CC BY
10
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2000. N.'!. С. 19-21. © Омский государственный университет, 2000
УД К 543.123:530.712-5 34.12
ПОСТРОЕНИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ГРУПП© ЛИ С ЛЕВОИНВАРИАНТНОИ ЛОРЕНЦЕВОИ МЕТРИКОЙ
В.В. Михеев
Омский государственный университет, кафедра общей физики. 644077 Омск, пр. Мира, 55-Л
Получена 6 октября 2000 г.
New approach to the: cosrtiological model construction on 4-dimensional Lorentzian Lie group is discussed in the article. The Einstein equation was solved using tetrad (fierbein) formalism which allowed to simplify the process of it's solution essentialy. Finally we present non-trivial example of cosmological model with full description.
1. Введение
Задача построения и описания свойств космологических моделей является одной из основных задач общей теории относительности [1]. В данной работе будут строиться и исследоваться космологические модели на четырехмерных группах Ли, снабженных левоиявариантной ло-ренцевой метрикой. Группы Ли широко исследовались как лоренцевы многообразия с точки зрения описания их причинных свойств в работах немецких математиков[2]. Четырехмерные группы Ли, снабженные левоинвариантной ло-ренцевой метрикой, исследовал A.B. Левичев, чью классификацию четырехмерных групп Ли мы будем использовать в этой работе[3]. Он также рассматривал уравнения Эйнштейна на группах Ли, но проводил исследования лишь для Риччи-л.иоских пространств^].
Метрика G'J на группе Ли в работе строится следующим образом:
где qa - правоинвариантные векторные поля на группе Ли, а даЬ — постоянная симметрическая матрица с отрицательным детерминантом.
Метрика GlJ является левоинвариантной по построению.
При решении уравнений Эйнштейна, на четырехмерных группах Ли появляется возмож-
1 e-rrutil: [email protected]
цость построить и использовать тетрадный формализм. В рамках этого тетрадного формализма уравнения Эйнштейна
RtJ~(j + X)gtJ=TiJ, (2)
которые, как известно, являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка относительно компонент метрики G>J', становятся алгебраическими нелинейными уравнениями относительно компонент даЬ, что существенно упрощает их решение. Из вида метрического тензора G^ и наличия в уравнении (2) А-члена ясно, что искомая модель будет лишена сингулярностей, что придает задаче дополнительную важность.
Рассматривались уравнения Эйнштейна с гидродинамическим тензором энергии-импульса:
Tij = (е + P)nUjUj + дцкР. (3)
что является физически оправданным. Далее мы будем работать с тензором энергии-импульса пылевидной материи.
Тензор уаь приводился к каноническому виду преобразованиями из группы внутренних автоморфизмов. Вид этих преобразований также находим в работе A.B. Левичева [3]. В итоге автору удалось построить несколько удовлетворительных космологических моделей, одна из которых будет рассмотрена подробнее в качестве примера.
20
Михеев B.B.
Дальнейшим развитием настоящей работы явилась полная классификация космологических моделей на всевозможных четырехмерных трупах Ли, но она осталась за рамками данной статьи в силу ограничения, накладываемого на объем публикации. Помимо этого, появляется возможность построения и изучения оператора Лапласа в пространствах построенных моделей, исследования его спектра и решение уравнения Клейна-Гордона в этих пространствах. Эта задача представляет большой интерес в силу того, что спектр является глобальной характеристикой, отражающей свойства пространства в целом
[5].
2. Тетрадный формализм и решение уравнений Эйнштейна на четырехмерных группах Ли
Пусть О — четырехмерная группа Ли. В силу транзитивности действия группы Ли на самой себе, мы будем ее рассматривать как однородное пространство с группой движений С. Задача состоит в том, чтобы найти на этом пространстве метрику, подчиняющуюся уравнению Эйнштейна. В этом случае группа Ли становится пространством общей теории относительности.
Стандартным приемом при решении задач теории относительности является переход к тетрадному формализму [6]. В качестве векторов тетрады на лоренцевой группе Ли естестстве-но выбрать набор правоинвариантных векторных полей на группе Ли г}а, а — 1 ..п (где п размерность группы). Записанные в локальных координатах на группе Ли правоинвариантные векторные поля имеют вид
Па = Г]'а{х)дх,. (4)
Они являются генераторами левых сдвигов и образуют алгебру Ли б группы Ли С1:
['/а, Г)Ь] - СсаЬГ]а. (5)
Определим на группе постоянную симметрическую вещественную матрицу лоренцевой сигнатуры даЬ размера п х п и метрический тензор на С:
^Н=даЬЫ> (6)
расщепляемый тетрадными векторам и являющийся левоипвариантным по построению. Введение такой метрики делает группу Ли лоренцевой. Видно, что для этой метрики левоинвари-антные векторами поля будут являться векторами Киллинга.
Далее, следуя терминологии A.B. Левичева, группу Ли, снабженную лсвоинвариантной метрикой лоренцевой сигнатуры, мы будем называть лоренцевой группой Ли. Скалярное произведение двух векторов тетрады (т]а, щ) = даЬ , где даь есть матрица обратная даЬ.
Такой выбор тетрады всегда возможен в силу того, что группа Ли является параллелизуемым многообразием, то есть имеется возможность в каждой точке выбрать базис, который для группы Ли образуют правоинвариантные векторные поля. В силу глобальности правоинвариантных векторных полей и тензора даЬ метрика GK' также определена глобально на всем пространстве (группе Ли), даже в том случае, если соответствующее пространство и не покрывается одной картой.
