0 гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных неразложимых группах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.765

0 гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных неразложимых группах Ли*

Е.Д. Родионов1, В.В. Славский2, О.П. Хромова1

1 Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

2 Югорский государственный университет (Ханты-Мансийск, Россия)

Harmonicity of Weyl Tensor of Left-Invariant Riemannian Metrics on Four-Dimensional Nonunimodular Nondecomposable Lie Groups

E.D. Rodionov1, V.V. Slavskii2, O.P. Khromova1

1 Altai State University (Barnaul, Russia)

2 Yugra State University (Khanty-Mansiysk, Russia)

Исследуются римановы многообразия с гармоническим тензором Вейля. В общем случае задача классификации римановых многообразий с гармоническим тензором Вейля представляется достаточно сложной. Естественно поэтому рассматривать ее в классе однородных римановых пространств в частности, в классе групп Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой. В размерности 3 тензор Вейля тривиален. Четырехмерные унимодулярные алгебры Ли групп Ли с левоинва-риантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля изучались ранее авторами.

Исследуются вещественные четырехмерные неунимодулярные неразложимые группы Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля. Разработаны методы, которые позволяют свести задачу к решению системы полиномиальных уравнений в алгебрах Ли. Получена полная классификация вещественных четырехмерных неунимодулярных неразложимых алгебр Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой с гармоническим тензором Вейля. Среди полученных в результате классификации алгебр Ли выделены те, метрические группы Ли которых не являются конформно плоскими, т.е. имеют нетривиальный тензор Вейля.

Ключевые слова: алгебры и группы Ли, лево-инвариантные римановы метрики, гармонический тензор Вейля.

БОТ 10.14258/^уа8и(2014)1.2-10

In this paper, Riemannian manifolds with a harmonic Weyl's tensor are investigated. The problem of Riemannian manifolds classification with a harmonic Weyl's tensor is considered to be complicated. Therefore, it is natural to study it in a class of homogeneous Riemannian spaces and, in particular, in a class of Lie groups with a left invariant Riemannian metrics. When the dimension equals to three the Weyl's tensor is trivial. Therefore, there is a question of the Weyl's tensor being harmonic in metric Lie groups with dimension greater than three. Four-dimensional unimodular Lie algebras of Lie groups with a left invariant Riemannian metrics and a harmonic Weyl's tensor were studied by the authors of the paper.

In the paper we study four-dimensional non-unimodular nondecomposable Lie groups with a left invariant Riemannian metrics and a harmonic Weyl's tensor. Some methods with possible reduction of this problem to solution of the system of polynomial equations in Lie algebras are obtained. As a result of this classification, the Lie algebras with metric Lie groups that are not conformally flat, i.e. have non trivial Weyl's tensor, are distinguished.

Key words: Lie algebras and Lie groups, left-

invariant Riemannian metrics, harmonic Weyl tensor.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 13-01-90716-мол_рф_нр), Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ—921.2012.1), ФЦП «Научные

и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457) и гранта ФЦПК (Соглашение № 8206, заявка № 2012-1.1-12-0001003-014).

1. Введение. Настоящая работа продолжает исследования по гармоничности тензора Вейля на 4-мерных группах Ли с левоинвари-антной римановой метрикой, начатые в [2, 3], в неунимодулярном неразложимом случае.

В данной работе применяется классификация и система обозначений 4-мерных вещественных алгебр Ли, полученные Г.М. Мубаракзяновым в [5]. Также использованы результаты работы А.Г. Кремлева и Ю.Г. Никонорова [4], в которой доказано, что для каждой четырехмерной неуни-модулярной вещественной алгебры Ли существует ортонормированный базис, в котором структурные константы алгебры Ли имеют удобный для вычисления вид. Определяя компоненты тензора Вейля и его дивергенции в указанном базисе, решается вопрос о гармоничности тензора Вейля на неунимодулярных неразложимых группах Ли.

2. Обозначения и предварительные сведения. Пусть (М,д) — риманово многообразие размерности п > 4; Х, У, Z, V — векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита, через Д(Х, У)Z = VYV*Z - V* VYZ + V[XIY] Z тензор кривизны Римана, через г = ^^ —> Д(Х, V)У) тензор Риччи и через в = ^(г) скалярную кривизну. Разделив тензор кривизны Д на метрический тензор д в смысле произведения Кулкарни-Номидзу, получим Д = Ш + А®д, где Ш — тензор Вейля, А — тензор одномерной кривизны и (А®д)(Х,У,^) = А(Х^)д(У, V) + А(У, V)д(Х, Z) - А(Х, V)д(У, Z) - д(У, Z)Р(Х, V).

Пусть далее О — группа Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой, {д, [•.•]} — соответствующая алгебра Ли. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между множеством скалярных произведений в д и множеством левоинвариантных римановых метрик в О (см. [1]). Будем обозначать соответствующее скалярное произведение через (•, •} и называть пару {д, (•, •}} метрической алгеброй Ли.

Фиксируем базис {е1, е2,..., еп} левоинвариантных векторных полей в О. Положим [ег, е, ] = с?,-ек, V^е, = Г%ек, (ег, е,} = дг,, где {ск} — структурные константы алгебры Ли, {дг, } — метрический тензор.

п-2

(ггкд, + г,ьдгк - гид,к - г,кдгь). (1)

Пусть сг.

с, дкь, тогда символы Кристоф-

феля первого и второго родов вычисляются соответственно по формулам Г^ = — с¿ь + скц), = Г,,кдкз, где ||дкя|| есть матрица обратная к ||дк8||.

Таким образом, тензоры Римана Д^ы, Риччи г^к, скалярная кривизна в и тензор Вейля являются функциями структурных констант с, и компонент метрического тензора д, (см. также [2]). Например,

ъ^кЬ

Д1]кг -

з(9зкди - дцдш) (п — 1)(п — 2)

Дивергенцию тензора Вейля будем определять формулой из [8]

(2)

где Шг,кь,Р = Г1ргШ,кь + Г,Шцы + Г^кЩук + Г1рЬШг,к1 — ковариантные производные тензора Вейля.

