряду с операторными наборами {ХА(х, дх)} и {Ьй(х, дх)} вводят наборы символов операторов {ХА(х,р)} и {L^(x,p)}, которые являются функциями на кокасательном расслоении Т*М и образуют соответствующие алгебры Q и Т относительно классической скобки Пуассона, Данные функциональные наборы определяют отображения моментов // : Т*М —ї (,"Н и // : Т*М —ї Т* задаваемые равенствами ХА(х,р) = fA и Lfl(x,p) = afl, f Є Q*, а Є T*. В [5] показано, что симплектические листы Q С (і'Н иОсГ находятся во взаимно однозначном соответствии: О = д(д_1(П)), а следовательно могут быть параметризованы одним и тем же набором вещественных параметров j = (Д, Д,,,,, jr).

Пусть Q - лагранжево подмногообразие на симплектическом листе О С б?ДД {qa} - локальные координаты на Q. Набор дифференциальных операторов lA(q, dq, j), действующих в C°°(Q) и реализующих неприводимое представление алгебры Q называется А-представлением,. Более строгое определение A-представления, а также способ построения операторов lA(q,dq,j) можно найти, например, в работе [6]. Аналогично определяется A-представление функциональной алгебры как алгебры Т операторов (^(и, ди, j), действующих в пространстве функций C°°(U) (U - лагранжево подмногообразие симплектического листа О, а {//" }• - локальные координаты на U).

Рассмотрим параметризованные семейства обобщенных функций DJqu(х) и Df3qU(х); определяемые посредством систем совместных уравнений:

Функции D3qu (х) и D'3qu (х) удовлетворяют условиям полноты и ортогональности [7], а следовательно для любой функции F(x) Є С°°(М) определены прямое и обратное обобщенные преобразования Фурье:

(п)

QxUxJ

124 А.А. Магазев. Причинная функция Грина на однородных пространствах

Fj(q,u) = j F(x)D'3qu(x) с1,д{х). (12)

м

Из определений (9), (10) видно, что если функции F(x) и Fj(q,u) связаны преобразованиями (11) и (12), то этими же преобразованиями связаны действия операторов:

XA(x,dx)F(x) ФФ -1л{д,дд^)Р^д,и),

L^(x,dx)F(x) ФФ -(+(u,du, j)Fj(q,u).

Перейдем непоередетвенно к построению уравнения, являющегося результатом редукции исходного неоднородного уравнения (7), Домножим обе части

уравнения (7) на произведение D3qu(x')D'A(x) и проведем интегрирование по с1ц(х) и с1д(х')-.

j DJqu(x')DfH(x)[A(a’) А т2]Ср(х,х') dp(x) dp(x') = Xjj(q,q,u,u), (13)

М х М

где

Xjj(q,q,u,v) = j S(yXfgX ^B3qu(x')D>'Г(х) dfj,(x) с1ц(х'). (14)

M x M

В случае, если мера на однородном пространстве с!ц(х) совпадает с римановой мерой yfgdx, выражение (14) принимает наиболее простой вид:

Xjj(q,Q,u,u) = S(q,q)S(u,u)S(j,j). (15)

Используя свойство полноты и ортогональности семейств DJqu(x) и D'qu(х) разложим функцию Gf(x,x') в уравнении (13) в обобщенный ряд Фурье

Gp(x, х') = / Gfj(q, q, u, u) D3qu(x) D'3~~(x') dp(q) dp(q) dp(u) dp(u) dp(j) dp(j).

(їв)

Рассмотрим два случая. Пусть риманова метрика даЬ(х) является G-инвариантной, то есть метрикой вида (2), Вследствие своей инвариантности оператор Лапласа представляет собой операторную функцию A(L(x, дх)) и после преобразований в разложении (13) будет зависеть только от операторов C(u,du,j)-Соответствующее редуцированное уравнение на фурье-образ функции Gp(x, х') принимает следующий вид:

[A+(((u,du,j)) + т2]С-(щфщй) = S(q,q)S(u,u)S(J,j). (17)

Решение (17) можно представить в виде Gjj(q, q, u, u) = Kj(u, u)6(q, q)6(j,j), где Kj(u,u) удовлетворяет дифференциальному уравнению:

[A+(C (u,du,j)) + т1}Кфи,й) = S(u,v).