Определим ковариантную производную по направлению векторного поля т)а стандартным способом Va — »7дVj- и, поскольку г/а образуют базис:
УаПЬ = ТсЬаГ]с. (7)
В случае согласованности связности с. метрикой из равенства нулю тензора кручения
T{l]a,1)b) ~ V„776 - VЬГ)а - [Va, Г)Ь] = о, (8)
учитывая (5) и (7), получаем
Кь-Па=~С'-Ь1 (9)
где СсаЬ есть структурные константы алгебры Ли. Из условия кова.риантного постоянства метрики имеем
V„ (щ, тк) = TfjagcJ + У^адЬ(1 = 0. (10)
Откуда, переставляя индексы а, 6, с и используя (9), получим для явного вида объектов связности ГсаЬ следующую формулу;
Кь = ~\{СсаЬ -gic{9bkCkai + gakCt)). (11)
Для нахождения тетрадных компонент тензора Римана необходимо вычислить значения формы кривизны на базисных векторах т]а , откуда получим
К£аЬ ~ Гс*ГеЬ ~ ГсЬГео + С^Г^. (12)
Далее, сворачивая полученный тензор Римана по первому и третьему индексу, найдем тетрадные компоненты тензора Риччи [7]:
= (13)
откуда легко найти и скалярную кривизну.
Построение космологической модели
21
Видно, что как компоненты связности, так и тензоры Римана и Риччи в построенном тетрадном формализме не зависят от координат. Необходимо также отметить, что в случае унимоду-лярной группы Ли формулы (Г2)-(13) существенно упрощаются в силу тождества СЦа = 0, выполняющегося для унимодулярной группы Ли.
Нами будет использоваться уравнение Эйнштейна с тензором энергии-импульса, пылевидной материи Т'3 = екщи3-, где щ есть компоненты 4-скорости частицы (пылинки). Частицы (пылинки) движутся в пространстве по геодезическим линиям.
Запишем уравнение геодезической:
ni,,»
— + I>V = 0.
(14)
Здесь иг = есть компоненты поля ско-
ростей (касательного вектора к траектории). Перепишем уравнение геодезической (14) через тетрадные компоненты поля скоростей иа - 1]'аи-:.
Тогда оно приобретает следующий вид:
du а
+ С1ьисиь = 0.
(15)
Кроме этого, на 4-скорость накладывается условие
щи{ = 1, (16)
сохраняющееся и в тетрадном формализме ( иа и" = 1).
Переписав уравнения движения частиц в тетрадном формализме с гидродинамическим тензором энергии-импульса[8], получаем еще одно .условие, налагаемое на скорости частиц:
СсаЬисиь = 0.
(17)
Решая совместно систему уравнений (2) с системой (17) и условием (16), находим метрику даь , которая удовлетворяет всем этим условиям. Эта метрика будет являться метрикой пространства. искомой космологической модели на лорен-цевой группе Ли.
3. Пример космологической модели на четырехмерной лоренце-вой группе Ли
Ниже будет приведен результат работы по построению космологической модели на одной группе Ли, согласно алгоритму, сформулированному в предыдущем параграфе.
Коммутационные соотношения алгебры Ли этой группы имеют следующий вид:
Уравнения Эйнштейна записывались в виде: Яаь - А.с/аь = Zuaub. (18)
Матрица даь приводилась к каноническому виду при помощи внутреннего автоморфизма соответствующей алгебры Ли. Был получен следующий канонический вид матрицы даь
911 = </12 = д-п = р; д-22 = ß, .933 = 7> 944 = S-
В результате решения уравнений Эйнштейна в виде (18) была, получена метрика даь :
Тетрадные компоненты скорости имеют вид (0, 0,0, \А). Коэффициенты, входящие в уравнения Эйнштейна (18), будут следующим образом зависеть от компонент метрики:
V 6 V 12
Л = -^=Т-
В заключение приведем вид компонент метрического тензора (2) в локальных координатах на группе Ли:
G
(-2
Д2 _ /~(21 _ х3 R
Gуг = Gz
ß
G
22
pi-2.14) p{-'J-xA) 1
L r'A 3 — 6 П 44 1 ----, Lt —-----, U _ - .
ß 7 S
-2.e3]
<?ь
2еь[е4,р23 = е2, \еА, е.з] = е3.
Здесь а = — , что получилось из решения уравнений Эйнштейна.
[1] Общая теория относительности: Пер.с англ./Под ред. С. Хокинга, В. Израэля.-М.:Мир, 1983
[2] J. Hilgert, К.Н. Hofmarm. On the casual structure of homogenous manifolds. Mathematica Scandinavica 67 (1990), 119-144
[3] Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. Новосибирск: ИГУ, 1991
[4] Астраков С.Н., Левичев А.В., Репин А.В. Канонический вид левоинвариаитных лоренцевых метрик на одной четырехмерной группе Ли. Новосибирск, 1987
[5] Giampiero Esposito. Spectral Geometry and Quantum Gravity, hep-th/9708128 (1997)
[6] Ландау Л,Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля. 4-е изд., испр. М.: Наука, 1989. 768 с.
[7] Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., 1967. 664 с. с илл.
[8] Мёллер У. Теория относительности. М.: Наука, 1975.