Замечание 1. Воспользовавшись симметрия-ми, которыми обладают тензор Вейля и дивергенция тензора Вейля (см. подробнее [3]), всюду далее будем приводить только существенные (нетривиальные) компоненты указанных тензоров.

Придерживаясь терминологии работ [1,6], введем следующее понятие.

Определение 1. Риманово многообразие (М, д) размерности п > 4 называется С-пространством или пространством с гармоническим тензором Вейля, если ёгуШ = 0.

Определение 2. Будем называть алгебру Ли группы Ли неразложимой, если ее нельзя представить в виде прямой суммы алгебр Ли меньших размерностей.

Определение 3. Алгебра Ли д называется унимодулярной, если след любого внутреннего дифференцирования алгебры Ли равен нулю, т.е. ^(аёХ) = 0, УХ е д, где аёХ(У) = [Х, У], для любых Х, У е д.

Лемма. [4]. Для произвольного скалярного произведения (•, •} на четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебре Ли д существует (•, •}-ортонормированный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 1.

3. Основные результаты. В данном разделе работы мы рассмотрим все 4-мерные действительные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли, группы Ли которых наделены левоин-вариантной римановой метрикой с нулевой дивергенцией тензора Вейля.

Теорема. Пусть О — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинва-риантной римановой метрикой и неразложимой алгеброй Ли д. Тогда ёгуШ = 0 в том и только том случае, если алгебра Ли д и ее структурные константы содержатся в таблице 2.

Доказательство. Рассмотрим последовательно каждую неунимодулярную неразложимую алгебру Ли из таблицы 1.

Алгебра Аа2, а = 0, а = -2. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонор-мированный базис леммы. Поскольку для компонент тензора Вейля в приведенном базисе имеются связи: '1212 = '3434, '1213 = -'2434, ^^1223 = '1434, '1313 = '2424, '1323 = -'1424,

1

Таблица 1

Четырехмерные действительные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли

Алгебра Ли Нетривиальные структурные константы Ограничения

Aa 4,2 c\ 4 = aL, c\ 4 = A(a — 1 )L, 4 = C3 4 = L, C3 4 = CL, 4,a = (В (a - 1) - AC)L С, L > 0, a ^ 0, -2

A4j3 cj 4 ^ L, C2 4 ^ AL, c^ 4 ^ BL, c^ 4 ^ CL C,L> 0

a4j4 ci 4 = c2,4 = сз,4 = В, C2 4 = AL,c\ ^ = BL, Cg ^ = CL, A,C,L> 0

ж4,5 c\ 4 = L, c\ 4 = A(a — 1 )L, Cg 4 = C{a — ß)L, 4 = aL, = {AC{a - 1) + B(ß - 1 ))L, 4,4 = ßB, -1 < a < ß < 1 L > 0, aß ^ 0, a + ß^-1

ж4,6 4,4 = °B1 4,4 = AB, 4,4 = c3,4 = ßB, 4,4 = c3,4 = BL, Cg 4 ^ CL С, L > 0, a ^ 0, ß > о

A4,7 Ct 4 - 2A, C<2 g - В, C<2 4 - C^', C<2 4 - -A, Cg 4 - Cg 4 - , Cg 4 — A, В, F > 0

A'3 4,9 c} 4 = A(ß + 1), 4 g = B, 4 4 = C, c2 4 = A, 4 4 = Д 44 = ^(1-/3), C3j4 = A/3 A, В > 0, -1 < ß < 1

Aa 4,11 c| 4 = 2Aa, c^g = B, 4,4 = C, 4,4 = Aa, 4,4 = -AD, 4,4 = F, c2' — A r3 — Aa c3,4 — D ' 3,4 — ла A,B,D,a> 0

A4,12 4,3 = c2,3 = A, 4,4 = c2,4 = B, 4,4 = C, 4,4 = B, 4,4 = B, c3,4 = ^ A,D > 0, С < 0

и W1414 = W2323, то с учетом (1) существенными являются следующие компоненты тензора Вейля:

W1212 = (1/6)(A2L2a2 - 4L2B2A - 2L2B2a2

- 2A2L2a + 4L2B2a + A2L2 - 2L2B2 A2 + a2L2

- aL2 + 4L2B2aA - 2L2B2 - 2C2L2), W1213 = (1/4)(AL2Ba2 - 4AL2Ba - 2A2L2aB + 2AL2B + 2A2L2B - aL2C + 2CL2),

W1223 = (1/4)(3L2Ba - L2B - AL2B - AL2Ca + AL2C - 2L2Ba2 + 2AL2Ba), W1313 = (1/6)(-A2L2a2 + 2L2B 2A + L2B2a2 + 4A2L2a - 2L2B2a - 2A2L2 + L2B2A2 + a2L2 - aL2 - 2L2B2aA + L2B2 + C2L2), W1323 = (1/4)(-AL2a + AL2 + 2AL2a2), W1414 = (1 /6)(A2L2a2 + 2L2B2A + L2B2a2

- 2A2L2a - 2L2B2a + A2L2 + L2B2A2

- 2a2L2 + 2aL2 - 2L2B2aA + L2B2 + C2L2)

и компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (2) равны:

divW114 = (1/8)L3(2aC2 + 4aB2 + 4aA2 - 11a2B2 - 11a2A2 + 6a3 B2 + 6a3A2 + A2B2 - 12a2 B2 A + 6aB2A2 + 10aB2A + 2AB2 - BACa2 + BA2Ca + B2 - BA2C + 8a - BAC + A2 + 2BACa - 8a2), divW124 = (1/8)L3(-4A3B2 + 12A3a - 8A2B2

