CC BY
129
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
УДК 514.765
ИНВАРИАНТНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ГРУППАХ ЛИ МАЛОЙ
РАЗМЕРНОСТИ
О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский
INVARIANT TENSOR FIELDS ON LOW DIMENSIONAL LIE GROUPS
O. P. Gladunova, E. D. Rodionov, V. V. Slavsky
Данная работа посвящена одному из разделов современной римановой геометрии — теории инвариантных тензорных полей на группах Ли. Предполагается дать краткий обзор некоторых результатов данной теории, наиболее близких к исследованиям авторов.
This paper is devoted to the theory of the invariant tensor fields on Lie groups which is one of the sections of modern Riemannian geometry. It is proposed to give a short survey of some results this theory which is similar to the other studies conducted by the authors.
Ключевые слова: инвариантные тензорные поля, группы Ли, алгебры Ли.
Keywords: invariant tensor fields, Lie groups, Lie algebras.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (№10-01-90000-Бел_а), а также ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457).
Введение
Данная работа посвящена одному из разделов современной римановой геометрии — теории инвариантных тензорных полей на группах Ли. Предполагается дать краткий обзор некоторых результатов данной теории по следующим темам, наиболее близким к исследованиям авторов.
1. Группы и алгебры Ли. Определения. Структура множества инвариантных метрик. Классификации групп Ли малых размерностей. Инвариантные тензорные поля на группах Ли.
2. Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли. Кривизна Риччи и одномерная кривизна 3-мерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками. Оценки кривизн различного типа, сигнатуры операторов Риччи и одномерной кривизны. Существование метрик знакоопределенной кривизны Риччи и одномерной кривизны на 3-мерных группах Ли. Сигнатура оператора Риччи левоинвариантных римановых метрик на группах Ли малой размерности.
3. Тензорные поля Вейля и Схоутена-Вейля на группах Ли малых размерностей. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с изотропным тензором Схоутена-Вейля. Левоинвариантные (псевдо)римановы метрики на 3-мерных группах Ли с почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. Гармоничность формы Схоутена-Вейля по направлению на 3мерных группах Ли с левоинвариантной (псев-до)римановой метрикой. Гармоничность тензора Вейля на 4-мерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. О разложении оператора кривизны в слоях пространства расслоения бивекторов над четырехмерной группой Ли.
Надеемся, что представленные здесь сравнительно недавние результаты и их приложения найдут своего заинтересованного читателя, а ценные за-
мечания будут с признательностью приняты.
I. Группы и алгебры Ли
1.1. Определения и конструкции
Данный раздел содержит сведения общего характера, которые хорошо известны и могут быть найдены в [17, 27, 29, 32].
Определение 1.1.1. Пусть О — дифференцируемое многообразие, т — дифференцируемая структура на О, ” • ” — групповая структура на О. Тройка {О, •, т} называется группой Ли, если дифференцируемая и групповая структуры согласованы, т. е. отображение (х, у) произведения О х О в О дифференцируемо.
x-y 1 прямого
Группа Ли называется компактной (связной), если многообразие О компактно (связно). Если группа Ли рассматривается над полем С (соответственно Д), то группу Ли называют комплексной (соответственно вещественной) группой Ли.
Пусть О — группа Ли. С каждым элементом у € О связан диффеоморфизм £(у) : О ^ О, который определяется равенством £(у)х = у • х и называется левым сдвигом. Векторное поле X на О называется левоинвариантным, если оно инвариантно относительно всех левых сдвигов, т. е. ¿£(у)Хр = Ху.р для всех р,у € О. Здесь Хр — касательный вектор в точке р € О. Левоинвариантные векторные поля на О образуют векторное пространство. Обозначим его через Ь(О).
Определение 1.1.2. Векторное пространство V над полем К (К = С или К = Д) с операцией умножения V х V ^ V, обозначаемой (Х,У) ^ [Х,У] и называемой скобкой (или коммутатором) элементов Х и У, называется алгеброй Ли над полем К, если выполняются следующие аксиомы:
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
1) операция коммутирования билинейна;
2) опе'рация коммутирования кососимметрична;
3) справедливо тождество Якоби:
[[X, У],Я] + [[У, я],Х] + [[z,x] ,У] = 0, для всех Х,У, Я € V.
Замечание. Если Х,У € Ь(О), то скобка Пуассона [X, У] = X о У — У о X векторных полей X, У также будет левоинвариантным векторным полем, и это задает в Ь(О) билинейную операцию, относительно которой Ь(О) является алгеброй Ли.
Замечание. Алгебра Ли Ь(О) левоинвариантных векторных полей на О естественно отождествляется с касательным пространством ТеО в единице е € О. Если Xe € ТеО, то соответствие Xe I—> X € Ь(О) определяет искомый изоморфизмом пространств Ь(О) и ТеО. Положим Уе] =
= [X, У]е. Тогда векторное пространство ТеО с операцией [X,,, Уе] образует алгебру Ли и называется алгеброй Ли группы О. Всюду далее алгебру Ли группы О будем обозначать через 0. Алгебры Ли Ь(О) и ТеО изоморфны.
Для любой алгебры Ли 0 определена форма Картана-Киллинга
Б^,У) = — ^аё^) о аё(У)),
где оператор аё^) на 0 имеет вид:
аё^) : Я I—> [X,Z], У Я € 0.
Замечание. Отметим, что форма Б инвариантна относительно любого автоморфизма алгебры Ли 0.
Определение 1.1.3. Алгебра Ли 0 называется полупростой, если форма Картана-Киллинга алгебры Ли 0 невырождена. Подпространство а в алгебре Ли 0 называется подалгеброй (соответственно идеалом), если [а, а] С а (соответственно [а, 0] С а). Полупростую алгебру Ли называют простой, если она не имеет идеалов, отличных от 0 и 0.
Рассмотрим две последовательности идеалов: производный ряд 0 Э 0' = [0, 0] Э 0" = [0', 0'] Э ■ ■■ Э 0(к) = [0(к-1),0(к-1)] ■ ■ ■ и нижний центральный ряд 0(1) = 0 Э 0(2) = [0, 0] Э 0(3) = [0(2), 0] Э ■■■ Э 0(к) [0(к-1), 0] ■■■ .
Определение 1.1.4. Алгебра Ли 0 называется разрешимой (нильпотентной), если 0(к) = 0 (0(к) =0) для некоторого к.
Определение 1.1.5. Группа Ли О называется полупростой (соответственно простой, разрешимой, нильпотентной), если ее алгебра Ли 0 по-лупроста (соответственно проста, разрешима, нильпотентна).
Определение 1.1.6. Алгебра Ли 0 называется унимодулярной, если выполняется равенство tr(ad(X)) = 0 для всех X Є 0.
Заметим также еще один факт. Для этого рассмотрим группу GL(V) невырожденных линейных преобразований n-мерного вещественного пространства V.
Определение 1.1.7. Гомоморфизм групп Ли а : G ^ GL(V) называется линейным представлением группы G в конечномерном векторном пространстве V.
Пусть I(a)x = axa-1 — внутренний автоморфизм группы G. Переходя к дифференциалу, получим следующий автоморфизм алгебры Ли g:
Ad(a) = di(a)e : TeG ^ TeG,
где a Є G, e Є G — единица группы G. Тогда отображение Ad : a ^ Ad(a) есть гомоморфизм группы G в GL (g), называемый присоединенным представлением группы G.
Определение 1.1.8. Группа G называется унимодулярой, если | det Ad(x)| = 1 для всех x Є G [29,36].
Замечание. Отметим, что для связной группы Ли G ее унимодулярность эквивалентна унимодулярности алгебры Ли g. Заметим также, что унимодулярными являются все компактные, все полупростые, все связные нильпотентные группы Ли [29].
