CC BY
14
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 2, С. 3-30
УДК 514.765
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЯХ НА ГРУППАХ ЛИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ1
Д. С. Воронов, О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский
В статье дается полная классификация возможных сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой и полная классификация четырехмерных алгебр Ли (с точностью до изоморфизма), группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля.
Ключевые слова: алгебры Ли, группы Ли, левоинвариантные римановы метрики, одномерная кривизна, гармонический тензор Вейля.
1. Введение и основные результаты
Исследованию инвариантных тензорных полей на группах Ли малых размерностей посвящены работы многих математиков. Так возможные сигнатуры оператора Риччи на группах Ли изучались в классической работе Дж. Милнора [1] в размерности не выше 3 и А. Г. Кремлевым, Ю. Г. Никоноровым [2, 3] в размерности 4. Важную роль при исследовании римановых многообразий также играет тензор одномерной кривизны Ац, который представляет собой целую часть от деления риманова тензора кривизны на метрический тензор относительно произведения Кулкарни — Номидзу [4]. Исследование тензора одномерной кривизны проводилось в [5]. Данная работа обобщает и уточняет результаты, полученные в [5], дает классификацию возможных сигнатур оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
Особый интерес представляет вопрос гармоничности тензора Вейля, который характеризует степень отклонения римановых многообразий от конформно плоских. В размерности не выше 3 тензор Вейля тривиален, а его аналогом является тензор Схоутена — Вейля. Отметим, что вопросу гармоничности тензора Схоутена — Вейля на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой посвящена работа [6]. В размерности четыре и выше тензор Вейля, вообще говоря, отличен от нуля. Поэтому возникает вопрос о гармоничности тензора Вейля на группах Ли размерности п ^ 4 с левоинва-риантными римановыми метриками (см. также [7, 8]). В данной работе мы исследуем случай вещественных четырехмерных групп Ли.
Пусть (М, д) — риманово многообразие размерности п; X, У, 2, V — векторные поля на М. Обозначим через К(Х,У)2 = УуУх2 — УхУу2 + У\ху\2 тензор кривизны
© 2012 Воронов Д. С., Гладунова О. П., Родионов Е. Д., Славский В. В.
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 08-01-98001, 10-01-90000-Бел_а, гранта Поддержки ведущей научной школы РФ НШ-5682.2008.1, а также при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., госконтракт № 02.740.11.0457.
Римана и через V связность Леви — Чивита. Тензор Риччи г и скалярную кривизну 5 определим соответственно как г(Х, У) = ^(У ^ К(Х, V)У) и в = 1г(г). Разделив тензор кривизны К на метрический тензор д в смысле произведения Кулкарни — Номидзу, получим (см. [4]): К = Ш + А®д, где Ш — тензор Вейля, А — тензор одномерной кривизны. При этом
Ац = —(гц ~ ^Ч) , (1)
3 п - 2 \ 3 2{п - 1)) ' v у
(А Л д)(Х, У, Я, V) = А(Х, Я)д(У, V)+А(У, V)д(Х, Я) - А(Х, V)д(У, Я) - А(У, Я)д(Х, V).
Под сигнатурой симметрического оператора В, действующего на п-мерном евклидовом пространстве, будем понимать упорядоченный набор sgn(т2),...,sgn(тn)), где т1 ^ т2 ^ ... ^ тп — собственные значения оператора В, sgn(ж) означает знак (вещественного) числа ж.
Проблема определения возможных сигнатур оператора одномерной кривизны лево-инвариантных римановых метрик на заданной группе Ли является локальной. В данном случае оператор, соответствующий тензору А, действует на алгебре Ли группы Ли. Поэтому естественно переформулировать задачу в терминах метрических алгебр Ли. Именно, определить возможные значения сигнатур оператора одномерной кривизны для всевозможных скалярных произведений на заданной алгебре Ли.
Для упрощения изложения занумеруем все возможные сигнатуры в трехмерном случае так, как это указано в таблице 1.
Таблица 1
№ 1 2 3 4 5
Сигнатура (-,-,+) (-,0,0) (-,о,+)
№ 6 7 8 9 10
Сигнатура (0,0,0) (0,0,+) (0,+,+) (+,+,+)
Классификация трехмерных групп Ли и соответствующих им алгебр Ли получена Дж. Милнором в [1], а формулы для нахождения главных значений оператора одномерной кривизны даны в [5]. Придерживаясь системы обозначений, введенных в [1], сформулируем один из основных результатов работы.
Теорема 1. Пусть О — унимодулярная трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, д — алгебра Ли группы О, в — произвольная сигнатура из таблицы 1. Тогда в реализуется в качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны для некоторого скалярного произведения на д в том и только том случае, если в таблице 2 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли д, и столбца, соответствующего сигнатуре в, находится знак «+».
Таблица 2
№ сигнатуры
Алгебра Ли 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ви( 2) - - + - + + - + + +
в1(2, К) - - + - + + - - - -
е(2) - - + - - - + - - -
е(1,1) - - + - + + - - - -
К +
& +
Теорема 2. Пусть О — неунимодулярная трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, д — алгебра Ли группы О. Тогда в качестве сигнатур оператора одномерной кривизны на д реализуемы только сигнатуры (—, —, —), (—, —, 0), (—, —, + ), (—, 0, +), (—, +, +), т. е. сигнатуры 1, 2, 3, 5 и 6 таблицы 1.
Придерживаясь терминологии работ [4, 10], будем говорить, что риманово многообразие (М, д) размерности п ^ 4 есть пространство с гармоническим тензором Вейля или С-пространство, если дивергенция ё1у Ш = 0.
Определение 1. Будем называть алгебру Ли группы Ли разложимой, если она представима в виде прямой суммы алгебр Ли меньших размерностей.
Определение 2. Алгебра Ли д называется унимодулярной, если след любого внутреннего дифференцирования алгебры Ли равен нулю, т. е. ^(аё X) = 0 для любого X е д, где аё X(У) = [X, У], для любых Х,У £ д.
Одна из классификаций четырехмерных алгебр Ли дана Г. М. Мубаракзяновым в [9]. Придерживаясь системы обозначений [9], приведем результаты работ А. Г. Кремлева и Ю. Г. Никонорова [2, 3], которые понадобятся при исследовании вещественных четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля.
Таблица 3
Алгебра Ли Знаки А, В, С
4А1 0,0,0
А3д © А1 0,0,+
А3)4 © А1 -,0,+
А3,6 © А1
А3,8 © А1
А3,9 © А1
Таблица 4
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
А4Д <=2,4 = 4,4 = В, с|,4 = С А > 0, С > 0
А-2 а4,2 4,4 = -2А, 4,4 = В, 4,4 = А, 4,4 = С, 4,4 = О, 4,4 = А А > 0, В > 0
К:*-1-", «е(-1,±] 4,4 = а, 4,4 = в, 4,4 = с, 4,4 = о, 4,4 = 4,4 = —А — с А > 0, С < 0
А^Л /Зе (0,+оо) 4А = -2А, 4,4 = в, 4,4 = о, 4,4 = 4,4 = а + с, сз,4 = С, с3 4 = А — С А > 0, В < 0, С > 0
А4,8 4,3 = а, 4,4 = в, 4,4 = с, 4,4 = о, 4,4 = р, с3,4 = —С А > 0, С > 0
А4Д0 4,3 = А, 4,4 = в, 4,4 = с, 4,4= в, С3 4 = с А > 0, С < 0, С > 0
Лемма 1 [2]. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной действительной разложимой унимодулярной алгебре Ли д существует (•, ^-ортонормированиями базис, в котором ненулевые структурные константы алгебры Ли д имеют вид: с?,2 = А, с1,2 = —АМ, 4,з = В, 4з = —ВК, с?)3 = —С, 4з = СЬ, где К,Ь,М £ Ж — произвольные, А, В, С £ Ж и А ^ В ^ С.
Лемма 2 [2]. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной действительной неразложимой унимодулярной алгебре Ли д существует (•, •)-ортонор-мированный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 4.
Лемма 3 [3]. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной алгебре Ли д существует (•, •)-ортонорми-рованный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 5.
Таблица 5
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
А2 0 2Ai С?,2 = А, С?,2 = В A > 0, В > 0
2А3 4,2 = Л, 4,з = в, eis = С, cjA = F(A - D), cfA = D, с3,4 = —FG, с3,4 = G A > 0, G > 0
Аз,2 0 Ai cí,3 = с2,з = Л, 4,з = В, eis = С, ci,3 = D A > 0, С > 0
A3,30Ai 4,3 = c2,3 = А, с|,з = В A > 0, В > 0
Als 0 Ai CÍ.3 = 4,3 = В, eis = С, с|з = Аа, 4,з = D A > 0, 0 < \a\ < 1
A3,7 0 Ai 4,з = 4,з = aL, Ci,3 = —AL, cf3 = BL, c|3 = CL, 4,3 = L/A L> 0, A> 0, a>0
Таблица 6
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
К,2 ci,4 = cL, 4,4 = A(a — 1 )L, c|,4 = c¡ 4 = L, C34 = (B(a — 1) — AC)L, C3 4 = CL, C> 0, Í >0, q/0, а / -2
> со cx 4 == L, c<2 4 —— AL, C3 4 == BL, C3 4 == СL С > 0, L > 0
A4,4 Cl,4 = 4,4 = 4,4 = L, C2,4 = AL, Сз,4 = BL, 4,4 = CL, A>0,C>0,L>0
Ä\a'ß 4,5 C2,4 = A(a — 1 )L, ¿2,а = aL, c|,4 = C(a — ß)L, c\A = L, c¡A = (AC(a-l)+B(ß-l))L, C3 4 = ßL, -1 < а < ß < 1 L > 0, а + ß ф —1, aß ф 0
Ä\a'ß 4,6 ci,4 = aL, c\A = AL, ci,4 = c|,4 = ßL, c|,4 = 4,4 = BL, C3 4 = CL С > 0, L > 0, a^O, /3 > 0
A4,7 ci,4 = 2A, cl3 = В, 4,4 = С, ci,4 = А, 4a = D, C3 4 = F, c|,4 = А A>0, B>0, F>0
Aß 4,4 = A(ß+1), eis = B, c{4 = C, ci,4 = A, 4,4 = D, ciA = F{l-ß),clA=Aß -1 < /3 < 1, А > 0, В > 0,
A4,11 c\A = 2Аа, С2,з = В, C2,4 = С, c|,4 = Аа, Сз,4 = F, 4,4 = -AD, c23A = C3 4 '= Aa a> 0, A> 0, В > 0, D > 0
A4,12 4,3 = 4,3 = A, 4,4 = 4,4 = b, c{A = C, C2,4 = D, сз,4 = F, C3 4 = G A> 0, С <0, D > 0
В зависимости от знаков чисел А, В и С получаются различные алгебры Ли. Все они, с точностью до изоморфизма, приведены в таблице 3, основанной на результатах Дж. Милнора о трехмерных унимодулярных алгебрах Ли [1]. Здесь 4А1 — коммутативная алгебра Ли, а каждая А3^ есть унимодулярная алгебра Ли размерности 3 [9].
Лемма 4 [3]. Для произвольного скалярного произведения (-, •) на четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебре Ли д существует (•, •)-ортонор-мированный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 6.
В указанных выше обозначениях имеют место
Теорема 3. Пусть О — действительная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и разложимой алгеброй Ли д. Тогда равенство ё1уШ = 0 возможно лишь в том случае, если алгебра Ли д есть либо 4А1, либо Аз,6 ф А1, либо А3,д ф А1.
Теорема 4. Пусть О — вещественная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и неразложимой алгеброй Ли д. Тогда О не является С-пространством.
Теорема 5. Пусть О — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и разложимой алгеброй Ли д. Тогда ё1у Ш = 0 в том и только в том случае, если алгебра Ли д и ее структурные константы содержатся в таблице 7.
Таблица 7
Разложимая алгебра Ли Нетривиальные структурные константы Ограничения
А2 0 2А1 4,2= А А > 0
2А3 4,2 = А, 4,4 = о А > 0, С > 0
Аз,з0А1 4,3 = 4,з = А А > 0
А?,7фА! 4,3 = 4,з = аЬ, -4,3 = 4,3 = ь Ь > 0, а > 0
Теорема 6. Пусть О — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и неразложимой алгеброй Ли д. Тогда ё1у Ш = 0 в том и только том случае, если алгебра Ли д и ее структурные константы содержатся в таблице 8.