- 12A3a2 + 4A3a3 - 12a2B2A + 16aB2 A2 - 4AB2 + 12aB2A + 16aA - 8a2A - 2Aa3 - 8A2B2a2

+ 4A3B2a + 4AB2a3 - 4BC - 4A3 + BCa2 - 6A + 3BCa - 4BAC - BACa), divWi34 = -(1/8)L3(6B + 6 AB + 4BA2 + 12B 3A + 4B3 - 16aB + 8a2B - 12B3A2a + 12B3a2 A

- 12B3a + 12B3A2 + 12B3a2 - 4B3a3 + 3Aa2C + 4A3B + 4B3A3 + 4BC2 - 3AaC - 4A2Ba3

+ 12A2Ba2 - 12A2Ba + 4A3Ba2 - 8A3aB + 2Ba3

- 2BAa2 - 4BC2a - 24B3aA + 4BC2A - 10BAa), divW2i4 = (L3/8)(6A3a - 2A3B2 - 4A2B2 - 6A3a2 + 2A3a3 - 6a2B2A + 8aB2A2 + 6aB2A - 2AB2

- AC2 + 10aA - 2a2A - 4Aa3 + AC2 a - 4A2B2a2 + 2A3B2a + 2AB2a3 - BC - 2A3 + 4BCa2 - 4A

- 3BCa - BAC - 4BACa),

divW224 = -(L3/8)(4aB2 - aC2 - 2a2B2 - 9a2A2 + 6a3A2 - 2A2B2 + 4aB2A - 4AB2 - 4BACa2

- 6C2 + 4BA2Ca - 2B2 - 4BA2C + 4a - 4BAC + 3A2 + 8BACa - 4a2),

divW234 = (L3/8)(4C3 - A2C - 5AB - 6ABa3 + 8CB2A + 2Ca2 - 4Ca + 4CB2 + 4CB2a2

- 8CB2a + 4CB2A2 - 8CB2aA - A2Ca2

+ 2A2Ca + 6A2Ba2 - A2Ba + 4BAa + 7BAa2

- 4C - 5BA2),

Таблица 2

Неразложимые четырехмерные действительные неунимодулярные алгебры Ли с левоивариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля

Неразложимая алгебра Ли Нетривиальные структурные константы Ограничения

ж4,5 Л _ л — „3 — Т с1,4 — с2,4 — с3,4 — ^ L>0

ж4,6 с1,4 = olL, С34 = — С3 4 = —L

ж4,6 с1,4 = с2,4 = с3,4 = PL, с\ А = — Cg 4 = —L ¡3 > 0,L > 0

А'3 4,9 с1,4 = с2,3 = 2А, С2 4 = Сз 4 = А А > 0

Аа -^4,11 ci,4 = с2,з = 2Аа, <31А = с| 4 = Аа, с\ А = — с% 4 = А А > 0,а > 0

A4,12 с1,3 = с2,3 = А с\А = С2 4 = В, cfA = —с\А = —D А > 0,D > 0

= -(Ь3/8)(4В - СА + 4АВ + 2ВА2 + 6В3А - 10аВ + 2а2В - 6В3А2а + 6В3а2А + 2В3 - 6В3а + 6В3А2 + 6В3а2 - 2В3а3 + 2Аа2С + 2 А3 В + 2В 3А3 + 2ВС2 + 4Ва3

- АаС - 2А2Ва3 + 6А2Ва2 - 6А2Ва + 2А3Ва2

- 4А3аВ - 4ВАа2 - 2ВС2а - 12В3 аА + 2ВС2А - 6ВАа),

divW324 = (Ь3/8)(2С3 - 5АВ - 6АВа3 + 4СВ2А + 2Са2 - 4Са + 2СВ2 + 2СВ2а2 - 4СВ2а + 2СВ2А2 - 4СВ2аА - 4С + 6А2Ва2

- А2Ва + 4ВАа + 7ВАа2 - 5ВА2),

divW334 = (Ь3/8)(9а2В2 - 3аС2 - 4аА2 + 2а2А2

- 6а3В2 - 3А2В2 + 12а2В2А - 6аВ2А2 - 6АВ2

- 6аВ2А - 6С2 - 3ВАСа2 + 3ВА2Са - 3В2

- 3ВА2 С - 4а - 3ВАС + 2А2 + 6ВАСа + 4а2), divW412 = Ь3(1 - а)(2а2(А + В2А + А3) + 3ВС

- 4а(А3 + В2А + А + В2А2) - 3ВСа + 2А(А2 + 1+ А2В2 + В2) + 3ВАС + 4А2В2 - АС2)/8, divW4lз = (Ь3/8)(СА + 2В(1 + А + А2) + 2В3 + 6В3А - 6аВ + 6а2В - 6В3А2а + 6В3а2А

- 6В3а + 6В3А2 + 6В3а2 - 2В3а3 + Аа2С + 2А3В + 2В3А3 + 2ВС2 - 2Ва3 - 2АаС

- 2А2Ва3 + 6А2В(а2 - а) + 2А3Ва2 + 2ВС2А

- 4А3аВ + 2В(Аа2 - С2а) - 12В3аА - 4ВАа), divW423 = СЬ3(-2С2 + А2 - 2В2 (1 + 2А + а2

- 2а + А2 - 2аА) + а2А2 - 2аА2)/8.

Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант А, В, С, Ь и параметра а, получим следующие действительные решения:

1. А, В, С е м,ь = 0,а е м.

2. А = В = С = 0, Ь е м, а = 0.

3. А = С = 0,В,Ь е м,а =1.

4. А, Ь е М,В = С = 0,а =1.

Поскольку данные решения не удовлетворяют ограничениям леммы, то для метрической алгебры Ли {А4 2, (•, •}} тензор Вейля не является гармоническим.