1.2. Структура множества инвариантных метрик
Определение 1.2.1. Псевдоримановой метрикой сигнатуры (p, q) на дифференцируемом многообразии M размерности n = p + q называется такая гладкая симметричная дифференциальная 2-форма g на M, что для любой точки x Є M форма gx на TxM невырождена и имеет сигнатуру (p,q). Пара (M,g) называется псевдоримановым многообразием.
Если q = 0 (т. е. форма gx положительно определена), форма g называется римановой метрикой, а пара (M, g) — римановым многообразием.
Если p =1 и q > 0, форма g называется ло-ренцевой метрикой, а пара (M, g) — лоренцивым многообразием.
Определение 1.2.2. (Псевдо)метрика на G называется левоинвариантной, если левые сдвиги группы G являются изометриями.
Опишем алгоритм построения левоинвариантной римановой метрики на группе Ли G с помощью левых сдвигов.
Пусть (Xe, Уе)е — некоторое (положительно определенное) скалярное произведение в точке
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
e є G, где Xe,Ye є TeG. Тогда, полагая (Xp,Yp)p =f (d£(p~1)Xp, d£(p~1)Yp)e, получим тензорное поле типа (2, 0), или риманову метрику на группе Ли G в каждой точке p є G. По построению эта метрика левоинвариантна.
Замечание. Нетрудно проверить, что если (■, ■) и {■, ■) - две произвольные левоинвариантные римановы метрики, то существует самосопряженный линейный оператор A : TeG ^ TeG, такой, что {■, ■) = (A■, ■). Таким образом, любое скалярное произведение в алгебре Ли g = TeG задается с помощью фиксированного скалярного произведения и некоторого самосопряженного линейного оператора, действующего в алгебре Ли g [4].
Напомним также, что метрической алгеброй Ли называется пара (g,Q), где g — вещественная алгебра Ли, а Q — некоторое скалярное произведение на g. Произвольная левоинвариантная ри-манова метрика д на группе Ли G определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли g группы G и, наоборот, каждое скалярное произведение Q на g индуцирует левоинвариантную метрику д на группе G.
Теперь рассмотрим вопрос построения биинва-риантной метрики, т. е. инвариантной относительно и правых сдвигов.
Лемма 1.2.1. [40] Левоинвариантная метрика на G является также правоинвариантной, если и только если для любого элемента а є G линейное отображение
Ad(a) : g ^ g
является изометрией относительно индуцированной метрики на алгебре Ли g.
Рассмотрим оператор U : g х g ^ g, определяемый равенством УХ, Y, Z є g:
{U (X, Y), Z) = 2 {{[Z, X],Y) + {[Z, Y], X)} (1)
В данных обозначениях, выполняются (см.
[40])
Лемма 1.2.2. Левоинвариантная риманова метрика {■, ■) на группе Ли G является биинва-риантной в том и только том случае, если оператор U : g ^ g, определяемый равенством (1) тривиален.
Лемма 1.2.3. В случае связной группы Ли G, левоинвариантная метрика является биинвари-антной, если и только если линейное преобразование ad(X) кососимметрично для любого элемента
X є g [4°].
Наконец, заметим, что если алгебра Ли g полупроста и компактна, то билинейная форма Картана-Киллинга B(X,Y) невырождена в g = TeG. Тогда биинвариантную
(псевдо)риманову метрику можно задать на левоинвариантных векторных полях, положив
(Xp,Yp) = B(Xe,Ye),
где Xe, Ye є TeG, а Xp = d£(p)Xe, Yp = d£(p)Ye.
1.3. Классификации групп Ли малых размерностей
В данном разделе приведены сведения о классификации групп Ли и соответствующих им алгебр Ли малых размерностей с римановой метрикой, а также З-мерных групп Ли с лоренцевой метрикой, которые потребуются для решения задач настоящей статьи.
Итак, пусть G — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В размерности З соответствующая классификация групп Ли получена многими авторами (см., например, [40]).
Если G — трехмерная унимодулярная группа Ли с алгеброй Ли g, (■, ■) — произвольное скалярное произведение на g, соответствующее некоторой левоинвариантной римановой метрике на группе Ли G, то в g существует ортонормирован-ный базис {el,e2,ез}, такой, что (см. [40]):
[єі, Є2] = Азез, [е2,ез] = Лієі, [ез, єі] = А2Є2.
Здесь Ai є R — структурные константы алгебры Ли g, i = 1, 2, 3.
Имеется ровно шесть неизоморфных трехмерных унимодулярных алгебр Ли [40].
Пусть теперь G — трехмерная неунимодуляр-ная группа Ли, g — алгебра Ли группы G, (■ , ■) — произвольное скалярное произведение на g, соответствующее некоторой левоинвариантной рима-новой метрике на группе Ли G. Тогда в g существует ортонормированный базис {е!,е2,ез}, такой, что (см. [40]):
[el,e2] = аe2+ßeз, [єі, ез] = 7е2+^ез, [е2,ез]=0,
где матрица C = ^ ß^j имеет след а + S = 0 и
aj + ßS = 0. Здесь а, ß,j,S — структурные константы алгебры Ли g.
Замечание. В случае а + S = 2 инвариант
D = aS — Yß
(2)
определяет алгебру 0 с точностью до изоморфизма (см. подробнее [40]).
Одна из классификаций соответствующих четырехмерных алгебр Ли дана Г. М. Мубаракзяно-вым в [25]. Придерживаясь системы обозначений
[25], для изложения результатов будем предполагать, что фиксирован базис работ А. Г. Кремлева и Ю. Г. Никонорова [20, 21] в унимодулярном и неунимодулярном случаях соответственно. Классификация пятимерных алгебр Ли может быть найдена, например в [23, 24].
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Наконец, если О — 3-мерная группа Ли с ле- Формулу для вычисления тензора Римана
воинвариантной лоренцевой метрикой, то соответ- можно представить в виде:
ствующий классификационный результат получен
и и и ту с8 Г г + г
в [28]. Будем придерживаться системы обозначе- ек,г 1 ^к1- ге,г т і ¿к1- ]8,г-
ний работы [28]. Тензор Риччи и скалярную кривизну соответ-
ственно можно найти по формулам:
1.4. Об инвариантных тензорных полях на
группах Ли г ¿к _ ЯцыЯ^, « _ г ¿к дгк,
Изложение данного раздела опирается на работы тензор одномерной кривизны равен:
[4, 19, 26]. 1 / л
Пусть (М,д) — риманово многообразие раз- лкк _ 1 (г.к ядік | (4)
Тензор Вейля вычисляется по формуле:
■‘■■ЧК СЛ \ ik су/ -| \
мерности п. Обозначим через V связность Леви- п — 2 \ 2(п — 1)
Чивита и через R(X, Y)Z = VyVxZ — VxvyZ + а его ковариантные производные есть
V[x,y]Z тензор кривизны Римана. Тензор Риччи r
и скалярную кривизну s определим соответствен- Aij;k = AljГкг + АііГ kj ■
но как r = tr(V ^ R(X, V)Y) и s = tr(r).