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

125

Отсюда видно, что полученное уравнение имеет меньшее число независимых переменных чем исходное уравнение (7) и является интегрируемым в общем случае, если размерность лагранжего подмногообразия U удовлетворяет неравенству

dim U = і dim О < 2. (18)

Li

Рассмотрим теперь второй случай, когда метрика gah(x) является центральной (4), Очевидно, что преобразованный оператор Лапласа будет являться квадратичной комбинацией операторов A-представления: А(х,дх) —>• A(l(q,dq,j)) и уравнение (7) сводится к уравнению, содержащему дифференцирование только по переменным q:

[A+(%A,j)) + т2]С-(щфщй) = 8(q,q)8(u,u)8(j, j). (19)

Представляя решение этого уравнения в виде

Gfj(q,q,u,u) = Kj(q,q)8(u,v)8{j,j) получаем окончательное уравнение на функцию Kj(q,q):

[Д+ (% dq, j)) + m2]Kj(q, q) = S(q,q).

Условие интегрируемости в этом случае принимает следующий вид

dimQ = - dim О < 2, (20)

2

Условия (18) и (20) являются условиями интегрируемости неоднородного уравнения (7) и совпадают с необходимыми и достаточными условиями интегрируемости соответствующих геодезических потоков на однородных пространствах, В работе [3] показано, что условия интегрируемости геодезических потоков выражаются через целые неотрицательные числа, являющиеся характеристиками однородного пространства М и группы преобразований G, и легко могут быть посчитаны по структурным константам алгебры Ли Q и подалгебры % подгруппы изотропии Н.

В настоящей работе с помощью условий (18) и (20) автором были перечислены все четырехмерные и пятимерные алгебры Ли, которые реализуют четырехмерные однородные пространства с центральными метриками, допускающие интегрируемость неоднородного уравнения (7) (инвариантные метрики с группами движений четвертого и пятого порядков на настоящий день хорошо изучены, поэтому перечисление однородных пространств с инвариантными метриками, допускающими интегрируемость волновых уравнений и уравнений на функции Грина, представляется в значительной мере исчерпанным). Полученные результаты представлены в виде следующей таблицы:

126 А.А. Магазев. Причинная функция Грина на однородных пространствах

Таблица 1. Алгебры Ли, реализующие однородные пространства е центральными метриками, допускающие интегрируемость неоднородного уравнения Клейна-Гордона (7)

Четырехмерные алгебры Ли Пятимерные алгебры Ли

I при с = 0, III при q = 0, Vi і. VI2, VI3, VI,. VII, VIII. §5,1 g5,2 §5,3 g5,7) g5,8 g5,9 g5,10; g5,lb g5,l2, §5,13; §5,14 ; §5,15 ; §5,16 ; g5,17; g5,18-

В таблице использованы классификации и обозначения алгебр Ли четвертого и пятого порядков, приведенные в монографии [8] и в работе [9] соответственно,

3. Вычисление функции Gf(%,x') на четырехмерной разрешимой группе Ли

В качестве простейшего примера вычислим причинную функцию Грина Gf(x,x') на четырехмерной разрешимой группе Ли G, которая является однородным пространством с тривиальной подгруппой изотропии Н = {е}. Пусть алгебра Q группы G имеет следующие ненулевые коммутационные соотношения (алгебра I при с = 0):

[е2,е3]=еь [е2,е4]=е2, [е3, е4] = е3.

Выберем в качестве координат на группе Ли координаты второго рода:

д{х) = ехр(тіЄі),,, ехр(т4е4),

тогда лево- и правоинвариантные векторные поля, являющиеся генераторами соответственно правых и левых сдвигов, имеют вид:

Сі = дХ1, Сг = ^х3еАХ4дХ1 + < Г:0Х,. £з = еХ4дхз, Сі = дХ4;

ГЦ = -дХ1, m = -дХ2, щ = х2дХ1 - дХз, щ = х2дХ2 - х3дХз - дХ4.

Координаты Хі - глобальные координаты на группе G, принимающие любые вещественные значения. Мера с!ц(х) = dxidx^x^dx^ на G совпадает с правой и левой мерой Хаара, следовательно данная группа является унимодулярной.

В случае, когда в качестве однородного пространства рассматривается сама группа Ли, центральная риманова метрика (4) совпадает с левоинвариантной метрикой на группе Ли: gab(x) = GавСа(х)Св(х). Для конкретизации метрического тензора gah(x) выберем невырожденную симметрическую постоянную матрицу GAB сигнатуры (-1----) со следующими ненулевыми элементами:

G11 = 1, G22 = G33 = G14 = G41

1.