Таблица 8
Неразложимая алгебра Ли Нетривиальные структурные константы Ограничения
а4,5 4,4 = 4,4 = 4,4 = Ь Ь > 0
Д"'!3 С= (У,Л/, С2,4 = —С3 4 = —Е/ а ф 0, Ь > 0
Д"'!3 4,4 = 4,4 = 4,4 = /ЗЬ, 4,4 = 4,4 = -Ь /3 > 0, Ь > 0
А'3 4,4 = 4,3 = 2А, с|,4 = 4,4 = А А > 0
А?,и 4,4 = 4,3 = 2Аа, 4,4 = 4,4 = Аа, 4,4 = ~4,4 = А А > 0, а > 0
А4,12 4,3 = 4,3 = а, 4,4 = 4,4 = в, 4,4 = -4,4 = -в А > 0, В > 0
2. Сигнатура оператора одномерной кривизны на 3-мерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой
В данном разделе изучаются сигнатуры оператора одномерной кривизны на 3-мерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой и доказываются теоремы 1 и 2, при этом существенно используются результаты работ [1, 5].
2.1. Унимодулярный случай. Пусть О — трехмерная унимодулярная группа Ли, д — алгебра Ли группы О, (■, ■) — скалярное произведение на д. Тогда в д существует [1] ортонормированный базис в1,в2, ез с коммутационными соотношениями
[в1,в2 ] = Азез, [е1,ез] = А2е2, [е2 ,ез ] = А^ь (2)
где структурные константы удовлетворяют неравенствам А1 ^ А2 ^ А3.
Таблица 9
Случай Знаки (Ai, Аг, Аз) Группа Ли Алгебра Ли
(а) (+,+,+) 577(2) или SO{3) эи(2) — компактная, простая
(Ъ) (+,+,-) SL(2, К) или 0( 1,2) в^(2,К) — некомпактная, простая
(с) (+,+,0) Е( 2) е(2) — разрешимая
(d) (+,-,о) £(1,1) е(1, 1) — разрешимая
(е) (+,0,0) Н — группа Гейзенберга Н — нильпотентная
(f) (0,0,0) КфКфК К3 — коммутативная
Кроме того, существует ровно шесть неизоморфных трехмерных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли. Все они приведены в таблице 9 (см. подробнее в [1]).
Из (1) следует, что квадратичная форма А в базисе (2) имеет диагональный вид, и ее главные значения равны (см. [5]):
Ь = ¿(5А2 - 3(А2 - Аз)2 - 2А1(А3 + А2)),
о
к2 = ¿(5А2 - 3(А1 - Аз)2 - 2А2(А1 + А3)), (3)
о
к3 = ¿(5А32 - 3(А1 - А2)2 - 2А3(А1 + А2)).
о
Таким образом, определение сигнатуры оператора одномерной кривизны трехмерной унимодулярной алгебры Ли с левоинвариантной римановой метрикой сводится к нахождению всевозможных знаков главных значений , к2, кз в зависимости от знаков структурных констант (А1 ,А2,А3).
Далее мы рассмотрим последовательно все трехмерные унимодулярные алгебры Ли, чем и докажем теорему 1.
Алгебра вп(2).
Предложение 1. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны на алгебре 5п(2) реализуются только сигнатуры (—, —, +), (—, 0, +), (—, +, +), (0, 0, +), (0, +, +), (+, +, +), т. е. сигнатуры 3, 5, 6, 8, 9 и 10 таблицы 1.
< Из функций (3) рассмотрим кз. Заметим, что
кз = 1 [5А32 - 3(А1 - А2)2 - 2А3(Аг + А2)] = ± [4Аг (А2 - Аг) + 4А32 - 4А2 + (Аг + А2 - А3)2].
88
Таким образом, к3 > 0. Следовательно, сигнатуры 1, 2, 4 и 7 из таблицы 1 нереализуе-мы. >
В таблице 10 приведены значения параметров А1, А2, А3, при которых реализуется сигнатуры, указанные в формулировке предложения.
Таблица 10
№ сигнатура Ai А2 Аз
3 (-,-,+) 1 1 5 .4
5 (-,о,+) Y 15 4 5 1
6 (-,+,+) 1 1 ■2
8 (0,0,+) 1 1 3
9 (0,+,+) 4 5 1 1
10 (+,+,+) 1 1 1
Алгебра «¿(2, Л).
Предложение 2. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны на алгебре ^1(2, Л) реализуются только сигнатуры (—, —, +), (—, 0, +), (—, +, +), т. е. сигнатуры 3, 5 и 6 таблицы 1.
< В [5] показано, что при заданных ограничениях на структурные константы (Аз < 0, 0 < А1 ^ А2) алгебры Ли ^1(2, Л) выполняются следующие неравенства:
1) к1 < 0, к3 > 0, если А1 = А2 > 0,
2) к1 < 0, к3 > 0, если 0 < А1 < А2 ^ А1 + |А3|,
3) к1 < 0, к2 > 0, если 0 < А1 < А1 + | Аз | < А2.
Таким образом, сигнатуры 1, 2, 4, 7-10 из таблицы 1 нереализуемы. > В таблице 11 приведены значения параметров А1, А2, А3, при которых реализуются сигнатуры, указанные в формулировке предложения.
Таблица 11
№ сигнатура А1 А2 Аз
3 (-,-,+) 1 1 -1
5 19+4^3Г 1я 4 я -1
6 (-,+,+) 1 3 1 -1
Алгебра е(2).
Предложение 3. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны на алгебре е(2) реализуются только сигнатуры (—, —, +), (0, 0, 0), т. е. сигнатуры 3 и 7 таблицы 1.
< Рассмотрим чему в данном случае равны главные кривизны оператора одномерной кривизны. Подставим А3 =0 в (3), и после упрощения получим
Ь = ^(5А1+ЗА2)(А1 -А2),
о
^2 = -^(ЗА1+5А2)(А1-А2), (4)
о
3
кз = -ё(А1 -А2)2.
о
Из данных равенств, очевидно, следует, что возможны только два случая, при которых сигнатуры оператора одномерной кривизны будут различны: 1) 0 < А1 = А2 и 2) 0 < А1 < А2. В первом случае получаем сигнатуру (0, 0, 0), во втором — сигнатуру (—, —, +). >
Алгебра е(1,1).
Предложение 4. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны на алгебре е(1,1) реализуются только сигнатуры (—, —, +), (—, 0, +), (—, +, +), т. е. сигнатуры 3, 5 и 6 таблицы 1 .
< Следуя работе [5], заменим в (4) А2 на —|А2| и получим
1 1 3
Ь = -(5Ах - 3|А2|)(А1 + |А2|), к2 = --(ЗА1 - 5|А2|)(А1 + |А2|), к3 = --(Хг + |А2|)2.
ооо
Откуда нетрудно заметить, что возможны только три случая различных сигнатур:
1) если 0 < А1 < §|А2| или А1 > ||А2|, то сигнатура (—,—,+);
2) если А1 = §|А2| или А1 = §|А2|, то сигнатура (—,0,+);
3) если §|А2| < А1 < §|А2|, то сигнатура (—,+,+). >
Алгебра h.
Предложение 5. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны на алгебре h реализуются только сигнатура (—, —, +), т. е. сигнатура 3 таблицы 1.
< Главные кривизны оператора одномерной кривизны (3) для рассматриваемой алгебры примут вид
*1 = |а?, *2 = -|А?, h = -|А?.
Так как Ai > 0, то сигнатура (—, —, +) является единственно возможной сигнатурой оператора одномерной кривизны. >
Алгебра R3. Для абелевой алгебры R3 все структурные константы нулевые Ai = A2 = A3 = 0, поэтому нулевым является и оператор одномерной кривизны. Таким образом, мы получаем следующее очевидное
Предложение 6. В качестве сигнатуры оператора одномерной кривизны на алгебре R3 реализуется только сигнатура (0, 0, 0), т. е. сигнатура 7 таблицы 1.
Итак, теорема 1 доказана.
2.2. Неунимодулярный случай. Пусть G — трехмерная неунимодулярная группа Ли, g — алгебра Ли группы G, (■, ■) — скалярное произведение на g. Тогда в g существует (см. [1]) положительно ориентированный ортонормированный базис е 1, в2, ез с коммутационными соотношениями [е1, е2] = ае1 + ве2, [е1, е3] = Ye2 + 6е3, [е2,е3] = 0, где a + 6 = 2.
Следуя [1] и не ограничивая общности рассуждений, положим a = 1 + £, в = (1 + £)n, Y = —(1 — £)n, 6 = 1 — £, где £ ^ 0, n ^ 0. Тогда квадратичная форма A диагонализируема в этом базисе, ее главные значения равны [5]:
*i = -\-\е-¡v2e, к2 = -1-2{-++
111 (5)
А:3 = -- + 2£ + 2 r,2i + -e + -r,2e-
Таким образом, определение сигнатуры оператора одномерной кривизны трехмерной неунимодулярной алгебры Ли группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой сводится к нахождению всевозможных знаков ее главных значений &1, k2, ^3 в первом квадранте.
Доказательство теоремы 2. Так как k1 < 0, а k2 ^ k3 в квадранте £ ^ 0, n ^ 0, то достаточно исследовать знак k2 и ^3 в данном квадранте. Рассмотрим кривые в первом квадранте, при переходе через которые меняют знак функции k2 и k3.
£ = 2 + ^4 + ^ (*2=0), £ = -2 + ^4 + ^ (к3= 0).
Нетрудно видеть, что эти функции являются непрерывными и, в силу гиперболической зависимости, монотонно убывающими при п ^ 0. Кроме того, прямая £ = 4 является горизонтальной асимптотой кривой к2 = 0, а прямая £ = 0 является горизонтальной асимптотой кривой кз = 0. Таким образом, указанные кривые разбивают квадрант £ ^ 0, п ^ 0 на области возможных сигнатур (—, —, —), (—, —, 0), (—, —, +), (—, 0, +), (—, +, +). Для наглядности продемонстрируем это на рисунке 1:
X
к=0--
к2>0
4
к2<0
з
кз=0
кз>0
" к3<0']
4
к
Рис. 1
Теорема 2 доказана. >
3. Гармоничность тензора Вейля на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой
В настоящем разделе исследуются четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля и доказываются теоремы 3-6, при этом существенно используются результаты работ [2, 3, 9]. Пусть О — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и алгеброй Ли д.
Фиксируем в д базис |в1, в2,..., еп} и положим
где = +гр.+Грк— ковариантные производные тензора
Вейля в левоинвариантном базисе.
Следует заметить, что ковариантные производные тензора Вейля обладают следующими симметриями = = —Шукр, = и дивергенция тензора Вейля кососимметрична относительно второго и третьего индексов, т. е.
Шук = — ^у Wikj. Всюду далее из компонент тензора Вейля и его дивергенции соответствующих групп Ли будем приводить только существенные, поскольку остальные либо выражаются через них, либо равны нулю. Кроме того, в силу инвариантности римановой метрики вопрос о гармоничности тензора Вейля на группах Ли может быть сведен к вопросу о гармоничности соответствующего тензора на алгебре Ли группы Ли.
Поскольку вопрос о гармоничности тензора Вейля на четырехмерных унимодуляр-ных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой (см. теоремы 3 и 4) подробно
(6)
(7)
¿1у Шуи =
(8)
исследован в [12], осталось изучить лишь случай неунимодулярных групп Ли. Отметим лишь то, что методы, использованные при исследовании унимодулярных групп Ли, аналогичны методам, применяемым далее в доказательстве теорем 5 и 6.
3.1. Разложимые четырехмерные действительные неунимодулярные алгебры Ли. Рассмотрим последовательно каждую неунимодулярную разложимую алгебру Ли из таблицы 5 и тем самым докажем теорему 5.
Алгебра А2 ф 2А1. Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. С помощью формул (7) определим компоненты тензора Вейля. Учитывая, что в этом базисе —^1212 = 2^1313 = 2^1414 = 2^2323 = 2^2424 = —^3434, существенной будет следующая компонента тензора Вейля:
^1212 = — (1/3)(А2 + B2).
Применяя формулы (8), найдем компоненты дивергенции тензора Вейля в указанном базисе. Заметим, что 2ё1у Ш123 = —2ё1у Ш213 = ё1у Ш312. Поэтому существенная координата дивергенции тензора Вейля равна
^У ^123 = (—1/4)В(В2 + A2).