Определение 1.4.1. Произведением
Кулкарни-Номидзу двух симметрических 2- Wjkt = Rijkt —
тензоров H,P называется 4-тензор H©P, за- ^
даваемый формулой: — п 2 (rik9jt — ritgjk + rjtgik — rjkgit) —
(H © P )(X,Y,Z,V )= p ( ) (5)
= H(X,Z)P(Y, V)+ H(Y, V)P(X,Z)— (n — l)(n — 2)(9it9jk 9ik9jt) ■ (5)
H^, V)P(Y’ Z) H(Y Z)P^, T); Дивергенцию тензора Вейля будем определять
где X, Y, Z, V є TxM. как в [4б]:
divWjkt = 9ipWijkt,p, (6)
Разделим тензор кривизны на метрический тензор, в смысле произведения Кулкарни- где Wijkt,p — ковариантные производные тензора
Номидзу [4]: Вейля, и
R = W + A©g. (3) Wijkt,p = rpWi jkt + rPj Wi I kt + rPk Wij 11 +r'ptWijki ■
Целая часть A от деления R на 9 называется тензором одномерной кривизны (или тензором Схо- Замечание. Дивергенция тензора Вейля ко-утена), а остаток от деления W — тензором Вейля сосимметрична относительно второго и третьего
(или тензором конформной кривизны). индексов, т. е. divWijk = —divWikj ■
Также нам потребуются кривизна Риччи и одномерная кривизна, определяемые с помощью соответствующих квадратичных форм:
В размерности не выше 3 тензор Вейля тривиален, а роль его аналога играет тензор Схоутена-Вейля (или тензор Коттона), определяемый как
г-Х ¿X і Л-Х ¿X і
г(Х) _ , Л(Х) _ , Бцк _ Л^к - Лщ. (7)
g¿j X ¿X і g¿j X ¿ Xі
¿ Будем отождествлять ковариантные и контра-
где X — координаты вектора X Є ТХМ. вариантные компоненты тензора Б и определять
Пусть далее О — группа Ли, 0 — соответству- квадрат его длины формулой ющая алгебра Ли, (•, •} — левоинвариантная рима-
нова метрика на О. ||Б||2 _ Б¿jkБ¿jk. (8)
Фиксируем в 0 ортонормированный базис {е1 е2 еп} Положим Дивергенцию тензора Схоутена-Вейля зада-
дим с помощью ковариантного дифференцирова-[e¿, ещ] _ скек, У Єіещ _ гіек, (ец, ещ} _ g¿j, ния с последующей сверткой с тензором д11. Воз-
можны три варианта такой свертки, компоненты где {ск} — структурные константы алгебры Ли, дивергенции при этом имеют вид:
{g¿j} — метрический тензор. ^ ^
Пусть c¿js _ скgks, тогда символы Кристоф- gltБ¿jk;t, gJtБ¿jk■,t, g 1 ^к-^■
феля первого и второго родов вычисляются соот-
, Подчеркнем, что тензор Б¿jk кососимметричен
ветственно по формулам: , т-г
по индексам ] и к, т. е. gJtБ¿jk-t _ -gJ'Б¿kj-t. Пог 1 ( ) г8 г к8 этому определим дивергенцию типа I и II тензора
¿j’k _ 2(c¿jk + Сы1 ^ ¿щ _ ¿j’kg , Схоутена-Вейля Б¿jk соответственно формулами:
где есть матрица обратная к Ук.эЦ. аіУі(Б) _ gltБ¿jk-t, (9)
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
^(Б ) = • (10)
Замечание. В силу косой симметрии тензора Бгцк по индексам ^ и к в размерности три можно корректно определить также дивергенцию типа III
ё1Уз(Б) = Б г 12;3 + вг23;1 + Si31;2, € I1, 2, 3},
образующую псевдотензор валентности 1.
Будем определять ротор тензора Схоутена-Вейля равенствами
ГО^(БгЦк) БгЦк;р БрЦк;г Бгрк;Ц БгЦр;к, (11)
где Бг^к;г — его ковариантные производные,
Бг]к;Ь = Б1цк Гм + Бг1кГг] + БгЦ Гк
Замечание. Вышеприведенные формулы показывают, что данные тензоры суть функции структурных констант ск алгебры Ли д и компонент метрического тензора дгц.
II. Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли
Известно, что ограничения различного типа на кривизну риманова многообразия позволяют получить информацию о его геометрическом и топологическом строении. Яркими примерами этого являются теоремы Майерса [41] и Бохнера [36]. Исследованию таких выжных характеристик кривизны, как кривизна Риччи и одномерной кривизны посвящены работы многих математиков [3, 4]. В случае однородных пространств, отличных от групп Ли, стоит отметить работы [35, 37, 38, 43] по изучению сигнатур кривизны Риччи. В настоящем разделе приведены результаты относительно главных кривизн Риччи и одномерной кривизны групп Ли малых размерностей.
Напомним, что под сигнатурой симметрического оператора В, действующего на п-мерном евклидовом пространстве, понимается упорядоченный набор ^п(п),sgn(т2),...,sgn(тn)), где Т1 < т2 < ... < тп - собственные значения оператора В, и sgn(x) означает знак (вещественного) числа х.
Кроме того, приведем следующие критерии. Критерий 1 [40] Связная группа Ли О допускает левоинвариантную риманову метрику положительной кривизны Риччи в том и только том случае, если О компактна и ее фундаментальная группа п1(О) конечна. В таком случае искомой метрикой является биинвариантная ри-манова метрика.
Критерий 2 [44] Связная группа Ли О допускает левоинвариантную риманову метрику положительной одномерной кривизны в том и только том случае, если О компактна и ее фундаментальная группа п1(О) конечна. В таком случае
искомой метрикой является стандартная рима-нова метрика.
Заметим также, что положительность одномерной кривизны риманова многообразия влечет положительность кривизны Риччи. Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. существуют римановы метрики положительной кривизны Риччи и осциллирующей (принимающей значения разных знаков) одномерной кривизны (см. [44]).
2.1. Кривизна Риччи 3-мерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками
Пусть О — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, д — соответствующая алгебра Ли. Тогда, в ортобазисе работы [40], главные значения кривизны Риччи и скалярная имеют вид (см. подробнее [40]):
Г1 = 2 (А1 — А2 + ^з) (А1 + А2 — ^з) ,
Г2 = 2 ( — ^1 + ^2 + Аз) (А1 + А2 — Аз) ,
гз = 2 (—А1 + А2 + Аз) (А1 — А2 + Аз),
в = А2 Аз + А1Аз + А1А2 — 2(А2 + А2 + Аз).
Полагая
Рг = ^2(А1 + А2 + Аз) — Аг, где г = 1, 2, 3, получаем следующие результаты Дж. Милнора
[40].
Теорема 2.1.1. В ортобазисе {е1,е2,ез} алгебры Ли д трехмерной унимодулярной группы Ли О квадратичная форма Риччи диагонализи-руема, и формулы для вычисления главных кривизн Риччи и скалярной кривизны, указанные выше, преобразуются к виду:
Г1 = 2р2Рз, Г2 = 2р1рз, гз = 2^1 р2, в = 2(М2Мз + М1М2 + М1М2).
Следствие. 1) В зависимости от выбора левоинвариантной римановой метрики квадратичная форма Риччи группы БП(2) может иметь одну из следующих сигнатур: (+, +, +), (+, 0,0), (+, —, -); а скалярная кривизна быть положительной, отрицательной или нулевой. 2) Для любой левоинвариантной метрики на 3-мерной группе Гейзенберга квадратичная форма Риччи имеет сигнатуру (+, —, —) и строго отрицательную скалярную кривизну в. Кроме того, для частных кривизн Риччи выполняется
Ы = Ы = Ы = И-
3) Пусть О есть одна из групп Ли БЬ(2, М) или Е(1,1). Тогда, в зависимости от выбора левоинвариантной метрики, квадратичная форма
и
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Риччи группы О может иметь либо сигнатуру (+, —, -), либо (0,0, -). При этом скалярная кривизна строго отрицательна.