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

127

Метрический тензор, соответствующий выбранной матрице GAB, имеет вид:

! 1 - х3е.-21‘ П -1 \

Д(х)

яде 2x4 —е 2x4 О О

О

О

О

2X4 Q

) О

а соответствующий оператор Лапласа на римановом пространстве определяется выражением :

Д(т) = (1 — х\е

■2X4

а2

дх\

+ 2яде

■2X4

д2

дх4дх2

_Д____е-2„УУ_л„УУ

dxXxt дх'і дД

(21)

Проинтегрируем уравнение на функцию Грина (7) е данным оператором Лапласа, Левоинвариантные векторные поля ффт,^) являются генераторами Хд(х, дх) группы преобразований G, которая действует на себе правыми сдвигами, а алгебра инвариантных операторов в этом случае совпадает с обертывающей алгеброй правоинвариантных векторных полей, т.е. L^(x,dx) = —іг}ц(х,дх).

Размерность лагранжевого подмногообразия Q в нашем примере равна 1, следовательно неравенство (20) выполняется и уравнение на функцию Gf(x,x') является интегрируемым. Операторы A-представления алгебры Q являются косоэрмитовыми относительно лебеговой меры dp(q) = dq и имеют следующий вид:

1

h = iji, k = dq, h = ij iq, k=qdq + ij2 + -.

Соответствующее A-представление функциональной алгебры Т в этом случае определяется операторами Сл(м,9и) = il\(u,du)-.

Cl = ~ji, С2 = -іди, Сз = - jilt, С4 = -іиди + j2 - -■

Из системы уравнений (9) и (10) легко определяем функции DfJ (х) и DJqu(x): D,3qU(x) = D3qu(x) = exp i-iji{xi + qx3e~X4) - x4{ij2 + ^) J 8(qe~Xi -u- x2),

и используя свойство ортогональности, находим меру dp{j) = (jid,jid,j2)/(2/т)3, Ввиду свойств ортогональности и полноты семейства функций {DJqu(x)}, решение уравнения (7) формально может быть разложено в ряд Фурье (16), Функция Gjj(q,q,u,u) в этом случае удовлетворяет редуцированному уравнению с одной независимой переменной q:

1 „

[A(q,dq)+ m2]Gj~j(q,q,u,v) = -S(q-q)S(u - u)S(ji - ji)S(j2 - j2). (22)

128 А.А. Магазев. Причинная функция Грина на однородных пространствах

Легко видеть, что преобразованный оператор Лапласа Д представляет собой квадратичную комбинацию операторов А-предетавления:

~ З2 3

Д = GABlA(q, 3^)1 B{q, 3q) = - 2гцц— ~ Я W1 ” - 2Я + l] ■

Общее решение неоднородного уравнения (22) можно представить в виде:

1 „

Gfj (q, q, u,u) = — Kj (q, q)S(u - u)6(ji - ji)S(j2 - j2),

где

1

Kj[q,q) = — <*xp

'iji(q2 - q2)'

+oo

e^-Qdk

m? + k2 + 2jij2

ЗЇ

(23)

Отметим, что функция Gjj(q,q,u,u) является аналогом «импульсного» представления функции Грина в плоском случае.

Выражение для l\ j(q. q) является неопределенным, так как не заданы правила обхода полюсов. Неопределенность отражает тот факт, что полное решение уравнения (22) представляется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, взятого с произвольными коэффициентами. Задание правила обхода полюсов или выбор граничных условий однозначно определяет конкретную функцию Грина, В случае причинной функции Грина Gp{x,x') деформация контура интегрирования вблизи точек полюса определяется бесконечно малой добавкой m2 —>• m2 — іє. Таким образом, итоговое выражение для Kj(q,q) принимает вид

1

Kj[q,q) = — <'хр

’iji(q2 - q2)'

дКч-ч)с1к

rn? + к2 + 2jij2

Я

іє

или после интегрирования:

1

Kj(q,q) = /, . єхр

2\/Л — іє

где А = m2 + 2jij2 — jf. Соответствующая функция Грина в координатном представлении Gf(x,x') определяется интегрированием (16),

Ш (г - q )

в{А)е

IQ-Q

у/А-

в(^А)е

Ч~Ч

у/А-

Литература

1. Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном простра нет ее- времени. М.: Мир, 1984.

2. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. М.: Энергоатомиздат, 1988.

3. Магазев А.А., Широков И.В. Интегрирование геодезических потоков па однородных пространствах. Случай дикой группы Ли // ТМФ. 2003. Т.136, N.3. С.366-380.

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

129

4. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Квантовые гамильтоновы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр ассиметрического волчка // ТМФ. 2001. Т.129, N.1. С.3-13.

5. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

6. Широков И.В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. Т.123, N.3. С.407-423.

7. Широков И.В. К-орбитм, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Препринт. Омск: ОмГУ, 1998.

8. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Наука, 1961.

9. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Изв. вузов. Математика. 1963. N.3. С.99-106.