Решая систему уравнений ё1у Ш = 0 относительно структурных констант A, B и принимая во внимание, что А > 0, получим единственное действительное решение: А > 0, В = 0. Таким образом, для четырехмерной действительной разложимой неунимодуляр-ной алгебры Ли {А2 ф 2А1, (•, •)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид с2 2 = А, где А > 0, В = 0.
Алгебра 2А2. Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Тогда Шш4 = — W2324, Ш1214 = Ш2334, Ш1414 = Ш2323, Ш1313 = W2424, Ш1212 = Ш3434, Ш1213 = — Ш2434, Ш1223 = Ш1434, Ш1224 = —Ш1334, Ш1323 = —Ш1424. Применяя (7), получаем существенные компоненты тензора Вейля:
Ш1212 = (В2 — 2А2 + ^2 (^2 — 2А^ — 2С2 + А2) + — 2С2 + А^ + С 2)/6,
^1213 = (1/4)(В^ — 2АВ — ^СА + ШШ4 = (1/2)(А*\0 — А2^),
^1223 = (1/2)(^2 СА — ^ — ЯС), Ш1224 = (1/2)(СС — В^С), ^1234 = (1/2)А^С,
Ш1313 = (1/6)(Р2 С2 — В2 — 2С2 + + ^2 А2 + ^2^2 + С2 — 2^ 2А^ — 2А^ + А2),
Ш1314 = —(1/2)В^А + (1/2)В^Я — (1/2)СЯ + (1/4)АС, ^1323 = — (1/4)(^СС + ВС),
Ш1414 = (1/6)(2^2 А2 + 4^2 А^ — 2^2^2 — 2^2 + С2 + ^2 С2 + В2 + С2 + А^ + А2),
и компоненты дивергенции тензора Вейля с учетом (8) в приведенном базисе примут следующий вид:
ё1у Ш112 = — — АС^ + ^С^ — 2АВ)/4,
&У Шц3 = 3С(В2 + 2С2 — В^С)/8, ё1у Шц4 = —2 С^ — 3АВ^ — АС^2 — 6С^ + 7В*\0)/8, &У Ш123 = (2(ВА2 + ВС2 + ВС2 + В^2 А2 + В^2^2 + В^ 2С2 — ^С^2) —СА2^ + 2В3 — 4В^ 2А^ + 3СА^) /8,
^у Ш124 = (А — В)(2В2 ^3 + 2^В2 — 4А^В — 4В^3 А + 2^3 А2 + 2А2^ — ^С2 + 2^О2 — 3СВ + 2^В2 + 2^ 3О2 )/8,
ё1у Ш134 = (СА2 ^2 — 3В^АВ — 2С3 — 4^О2В — 2СВ2 —2СА^2 В + ^ 2СВ2 — 2СВ2 + 4СО2 + 3В^В2)/8,
ё1у Ш212 = (6В2 А + 2^2 О2 А — 12^2 А2В + 2АВ2 + В^СВ +В2В — В^СА — 4А2В + 2С2 А + 4В2 А + 6^ 2А3)/8,
ё1у Ш213 = (2ВВ2 — 2В А2 + 2ВО2 + 4ВС2 — 2^О2С + 4В^2 (А2 + В2) + 4В^2 О2 + 4В3 — 4В АВ — 3СА2 ^ — 2^СВ2 — 8В^2 АВ + БСА^В)/8,
ё1у W214 = (4^3 О2 А + 12^3 (АВ2 — А2В) — 4^ 3О2 В + А — 2^А3 + 4^В2 А + 4^3 А3 — 4^В(В2 + А2 + О2) + 10А^В2 + 4СВВ + CAB — 4^В3 — 4^ 3В3)/8,
а1у W223 = — О(В^С + В2 — 4^2 А2 + 4^2 АВ + 4АВ)/8,
ё1у ^^224 = —АО(5В^ — 4C )/8,
ё1у W234 = — О(Р 3О2 + ^О2 — 2А^В + В2^ — 2В^3 А — CB + ^3 А2 + В2^3 + ^В 2)/2,
ё1у W312 = (—2ВА2 + ВВ2 + BC2 — ТО2 C + В^2 А2 + В^2В2 2О2 — 2В АВ + В3 — СА2^ — 2В^ 2АВ + СА^В) /4,
ё1у Wзlз = (3В^С (В — А) — 6В2 А — 3C2 А — 6C2 В — 3В2В)/8, ё1у W314 = (2В^АВ + 2CA2 — 3^2 В + 2C3 — 4СВ2 + 2CО2 + 2CB2 — 4СВА + 4В^В2 — 6В^А2 — С^ 2 О2 )/8,
ё1у ^^323 = — О(2ВВ + СА^ + 2^СВ)/8, ё1у W324 = — О(2В2^3 + 2В2 ^ — 4А^В + 2^А2 — 4В^ 3А + 2^3 А2 + 2^2 — 3CB + 2^В2 + 2^3 О2 — ^С2)/8,
ё1у ^^334 = О(—А^2 C + ^ 2СВ + 2В^А + 7В^В — 6СВ — 4CA)/8,
ё1у W412 = (2^3 О2A + 6^3 АВ2 + 2^3 А3 — 4^А3 + 2^В2 А + 2^А2В — 2^В2 В — 2^3В3 — 2^В3 — 6^3 А2 В — 2^3 О2В — ^С2 В + ^С2 А — 2^О2В + 4А^В2 + СВВ + 4CAB)/8,
ё1у W413 = (БВ^АВ + 2CA2 + ^О2В — 2СВ2 + 2СА^2 В — СА2^2 — ^ 2СВ2 + 4C3 — 2CG2 — 4СВА + В^В2 — 6В^А2 — С^ 2О2 + 4CB2)/8,
ё1у W414 = (—2^2 G2A + 12^2 А2 В — 6^ 2АВ2 — 4В^СВ + 4В^СА + 4А2 В + С2 А + 6С2 В — 4В2 А — 6^2 А3 + 2В2 В)/8,
&у W423 = О(2^3А2 — 4В^3 А + 2В2 + 2В2^ — 4А^В 2 — СВ — 2^А2 + 2^3 О2 + 2^В2 + 2^О2 )/8,
ё1у W424 = АО(3^С + 4В)/8,
^у W434 = О(—2В^С + В2 + 2^2 А2 — 2^2 АВ + 3С2 — 2АВ)/4.
Решая систему уравнений ё1у Ш = 0 относительно структурных констант А, В, С, В, ^, С, получим следующие действительные решения:
1. А = А, В = 0, С = 0, В = А, ^ = ^, С = 0.
2. А = А, В = 0, С = 0, В = 0, ^ = 0, С = С.
3. А = 0, В = 0, С = 0, В = В, ^ = 0, С = С.
При А > 0 и С > 0 только второе решение удовлетворяет ограничениям леммы 3, и поэтому для четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной алгебры Ли {2А2, (■, ■)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют следующий вид:
с2,2 = А, с3,4 = С, А > 0, С > 0.
Алгебра А3,2 ф А1. Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Замечаем, что в этом базисе Шш4 = ^2334, Шш4 = Ш2323, ШШ3 = ^2424, Ш1212 = Ш3434, Ш1224 = —Ш1334, Ш1323 = —Ш1424. Поэтому с учетом (7) существенными будут следующие компоненты тензора Вейля:
Ш1212 = (1/6)(С2 + В2 + В2), Ш1214 = (1/4)(СВ — АВ), Ш1224 = (1/4)АВ,
^1313 = (1/6)(С2 —2В2+В2), Ш1323 = —(1/2)(АС+ВВ), ШШ4 = (1/6)(В2 —2С2—2В2).
При этом компоненты дивергенции тензора Вейля определяются из (8) следующим образом:
ё1у Шц3 = (3/4)АС2 + (1/2)СВВ — (3/8)АВ2 + (1/4)АВ2, ё1у Ш123 = (1/2)С3 + (1/2)СВ2 — (1/2)А2 С — (5/8)ВАВ — (1/8)СВ2, ё1у Ш134 = —(1/8)ВС2 — (1/8)ВАС — (1/2)А2 В — (1/4)В3 — (1/4)ВВ2, ё1у Ш213 = (1/4)С3 + (1/4)СВ2 — (1/2)А2 С — (5/8)ВАВ, а1у Ш223 = (1/4)АВ2 — (3/4)АС2 — (3/8)АВ2 — (3/8)СВВ, ё1у Ш234 = —(1/2)А2 В + (1/8)ВАС — (1/4)ВВ2 — (1/4)ВС2 — (1/4)В3, &У Ш312 = —(1/8)С (—В2 + 2С2 + 2В2), &У Ш314 = (1/8)(—ВС2 + 3ВАС + 2В3 + 2ВВ2 + 2А2 В), &У Ш324 = (1/8)(ВАС + 2ВВ2 + 2А2В + 2ВС2 + 2В3), ё1у ^413 = (1/2)ВАС + (1/2)В3 + (1/2)ВВ2 + (3/4)А2 В, ё1у Ш423 = (1/4)В(3А2 + 2В2 + 2С2 + 2В2), ё1у ^434 = (—АВ2 — АВ2 + СВВ)/8.
Рассмотрим ёду Ш^23 = 0. Из того что А > 0 и С > 0 следует, что (3А2 + 2В2 + 2С2 + 2В2) > 0, поэтому ё1у Ш423 = 0 тогда и только тогда, когда В = 0. Так как В = 0, то ё1у Ш434 = —(1/8)АВ2, из чего получаем, что В = 0. Далее рассмотрим ё1у Ш223 = 0, исходя из того, что В = 0 и В = 0, получим, что ё1у Ш223 = —(3 /4)АС2, а в силу ограничений на структурные константы А и С (А> 0 и С> 0) очевидно, что ё1у Ш223 не равна нулю, следовательно, система уравнений ё1у Ш = 0 не имеет решений при заданных в лемме 3 ограничениях на структурные константы. Таким образом, для четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной метрической алгебры Ли {^3,2 ф А1, (■, ■)} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра Аз,з ф Ai. Фиксируем соответствующий ортонормированный базис. Для компонент тензора Вейля в этом базисе имеются следующие соотношения: W1214 = W2334 и 2W1212 = -W2323 = -W1414 = 2Wi3i3 = 2W2424 = 2W3434. Поэтому существенными координатами тензора Вейля с учетом (7) являются:
W1212 = (1/6)B2, W1214 = — (1/4)AB.
Для компонент дивергенции в выбранном базисе выполняются следующие тождества: div W113 = — (2/3) div W223 = —2div W434, div W423 = div W324 — div W234. Из (8) следует, что существенные компоненты дивергенции тензора Вейля равны:
div W113 = (1/4)B2 A, div W234 = — (1/4)B(2A2 + B2), div W324 = (1/4)B(A2 + B2).
Решая систему уравнений div W = 0 относительно структурных констант A, B и принимая во внимание, что A > 0, получим одно действительное решение: A > 0, B = 0. Таким образом, для четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной алгебры Ли {A3,3 ф A1, (•, •)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид: c1 3 = ^ 3 = A, где A > 0, B = 0.
Алгебра Af 5фA1, 0 < |а| < 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Поскольку компоненты тензора Вейля в этом базисе удовлетворяют следующим соотношениям: W1214 = W2334, W1414 = W2323, W1313 = W2424, W1212 = W3434, W1224 = — W1334, W1323 = — W1424, то существенными компонентами тензора Вейля согласно (7) являются:
W1212 = (1/6)(C2 — 2A2 а + A2 + B2 + а2 A2 + D2), W1214 = (1/4)(CB — AD),
W1224 = (1/4)aAB, W1313 = (1/6)(A2 а — 2A2 — 2B2 + C2 + а2 A2 + D2),
W1323 = —(1/2)(AC + DB ), W1414 = (1/6)(B2 — 2C2 + A2а + A2 — 2а2 A2 — 2D2 ), а компоненты дивергенции тензора Вейля из (8) равны:
div W113 = (1/8)(6AC2 + 2 AD2 — 4A3 а — 3аAB2 + 4а2 A3 + 4CDB),
div W123 = (1/8)(4C3 — 6CA2 а — 2CA2 + 4CD2 — 4аABD — 4CB2 — BAD + 4Cа2A2), div W134 = (1/8)(—BC2 — CAD — 2Bа2 A2 — 2BA2 — 2B3 — 2BD2), div W213 = (1/8)(—4CA2 — 4BAD — 2CA2 а + 2C3 + 2Cа2 A2 + 2CD2 — аABD), div W223 = (1/8)(—6AC2 +4A3 а — 4а2 A3 — 3AD2 — 3CDB + 2аAB2 ), div W234 = (1/8)(—2DA2 + аABC — 2DB2 — 2DC2 — 2Dа2A2 — 2D3), div W312 = (1/8)(—2CA2 — 3BAD + CB2 — 2C3 +4CA^ — 2Cа2A2 — 2CD2 + 3аABD), div W314 = (1/8)(—BC2 + 3CAD + 2B3 + 2BA2 + 2BD2), div W324 = (1/8)(—аABC + 2BAC + 2DB2 + 2DC2 + 2Dа2A2 + 2D3), div W413 = (1/4)(2CAD + 2B3 + 2BA2 + Bа2A2 + 2BD2), div W423 = (1/4)(DA2 + 2DB2 — аABC + 2DC2 + 2Dа2A2 + 2D3 + BAC ), div W434 = (1/8)(—AD2 + CDB — аAB2).