Следствие. На трехмерной унимодулярной группе Ли определитель тх ■ т2 ■ тэ квадратичной формы Риччи всегда неотрицателен. Если определитель равен нулю, то не менее двух из главных кривизн Риччи равны нулю.
Заметим, что позднее О. Ковальски и С. Нич-кевич получили более общий результат [38].
Теорема 2.1.2. [38] Унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и главными кривизнами Риччи тх, т2, тэ существует, если и только если тх ■ т2 ■ тэ > 0 или если не
Следствие. Пусть (О, (•, •)) — 3-мерная уни-модулярная группа Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой положительной кривизны Риччи. Тогда алгебра Ли группы О изоморфна вп(2), и множество левоинвариантных римановых метрик с Г(.,.)(п) > 0 определяется системой
менее двух тг, г = 1, 2, 3 равны нулю.
Из формул, приведенных в начале раздела, нетрудно заметить, что выполняются равенства:
Т1 — Т2 = (Ах — А2) (Ах + А2 — Аэ),
Т2 — ТЭ = (А2 — АЭ) (А2 + АЭ — А1) , тэ — Т1 = (Аэ — Ах) (Аэ + Ах — А2).
Отсюда и из теоремы Куранта-Фишера [30], а также результатов Дж. Милнора в унимодуляр-ном случае следует
Теорема 2.1.3. [44] Пусть Т(.,.)(п) : Ох ^ М —
кривизна Риччи риманова многообразия (О, (■, ■)). Тогда справедливы оценки таблицы 1.
Таблица 1
неравенств:
0 < тх,
0 < Ах < А2 < Аэ < Ах + А2.
Кроме того, d = (штс1 Т(. .)(п))(шахс1 Т(v)(п))-1 € (0,1], и d = 1 тогда и только тогда, когда
Ах = А2 = Аэ.
Знаки (Аі, А2, Аэ) Алгебра Ли Кривизна Риччи
+, +, + ви(2) П < Т(.,.)(п) < тэ, тх < Т2 < тэ, тэ > 0, тх > 0 если 0 < Ах < А2 < Аэ < Ах + А2. т2 < т(.,.)(п) < тэ, т2 < тх < тэ, тэ > 0, т2 < 0 если 0 < Ах < А2 < Ах + А2 < Аэ.
+, +, - в/(2,Д) П < т(.,.)(п) < тэ, тх = т2 < тэ, тх < 0, тэ > 0 если 0 < Ах = А2. П < т(.,.)(п) < тэ, тх <т2 < тэ, тх < 0, тэ > 0 если 0 < Ах < А2 < Ах + |Аэ|. тх < т(.,.)(п) < т2, тх < тэ < т2, тх < 0,т2 > 0 если 0 < А1 < А1 + |Аэ| < А2.
+, +, 0 е(2) т( , )(п) = 0, если 0 < Ах = А2. тх < т(.,.)(п) < т2, тх < тэ < т2, тх < 0,т2 > 0 если 0 < Ах < А2.
+, -, 0 е(1,1) тэ < т(.,.)(п) < тх, тх = т2 = 0, тэ < 0 если 0 < Ах = |А2|. тэ < т(.,.)(п) < т2, тэ < тх < т2, тэ < 0,т2 > 0 если 0 < Ах < |А2|. тэ < т(.,.)(п) < тх, тэ <т2 < тх, тэ < 0, тх > 0 если 0 = |А2| < Ах.
+, 0,0 Н О V 2і А о' V 21 А 1 э 2 VI VI 2
0, 0, 0 кэ Г(.,.)(п) =0-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
ляются по формулам:
гі = -2 - 2£2 - 2£У < 0,
Г2 = -2 - 2£ - 2ІЦ2 < 0,
гз = -2 + 2£ + 2Єп2,
в = -6 - 2£2 - 2£У < 0, > 0, п > 0),
а условие Б = 1 переписывается в виде £ • п = 0.
Это позволяет заметить истинность
Теорема 2.1.5. [40] Если инвариант Б отрицателен, то для любой левонвариантной метрики на неунимодулярной группе Ли О сигнатура кривизны Риччи имеет вид (+, -, -). Если Б > 0, то возможна также сигнатура (0, -, -), и если Б > 0 также возможна сигнатура (-, -, -). Другими словами, для Б > 0 существует левоинвариантная метрика строго отрицательной секционной кривизны и для Б > 1 существует левоинвариантная метрика постоянной отрицательной кривизны. Во всех случаях скалярная кривизна строго отрицательна.
В заключение приведем
Теорема 2.1.6. [9] Пусть (О, {•, •)) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда кривизна Риччи группы (О, (•, •)) знакоопределена в том и только том случае, если алгебра Ли 0 группы О содержится в таблице 2.
Таблица 2
Алгебра Ли Кривизна Риччи Структурные константы
Унимодулярна, изоморфна ви(2) Положительна Ö < Лі < Л2 ^ Лз < Лі + Л2
Неунимодулярна, определяется с точностью до изоморфизма, набором структурных констант Отрицательна а = І + С, ß = (І + С)n, Y = (С - 1)n, S = І - С, С У Ö,n У ö, С < j+n*.
Замечание. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик вещественных 4-мерных групп Ли изучалась А.Г. Кремле-вым, Ю.Г. Никоноровым, 5-мерных нильпотент-ных групп Ли — А.Г. Кремлевым и М.С. Чеба-рыковым. Полученные результаты о наличии возможных сигнатур приведены в работах [20, 21] и [22, 31] соответственно.
2.2. Одномерная кривизна З-мерных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками
Заметим, что в ортобазисе работы Дж. Милнора
[40] одномерная кривизна диагонализируема, и ее главные значения равны (см. [44]):
al = — (5Л2 — 3Л2 — 3Л§ + бЛ2Лз — 2Лі Лз — 2Л1Л2),
о
a2 = — (—3Л2 + 5Л2 — 3Л2 + бЛіЛз — 2Л1Л2 — 2Л2Лз),
о
аз = — (—3Л2 — 3Л2 + 5Л2 + 6ЛіЛ2 — 2ЛіЛз — 2Л2Лз). о
Аналогично, в неунимодулярном случае имеем (см. [44]):
1 3 - 3 22
а1 = - 2 - 2^ - 2 пЧ < 0, а2 = -2 - 2Є - 2п2е + 2£2п2 + 2£2, аз = -1 + 2£ + 2п2Є + 1 £2 + 1П2Є2-
На основании исследования вышеприведенных функций в унимодулярном случае имеет место
Теорема 2.2.1. [44] Пусть А(.1.)(эт) : О1 ^ Я
— одномерная кривизна риманова многообразия (О, (•, •)). Тогда справедливы оценки таблицы 3.
Замечание. Утверждение теоремы 2.1.3 для ограничений на кривизну Риччи в неунимодулярном случае аналогично унимодулярному случаю
[44].
Рассмотрим подробнее неунимодулярный случай. Во-первых, заметим, что
Теорема 2.1.4. [38] Неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и главными кривизнами Риччи г1, г2, г3 существует, если и только если или г1 = г2 = г3 < 0, или если с точностью до перестановки индексов выполняются:
2г! < Г2 + гз < 0,
Г1(Г2 + гз) < г2 + Г3,
Г1 - г2 = к(г2 - гз)
для некоторого постоянного к.
Пусть далее О — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и Б — инвариант, определяемый равенством (2) отличный от 1.
Следуя [40], положим: а = 1 + £, в = (1 + С)п, 7 = -(1 — Оп, $ = 1 — £, где С > 0, п > 0. Тогда квадратичная форма Риччи диагонализируема в этом базисе, и ее главные кривизны и след вычис-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Таблица 3
Знаки (Аі, А2, Аэ) Алгебра Ли Кривизна Риччи
+, +, + ви(2) ах < А(. .)(п) < аз, ах < а2 < аз, аз > 0 если 0 < Ах < А2 < Аз < Ах + А2. а2 < А(.,.)(п) < аз, а2 < ах < аз, аз > 0 если 0 < Ах < А2 < Ах + А2 < Аз.