Алгебра А4 3. Фиксируем ортонормирован-ный базис леммы. Учитывая, что для компонент тензора Вейля в исследуемом базисе выполняется ^^1212 = ^^3434, ^^1213 = -W2434, Wl223 = Wl434, Wl3l3 = ^^2424, ^^1323 = -Wl424, и Wl4l4 = ^^2323, получаем, что существенными компонентами тензора Вейля согласно (1) являются

^^1212 = (1/6)Ь2(А2 + 1) - (1/3)Ь2(В2 + С2), ^^1213 = (1/2)АЬ2В - (1/4)Ь2С, ^^1223 = -(1/4)АЬ2С - (1/2)Ь2В, W1313 = (1/6)Ь2(1 + В2 + С2) - (1/3)А2Ь2, ^^1323 = (1/2)Ь2А,

W14

14

—(1/3)L2 + (1/6)L2(1 + B2 + C2),

а компоненты дивергенции тензора Вейля из (2) можно записать в виде

divW114 = (1 /8)L3(6A2 + 2C2 — BAC + 6B2), divW124 = (1/8)L3(4AB2 + 4A3 + BC — 2A), divW134 = (L3/8)(4B(A2 + B2 + C2) — 3AC — 2B), divW224 = — (1/8)L3(6A2 — C2 — 4BAC ),

L3

divW2M = — (A(C2 - 4 + 2A2 + 2B2) + 4BC), 8

¿3

divW234 = — (C(2 - A2 + 4В2 + 4C2) - 6AB), 8

divW314 = (L3/4)(B3 + B (C2 + A2 — 2) — AC ),

divW324 = -(1/4)L3(3AB - C - CB2 - C3), divW334 = -(3/8)L3(2B2 + C2 + BAC ),

L3

divW4i2 = + ЖС2 " " 2A2 - 2)),

divW4i3 = (L3/8)(AC - 2B(1 + A2 + B2 + C2)), divW423 = (1/8)CL3(A2 - 2B2 - 2C2).

Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, L, получим следующие действительные решения:

1. A, B, C G R,L = 0.

2. A = B = C = 0, L G R.

Данные решения не удовлетворяет ограничениям леммы. Следовательно, для метрической алгебры Ли {A4 3, (•, •}} тензор Вейля не является гармоническим.

Алгебра A44. Фиксируем ортонормирован-ный базис леммы. Заметим, что в данном базисе имеют место соотношения^1212 = W3434, W1213 = -W2434, W1223 = W1434, Wi3i3 = W2424, W1323 = -W1424, и W1414 = W2323. Поэтому существенные компоненты тензора Вейля согласно (1) примут вид

W1212 = (1/6)A2L2 - (1/3)B2L2 - (1/3)C2L2, W1213 = (1/2)AL2B + (1/4)L2C,

Wi223 = — (1/4)L2B - (1/4)AL2C,

W1313 = (1/6)B2L2 - (1/3)A2L2 + (1/6)C2L2, W1323 = (1/4)L2A,

W1414 = (1/6)A2L2 + (1/6)B2L2 + (1/6)C2L2,

а существенными компонентами дивергенции тензора Вейля согласно (2) будут

divW114 = (1/8)L3(7A2 + 7B2 + 2C2 - BAC), divW124 = (1 /8)L3(4AB2 + 4A3 - 6A + 5BC), divW134 = (L3/8)(4B(A2 + B2 + C2) - 3AC - 6B),

1. А, В, С е М,Ь = 0. 2. А = В = С = 0, Ь е м.

Данные решения не удовлетворяет ограничениям леммы. Следовательно, для метрической алгебры Ли {А4,4, (•, •}} тензор Вейля не является гармоническим.

Алгебра А^'в, ав = 0, -1 < а < в < 1, а + в = -1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы и заметим, что в этом базисе выполняются соотношения: W1212 = W3434, W1213 = -W2434, ^^1223 = ^^1434, Wl3l3 = ^^2424, Wl323 = -Wl424, и ^^1414 = ^^2323. Значит, существенными компонентами тензора Вейля, учитывая (1), будут

W1212 = (1/6)(Ь2в - 2С2Ь2в2 - 2С2Ь2а2 + аЬ2в + 4С2Ь2ва + а2Ь2 - 2Ь2а + А2Ь2 + А2Ь2а2 + Ь2

- 2Ь2(в2 + В2в2 - 2В2в + А2[а + С2 + С2а2]) + 4Ь2А2С2а - 4Ь2ВАС - 2Ь2В2 - 4Ь2АСаВв + 4Ь2АСаВ + 4Ь2АСВв),

W1213 = (1/4)(2Ь2(А2Са2 + АвВа - АВв + А2С)

- А2Ь2Са - 2АЬ2Ва + 2АЬ2В - Ь2Са + Ь2Св + 2Ь2Са2 - 2Ь2Сав),

W1223 = (Ь2/4)(аВв - 2аАС - аВ + АСва - АСв

- 2Вв + 2АС + 2В),

W1313 = (Ь2/6)(С2в2 + С2а2 + ав - 2в - 2С2ва + а - 2А2 - 2А2а2 + 4А2а + В2в2 - 2В2в + А2С2

+ A2C2 а2 — 2A2C2 а + 2BAC + B2 + в2 + 2АСаВв

— 2ACaB — 2ACBe — 2а2 + 1),

W1323 = (1/4)(—AL2ea + AL2 в + 2AL2a — 2AL2), W1414 = (L2/6)(C2e2 + C2 а2 — 2ав + в — 2С2ва + A2 + A2а2 + в2 + B2 в2 — 2B2e + A2 C2 — 2 + B2 + A2C2 а2 — 2A2C2 а — 2A2а + 2BAC + 2ACаBв

— 2ACаB — 2ACBe + а2 + а).

divW2i4 = (L3/8)(A(C2 — 6 + 2B2) + 5BC + 2A3), divWii4 = (1/8)L3(12BAC + 6A2 + 6B2 + 4а2

divW224 = — (1/8)L3(—2B2 + 9A2 - 7C2 - 4BAC), divW234 = (L3/8)(4C3 — 11 AB + C (4B2 — 6 — A2)), divW314 = (L3/8)(2B(A2 — 3 + C2) — 3AC + 2B3), divW324 = — (1/8)L3(11AB + 6C — 2CB2 — 2C3), divW334 = (1/8)L3(—9B2 + 2A2 — 9C2 — 3BAC), divW4i2 = — (1/8)AL3(—C2 + 2B2 + 2A2), divW4i3 = —(1/4)BL3(A2 + B2 + C2), divW423 = (1/8)CL3(A2 — 2B2 — 2C2).

Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, L, получим следующие действительные решения:

+ А2в - 4а - 4в + 6А2а2 + 2С2а2 + АСав2В

- АСв2В - 11АСВв - 11АСаВ + 10АСаВв

Компоненты дивергенции тензора Вейля в выбранном базисе согласно (2) примут вид

+ а2АСВв - а2АСВ + А2С2а2в - 2А2С2ав

- 2В2ва + В2в2а + А2С2в - 12В2в + А2ва2 + 2С2в2 + 4в2 + 6В2в2 - 12А2а - 12А2С2а

+ 6А2С2 + 6А2С2а2 - 4С2ва + В2а - 2А2ва), divW124 = (Ь3/8)(2А - 4Са2В - 8А2ВС - С2Аа + 12А3С2 а + СВв + 8А2Са2 Вв + 8А2СВв

- 4А3 + С2вА + 16А2СаВ + 4Са2Вв + 4А3С2а3

+ 8AB2ß + 4A(C2 + 1)а3 - 12A3C2а2 - 3AC2a2 + 4AB2a + 4A3а3 + 12A3a - 12A3a2 - 4Aaß + 3AC2ßa - 4A3C2 - 4AC2ßa2 - 4Caß2B + БCa.Bß - 8AB2ßa + 4AB2ß2a - 16A2Ca.Bß

- 8A2Ca2B + 4Aa - 4AB2ß2 - CBß2 - 4AB2

- CaB - 10Aa2 + 2Aaß2 - 2Aß2 + 4Aß), divW134 = (1/8)L3(2B - 4A2B + 2AC + БACa

- 2Ba2 + 4B3ß3 - 12B3ß2 - 11ACa2 + 3ACß + 4A3Ca3 - 12A3Ca2 + 12A3Ca - 4A2a2B

+ 8A2aB + 4ACa3 - 10Bß2 + 4Ba - 4ßBa

- 4A3C + 4Bß - 24A2C2aBß - 12A2C2a2B

- 4A3C3 + 24A2C2aB + ACaß + 4A2a2Bß

- 8A2aBß - 4ACa2ß - 6ß2AC + 12A3C3a + 4C3a3A - 4C3a2A - 4C3ß2A + 4C2a2Bß

+ 4C3ß2Aa + 12(B2ACa + A2C2a2Bß) - 4B3 + 6ß2(ACa + 2B2ACa - 2B2AC) + 8C2 ßaB

- 24B2ßACa + 24B2ßAC - 8C3ßa2A + 8C3ßaA

- 8C2ß2aB + 12A2C2Bß + 4ßBA2 + 4C2ß3B

- 12A3C3a2 - 12B2AC + 4A3C3a3 - 12A2C2B

- 4C2a2B - 4C2ß2B),

divW214 = (L3/8)(4A - Ca2B - 4A2BC + 6A3C2a + 4C(CßA - CAa - Bß2 + Bß + A2a2Bß + 2A2aB + A2Bß ) + Ca2Bß + 2A3C2 a3 + 2A3a3 + 2A(2B2ß + C2a3 - 3A2C2a2 + C2a2 + B2a + a3 + 3A2a - 3A2a2 - A2) - AC2ßa - 3AC2ßa2 aß^CB - CßB + 2A(B2ß - 2B2 - 4ACB - 2))

- 4A2Ca2B - 2AB2ß2 - 2AB2 - 4CaB - A(4a2 + ß2(C2 - C2a - 2a + 2) - 4ß - 2Aa + 2A2C2)), divW224 =)(1/8)L3(4a - 4ßa2 - 6A2 - 4a2 - 3A2ß

- 6A2a2 + C2a2 - 4ABC(aß2 - ß2) - 4ACBß + 8ACaB - 4ACaBß + 8a2ACBß - 8a2ACB

- 4A2C2a2ß + 8A2C2aß + 6A2C2a3 - 4B2ßa

+ 2B2ß2a - 4A2C2ß - 12C2a2ß + 4ß2a + 6C2a3 + C2ß2 + 12A2a + 6A2C2a - 12A2C2a2 - 2C2ßa. + 6aC2ß2 + 2B2a - 3A2ßa2 + 6A2ßa), divW234 = (L3/8)(4C3(A2a + a3) - 4Ca2 - 2Ca3 + 8C2Aa2Bß - 3A2Cß - 2A2a3C + 10A2Ca + 2ABß - 8C3A2a2 + 4Aß2B + Aa2B + БAaB + 4C3A2a3 - 12C3(ßa2 - ß2a) + 4CB2(a - ß3) + 8CB2в2 - 4CB2ß - 4C3A2e + 6A2Caß

- Aa2Bß - AaBß - 4Aß2aB - 8CB2ßa. - 2Cß + 4CB2ß2 a - 8C2Aa2B - 4C3A2 a2ß + 10Ca^2

+ 2Ca + 4Ca.ß - 6A2C - 6AB - 8C2Aaß2B + 8C3A2aß + 8C2Aß2 B + 8C2AaB - 8C2ABß

- 3A2a2ßC - 2A2Ca2 - 4ß3(C3 + C) - 4a2C^), divW314 = (1/8)L3(4B - 2A2B + 4AC + 2ACa