Решая систему уравнений div W = 0 относительно структурных констант A, B, C, D и параметра а, получим следующие действительные решения:
1. A = A, B = 0, C = 0, D = 0, а = 0.
2. A = A, B = 0, C = 0, D = 0, а = 1.
Найденные решения не удовлетворяют условиям леммы 3. Следовательно, для четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной метрической алгебры Ли {Аа5 ф Ai, (•, •)} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра Af,7ф А1, а > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем соответствующий ортонормированный базис. Для компонент тензора Вейля в рассматриваемом базисе имеют место соотношения: W1214 = W2334, W1414 = W2323, W1313 = W2424, W1212 = W3434, W1224 = —W1334, W1323 = —W1424. Тогда существенные компоненты тензора Вейля выражаются согласно (7) следующим образом:
W1212 = (1/6)L2 (1 — 2A2 + A4 + B 2A2 + C 2A2 )/A2, W1214 = (1/4)(L2 (B — аCA)/A,
W1224 = (1/4)L2 ^B + AC ), W1313 = —(1/6)L2 (—1 — A2 + 2 A4 + 2B 2A2 — C 2A2)/A2, W1323 = —(1/2)L2 (а — A^+BAC )/A, W1414 = (1/6)L2 (B 2A2 — 2 + A2 + A4 — 2C 2A2 )/A2. Компоненты дивергенции тензора Вейля в рассматриваемом базисе из (8) равны:
div W113 = £3(6а — 6A4а + 4BAC + 3BA3C — 3аB2 A2 + 2аC2 A2)/(8A2 ),
div W123 = L3 (4 + 2(2C2 — 2а2 — 1)A2 + 4A4а2 — 5A^BC — 2B2A4 — 2A6 — B 2A2)/(8A3 ),
div W134 = L3(B(A2 — 1 — 4а2 A2 — 2A4) — 2B3 A2 — аCA(1 + A2) — 2BC 2A2)/(8A2 ),
div W213 = L3 (4A4 а2 — 4а2 A2 — 5A^BC + 2A4 — 4A6 — 4B2 A4 + 2 + C2 A4 + 2C2 A2)/(8A3 ),
div W223 = (L3^B2A2 — 6а + 6A4 а — 3аC2 A2 — 3BAC — 4BA3C ))/8A2,
div W234 = L3(аAB — 4Cа2 A2 + BA3 а + CA2 — CA4 — 2B2A2 C — 2C — 2C 3A2)/(8A2 ),
div W312 = L3(B2A2 + 2(A2 — 1 — B2A4 — C 2A2 + A4 — A6) + C 2A4)/(8A3 ),
div W314 = L3(3аCA — B — BA2 + 2BA4 + 2B3 A2 — A3 аC + 2BC2 A2 + 2Bа2A2 )/(8A2 ),
div W324 = L3(аAB — 3BA3 а — CA2 — CA4 + 2(B 2A2C + Cа2A2 + C + C3A2))/(8A2 ),
div W413 = L3(2B3 A — BA + 2BA3 + 3а2 AB + 2аC + 2BAC 2)/(4A),
div W423 = L3(3Cа2 A2 — 2BA3 а + 2B2 A2C + 2C — CA2 + 2C 3A2)/(4A2 ),
div W434 = L3(—аAB2 — BA2C + CB — аC 2A)/(8A).
Решая систему уравнений div W = 0 относительно структурных констант A, B, C, L и параметра а, получим следующие действительные решения:
1. A = A, B = B, C = C, L = 0, а = а.
2. A = 1, B = 0, C = 0, L = L, а = а.
3. A = —1, B = 0, C = 0, L = L, а = а.
При L> 0, A > 0, а> 0 только второе решение не противоречит условиям леммы 3. Значит, для четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной алгебры Ли {А3 7 ф А1, (•, ■)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если нетривиальные структурные константы имеют вид: c1 3 = c2 3 = aL, c1 3 = —c2 3 = —L, где L > 0, а > 0.
3.2. Неразложимые четырехмерные действительные неунимодулярные алгебры Ли. В данном разделе работы мы последовательно рассмотрим все четырехмерные действительные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли из таблицы 6, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой c нулевой дивергенцией тензора Вейля, и тем самым докажем теорему 6.
Алгебра AJ 2, a = 0, a = —2. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Поскольку для компонент тензора Вейля в приведенном базисе имеются связи: Wi2i2 = W3434, Wi2i3 = — W2434, Wi223 = Wi434, Wi3i3 = W2424, Wi323 = —Wi424, Wi4i4 = W2323, то с учетом (7) существенными являются следующие компоненты тензора Вейля:
Wi2i2 = (1/6)(A2 L2 a2 — 4L2B2A — 2L2B 2a2 — 2A2L2a + 4L2B2a +A2L2 — 2L2 B2 A2 + a2 L2 — aL2 + 4L2 B 2aA — 2L2B2 — 2C2 L2),
Wi2i3 = (1/4)(AL2 Ba2 — 4AL2 Ba — 2A2 L2 aB + 2 AL2 B + 2A2 L2B — aL2C + 2CL2), Wi223 = (1/4)(3L2 Ba — L2B — AL2 B — AL2 Ca + AL2C — 2L2 Ba2 + 2AL2Ba), Wi3i3 = (1/6)(—A2 L2 a2 + 2L2B2A + L2B2a2 + 4A2 L2a — 2L2 B 2a —2A2 L2 + L2 B2 A2 + a2L2 — aL2 — 2L2B2aA + L2B2 + C 2L2 ),
Wi323 = (1/4)(—AL2 a + AL2 + 2AL2 a2 ), Wi4i4 = (1/6)(A2 L2a2 + 2L2 B 2A + L2 B 2a2 — 2A2L2a — 2L2B 2a +A2L2 + L2B2 A2 — 2a2L2 + 2aL2 — 2L2B2aA + L2B2 + C 2L2) и компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (8) равны:
div Wii4 = (1/8)L3 (2aC2 + 4aB2 + 4aA2 — 11a2 B2 — 11a2 A2 + 6a3B2 + 6a3 A2 + A2B2 — 12a2 B 2A + 6aB2A2 + 10aB2 A + 2AB2 — BACa2 +BA2Ca + B2 — BA2C + 8a — BAC + A2 + 2BACa — 8a2 ), div Wi24 = (1/8)L3 (—4A3B2 + 12A3 a — 8A2 B2 — 12A3 a2 + 4A3a3 — 12a2 B2A + 16aB2A2 + 12aB2 A — 4AB2 + 16aA — 8a2 A — 2Aa3 — 8A2B2a2 + 4A3 B 2a + 4AB2 a3 — 4BC — 4A3 + BCa2 — 6A + 3BCa — 4BAC — BACa), div Wi34 = — (1/8)L3 (6B + 6AB + 4BA2 + 4B3 + 12B3A — 16aB + 8a2 B — 12B3 A2 a —12B3a + 4A3B + 12B3 A2 + 12B3a2 — 4B3 a3 + 3Aa2 C + 12B3a2A + 4B3 A3 + 4BC2 + 2Ba3 — 3AaC — 24B3aA — 4A2 Ba3 + 12A2Ba2 — 12A2 Ba + 4A3Ba2 — 8A3aB — 2BAa2 — 4BC 2a + 4BC2 A — 10BAa), div W2i4 = (1 /8)L3 (—2A3B2 + 8aB2 A2 + 6A3 a — 4A2 B2 — 6A3 a2 + 2A3 a3 + 6aB2 A — 6a2 B2A — AC2 — 2AB2 + 10aA — 2a2 A — 4Aa3 + AC 2a — 4A2 B 2a2 + 2A3 B 2a + 2 AB2 a3 — BC — 3BCa — 2 A3 + 4BCa2 — 4A — BAC — 4B ACa), div W224 = — (1/8)L3 (—aC2 + 4aB2 + 4BA2Ca — 2a2 B2 — 9a2 A2 + 6a3A2 — 4BACa2 + 4aB2 A — 2A2 B2 — 4AB2 — 6C2 — 2B2 — 4BA2C + 3A2 + 4a — 4BAC + 8BACa — 4a2 ), div W234 = (1 /8)L3 (—A2C — 5AB — 6ABa3 + 4C3 + 8CB2 A + 2Ca2 — A2 Ca2 — 8CB2a + 4CB2 A2 — 8CB2aA + 4CB2 — 4Ca + 4CB 2a2 + 2A2Ca + 6A2 Ba2 — A2 Ba + 4BAa — 4C + 7BAa2 — 5BA2),
div W314 = — (1/8)L3 (—CA + 4B + 4AB + 2BA2 + 2A3 Ba2 + 6B 3A — 10aB
+ 2a2B — 6B3A2 а + 6B3 a2A — 6B 3а + 6B3 A2 + 6B3a2 — 2B3 а3 — 12B3aA
+ 2BC2 A + 2Aa2 C + 2A3 B + 2B3 A3 + 2BC2 — 6A2 Ba — AaC — 2A2 5а3
+ 6A2 Ba2 — 4BAa2 + 2B3 — 2BC 2a + 4Ba3 — 4A3aB — 6BAa),
div W324 = (1 /8)L3 (—4CB2a + 2CB2A2 — 5AB — 6ABa3 — 4CB 2aA + 4CB2A + 2Ca2
— 4Ca + 2CB2 + 2CB2a2 + 6A2 Ba2 — A2 Ba + 4BAa + 2C3 + 7BAa2 — 4C — 5BA2 ),
div W334 = (1/8)L3 (—6aB2A2 — 6aB2 A — 3aC2 — 4aA2 + 9a2 B2 + 2a2 A2
— 6a3 B2 — 3BACa2 + 12a2 B2A — 6AB2 — 6C2 + 3BA2Ca — 3A2B2
— 3B2 — 3BA2C — 4a — 3BAC + 2A2 + 4a2 + 6BACa),
div W412 = —(1/8)L3 (a — 1)(4aB2 A2 + 2a2B2A + 2A3 a2 — 4A3 a — 4aB2A — 4aA
+ 2A + 3BC — 3BCa + 2A3 B2 + 2a2 A + 2AB2 + 2A3 — AC2 + 3BAC + 4A2 B2),
div W413 = (1 /8)L3 (CA + 2B + 2AB + 6B 3a2 A + 2BA2 + 2B3 + 6B3 A — 6aB
+ 6a2B — 4BAa — 6B3 A2a + 6B3A2 + 6B3 a2 — 2B 3a3 + Aa2 C + 6A2 Ba2
—2BC 2a — 2Ba3 — 2AaC — 2A2Ba3 + 2A3B — 6A2Ba + 2B3A3 + 2A3 Ba2
— 4A3aB + 2BAa2 + 2BC2 — 12B3aA + 2BC 2A — 6B3a),
div W423 = — (1 /8)CL3 (—A2 + 2C2 + 4AB2 + 2B2 + 2a2 B2
— 4aB2 + 2A2 B2 — 4aB2A — a2 A2 + 2aA2 ).