+, +, - в/(2,Д) ах = а2 < А(.,.)(п) < аз, ах < 0, аз > 0 если 0 < Ах = А2. ах < А(.,.)(п) < аз, ах < а2 < аз, ах < 0,аз > 0 если 0 < Ах < А2 < Ах + |Аз|. ах < А(.,.)(п) < а2, ах < аз < а2, ах < 0,а2 > 0 если 0 < Ах < Ах + |Аз| < А2.
+, +, 0 е(2) А( , )(п) = 0, если 0 < Ах = А2. ах < А(.,.)(п) < а2, ах < аз < а2, ах < 0,а2 > 0 если 0 < Ах < А2.
+, -, 0 е(1,1) аз < А(.,.)(п) < а2, аз < ах < а2, аз < 0, а2 > 0 если 0 < Ах = |А2|. аз < А(.,.)(п) < ах, аз < а2 < ах, аз < 0, ах > 0 если 0 = |А21 < Ах.
+, 0, 0 Н а2 < г(-,-)(п) < ах, а2 = аз < ах, а2 < 0, ах > 0.
0, 0,0 дэ Аы(п) = 0.
Таблица 4
№ 1 2 3 4 5
Сигнатура (-, -, -) (-, -, 0) (-, -, +) (-, 0,0) (-, 0, +)
№ 6 7 8 9 10
Сигнатура (-, +, +) (0, 0,0) (0,0, +) (0, +, +) (+, +, +)
Занумеруем все возможные сигнатуры для трехмерного случая так, как это указано в таблице 4.
Последовательное изучение всех унимодуляр-ных и неунимодулярных трехмерных алгебр Ли в базисах работы Дж. Милнора [40] позволяет сформулировать
Теорема 2.2.2. [6] Пусть О - унимодуляр-
ная трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, 0 - алгебра Ли группы О, в - произвольная сигнатура из таблицы 4- Тогда в реализуется в качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны для некоторого скалярного произведения на 0 в том и только том случае, если в таблице 5 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли 0, и столбца, соответствующего сигнатуре в, находится знак
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Таблица 5
№ сигнатуры
Алгебра Ли 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ви(2) - - + - + + - + + +
в1(2,Я) - - + - + + - - - -
е(2) - - + - - - + - - -
е(1, 1) - - + - + + - - - -
Н - - + - - - - - - -
К3 - - - - - - + - - -
Таблица 6
Алгебра Ли Одномерная кривизна Структурные константы
Унимодулярна, изоморфна вп(2) Положительна 1 (5А2 - 3(А2 - Аз)2 - 2АіАз - 2АхА2) > ° 0 < Аі < А2 ^ Аз < Аі + А2
Неунимодулярна, определяется с точностью до изоморфизма набором структурных констант Отрицательна а = 1 + ^ в = (1 + 0п, 7 = -(1 - Оп 6 = 1-е, С > 0, п > 0, С < -2+^4 + І+П2.
Теорема 2.2.3. [6] Пусть О — неунимоду-лярная трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, 0 — алгебра Ли группы О. Тогда в качестве сигнатур оператора одномерной кривизны на 0 реализуемы только сигнатуры (-, -, -), (-,-, 0), (-,-, +), (-, 0, +), (-, +, +), т. е. сигнатуры 1, 2, 3, 5 и 6 таблицы 4.
Теорема 2.2.4. [9] Пусть (О, (■, ■)) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой. Тогда одномерная кривизна группы (О, (■, ■)) знакоопределена в том и только том случае, если алгебра Ли 0 группы О содержится
в таблице 6.
Изучим теперь случай, когда кривизна Риччи знакоопределена, а одномерная кривизна осциллирует, т. е. принимает значения разных знаков. Ответ на этот вопрос дает
Теорема 2.2.5. [9, 44] Пусть (О, (■, ■)) —
трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой знакоопределенной кривизны Риччи. Тогда одномерная кривизна группы (О, (■, ■)) знакопеременна в том и только том случае, если алгебра Ли 0 группы О содержится в таблице 7.
Таблица 7
Алгебра Ли Кривизна Риччи Одномерная кривизна Структурные константы
Унимодулярна, изоморфна вп(2) Положи- тельна Осциллирует 0 < Аі < А2 ^ А3 < Аі + А2
Неунимодулярна, определяется с точностью до изоморфизма, набором структурных констант Отрица- тельна Осциллирует а = 1 + ^ в = (1 + е)п, і = -(1 - е)п, 6 =1 - С, С > 0, п > 0, С < Т+П2 •
III. Тензорные поля Вейля и Схоутена-Вейля на группах Ли малых размерностей
3.1. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с изотропным тензором Схоутена-Вейля
Данный раздел посвящен решению задачи о существовании левоинвариантных метрик на 3-мерных группах Ли, для которых квадрат длины ||£||2 = = БцкБг^к тензора Схоутена-Вейля тривиален, а
некоторые его компоненты отличны от нуля.
Пусть {е1,е2,еэ} — базис, удовлетворяющий теореме 7.2.1 работы [3], тогда, применяя формулы раздела 1.4 в построенном базисе, получим компоненты тензора Схоутена-Вейля и квадрата его длины (см. подробнее [3, 28]). Исследование данных компонент позволяет сформулировать
Теорема 3.1.1. [28] Пусть О — связная трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвари-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
антнои лоренцевои метрикой имеющеи нетривиальный тензор Схоутена-Вейля со свойством Н^Н2 = 0, тогда алгебра Ли 0 группы Ли О изоморфна либо е(1,1), либо в/(2, Я).
Последовательным выбором базиса теорем 7.3.1 - 7.3.3 работы [3] и рассуждениями, аналогичными унимодулярному случаю, рассматривается неунимодулярный случай (см. [3, 28]).
3.2. Левоинвариантные (псевдо)римановы метрики на 3-мерных группах Ли с почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля
В данном разделе исследуются трехмерные группы Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля. Напомним, что
Определение 3.2.1. Тензор Тіі...ір строения (р, 0) (см. [33]) называется гармоническим, если выполняются следующие три условия:
(1) Ті1...ір — кососимметрический,
(2) ТО^>(Тііі2...ір) 0 или ТііІ2 -ір;і
ТІІ2 ■■■ір'іі + ТІіЬ -Ір;І2 + ' ' ' + ТІіІ2 -І;Ір,
(3) ^У(Тіі І2---ір ) = д11ІТіі...ір;і = 0,
и почти гармоническим, если выполняются следующие два условия:
(1) г°;(ТііІ2...ір )=0,
(2) аіу(Тіі і2...ір) = ді1іТіі...ір.гг = 0.
Понятие почти гармонического тензора вводится потому, что кососимметрическая часть и симметрическая часть 5/^) тензора Схоутена-Вейля равны нулю. Таким образом, для тензора Схоутена-Вейля не выполняется первое условие из данного определения гармонического тензора.
Первоначально приведем несколько фактов, не зависящих от размерности. Их доказательство может быть найдено, например, в [3].
Теорема 3.2.1. Пусть М — риманово многообразие, тогда
Бі^к;і + Бікі;^ + Біі^;к
п- 2
Отметим, что если в условиях теоремы п = 3,
то
аіУі(5) = 0; аіУ2(Б)
1
п2
(«;ік + гкРПр +
І дИ ( Я Рг 3;Ыд^ 8;^ды\\
+д - Гік;ог 2(п - 1) )) .