- 2Ba2 + 2B3ß3 - 6B3(e2 - ß) + 2ß3B + 2ßBa2

- 8ACa2 + 2A3Ca3 - 6A3Ca2 + 6A3Ca - 2B3

- 2A2a2B + 4A2aB + 2ACa3 - 4Bß2 + 4Ba

- 4ßBa - 2A3C3 - 2A3C - 2Bß - 12A2C2aBß

- 6A2C2a2B + 12A2C2aB + ACaß + 2A2a2Bß

- 4A2a.Bß - ACa2ß - 3в2AC + 6A3C3a

+ 2C3a3A - 2C3a2A - 2C3^2A + 2C2a2Bß + 2C3 ß2 Aa + 6B 2ACa + C2Bß (6A2 a2 + 4a) + 3ß2 ACa + 6B2ß2AC(a - 1) - 12B2^ACa + 12B2eAC - 4C3ßa2A + 4C3ßaA - 4C2^2aB + 6A2C2Bß + 2ßBA2 + 2C2ß3B - 6B2AC + 2A3C3(a3 - 3a2) - 2C2B(3A2 + а2 + в2)), divW324 = (L3/8)(2C3a3 - 4Ca3 + 4C2Aa2Bß + 2C 3A2a - A2 Cß - 4A2a3C + 8A2Ca + Б ABß

- 4C3A2a2 + Aß2B + 4Aa2B + 2AaB - 4Ca2 + 2C3A2a3 - 6C3(ßa2 - ß2a) + 2CB2a - 2Cß3

- 2CB2ß3 + 4CB2ß2 - 2CB2ß - 2C3A2ß

+ 2A2Caß - ABß(4a2 + а + ßa) - 4CB2ßa + 2CB2ß2а - 4C2Aa2B - 2C3A2a2ß + 4C3A2aß + 4Caß2 - 2Cß + 2Ca + 4Caß - 6A2C - 6AB

- 4C2Aaß2B + 4C2Aß2B + 4C2AaB - 4C2ABß

- A2a2ßC + 2A2Ca2 - 2C3ß3 + 2a2Cß), divW334 = -(L3/8)(12BAC - 4ßa2 + 6B2 - 4ß

- 2A2ß + 3C2a2 - 3ACaß2B + 3ACß2B

- 1Б ACBß - 3ACaB + 6 AC aBß + 9a2 AC Bß

- 9a2 ACB - 3A2C2a2 ß + 6A2C2 aß + 6A2C2a3

- 6B2ßa + 3B2ß2a - 3A2C2ß - 12ß(B2 + C2a2) + 4ß2a + 6A2C2 + 6C2 a3 + 3C2ß2 + 4ß2 + 6B 2ß2

- 6C2(A2a + A2a2 + ßa - aß2) - 2A2ßa2 + 4A2ßa + 3B 2a),

divW412 = (L3/8)(1 - a)(2A + 4A2BC - 4A3C2a

- 3C2Aa + 3C2ßA - 3CBß2 + 3CBß - 4A2CaB

- 4A2CBß - 4AB2ß + 2A3C2a2 + 2AC2a2 + 2A3

- 4A3a + 2A3a2 - AC2ßa + 3CaBß + 4A2CaBß + 2AB2ß2 + 2AB2 - 3CaB - AC2ß2 + 2Aa2

- 4Aa + 2A3C2 ),

divW413 = -(L3/8)(3ACa - 2B - 2A2B - 2AC + 2B3ß3 - 6B3ß2 + 6B3ß + 2ß3B - 3AC(a2 - ß)

+ 2A3Ca3 - 6A3C(а2 - а) - 2AVB + 4А2аВ + 2АСа3 - 6Вв2 - 2A3(C3 + C) - 12A2C2аВв

а компоненты дивергенции тензора Вейля из (2) равны

divWn4 = (1 /8)L3(BAC + 2а + A2C 2 в + 6A2C2 а

+ 6Вв - 6A2C2а2В + 12A2C2аВ + 2А2а2Вв - 4А2аВв - З^а^ - 3e2AC + 6A3C^

+ 2C3а3А - 2C3а2A - 2C^2A + 2C2а2Bв

32

32

22

+ В2C2в - BC3A + 6B2C2а - 8C2а2в - 4аC + 8аC 2 в2 + 2аC4 )/C2,

divW124 = (1/8)L3(4A3C2 - 10AC^ - 2AC2

+ 2C в А-а + 6В^а + + 4^ваВ + 6AC2в2 + BC3а + 3CаB + 4AB2C2 + 4BC3в

- 2AC2а2 +4A)/C2,

divW134 = (1/8)L3(4A2BC - 3C^ - Aа - 4Aв

+ Зв2ACа + 6ACB2^2а - в2 - 2ва) - 2В3 + 12В^AC - 4C3ва^ + 4C3ваA - 4C2в2аВ + 6A2C2Вв + 2вBA2 + 2C2в3В - 6В2AC + 2A3C3а3 - 6A3C3а2 - 2C2B(а2 + в2 + 3A2)), divW423 = (Ь3/8)(в - а)(2^а2 + 2Cа2 + 2A^2 + 2C3A2а2 - 4C3ав - 4C3A2а + 3AаBв + 3AB - 4C^аВ - 4A2Cа + 4AC2аBв - 4Cав - 3AаB + 2C3A2 + 2C3в2 + 2C(A2 + В2 + в2 - 2В2в) + 4C2AB - 4C2ABв - 3ABв + 2CB2в2).

Решая подсистему из двух уравнений divW4i2 =0 и divW423 = 0 относительно параметров а и в, получим единственное решение а = 1 и в = 1 • Подстановка этих значений в систему divW = 0 обращает в нуль каждое ее уравнение. Таким образом, единственным решением системы divW = 0 является следующий набор структурных констант:

A, В, C, L е R, а = 1, в = 1.