Решая систему уравнений div W = 0 относительно структурных констант A, B, C, L и параметра a, получим следующие действительные решения:
1. A = A, B = B, C = C, L = 0, a = a.
2. A = 0, B = 0, C = 0, L = L, a = 0.
3. A = 0, B = B, C = 0, L = L, a = 1.
4. A = A, B = 0, C = 0, L = L, a = 1.
Так как данные решения не удовлетворяют ограничениям леммы 4, то для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной метрической алгебры Ли {Af 2, (', ■)} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра A4 , 3. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Учитывая, что компоненты тензора Вейля в исследуемом базисе удовлетворяют соотношениям: W1212 =
W3434, W1213 = —W2434, W1223 = W1434, W1313 = W2424, W1323 = —W1424, W1414 = W2323, получаем, что существенными компонентами тензора Вейля согласно (7) являются:
W1212 = (1/6)(A2 L2 — 2B2L2 — 2C 2L2 + L2, W1213 = (1/4)(2AL2 B — L2C ), W1223 = (1/4)(—AL2 C — 2L2B), W1313 = (1/6)(B2 L2 — 2A2 L2 + C 2L2 + L2), W1323 = (1/2)L2 A, W1414 = (1/6)(—2L2 + A2 L2 + B 2L2 + C 2L2), а компоненты дивергенции тензора Вейля из (8) можно записать в виде:
div W114 = (1/8)L3 (6A2 + 2C2 — BAC + 6B2), div W124 = (1 /8)L3 (4AB2 + 4A3 + BC — 2A), div W134 = (1 /8)L3 (4A2B — 3AC + 4B3 + 4BC2 — 2B), div W214 = (1/8)L3 (—4A + AC2 + 4BC + 2AB2 + 2A3), div W224 = — (1/8) L3 (6A2 — C2 — 4BAC ),
div W234 = — (1/8)L3 (6AB — 2C + A2 C — 4CB2 — 4C3 ), div W314 = (1/4)L3 (—2B — AC + A2B + BC2 + B3), div W324 = —(1/4)L3 (3AB — C — CB2 — C3), div W334 = —(3/8)L3 (2B2 + C2 + BAC ), div W412 = — (1/8)L3 (2 A — AC2 — 3BC + 2AB2 + 2 A3 ), div W413 = — (1/8)L3 (2B — AC + 2A2 B + 2BC2 + 2B3 ), div W423 = (1/8)CL3(A2 — 2B2 — 2C2). Решая систему уравнений div W = 0 относительно структурных констант A, B, C, L, получим следующие действительные решения:
1. A = A, B = B, C = C, L = 0.
2. A = 0, B = 0, C = 0, L = L.
Данные решения не удовлетворяют ограничениям леммы 4. Следовательно, для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной метрической алгебры Ли {A4 , 3, (•, ■)} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра A4 , 4. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Заметим, что в данном базисе имеют место следующие соотношения: W1212 = W3434, W1213 = — W2434, W1223 = W1434, W1313 = W2424, W1323 = — W1424, W1414 = W2323. Поэтому существенные компоненты тензора Вейля согласно (7) примут вид:
W1212 = (1/6)A2 L2 — (1/3)B2 L2 — (1/3)C2 L2, W1213 = (1/2)AL2 B + (1/4)L2 C,
W1223 = —(1/4)L2 B — (1/4)AL2 C, W1313 = (1/6)B2 L2 — (1/3)A2 L2 + (1/6)C2 L2,
W1323 = (1/4)L2 A, W1414 = (1/6)A2 L2 + (1/6)B2 L2 + (1/6)C2 L2,
а существенными компонентами дивергенции тензора Вейля согласно (8) будут:
div W114 = (1 /8)L3 (7A2 + 7B2 + 2C2 — BAC ),
div W124 = (1/8)L3 (4AB2 + 4A3 — 6A + 5BC ),
div W134 = (1/8)L3 (—3AC + 4A2 B — 6B + 4BC2 + 4B3),
div W214 = (1/8)L3 (—6A + AC2 + 5BC + 2AB2 + 2A3 ),
div W224 = (1/8)L3 (2B2 — 9A2 + 7C2 + 4BAC ),
div W234 = —(1/8)L3 (11AB + 6C + A2C — 4CB2 — 4C3),
div W314 = (1/8)L3 (—3AC — 6B + 2A2 B + 2BC2 + 2B3),
div W324 = (1/8)L3 (2CB2 — 11AB — 6C + 2C3),
div W334 = (1/8)L3 (2 A2 — 9B2 — 9C2 — 3BAC ),
div W412 = —(1/8)AL3 (—C2 + 2B2 + 2A2 ),
div W413 = —(1/4)BL3(A2 + B2 + C2),
div W423 = (1/8)CL3(A2 — 2B2 — 2C2).
Решая систему уравнений div W = 0 относительно структурных констант A, B, C, L, получим следующие действительные решения:
1. A = A, B = B, C = C, L = 0.
2. A = 0, B = 0, C = 0, L = L.
Данные решения не удовлетворяют ограничениям леммы 4. Следовательно, для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной метрической алгебры Ли {A4 , 4, (•, ■)} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра А^5, ав = 0, —1 ^ а ^ в ^ 1) а+в = —1- Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4- Отметим, что в этом базисе выполняются следующие соотношения: ^1212 = ^3434, ^1213 = —^2434, ^1223 = ^1434,
^1313 = ^2424) ^1323 = — ^1424, ^1414 = ^2323-
Значит существенными компонентами тензора Вейля, учитывая (7), будут:
^1212 = (1/6)(—2С2 Ь2в2 — 2С2 Ь2а2 — 2А2Ь2а + аЬ2 в + Ь2в + а2 Ь2 — 2Ь2а + А2Ь2
+А2Ь2а2 + 4С2 Ь2ва — 2Ь2 В 2в2 + 4Ь2 В 2в — 2Ь2А2С2 + Ь2 — 2Ь2 А2 С 2а2 —4Ь2АСаВв + 4Ь2 А2 С 2а — 4Ь2ВАС — 2Ь2 В2 + 4Ь2АСаВ + 4Ь2АСВв — 2в2 Ь2), ^1213 = (1/4)(2А2 Ь2 Са2 + 2АЬ2вВа + 2АЬ2В — 2АЬ2Вв — А2Ь2Са —Ь2Са + Ь2Св + 2Ь2Са2 + 2А2 Ь2С — 2АЬ2Ва — 2Ь2Сав), ^1223 = (1/4)(Ь2 аВв — 2Ь2аАС + АЬ2 Сва —Ь2аВ — АЬ2Св — 2Ь2Вв + 2АЬ2С + 2Ь2 В),
^1313 = (1/6)(С2 Ь2в2 + С 2Ь2а2 + аЬ2 в + Ь2а — 2Ь2в — 2С 2Ь2ва — 2а2Ь2 — 2А2Ь2 —2А2Ь2а2 + Ь2 + 4А2Ь2а + Ь2В2в2 — 2Ь2 В 2в + Ь2А2С2 + 2Ь2 АСаВв —2Ь2А2 С2 а + 2Ь2ВАС + Ь2В2 + в2Ь2 + Ь2А2 С 2а2 — 2Ь2АСаВ — 2Ь2 АСВв), ^1323 = (1/4)(АЬ2 в — АЬ2ва + 2АЬ2 а — 2АЬ2),
^1414 = (1/6)(С2 Ь2в2 + С 2Ь2а2 — 2аЬ2в + Ь2в — 2С2 Ь2ва + Ь2В 2в2 — 2Ь2В2в +А2Ь2 + Ь2а — 2А2 Ь2а + 2Ь2ВАС — 2Ь2А2 С 2а + Ь2А2С 2а2 + Ь2В2 + а2Ь2 +А2Ь2а2 + в2Ь2 — 2Ь2 АСВв + Ь2 А2 С2 — 2Ь2 2Ь2АСаВв — 2Ь2АСаВ). Компоненты дивергенции тензора Вейля в выбранном базисе согласно (8) примут вид:
ё1у ^114 = (1/8)Ь3 (12ВАС + 2С 2а2 + 6В2 + 4а2 + А2в — 4а — 4в + бА2а2 —АСв2В + АСав2В + а2 АСВв — 11АСВв — 11АСаВ + 10АСаВв — а2АСВ + 6А2 — 2В2 ва + В 2в2а + А2 С 2а2 в — 2А2С 2ав + А2С 2в — 12В2в + А2 ва2 + 4в2 + 6А2С2 +2С 2в2 + 6В 2в2 — 12А2 а — 12А2 С 2а + 6А2 С 2а2 — 4С 2ва + В 2а — 2А2 ва), ё1у ^124 = (1/8)Ь3 (—С 2Аа — 4Са2В — 8А2 ВС + 12А3 С 2а + С 2вА + 2А + СВв + 8А2 Са2Вв + 16А2 СаВ + 8А2 СВв + 4Са2 Вв + 4А3С 2а3 — 4А3 + 8АВ2в + 4АС 2а3
— 12А3С 2а2 + 4А3 а3 — 3АС2 а2 + 4АВ 2а + 4Аа3 + 12А3 а — 12А3 а2 — 4Аав + 3АС 2ва
— 4А3 С2 — 4АС 2ва2 — 2Ав2 + 5СаВв — 8АВ2ва + 4АВ 2в2а — 16А2СаВв — 8А2Са2В
+4Аа — 4АВ2 в2 — СВв2 — 4АВ2 — СаВ — 10Аа2 + 2Аав2 — 4Сав2В + 4Ав), &у ^134 = (1/8)Ь3 (2В — 4А2 В + 2АС + 5АСа — 2Ва2 + 4В3 в3 — 12В3в2 + 12В3в + 2вВа2 + 4в3 В — 11АСа2 + 3АСв + 4А3 Са3 — 10Вв2 + 12А3 Са — 4А2 а2 В + 8А2 аВ + 4АСа3 — 4В3 — 12А3 Са2 + 4Ва — 4вВа — 4А3 С3 — 4АСа2 в + АСав + 4Вв — 24А2 С2 аВв — 12А2 С 2а2 В + 24А2 С 2аВ — 4А3 С + 4А2а2Вв — 8А2аВв — 6в2 АС + 12А3С 3а + 8С 2ваВ + 12В 2 в 2АСа + 6в2 АСа — 4С 3в2А + 4С 2а2 Вв + 4С3 в 2Аа
+ 12В2 АСа + 4С3а3А — 4С3а2А — 12В2 в2 АС + 12А2 С 2а2 Вв — 24В2вАСа +12А2 С 2Вв — 8С 3ва2А + 8С 3ваА — 8С 2в2аВ — 12В2 АС + 24В2 вАС + 4вВА2 + 4С 2в3В — 12А3 С 3а2 + 4А3С 3а3 — 12А2С 2В — 4С 2а2В — 4С 2в2 В),
ё1у ^214 = (1 /8)£3 (4А - Са2В + 4А2Са2Вв + 6А3С2 а - 4С2Аа + 4С2вА
- 4СВв2 + 2А3 + 4СВв + 8А2СаВ - 4А2ВС + 4А2СВв + 2А3С2 а3
+ 4АВ2 в + 2АС2а3 - 6А3С2а2 + Са2Вв + 2АС2а2 + 2АВ2 а + 2Аа3 + 6А3а
- 6А3а2 - АС2ва - 3АС2ва2 - 8А2СаВв - Сав2В + 5СаВв - 4АВ2ва + 2АВ2в2а - 4А2Са2В - АС2в2 - 4Аа2 + 2Аав2 - 2А3а3 - 2АВ2в2