Следствие. Пусть М = О — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, тогда справедливо равенство
аіУ2 (Б)
1
п2
(ЯЇкі РГРІ гкі;зі) + гкгір) .
Для дальнейшего исследования левоинвариантных римановых метрик 3-мерных групп Ли с почти гармоническим тензором Вейля рассмотрим базис работы Дж. Милнора [40]. Применяя формулы раздела 1.4 и приведенные выше теоремы данного раздела, определяем компоненты ротора и дивергенции тензора Схоутена-Вейля. Отсюда следуют теоремы (см. подробнее [3, 12]).
Теорема 3.2.3. [12] Пусть О — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) &Уі(Б) = 0. Тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим в том и только том случае, если алгебра Ли группы О имеет один из следующих типов: либо вп(2), либо е(2), либо Я3, левоинвариантная риманова метрика гомотетична стандартной (т. е. структурные константы алгебры Ли равны между собой), а тензор Схоутена-Вейля тривиален.
(2) ^у2(Б) = 0 тогда и только тогда, когда алгебра Ли группы О имеет один из следующих типов: либо вп(2), либо е(2), либо Я3, левоинвариантная риманова метрика гомотетична стандартной, а тензор Схоутена-Вейля тривиален.
Теорема 3.2.4. [12] Пусть О — трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) &Уі(£) = 0. Тензор Схоутена-Вейля является почти гармоническим в том и только том случае, если матрица структурных констант алгебры Ли группы О имеет вид:
С =
1 -7
7 1
( 2 - 5 ±л/25 - 52
С = и^25-
52
5
Б1]к-,г + =0, € {1, 2, 3}.
Теорема 3.2.2. Пусть М — риманово многообразие, тогда справедливы равенства
где 5 Є [0, 2], а тензор Схоутена-Вейля тривиален.
(2) ^у2(Б) = 0 тогда и только тогда, когда матрица структурных констант алгебры Ли группы О имеет вид такой же, как в (1), а тензор Схоутена-Вейля тривиален.
Аналогичными рассуждениями в базисе работы [28] с привлечением результатов предыдущего раздела, получаем 3-мерные группы Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками и почти
1
ли
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
гармоническим тензором Схоутена- Вейля (см. подробнее [8, 11]).
3.3. Гармоничность формы Схоутена-Вейля по направлению на 3-мерных группах Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой
Пусть V = VіЕі — левоинвариантное векторное поле. Отождествим V с вектором {Vк} Є ТеО и определим кососимметрический тензор w = \\wij || по направлению вектора {Vк } формулой
^ = Vк Бщ. (12)
В силу косой симметрии тензора Схоутена-Вейля Б к^ по индексам і и і тензор wij — кососимметрический. Ковариантные производные этого тензора равны
wij;k wljГкі + ШГkj •
Ротор и дивергенция тензора wij вычисляются соответственно по формулам:
ГО^) = ,
аіу^) = gitWij; і.
Наряду с произвольными векторами будем рассматривать и гармонические векторы.
Определение 3.3.1. Вектор {Vі} называется гармоническим, если выполняются следующие условия:
(1) ГО^ ) = Vі.і - Vj.і = 0 ,
(2) аіу^) = Vі;і = о, ’
Теорема 3.4.2. [15] Пусть О — вещественная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и неразложимой алгеброй Ли. Тогда О не является С-пространством.
где Уг.^ = —У1Гг1к — ковариантные производные вектора {Уг}.
Применяя данную конструкцию можно классифицировать 3-мерные группы и алгебры Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой и гармонической формой по направлению произвольного или гармонического вектора (см. подробнее [2, 3, 12]).
3.4. Гармоничность тензора Вейля на 4-мерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой
Данный раздел посвящен исследованию вопроса гармоничности тензора Вейля Ш.
Определение 3.4.1. [4, 39] (Псевдо)риманово многообразие (М, д) размерности п > 4 называется С-пространством или пространством с гармоническим тензором Вейля, если <ИуШ = 0.
Фиксируя на каждой четырехмерной вещественной алгебре Ли ортонормированный базис работ [20, 21] и применяя формулы раздела 1.4, находим компоненты дивергенции тензора Вейля, исследование которых позволяет сформулировать теоремы (см. подробнее [5, 7, 15, 16]).
Теорема 3.4.1. [15] Пусть О — вещественная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и разложимой алгеброй Ли 0. Тогда <ИуШ = 0 в том и только том случае, если алгебра Ли 0 и ее структурные константы содержатся в 8.
Таблица 8
Теорема 3.4.3. [7] Пусть О — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и разложимой алгеброй Ли 0. Тогда <ИуШ = 0 в том и только том случае, если алгебра Ли 0 и ее структурные константы содержатся в таблице 9.
Алгебра Ли Нетривиальные структурные константы ск Ограничения на ск
4Аі Алгебра коммутативная, т. е. все ск = 0
Аз,б ф Аі с3,2 = с2,3 = В В > 0
Аз,б ф Аі с3,2 = С, с2,з = -С С> 0
Аз,б ф Аі С -= ,з с =С, ,з і2, с С> 0
Аз,9 ф Аі сі,2 = с2,з = СЬ2 + С, с2,з = -С, 4з = СЬ С> 0
Аз,9 ф Аі сі,2 = -сі,з = ВК2 + В, сі,з = В, 4з = -ВК В > 0
Аз,9 ф Аі сі,2 = Н, сі,2 = —HM, сі,з = -с2,з = НМ2 + Н Н> 0
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Таблица 9
Алгебра Ли Нетривиальные структурные константы ck Ограничения на ck
А2 ф 2A1 c2,2 = H H>0
2A2 ü tq ,2 2 1 c H>0, G>0
Аз,з ф Ai c1,3 — c2,3 — H H > 0
A3,7 Ф A1 c1,3 — c2,3 — aL> -c1,3 — c1,3 — L L > 0
Теорема 3.4.4. [3] Пусть О — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и неразложимой алгеброй Ли 0. Тогда divW = 0 в
том и только в том случае, если алгебра Ли 0 и ее структурные константы содержатся в таблице 10.
Таблица 10
Алгебра Ли Нетривиальные структурные константы ck Ограничения на ck
Aa,e a4,5 c1,4 — c2,4 — c3,4 — L L>0
Aa,e a4,6 c1,4 — aL, c2,4 — c3,4 — -L a — 0, L > 0
Aa,e a4,6 c1,4 — c2,4 — c3,4 — eL^ c2,4 — —c3,4 — —L в > 0,L> 0
Ae a4,9 c1,4 — c\,3 — 2Hi c2,4 — c3,4 — H H > 0
A“ A4,11 c1,4 — c1,3 — 2Ha, c2,4 — c3,4 — Ha, c3,4 — —c3,4 — H H > 0,a> 0
A4,12 c1,3 — c2,3 — H, c1,4 — c2,4 — B> c2,4 — -c2,4 — -D H > 0,D > 0
3.5. О разложении оператора кривизны в слоях пространства расслоения бивекторов над четырехмерной группой Ли
В настоящем разделе исследуются 4-мерные рима-новы многообразия с теми или иными ограничениями на целую часть разложения тензора кривизны в прямую сумму произведения Кулкарни-Номидзу тензора одномерной кривизны с метрическим тензором и тензора Вейля Ш. Изучаются 4-мерные римановы многообразия, для которых автодуальная или антиавтодуальная составляющая тензора Вейля Ш равна нулю (см., например, [4]). Такие многообразия называются конформно полу-плоскими [4, 34], в отличие от конформно плоских (Ш = 0). Конформно плоские римановы метрики исследовались в [3, 42]. Однородные конформно плоские римановы многообразия классифицированы Д.В. Алексеевским и Б.Н. Кимельфельдом в
[1]. Вопрос о классификации конформно полуплос-ких однородных римановых многообразий в общем случае остается открытым. В настоящем разделе дана классификация вещественных четырехмерных алгебр Ли конформно полуплоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
Сначала рассмотрим римановы многообразия с условием равенства нулю целой части: А(А)д = 0, и приведем несколько общих фактов, с доказательством которых можно ознакомиться в [14].