При L > 0 данное решение удовлетворяет ограничением леммы, и поэтому для алгебры Ли {A^jf, (•, •}} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если нетривиальные стуктурные константы имеют вид с1,4 = с2,4 = с3,4 = L, где L > 0.

Алгебра A^'g, а = 0, в > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормиро-ванный базис леммы. Принимая во внимание, что в этом базисе W1212 = W3434, W1213 = -W2434, Wi223 = W1434, W1313 = W2424, W1323 = -W1424, и W1414 = W2323, получаем, что существенными компонентами тензора Вейля согласно (1) являются

L2 1 W1212 = -г(А2 - /3« - 2В2 + а2 + 1 - 2С2 +

6 C2

W1213 = (L2/(4C))(2BAC + (2в - а)(C2 - 1)),

W1223 = -(1/4)L2(-Вв + AC + 2Ва),

L2 2

Wi3i3 = -j(B2 -/За- 2А2 + а2 + С2 + С1 - ^),

W1323 = (L2/(4C))(-В - ACв + 2ACа),

L2 1

Wi4i4 = -тг(Л2 + В2 + 2/За - 2а2 + С2 - 2 +

6 C2

+ 2С(3Вв2 - 5аВв + 2В3 + 2ВС2 - В - а2 В))/С, divW2l4 = (1 /8)Ь3(2А + СВв - 4АС2а2 - 6АС2ва + АС4 + 2СаВ + 4АС2в2 - АС2 + 2А3С2 + ВС3 + 2АВ 2С 2в + 4ВС3а)/С2,

divW224 = -Ь3(3а - 3ВАС + 6в + 3А2С2в - 2аС2

- 4С2а2в + 6А2С2а - 4ВС3А - 2В2С2в + 4аС2в2

- аС4 - 6С4в)/(8С2),

divW234 = -Ь3(4С4в2 - 2С4а2 + 2 + 2С2а2 + 4С4ва + 2А2С2 + 2С4 - 4С2в2 + 5ВС3Ав + 6ВС3Аа - 4С6

- 4В2С4 + А2С4 - 4С2ва)/(8С3),

divW314 = (1/8)£3(В - ВС2 - 4АСа + 2В3С2 + 2ВС4

- АСв - АС3в - 2АС3а - 6С2ваВ + 2А2С2В

- 4С2а2В + 4С2в2В)/С2,

divW324 = -Ь3(6ВС3Аа - 2С4а2 + 2С2а2 + 4С4ва - 4С2ва - В2С2 + 5ВС3Ав + 4С4в2 + 4 - 2С2(-2А2 + 2в2 - С4 + В2С2))/(8С3), divW334 = (1 /8)Ь3(а - 4ВАС + 6в + 2А2С2в + 4С2а2в + 2аС2 - 6В2С2а - 3ВС3А - 3аС4

- 4аС2в2 - 3В2С2в - 6С4в)/С2,

divW412 = -(1/8)Ь3(2АС2а2 - СВв - 4АС2ва + 2А - АС4 + СаВ + 2АС2в2 - АС2 + 2А3С2 + 2АВ2С2 + 3ВС3в - 3ВС3а)/С2, divW413 = -Ь3(2В3С2 - ВС2 + 3АСа + 2ВС4

- 3АСв + АС3в - АС3а - 4С2ваВ + 2А2С2В

- В + 2С2а2В + 2С2в2В)/(8С2),

divW423 = (1/8)£3(В2С2 + 2С2 - 2А2С2 + 2С4

- 2 - 2С6 - 2В2С4 + А2С4)/С3.

Найдем решение системы уравнений divW = 0. Рассмотрим уравнение divW42з = 0 и запишем его в виде

2С6 + (2В2 - А2 - 2)С4 + (2А2 - 2 - В2)С2 + 2 = 0.

Заметим, что если С =1 данное равенство имеет место лишь при А = В = 0. В этом случае система

2

уравнений divW = 0 эквивалентна равенству вида ав(а — в) =0. Откуда учитывая, что а = 0, в > 0 получаем два решения а = в > 0 и а = 0, в = 0.

Если С = 1, то при заданных ограничениях на структурные константы(С > 0, Ь > 0, а = 0, в > 0) уравнение divW42з =0 не имеет решений удовлетворяющих условиям леммы.

Таким образом, для алгебры Ли {А^ 'в, (•, •}} тензор Вейля является гармоническим в том и только том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид: с] 4 = аЬ, с2 4 = —с3 4 = —Ь, где а = 0, Ь > 0, или

с1 4 = с2 4 = с3 4 = вЬ, с2 4 = —с2 4 = —Ь, где в> 0, Ь > 0.

Замечание 2. Отметим, что для алгебра Ли '6 с набором структурных констант с1 4 = аЬ, с;] 4 = — с3 4 = — Ь, а = 0, Ь > 0 ковариант-ная производная тензора кривизны ПК = 0 и, согласно теореме Э. Картана (см., например, [1]) указанная алгебра является локалоно симметрической. В то время как, для алгебры Ли А^ 'в с набором структурных констант с]; 4 = с2 4 = с| 4 = вЬ, с3 4 = —с] 4 = — Ь, в > 0, Ь > 0 ковариантная производная тензора кривизны ПК = 0.