- 2АВ2 - 4СаВ - 2Ав2 + АС2в2а - 4Аав - 2А3С2 - 2Аа + 4Ав),
ё1у ^224 = (1 /8)£3 (-4ва2 - 6А2 - 4а2 - 3А2в + 4а - бА2а2 + С2а2 - 4АСаВв + 8а2 АСВв - 4АСав2В + 4АСв2В - 4АСВв + 8АСаВ - 8а2АСВ - 4А2С2а2в + 8А2С2ав + 6А2С2а3 - 4В2ва + 2В2в2а + 12А2а + 6А2С2а + 2В2а - 4А2С2в
- 12С2а2в + 4в2а + 6С2а3 + С2в2 - 12А2С2а2 - 2С2ва + 6аС2в2 - 3А2ва2 + 6А2ва), ё1у ^234 = (1/8)Ь3 (-4Са2 - 2Са3 - 4Ав2аВ + 8С2Аа2Вв + 4С3 А2а + 4СВ2а - 4СВ2в3
- 3А2Св - 2А2а3С + 10А2Са + 2АВв + Аа2В - 8С3А2а2 + 4Ав2В - Аа2Вв - АаВв + 4С3а3 + 5АаВ + 4С3 А2а3 - 12С3ва2 + 12С3в2а + 8СВ2в2 - 4СВ2в - 4С3 А2в
+ 6А2Сав - 8СВ2ва + 4СВ2в2а - 8С2Аа2В - 8С2АВв + 8С3А2ав + 10Сав2 + 8С2Ав2В - 3А2а2вС - 2Св + 2Са + 4Сав - 6А2С - 8С2Аав2В + 8С2АаВ - 4С3А2 а2в - 2 А2 Са2 - 4а2 Св - 4С3в3 - 6АВ - 4Св3), ё1у ^314 = (1 /8)Ь3 (4В - 2А2В + 4АС + 2АСа - 2Ва2 + 2В3в3 - 6В3в2 - 6А3Са2 + 6А3Са + 6В3в + 2в3В + 2вВа2 - 8АСа2 + 2А3Са3 - 2А2а2В + 4А2аВ + 2АСа3
- 4Вв2 + 4Ва - 4вВа - 2А3С3 - 2А3С - 2Вв + 12А2С2аВ - 12А2С2аВв -6А2С2а2В - 2В3 + 4С2ваВ + АСав + 2А2а2Вв - 12В2вАСа + 6А3С3а
- 4А2аВв - АСа2в - 3в2АС + 12В2вАС + 2С3а3 А - 2С3а2А - 2С3в2А + 6В2АСа + 2С2а2Вв + 6В2в2АСа + 6А2С2а2Вв + 3в2АСа - 6В2в2АС
+ 2С3в2Аа - 6В2АС - 4С3ва2А + 4С3ваА - 4С2в2аВ + 2вВА2 + 6А2С2Вв + 2С2в3В - 2С2а2В - 2С2в2В + 2А3С3а3 - 6А3С3а2 - 6А2С2В), &у ^324 = (1/8)Ь3 (-4Са2 - 4Са3 + 2С3а3 + 4С2Аа2Вв + 2С3А2а - А2Св - 4С3А2а2 - 4А2а3С + 8А2Са + 5АВв - 2Св + 2Са + Ав2В + 4Аа2В + 2АаВ + 4Сав - 6А2С + 2С3А2а3 - 6С3ва2 + 6С3в2а + 2СВ2а - 2СВ2в3 + 4СВ2в2 - 2СВ2в - 2С3А2а2в
- 2С3 А2в + 2А2Сав - 4Аа2Вв - АаВв - Ав2аВ - 4СВ2ва + 4С3 А2ав + 4Сав2 + 2СВ2в2а - 4С2Аа2В + 4С2АаВ - 6АВ - 4С2АВв - 4С2Аав2В
+ 4С2Ав2В - 2Св3 - А2а2вС + 2А2Са2 - 2С3в3 + 2а2Св), &у ^334 = - (1/8)£3 (-4ва2 + 12ВАС + 6В2 - 2А2в - 4в + 3С2а2 + 6АСаВв + 9а2АСВв - 3АСав2В + 3АСв2В - 15АСВв - 3АСаВ - 9а2АСВ -3А2С2а2в + 6А2С2ав + 6А2С2 - 6В2ва + 3В2в2а + 6А2С2а3 + 3С2в2 + 4в2 - 3А2С2в - 12В2в + 3В2а + 4в2а + 6С2а3 + 6В2в2 - 6А2С2а - 6А2С2а2 - 6С2ва - 12С2а2в - 2А2ва2 + 4А2ва + 6аС2в2), ё1у ^412 = -(1/8)Ь3 (а - 1)(2А - 4Аа + 2А3С2 - 4АВ2в - 3С2Аа + 3С2вА + 4А2ВС + 2Аа2 - 3СВв2 - 4А3С2а + 3СВв - 4А2СаВ + 2А3 + 2А3С2а2 + 2АС2а2 - 4А2СВв + 4А2СаВв - 4А3а + 2А3а2 - АС2ва + 3СаВв + 2АВ2 + 2АВ2в2 - 3СаВ - АС2в2),
div W423 = —(1/8)L3 (а - в)(2С3а2 + 2С3А2а2 + 2А2Са2 - 4С3ав + 2Са2 - 4Сав - ЗАаВ — 4С 3А2 а + ЗАаВв — 4С 2АаВ — 4А2Са + 2С 3А2 + 2СВ 2в2 + 2С 3в2 + ЗАВ
+ 2А2С + 2СВ2 + 2Св2 - 4СВ2 в - ЗАВв + 4АС2аВв + 4С2АВ - 4С2АВв), div W413 = -(1/8)L3(2А3Са3 - 2А2В + ЗАСа - 2АС + 2В3в3 - 6В3в2 - 2В - 2А3С + 6Вв + 6В3в + 2в3В - ЗАСа2 + ЗАСв - Зв2АС - 6А3Са2 + 6А3Са + 12А2С2аВ
- 2А2а2В + 4А2аВ + 2АСа3 - 6Вв2 - 4А2аВв - 2А3С3 - 12А2С2аВв
- 6А2С2а2В + 6А2С2а2Вв - ЗАСа2в + 6А3С3а + 2С3а3А + 2А2а2Вв
- 2С3а2А - 2С3в2А + 6В2АСа + 4С2ваВ + 2С2а2Вв + 2С3в2Аа - 2В3
- 6В2в2АС + Зв2АСа + 6В2в2АСа + 12В2вАС + 2вВА2 - 12В2вАСа
+ 2С2в3В - 2С2а2В - 2С2в2В - 4С3ва2А + 4С3ваА - 4С2в2аВ + 6А2С2Вв - 6В2АС + 2А3С3а3 - 6А3С3а2 - 6А2С2В). Решая подсистему из двух уравнений divW412 = 0 и div W423 = 0 относительно параметров а и в, получим единственное решение а = 1 и в = 1- Подстановка этих значений в систему div W = 0 обращает в нуль каждое ее уравнение- Таким образом единственным решением системы div W = 0 является следующий набор структурных констант:
А = А, В = В, С = С, L = L, а = 1, в = 1.
При L > 0 данное решение удовлетворяет ограничениям леммы 4, и поэтому для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебры Ли {A^, (•, •)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если нетривиальные структурные константы имеют вид c1,4 = c24 = c34 = L, где L > 0.
Алгебра A^, а = 0, в ^ 0- Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4- Принимая во внимание, что в этом базисе: W1212 =
W3434, W1213 = - W2434, W1223 = W1434, W1313 = W2424, W1323 = - W1424, W1414 = W2323, получаем, что существенными компонентами тензора Вейля согласно (7) являются:
W1212 = L2 (А2С2 - С2ва - 2В2С2 + С2а2 - 2С4 + С2 + 1)/6С2,
W1213 = L2 (2ВАС - аС2 + а + 2С2в - 2в) /4С,
W1223 = -(1/4)L2 (-Вв + АС + 2Ва),
W1313 = -L2 (-В2С2 + С2ва + 2А2С2 - С2а2 - С4 - С2 + 2)/6С2,
W1323 = L2(-В - АСв + 2АСа)/4С,
W1414 = L2 (А2С2 + В2С2 + 2С2ва - 2С2а2 + С4 - 2С2 + 1)/6С2,
а компоненты дивергенции тензора Вейля из (8) равны:
div W114 = (1/8)L3 (ВАС + 2а + А2С2в - 4аС2 + В2С2в - ВС3А
+6В2С2а - 8С2а2в + 2аС4 + 6А2С2а + 8аС2в2)/С2,
div W124 = (1/8)L3 (-10АС2ва + 4А3С2 - 2АС2 + 4А + 6АС2в2
+ВС3а + ЗСаВ + 4АВ2С2 + 4ВС3в - 2АС2а2)/С2,
div W134 = (1 /8)L3 (4А2ВС - ЗС2Аа - Аа - 4Ав + 6СВв2
-10СаВв + 4В3С + 4ВС3 - 2ВС - 2Са2В)С,
div W214 = (1 /8)L3 (2А + СВв - 4АС2а2 + 2СаВ - 6АС2ва + АС4
+4АС2в2 - АС2 + 2А3С2 + 2АВ2С2 + ВС3в + 4ВС3а)/С2,
ё1у ^224 = -Ь3(-3ВАС + 3а + 6в + 3А2С2в - 4С2а2в - 2аС2 +6А2С2а - 4ВС3А - 2В2С2в + 4аС2в2 - аС4 - 6С4в)/(8С2), &у ^234 = -Ь3(4С4в2 + А2С4 - 2С4а2 + 2С2а2 + 4С4ва + 2А2С2 + 2С4 -4С2в2 + 5ВС3Ав + 6ВС3Аа - 4С6 - 4В2С4 + 2 - 4С2ва)/(8С3), ё1у ^314 = (1/8)Ь3 (В - ВС2 - 4АСа + 2В3С2 + 2ВС4 - АСв - АС3в -2АС3а - 6С2ваВ + 2А2С2В - 4С2а2В + 4С2в2В)/С2, ё1у ^324 = -Ь3 (6ВС3Аа - 2С2 - 2С4а2 + 2С2а2 + 4С4ва - 4С2ва - В2С2 +5ВС3Ав + 4С4в2 + 4 + 4А2С2 - 4С2в2 - 2С6 - 2В2С4)/(8С3), ё1у ^334 = (1/8)Ь3 (-4ВАС + а + 6в + 2А2 С 2в + 4С 2а2в + 2аС2 -6В2С2а - 3ВС3А - 3В2С2в - 4аС2в2 - 3аС4 - 6С4в)/С2,
ё1у ^412 = - (1 /8)Ь3 (2А - СВв + 2АС2а2 - АС4 - 4АС2ва + СаВ
+2АС2в2 - АС2 + 2А3С2 + 2АВ2С2 + 3ВС3в - 3ВС3а)/С2, ё1у ^413 = -Ь3(-В - ВС2 + 3АСа + 2В3С2 + 2ВС4 - 3АСв + АС3в -АС3а - 4С2ваВ + 2А2С2В + 2С2а2В + 2С2в2В)/(8С2), ё1у Ш423 = (1/8)Ь3 (В2С2 - 2 + 2С2 - 2А2С2 + 2С4 - 2С6 - 2В2С4 + А2С4)/С3.
Найдем решение системы уравнений ё1у Ш = 0. Рассмотрим уравнение ё1у Шш = 0 и запишем его в виде
2С6 + (2В2 - А2 - 2)С4 + (2А2 - 2 - В2)С2 + 2 = 0.
Заметим, что если С = 1 данное равенство имеет место лишь при А = В = 0. В этом случае система уравнений ё1у Ш = 0 эквивалентна равенству вида ав (а-в) = 0. Откуда учитывая, что а = 0, в ^ 0, получаем два решения а = в> 0 и а = 0, в = 0.
Если С = 1, то при заданных ограничениях на структурные константы (С > 0, Ь > 0, а = 0, в ^ 0) уравнение ё1у ^423 =0 не имеет решений, удовлетворяющих условиям леммы 4.
Таким образом, для четырехмерной действительной неразложимой неунимодуляр-ной алгебры Ли {А^, (•, •)} тензор Вейля является гармоническим в том и только том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид: с1 4 = аЬ, с3 4 = -с3 4 = -Ь, где а = 0, Ь > 0, или с1 4 = с2 4 = с3 4 = вЬ, с| 4 = -с^ 4 = -Ь, где в > 0, Ь > 0.