Теорема 3.5.1. [14] Пусть (М, д) — римано-
во многообразие размерности п. Тогда А(А)g = 0 в том и только том случае, если кривизна Риччи многообразия (M, g) ранена нулю, или (M, g) является эйнштейновым многообразием с тривиальной константой Эйнштейна.
Прямым следствием данной теоремы и теоремы Алексеевского-Кимельфельда является
Следствие. Однородное риманово многообразие (M,g) с условием А(А)g = 0 изометрично прямому риманову произведению евклидова пространства и плоского тора.
Далее будем считать, что dim M = 4. Тогда ри-манова метрика g индуцирует скалярное произведение (•, •) в слоях пространства расслоения Л2M по правилу:
Xi Л X2,Yi Л Y2)x = det(gæ(Xj, Yj)).
Оператор Ходжа * : ЛХ-M ^ ЛХ-M, задаваемый соотношением
(*а, в) vol = а Л в
для любых а, в G ^2xM, x G M), где vol — форма объема на M, обладает тем свойством, что*2 = Id. Отсюда
ЛХM = Л+ 0 Л-, (13)
где Л+ и Л- обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям +1 и —1 оператора *.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Риманову тензору кривизны в любой точке многообразия М можно поставить в соответствие оператор Щ '■ ЛхМ ^ Л^М, определяемый равенством
(X А У, ЩТ А У> = Ях(Х,У,Т,У),
где Кх(X, У, Т, V) = 9х(Я(Х,У)Т,У).
Матрицу оператора кривизны Щ относительно разложения (13) можно представить в блочном виде [45]:
К
где Ш + и Ш- — матрицы автодуальной и антиав-тодуальной составляющих тензора Вейля Ш. Согласно (3), можем записать
Ш + + И Я
Я* ш — + та
2 Я
Я * 2
+
Ш+ 0
0 Ш -
(14)
где первая матрица соответствует произведению АЛЛ9, а вторая — тензору Вейля Ш.
Любой ортонормированный базис еі, Є2, ез, Є4 пространства ТхМ определяет ортонормирован-ный базис
-^2(еі А Є2 ± ез А Є4),
(еі А ез ± Є4 А Є2),
^2(еі А е4 ± е2 А ез)
(15)
пространства Л±М (см., например, [4]).
Отметим, что матрицы Ш + и Ш- являются симметричными и их компоненты в ортонормиро-ванном базисе (15) находятся по формулам:
1 в
= 2^1212 + 2Й1234 + Й3434) — ’
1 в
Ш+ = 2^1313 — 2Й1324 + ^2424) — у2 ’
1 в
= 2 (^1414 + 2Й1423 + ^2323) — у2 ’
= 2(^1213 + ^1242 + ^3413 + ^3442),
= 2(^1214 + ^1223 + ^3414 + ^3423),
Ш+ = 2 (^1314 + ^1323 + ^4214 + ^4223),
и соответственно
£
К1234 + К3434) — 12 , £
Кі324 + К2424) — 12,
і Й -(Кі4і4 — 2Кі423 + К2323) — 12,
і242
Ш—4 = 2 (Кі2і2
1 — —3 2(Кі3і3
Ш—6 = 2 (Кі4і4
1 — —4 2 (Кі2і3
—6 —4 2 (Кі2і4
—6 —— 2 (Кі3і4
а элементы блока Я в базисе (15) равны:
Яц = -(Кі2і2 — К3434),
%22 = ^(Кі3і3 — К2424),
Я33 = 2 (Кі4і4 — К2323),
Яі2 = 2(Кі2і3 — Кі242 + К34і3 — К3442),
Яі3 = 2(Кі2і4 — Кі223 + К34і4 — К3423),
Я23 = 2 (Кі3і4 — Кі323 + К42і4 + К4223)-
Пусть далее М = О — группа Ли с алгеброй
Ли д. Фиксируем в 0 базис {еі, е2, е3, е4} работ [20, 21]. Применяя формулы раздела 1.4 и вышеприведенные формулы блоков Ш±, Я, находим компоненты блоков матрицы (14). Исследование которых позволяет сформулировать (см. подробнее
[10, 13])
Теорема 3.5.2. [13] Пусть О — вещественная 4-мерная группа Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой. Тогда
1) Ш + =0 в том и только том случае, если Ш = 0;
2) Ш— = 0 в том и только том случае, ес-
ли выполняется одно из следующих условий: либо Ш = 0, либо алгебра Ли группы О есть одна из алгебр следующего списка: алгебра Ли Ав 9
— 1 < в < 1) с набором структурных констант
с3,4 = Н > 0, в =1 или с3 4 = Н > 0, в =1; ал-
сі ,4 „і
сі,4
2H, „2,3
„2,4
„2,3
2Н, с2 4
гебра Ли А“ и (а > 0) с набором структурных
констант „
і,4 = 2На, „2і,3 = „
2
2,4
„3,4
= На,
с2,4 = —с§,4 = —Н, Н > 0 или сі 4 = „2,3 = 2На, „2 4 = „34 = На, с3 4 = —с3 4 = —Н, Н > 0.
Теорема 3.5.3. [10] Пусть О — действительная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда, если А®9 = 0, то алгебра 0 изоморфна либо алгебре Ли 4Аі, либо А3 , 6 ® Аі.
Теорема 3.5.4. [10] Пусть О — действительная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда ААА9 = 0.
Заключение
Приведем список задач, которые связаны с тематикой данной работы и остаются открытыми.
1. Обобщить результаты О. Ковальского и С. Ничкевич о возможных сигнатурах оператора Риччи (оператора одномерной кривизны) в размерности 4 (см. [38]).
2. Исследовать возможные сигнатуры оператора одномерной кривизны на 4-мерных группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.
3
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
3. Классифицировать конформно полуплоские 4-мерные однородные римановы многообразия.
4. Получить оценки различного типа кривизн для 4-мерных групп Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой.
5. Получить оценки различного типа кривизн для 4-мерных однородных римановых пространств.
6. Исследовать области знакоопределенной кривизны Риччи (одномерной кривизны) в случае 4-мерных групп Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой.
7. Изучить области знакоопределенной кривизны Риччи (одномерной кривизны) в случае 4-мерных однородных римановых пространств.
8. Иследовать трехмерные и четырехмерные однородные (псевдо)римановы многообразия с (почти)гармоническим тензором Вейля, Схоутена-Вейля.
Литература
[1] Алексеевский, Д. В.Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий / Д. В. Алексеевский, Б. Н. Кимельфельд // Мат. заметки. - 1978. - Т. 24, № 1. - С. 103 - 110.
[2] Балащенко, В. В. Левоинвариантные римановы метрики с гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля на трехмерных группах Ли /
В. В. Балащенко, О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. - 2007. - № 7. - С. 5 -13.
[3] Балащенко, В. В. Однородные пространства: теория и приложения // В. В. Балащенко, Ю. Г. Никоноров, Е. Д. Родионов, В. В. Славский
- Ханты-Мансийск, Югорск. гос. ун-т, 2008 - 280 с.
[4] Бессе, А. Многообразия Эйнштейна /
А. Бессе. - М.: Мир, 1990. - 704 с.