Алгебра А4 , 7. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Для компонент тензора Вейля в рассматриваемом базисе выполнено: Ш1212 = Ш3434, Ш1213 = -Ш2434, Ш1214 = ^^2334, Ш1223 = W1434, Ш1224 = -Ш1334, Ш1234 = -W1324, Ш1313 = W2424, Ш1314 = -Ш2324, Ш1323 = -Ш1424, Ш1414 = Ш2323. Значит, существенными компонентами тензора Вейля согласно (7) будут:
^1212 = (1/6)(В2 + С2 + 2А2 - 2^2 - 2^2), ^1213 = СЯ/2, ШШ4 = -ВЯ/2, Ш1223 = -(3АЯ + С^ )/4, Ш1224 = В^/4, Ш1234 = В А/2, ^1313 = (1/6)(В2 + + 2А2 - 2С2 + ^2), Ш1314 = ВС/2, Ш1323 = 3АС/4, Ш1414 = (1/6)(-4А2 + С2 + - 2В2 + ^2),
и компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (8) примут вид:
ё1у ГО'т = — (9/8)ВБА, &у ^113 = (1/8)В (9АС — т), ё1у = (1/2) АВ2 + (13/8) А(С2 + Б2) — 2А3 + (1/2) А^2 — (1/8)-ООР, ё1у = —(1/2)В(4А2 — С2 — Б2 — В2), ё1у = (1/2)СВ2 + 1/2СБ2 — 11/4СА2 + 1/2С3 + 3/4^АБ, ё1у = (1/2)Б(В2 + С2 + Б2 + ^2) — (3/4)АС^ — (11/4)БА2, ё1у ^212 = (1/2)В^А, ё1у ^213 = —(1/8)В (—^2 + 8А2 — 2С2 — 2Б2 — 2В2), ё1у ^214 = —3СА2 + (1/8)ОР2 + (1/4)СВ2 + (9/8)^АБ + (1/4)(С3 + СБ2), а1у ^223 = —(1/8)В (13АС — 4*\0),
ё1у ^224 = (1/4) АБ2 — (15/8) АС2 + А^2 + (1/2)БОР — (1/4) АВ2 + А3,
&у ^234 = — (17/8)АСБ — (1/8)(В2 ^ + С2)^ + (1/2)(^Б2 + — .РА2),
&у ^312 = (1/8)В(Р2 + 8А2 — 2С2 — 2Б2 — 2В2),
ё1у ^313 = — (1/2)В^А,
ё1у ^314 = — (5/8)АСР — 3БА2 + (1/4)Б(В2 + С2 + Б2 + ^2),
&у ^323 = —(1/8)В (13АБ — СР),
ё1у ^324 = —(17/8)АС (Б) — (1/8)В2 ^ — (1/2)^А2 + (1/4)(^Б2 + Р3),
а1у ^334 = — (15/8)АБ2 + (1/4)А(С2 — В2) — (3/2)АР2 — (3/8)БСР + А3,
ё1у ^412 = —(1/4)С (А2 — (1/2)^2 + В2 + Б2 + С2) + (3/8)^АД
ё1у ^413 = (1/8)АОР — (1/4)Б(А2 + С2 + В2 + Б2 + ^2),
ё1у ^423 = —(1/8)^ (—С2 + 2Б2 + 2^2),
ё1у ^424 = (1/8)В(4АБ — СР),
&у ^434 = —(1/8) В (4 АС — 3*\0).
Решая систему уравнений ё1у Ш = 0 относительно структурных констант А, В, С, Д ^, получим следующие действительные решения:
1. А = А, В = —2А, С = 0, Б = 0, ^ = 0.
2. А = А, В = 2А, С = 0, Б = 0, ^ = 0.
Данные решения не удовлетворяют ограничениям леммы 4, и поэтому для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной метрической алгебры Ли |А4;7, (•, •)} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра А^ 9, —1 < в ^ 1- Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Тогда Ш1212 = Ш3434, Ш1213 = —Ш2434, Ш1214 =
Ш2334, Ш1223 = ^^1434, Ш1224 = — Ш1334, Ш1313 = W2424) Ш1314 = — Ш2324, Ш1323 = — Ш1424, ^1414 = Ш2323. Учитывая (7), получаем, что существенные компоненты тензора Вейля равны:
Ш1212 = (1/6)(В2 + С2 + 2А2в — 2Б2 — 2^2 — 2^ 2в2 + 4^2 в),
Ш1213 = (1/4)(2СВ + АВв2 + АВ - 2АВв), ШШ4 = -(1/2)ВВ, ^1223 = -(1/4)(АВ + СВ - СВв) - (1/2) АвВ, Ш1224 = -(1/4)ВВ (-1 + в), Ш1234 = (1/2)ВАв, ^1313 = (1/6)(В2 + В2 + 2А2в - 2С2 + В2 + В2в2 - 2В2в), Ш1314 = (1/2)ВС, Ш1323 = (1/4)САв + (1/2)АС, Ш^24 = -(1/2)ВА, Ш1414 = -(2/3)А2в + (1/6)(С2 + В2 - 2В2 + В2 + В2в2 - 2В2в). Компоненты дивергенции тензора Вейля в данном базисе согласно (8) имеют вид:
ё1у Шц2 = -(1/8)АВВ(5 + 4в), ё1у Шп3 = (1/8)В(5САв + 4АС - ВВ + ВВв), ё1у Шц4 = (1/8)(6АС2 - 8А3в + 2В2А + 7АВ2 + 2АВ2 + 7С2Ав - 2АВ2в +2АВ2в3 - ВСВ + 6АВ2в + ВСВв - А3в2 - 2АВ2в2 + 2В2Ав), ё1у Ш123 = -(1/2)В(2А2в - С2 - В2 - В2 + А2 + А2в2), ё1у Ш124 = (1/8)(-4ВАВв - В АВв2 - 14СА2в - 4СА2в2 +5ВАВ + 4С3 + 4В2С + 4СВ2 - 4А2С), ё1у Ш134 = (1/8)(4ВВ2 - 14ВА2в + 4ВВ2в2 - 8ВВ2в - ВАС -1/2А2в2В + 4ВВ2 + 4В3 - 4А2В + 4ВС2 - 4ВСАв + 5ВСАв2), ё1у Ш212 = -(1/8)ВАВ (в + 3)(-1+ в), ё1у Ш213 = -(1/8)В(4А2 - В2 - В2в2 + 2В2в + 4А2в - 2С2 - 2В2 - 2В2), ё1у Ш214 = (1/8)(СВ2в2 - В АВв - 4ВАВв2 - 2СВ2в - 14СА2в -6СА2в2 + 5ВАВ + 2С3 + 2В2С + СВ2 + 2СВ2 - 4А2С),
а1у Ш223 = (1/8)В (4ВВ - 9САв - 4АС - 4ВВв), ё1у Ш224 = (1/8)(2АВ2 - 6АС2 - 2В2А + 7АВ2 - 9С2Ав -13АВ2в + АВ2в3 + 5АВ2в2 + 8А3в2 - 4ВСВв + 4ВСВ), ^у Ш234 = (1/8)(ВВ2в - 7ВАС - 10ВСАв + ВС2в + 12ВА2в2 - 2ВА2в - 4ВВ2в -4В3в3 - 6А2в3В - 12В3в + 12В3в2 - 4А2В - ВС2 + 4ВВ2 - ВВ2 + 4В3), ё1у Ш312 = (1/8)В(В2 + В2в2 - 2В2в + 4А2в2 + 4А2в - 2С2 - 2В2 - 2В2), ^у ^313 = (1/8)ВАВ (в + 3)(-1 + в), ё1у ^314 = (1/8)(3ВСАв2 - 2ВАС - 14ВА2в - 6А2В - 4А2в2В -ВСАв + 2ВВ2 + 2ВС2 + 2В3 + 2ВВ2 + 2ВВ2в2 - 4ВВ2в), &у Ш323 = -(1/8)В(4АвВ + 9АВ - СВ + СВв), ё1у Ш324 = (1 /8)(-7ВСАв + ВВ2в - 10ВАС + 6ВА2в2 + 4ВА2в - 2ВВ2в -4А2в3В - 2В3в3 - 6В3в + 6В3в2 - 6А2В + 2ВВ2 - ВВ2 + 2В3), &у ^334 = (1/8)(8А3в - 9АВ2 - 9АВ2 + 2С2Ав + 15АВ2в -3АВ2в3 - 3АВ2в2 + 3ВСВв - 6АВ2в - 3ВСВ - 2В2Ав), ё1у ^412 = (1/8)(3ВАВв - 3ВАВв2 - 2СВ2в +СВ2в2 - 2СА2в2 - 2С3 - 2В2С + СВ2 - 2СВ2),
&у Ш413 = (1/8)(-ВАС - 2ВСАв2 - 2А2В + 3ВСАв -2ВС2 - 2ВВ2 - 2В3 - 2ВВ2 - 2ВВ2в2 + 4ВВ2в), ё1у Ш424 = (1/8)В(4АВ - СВ + СВв), ё1у Ш434 = -(1/8)В (4САв - 3ВВ + 3ВВв), ё1у Ш423 = (1/8)(-1 + в)(2ВА2в2 + 2В3в2 - 4ВА2в -4В3в + 2ВВ2 - ВС2 + 2А2В + 2В3 + 3ВАС).
Решая систему уравнений ё1у Ш = 0 относительно структурных констант А, В, С, В, В и параметра в, получим следующие действительные решения:
1. А = А, В = 0, С = 0, В = 0, В = 0, в = 0.
2. А = А, В = -2А, С = 0, В = 0, В = В, в = 1.
3. А = А, В = 2А, С = 0, В = 0, В = В, в = 1.
4. А = 0, В = 0, С = 0, В = 0, В = В, в = 1.
5. А = 0, В = 0, С = 0, В = 0, В = 0, в = в.
Поскольку при А > 0 только третье решение удовлетворяет ограничениям леммы 4, то для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебры Ли {А^ д, (•, ■)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид с11 4 = с12 3 = В, с22 4 = с33 4 = А, при В = 2А> 0, в = 1.
Алгебра А^ 11, а > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонор-мированный базис леммы 4. Для компонент тензора Вейля в указанном базисе имеют место соотношения: Шт2 = ^3434, Шш3 = -^2434, ШЪм = ^2334, Шт3 = ^1434, Ш1224 = -Ш1334, Ш1234 = -^1324, Шш3 = Ш2424, Шш4 = -^2324, ^1323 = - ^1424, Ш1414 = Ш2323.
Поэтому существенными компонентами тензора Вейля согласно (7) будут:
Ш1212 = (В2В2 + С2В2 + 2А2а2В2 - 2В2В2 - 2А2 + А2В2 + А2В4)/(6В2), ^1213 = (1/2)СВ, Ш1214 = -(1/2)ВВ, Ш1223 = -(1/4)А(3аВВ + С )/В,
Ш1224 = -АВ(В2 - 1)/(4В), Ш1234 = (1/2)ВАа, Ш1313 = (В2В2 + В2В2 + 2А2а2В2 - 2С2В2 + А2 + А2В2 - 2А2В4)/(6В2),
^1314 = (1/2)ВС, Ш1323 = (1/4)А(-ВВ + 3аС), Ш1414 = (С2В2 + В2В2 - 2В2В2 + А2 - 2А2В2 + А2В4 - 4А2а2В2)/(6В2).
Компоненты дивергенции тензора Вейля с учетом (8) в рассматриваемом базисе примут вид:
ё1у Шц2 = -(1/8)АВ(9аВ + СВ), ё1у Шц3 = (1/8)АВ(9аСВ - В)/В, ё1у Шц4 = А(4В2аВ2 + СВ3В + 13С2В2а - 16А2а3В2 +13аВ2В2 + 4А2а - 8А2аВ2 - СВВ + 4аА2В4)/(8В2),
ё1у Ш123 = (1/2)В(С2 + В2 + В2 - 4А2а2), ё1у Ш124 = (1/4)(2В2СВ + 2СВ2В - 11А2а2ВС + 2С3В -СА2В + 2СА2В3 + 3А2 аВ2В + 3А2аВ )/В,
&у Ш134 = (1/4)(Б2 (2РВ2 + 2С — 11РА2 а2 — РА2) —3А2 БаС + 3Б2 + 2РА2 — 3А2 Б3аС )/Б2, ё1у Ш212 = — (1/2)ВА2а(Б2 — 1)/Б, &у Ш213 = (1/8)В(А2 (1 — Б4 — 8а2 Б2) + 2Б2(С2 + Р2 + В 2))/Б2, ё1у Ш214 = (5А2 аБ3Р + СА2 + (2С3 + 2СР2 — СА2 +2В2С — 24А2а2С )Б2 + 9А2аРБ + 2СА2Б4)/(8Б2), а1у Ш223 = —(1/8)АВ (13аСБ + РБ2 — )/Б, ё1у Ш224 = — А(—2аР2 Б2 + 15С 2Б2а — 8А2а + 12аА2 Б4 —3СБ3Р — 4СРБ + 2В 2аБ2 — 8А2а3Б2 — 4А2 аБ2 )/(8Б2), &у Ш234 = А(—17Б3 РаС — В 2Б2 + В2Б4 — С 2Б2 — 4А2а2Б2 —2А2 Б2 + 4А2 + 2 Б2 + 4А2 а2 Б4 — 2С 2Б4 — 2А2 Б6)/(8Б3), &у Ш312 = В (А2 — А2 Б4 + 8А2а2Б2 — 2С2 Б2 — 2 Б2 — 2В2Б2)/(8Б2), &у Ш313 = (1/2)В (А2 (Б2 — 1)а)/Б, ё1у Ш314 = (—24РА2 а2Б2 — 5А2 БаС — РА2 Б2 + РА2Б4 +2РВ2 Б2 — 9А2Б3аС + 2С2 РБ2 + 3Б2 + 2РА2 )/(8Б2), ё1у Ш323 = — (1/8)АВ(13аРБ — С + 4СБ2)/Б, ё1у Ш324 = А(—17Б3 РаС — В 2Б2 + В2Б4 + Б4Р2 — 4А2а2Б2 +2А2 Б4 — 4С 2Б4 — 4А2 Б6 + 4А2а2Б4 + 2А2 + 2 Б2)/(8Б3),
&у Ш334 = —А(15аР2 Б2 — 2С 2Б2а + 12А2 а — 8аА2 Б4
+3СРБ + 2В2аБ2 — 8А2а3Б2 — 4А2 аБ2 + 4СБ3Р )/(8Б2),
ё1у Ш412 = — (А2аБ3Р + 2 А2 а2 Б2С — СА2
+(2В 2С + 2СР2 + 2С3 — СА2)Б2 + 2СА2Б4 — 3А2аРБ)/(8Б2),
ё1у Ш413 = — (2РА2а2Б2 — А2БаС — РА2Б2 — РА2 Б4
+2С 2РБ2 + 3А2Б3аС + 2РВ2Б2 + 3Б2 + 2РА2 )/(8Б2),
ё1у Ш423 = А(С2 + Б2Р2 + 2А2 + 2А2 Б2 — 2С 2Б2 — 2А2 Б3 — 2 — 2А2 )/(8Б3),
ё1у Ш424 = (1/8)АВ (4аРБ — С + 3СБ2)/Б,
ё1у Ш434 = —(1/8)АВ (4аСБ + РБ2 — )/Б.
Из уравнения ё1у Ш313 =0 и ограничений на структурные константы А > 0, В > 0, Б > 0, а > 0 получаем, что Б может быть равно только 1. Решаем систему уравнений ё1у Ш = 0 (добавив к нему уравнение Б = 1) относительно структурных констант А, В, С, Б, Р и параметра а. В результате получаем следующие действительные решения:
1. А = 0, В = 0, С = 0, Б = 1, Р = 0, а = а.
2. А = А, В = 0, С = 0, Б = 1, Р = 0, а = 0.
3. А = А, В = —2Аа, С = 0, Б = 1, Р = 0, а = а.
4. А = А, В = 2Аа, С = 0, Б = 1, Р = 0, а = а.
При А > 0 и а > 0 четвертое решение удовлетворяет ограничениям леммы 4. Следовательно, для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебры Ли {А? 11, (•, ■)} тензор Вейля является гармоническим в том и только том случае, если ее
нетривиальные структурные константы имеют вид: с1 4 = 2Аа, с1, 3 = В, с2 4 = С] 4 = Аа, с2,4 = -АВ, с3,4 = А/В, при А > 0, В = 2Аа, В = 1, а > 0.
Алгебра А4 , 12. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. В виду того, что в выбранном базисе: Шт2 = ^3434, Шш3 = -^2434, Шш4 = ^2334, ШЪ23 = ^1434, ^1224 = -Ш1334, ^1313 = Ш2424, ^1323 = -Шм24, Шмм = ^2323 заключаем из (7), что существенными компонентами тензора Вейля являются:
^1212 = (1/6)(2ВС + В2 + С2 - 2В2 - 2С2),
^1213 = (1/2)ВВ + (1/4)(ВС + ВС), Ш1214 = (-1/4)АС, ^1223 = -(1/4)(ВВ + СВ) - (1/2)СС, Ш1224 = (1/4)АВ, ^1313 = (1/6)(В2 - 2В2 + С2 + С2 - ВС), Ш1323 = (1/2)(ВС + ВВ), Ш1414 = (1/6)(В2 + В2 + С2 - ВС - 2С2). При этом компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (8) примут вид:
ё1у Шц2 = (1/8) АВ (3С + 5В), ё1у Шц3 = (1/8)А(-2С2 + 2В2 + 7В2 + 2С2, ё1у Шц4 = (1/4)(ВС2 + 3ВВ2 - 3ВС2) - (1/8)(ВСВ - 7ВВ2 - 4ВСС),
&у Ш123 = (5/8) АСВ, ё1у Ш124 = (4В2 В + В 2С + 4В3 + 2В2С -4(А2В + А2 С + В 2С + В 2В) + 5ВВС + 2С3 + 2С2 С )/8, ё1у Ш134 = (ВСВ - ВСВ - 7В СС - ВС2 + 4(ВВ2 - А2В - В2В + В3 + ВС2))/8,
ё1у Ш212 = -(1/8)АС(5С + 3В), &у Ш213 = (5/8) АСВ, ё1у Ш214 = (1/2)(С2С - А2В - А2С - В2С - В2В + С3) +(1/8)(С2 В + 5ВВС) + (1/4)(В3 + В2 В + ВС2), а1у Ш223 = (1/8)А(2С2 - 2В2 + 2В2 + 7С2), ё1у Ш224 = (1/4)(ВВ2 - 3ВВ2 + 3ВС2) + (1/8)(7ВС2 + 4ВСВ - ВСС), ё1у Ш234 = (1/8)(4(С3 - А2С + СС2 + СВ2 - В2С) - 7ВВВ - ВВС - СВ2 + ССВ),
&у Ш313 = -(1/2)А(2ВВ + СС), &у Ш314 = (1/4)(В3 + ВС2 - 5ВСС - ВСВ - 3В2В + А2В + ВВ2), &у Ш323 = -(1/2)А(2ВС + ВВ), &у Ш324 = (2СС2 + 2С3 - 10ВВВ - 6В2С - 2ВВС + 2А2С + 2СВ2)/8,
ё1у Ш334 = -(3/8)(3ВВ2 +3ВС2 + ВСС + ВСВ), ё1у Ш412 = (2ВС2 - 2В3 + 2С3 - В2С - 2В2В + 2С2С + С2В - 2В2С)/8, &у Ш413 = (1/8)(ВС2 - 3ВСС - ВСВ - 2В2В - ВСВ + 6А2В - 2ВВ2 - 2В3 - 2ВС2),
ё1у Ш414 = (1/8)А(8ВВ + 3СВ + 9СС), ^у Ш423 = (1/8)(6А2С - ССВ - 2СС2 + СВ2 - 3ВВВ - ВВС - 2В2С - 2СВ2 - 2С3),
ё1у Ш424 = (1/8)(8ВС + 3ВС + 9ВВ), ё1у Ш434 = (9 /8)А(В2 + С2).
Из уравнения div W213 = 0 данной системы и ограничений на структурные константы (A > 0, C < 0, D > 0), получаем что F = 0 или G = 0. Если F = 0, то из равенства div W313 =0 и C < 0 находим, что G = 0. Если G = 0, то из div W323 = 0 и D > 0 заключаем, что F = 0. Это означает, что система уравнений div W = 0 имеет решение только если F и G равны нулю одновременно. Решая приведенную выше систему уравнений div W = 0 (добавив условия F = 0 и G = 0) относительно структурных констант A, B, C, D, F, G, получим следующие действительные решения:
1. A = D, B = 0, C = D, D = D, F = G = 0.
2. A = -D, B = 0, C = D, D = D, F = G = 0.
3. A = A, I! IS. С = -D, D = D, F = G = 0.
4. A = \/D2 -В2, С = D, B,D еЖ, F = G = 0.
5. A = —\/D2 — В2, С = D, B,D eR, F = G = 0.
Так как при A > 0 и D > 0 только третье решение удовлетворяет ограничениям леммы 4, то для четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебры Ли {A4, 12, (■, •)} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если нетривиальные структурные константы имеют вид: с1 3 = с2 3 = A, с1 4 = с2 4 = B, ci , 4 = -с2, 4 = —D, где A > 0, D > 0.
Теорема 6 доказана. >
Замечание 1. Отметим, что конформно-плоские левоинвариантные римановы метрики существуют только на четырехмерных разложимых унимодулярных группах Ли, и список соответствующих алгебр Ли исчерпывается алгебрами A3 , 6 ф A1 при с1 3 = C, с1 , 3 = —C, C > 0, A3 , 9 ф A1 при с3, 2 = A, с1 , 2 = —AM, 4 , 3 = —с2 , 3 = AM2 + A, A > 0 и коммутативной алгеброй 4A1.
Замечание 2. Среди четырехмерных действительных неунимодулярных алгебр Ли конформно плоскими являются лишь алгебры A3 , A1 при A > 0, B = 0; A3 7ф A1 при A = 1, B = C = 0, L > 0, a > 0; Aaf при A, B, C G R, L > 0, a = ß = 1; A^f при A = B = 0, C = 1, L > 0, a = ß > 0/ а так же A4 , 12 при A > 0, C = —D, D > 0, F = G = 0.
Замечание 3. Исследование по изометричности изученных классов метрик с гармоническим тензором Вейля можно провести с помощью геометрических инвариантов, таких как ¿-защемленность кривизны, спектр и сигнатура оператора Риччи, квадрат длины тензора Вейля (см. [12]).
Замечание 4. Решение систем алгебраических уравнений настоящей работы проводилось с использованием пакетов аналитических расчетов Maple и Mathematica, что позволило оптимизировать вычислительную часть исследования.
Литература
1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics.—1976.—Vol. 21.— P. 293-329.
2. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды.—2008.—Т. 11, № 2.— С. 115-147.
3. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды.—2009.—Т. 12, № 1.—С. 40-116.
4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна—М.: Мир, 1990.—704 с.
5. Rodionov E. D., Slavskii V. V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference (Brno, August 10-14, 1998).—1999.—P. 111-126.
6. Гладунова О. П., Родионов Е. Д., Славский В. В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Докл. РАН.—2008.—Т. 419, № 6.—С. 735738.
7. Гладунова О. П., Славский В. В. Левоинвариантные римановы метрики на четырехмерных уни-модулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля // Докл. РАН.—2010.—Т. 431, № 6.—С. 736-738.
8. Воронов Д. С., Родионов Е. Д. Левоинвариантные римановы метрики на четырехмерных неуни-модулярных группах Ли с нулевой дивергенцией тензора Вейля // Докл. РАН.—2010.—Т. 432, № 3.—С. 301-303.
9. Мубаракзянов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Сер. мат.—1963.—Т. 32, № 1.— С. 144-123.
10. Listing M. Conformal Einstein spaces in N-dimensions // Ann. Global Anal. Geom.—2001.—Vol. 20.— P. 183-197.
11. Yano K. Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces.—New York: Pergamon press, 1965.—323 p.
12. Гладунова О. П., Славский В. В. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли //Мат. труды.—2011.—Т. 14, № 1.—С. 1-20.
Статья поступила 26 октября 2010 г. Воронов Дмитрий Сергеевич
Алтайская государственная педагогическая академия, аспирант каф. геометрии и мат. методов в экономике РОССИЯ, 656031, Барнаул, ул. Молодежная, 55 E-mail: VoronovDmSerg@yandex.ru
Гладунова Олеся Павловна Алтайский государственный университет, доцент каф. мат. анализа РОССИЯ, 656049, Барнаул, пр. Ленина, 61 E-mail: gladunova_olesya@mail.ru
Родионов Евгений Дмитриевич Алтайская государственная педагогическая академия, профессор каф. геометрии и мат. методов в экономике РОССИЯ, 656031, Барнаул, ул. Молодежная, 55 E-mail: edr2002@mail.ru
Славский Виктор Владимирович Алтайская государственная педагогическая академия, профессор каф. геометрии и мат. методов в экономике РОССИЯ, 656031, Барнаул, ул. Молодежная, 55 E-mail: slavsky@uriit.ru, slavsky2004@mail.ru
ABOUT INVARIANT TENSOR FIELDS ON LOW DIMENSIONAL LIE GROUPS
Voronov D. S., Gladunova O. P., Rodionov E. D., Slavskii V. V.
Complete classification of possible signatures of the one dimensional curvature operator on three dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metric and complete classification of four-dimensional Lie algebras (up to isomorphism) of Lie groups with left-invariant Riemannian metrics and harmonic Weyl tensor are given in this paper.
Key words: Lie algebras, Lie groups, left-invariant Riemannian metrics, one dimensional curvature, harmonic Weyl tensor.