[5] Воронов, Д. С. Гармонический тензор Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / Д. С. Воронов, О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Вестник АлтГПА: естественные и точные науки. - 2010. - № 2. - С. 5 - 24
[6] Воронов, Д. С. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / Д. С. Воронов, О. П. Гладунова // Известия АГУ: математика и механика. - 2010. - № 1. - Вып. 2 - С. 24 -28.
[7] Воронов, Д. С. Левоинвариантные римано-вы метрики на четырехмерных неунимодулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля / Д. С. Воронов, Е. Д. Родионов // ДАН. - 2010.
- Т. 432. - № 3. - С. 301 - 303.
[8] Гладунова, О. П. Левоинвариантные лорен-цевы метрики с почти гармоническим тензором
Схоутена-Вейля / О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Вестник БГПУ: естественные и точные науки. - 2006. - № 6. - С. 10 - 26.
[9] Гладунова, О. П. Области знакоопределенной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / О. П. Гла-дунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Вестник АлтГПА: естественные и точные науки. - 2011. -№ 3.
[10] Гладунова, О. П. Об операторе кривизны на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Известия АГУ: математика и механика. - 2010. - № 1. - Вып. 2. -С.29 - 33.
[11] Гладунова, О. П. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // ДАН. - 2009. -Т. 428. - № 6. - С. 733 - 736.
[12] Гладунова, О. П. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой / О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // ДАН. - 2008. -Т. 419. - № 6. - С. 735 - 738.
[13] Гладунова, О. П. О конформно полуплос-ких 4-мерных группах Ли / О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Владикавказский математический журнал. - 2011. - Т. 13. -Вып. 3. - С. 3 - 16.
[14] Гладунова, О. П. Римановы многообразия с тривиальной целой частью в разложении тензора кривизны / О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский // Известия АГУ: математика и механика. - 2011. - № 2. - Вып. 2.
[15] Гладунова, О. П., Славский В.В. Левоинвариантные римановы метрики на четырехмерных унимодулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля / О. П. Гладунова,
B. В. Славский // ДАН. - 2010. - Т. 431. - № 6. -
C. 736 - 738.
[16] Гладунова, О. П. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли / О. П. Гладунова, В. В. Славский // Мат. труды. -2011. - Т. 14. - № 1. - С. 1 - 20.
[17] Джекобсон, Н. Алгебры Ли/ Н. Джекоб-сон. - М.: Мир, 1964. - 357 с.
[18] Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения/ Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - М.: Наука, 1986. - 760 с.
[19] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М.: Наука, 1981.
Вестник КемГУ № 3jl 2011 Риманова геометрия
[20] Кремлев, А. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай j А. Г. Кремлев, Ю. Г. Никоноров jj Мат. труды -2008. - Т. 11, № 2. - С. 115 - 147.
[21] Кремлев, А. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай / А. Г. Кремлев, Ю. Г. Никоноров // Мат. труды
- 2009. - Т. 12, № 1. - С. 40 - 11б.
[22] Кремлев, А. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на пятимерных нильпотентных группах Ли / А. Г. Крем-лев jj Сибирские электронные известия - 2009. -Т. б. - С. 32б - 339.
[23] Морозов, В. В. Классификация нильпо-тентных алгебр Ли 6-го порядка j В. В. Морозов jj Изв. вузов. Серия: математика. - 1958. - Т. 5, № 4. - С. 1б1 - 174.
[24] Мубаракзянов, Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли 5-го порядка j Г. М. Мубаракзянов jj Изв. вузов. Серия: математика - 19б3. - Т. 34, № 3. - С. 99 - 10б.
[25] Мубаракзянов, Г.М. О разрешимых алгебрах Ли^ Г. М. Мубаракзянов jj Изв. вузов. серия: математика - 19б3. - Т. 32, № 1. - С. 144 - 123.
[26] Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля/ С. П. Новиков, И. А. Тай-манов. - М.: МЦНМО, 2005. - 584 с.
[27] Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы/ Л. С. Понтрягин. - M.: Едиториал УРСС, 2004.
- 520 с.
[28] Родионов, E. Д. Левоинвариантные лорен-цевы метрики на группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля / E. Д. Родионов, В. В. Славский, Л. Н. Чибрикова // Вестник БГПУ. Серия: естественные и точные науки.
- Вып. 4. - 2004.
[29] Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства /С. Хелга-сон. - М.: Мир, 19б4. - б08 с.
[30] Хорн, Р. Матричный анализ/ Р. Хорн,
Ч. Джонсон. - M.: Мир, 1989. - б5б с.
[31] Чебарыков, М. С. О кривизне Риччи неунимодулярных разрешимых метрических алгебр Ли^ М. С. Чебарыков jj Мат. труды. - 2010.
- Т. 13, № 1. - С. 18б - 211.
[32] Шевалле, К. Теория групп Ли. Т. Î. j
К. Шевалле. - М.: ИЛ, 1948. - 274 с.
[33] Яно, К. Кривизна и числа Бетти/ К. Яно,
С. Бохнер. - М.: ИЛ, 1957. - 154 с.
[34] Atiyah M. F. Self-duality in fourdimensional Riemannian geometry / M. F. Atiyah, N. J. Hitchin,I. M. Singer // Proc. Roy. Soc. London Ser.A - 1978. - V. 362, no. 1711. - P. 425 - 461.
[35] Berard-Bergery L. Les espaces homogenes Riemanniens de dimension 4 / L. Berard-Bergery // Semin. Arthur Besse. - Paris, 1978/79, (1981). - P. 40 - 60.
[36] Bochner,S. Vectors fields and Ricci curvature/ S. Bochner // Bull. Ann. Math. Soc. -1946. - Vol. 52. - P. 776 - 797.
[37] Ishihara, S.Homogeneous Riemannian spaces of four dimensions / S. Ishihara // J. Math. Soc. Japan. - 1955. - Vol. 7. - P. 345 - 370.
[38] Kowalski, O. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-manifolds/ O. Kowalski,
S. Nikcevic. // Geom. Dedicata. - 1996. - no. 1. -P. 65 - 72.
[39] Listing, M. Conformal Einstein spaces in N-dimensions/ M. Listing // Ann. Global Anal. Geom.
- 2001. - Vol. 20. - P. 183 - 197.
[40] Milnor, J. Curvature of left invariant metric on Lie groups/ J. Milnor // Advances in mathematics. - 1976. - Vol. 21. - P. 293 - 329.
[41] Myers, S. B.Riemannian manifolds with positive mean curvature / S. B. Myers // Duke Math. J. - 1941. - Vol. 8. - P. 401 - 404.
[42] Nikonorov, Yu. G. Geometry of homogeneous Riemannian manifolds/Yu. G. Nikonorov, E. D. Rodionov, V. V. Slavsky // Journal of Mathematical Sciences. - 2007. - Vol. 146, no. 6.
- P. 6313 - 6390.
[43] Patrangenaru, V. Classifying 3 and 4 dimensional homogeneous Riemannian manifolds by Cartan triple/ V. Patrangenaru // Pacific J. Math. -1996. - V. 173, no. 1. - P. 511 - 532.
[44] Rodionov, E. D. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups/ E. D. Rodionov, V. V. Slavsky // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference. - Brno, 1999. -P. 111 - 126.
[45] Singer, I. M. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces / I. M. Singer, J. A. Thorpe // Global Analisis, Papers in Honour of K. Kodarira, Univ. Tokyo Press. - 1969. - P. 355 - 365.
[46] Yano, K. Differential geometry on complex and almost complex spaces / K. Yano. - Pergamon press, 1965. - 325 p.