Алгебра А4 , 7. Фиксируем ортонормирован-ный базис леммы и заметим, что в рассматриваемом базисе выполнено: W1212 = Wз4з4, ^^1213 = —W2434, ^^1214 = W2334, Wl223 = Wl434, ^^1224 = —Wl334, ^^1234 = —Wl324, Wl3l3 = ^^2424, ^^1314 = —W2324, Wl323 = —Wl424, и ^^1414 = ^^2323. Значит, существенными компонентами тензора Вейля согласно (1) будут

^^1212 = (1/6)В2 + (1/6)С2 + (1/3)(А2 — П2 — Е2),

^^1213 = СП/2,

^^1214 = — ВП/2,

^^1223 = — (3АП + СЕ )/4,

^^1224 = ВЕ/4,

^^1234 = в.А/2,

Wl3lз = (1/6)(В2 + П2 + Е2) + (1/3)А2 — (1/3)С2, ^^1314 = ВС/2, ^^1323 = 3АС/4,

^^1414 = (1/6)(С2 + П2 + Е2) — (2/3)А2 — (1/3)В2,

и компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (2) примут вид

divWll2 = — (9/8)ВПА,

divWllз = (1/8)В (9АС — ЕП),

divWll4 = (1/8)А[4(В2 + Е2) + 13(С2 + П2)]

— 2А3 — (1/8)ПСЕ,

divW123 = —(1/2)В(4А2 — С2 — П2 — В2), divWl24 = (1/2)С (В2 + П2 + С2) — (11/4)СА2 + (3/4)ЕАП,

divWl34 = (П/2)(В2 + С2 + П2 + Е2)

— (3/4)АСЕ — (11/4)ПА2, divW2l2 = (1/2)ВЕА,

divW213 = (1/8)В(Е2 — 8А2 + 2С2 + 2П2 + 2В2),

divW2l4 = —3СА2 + (1/8)СЕ2 + (1/4)СВ2

+ (9/8)ЕАП + (1/4)(С3 + СП2),

divW223 = —(1/8)В (13АС — 4ЕП),

divW224 = (1/4)А(П2 — В2) — (15/8)АС2 + АЕ2

+ (1/2)ПСЕ + А3,

divW234 = —(17/8)АСП — (1/8)(В 2Е + С2 )Е + (1/2)(ЕП2 + Е3 — ЕА2),

divW312 = (1/8)В(Е2 + 8А2 — 2С2 — 2П2 — 2В2), divWзlз = —(1/2)ВЕА,

divWзl4 = (1/4)П(В2 + С2 + П2 + Е2) — 3ПА2

— (5/8) АСЕ,

divW323 = —(1/8)В (13АП — СЕ),

divWз24 = —(17/8)АС (П) — (1/8)В 2Е — (1/2)ЕА2

+ (1/4)(ЕП2 + Е3),

divWзз4 = (1/4)А(С2 — В2) — (15/8)АП2 + А3

— (3/2)АЕ2 — (3/8) ПСЕ,

divW4l2 = (1/8)[3ЕАП — 2С (А2 — (1/2)Е2 + В2 + П2 + С2)],

divW4lз = —(1/4)П(А2 + С2 + В2 + П2 + Е2) (1/8)АСЕ,

divW42з = —(1/8)Е (—С2 + 2П2 + 2Е2), divW424 = (1/8)В(4АП — СЕ), divW434 = —(1/8)В (4АС — 3ЕП).

Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант А, В, С, П, Е, получим следующие действительные решения:

1. А е М, В = —2А, С = П = Е = 0.

2. А е М, В = 2А, С = П = Е = 0.

Данные решения не удовлетворяет ограничениям леммы, и поэтому для алгебры Ли {А4 , 7, (•, •}} тензор Вейля не является гармоническим.

Алгебра А4 9, — 1 < в < 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонор-мированный базис леммы. Тогда ^^1212 — ^^3434, ^^1213 = —W2434, ^^1214 = W2334, Wl223 = Wl434, ^^1224 = —Wl334, Wl3l3 = ^^2424, Wl3l4 =

— W2324, ^^1323 = —Wl424, и Wl4l4 = W2323. Учитывая (1), получаем, что существенные компоненты тензора Вейля равны

W1212 = (1/6)(В2 + С2 + 2 А2 в — 2П2 — 2Е2

— 2Е2 в2 +4Е2в),

W1213 = (1/4)(2СП + АЕв2 + АЕ — 2АЕв),

W1214 = -(1/2)BD,

W1223 = -(1/4)(AD + CF - CFe) - (1/2)ASA W1224 = -(1/4)BF (-1+ в), W1234 = (1/2)ВАв,

W1313 = (1/6)(B2 + D2 + 2A2e - 2C2 + F2в2

+ f2 - 2F2в),

W1314 = (1/2)BC,

W1323 = (1/4)САв + (1/2)AC,

W1324 = -(1/2)BA,

W1414 = -(2/3)А2в + (1/6)(C2 + D2 - 2B2 + F2 + F2в2 - 2F2e).

Компоненты дивергенции тензора Вейля в данном базисе согласно (2) имеют вид

divWU2 = -(1/8)ABD(5 + 4в), divW113 = (1 /8)В(5САв + 4AC - FD + FDe), divW114 = (1 /8)(6AC2 - 8А3в + 2B2A + 7AD2 + 2AF2 + 7С2Ав - 2AF2в + 2AF2в3 - 2AF2в2 + 6AD^ + DCFв - А3в2 - DCF + 2В2Ав, divW123 = (B/2)(C2 + D2 + B2 - A2(1 + в)2), divW124 = (1/8)(-4DAFв - DAFв2 - 14СА2в + 4C(D2 - А2 - А2в2) + 5DAF + 4C3 + 4B2C), divW134 = (1/8)(4DF2 - 14DA^ + 4DF2в2 + 4D3

- 8DF2в - FAC - 1/2A2в2D + 4DB2 - 4A2(D) + 4DC2 - 4FCAв + 5FCAв2),

divW212 = (1/8)BAF(в + 3)(1 - в), divW213 = -(1/8)B(4A2 - F2 - F2в2 + 2F2в

- 2C2 + 4A2в - 2D2 - 2B2),

divW214 = (1/8)(CF2в2 - DAFв - 4DAFв2

- 14CA2в - 6CA2в2 + 5DAF + 2C3 + 2B2C + 2CD2 - 4A2C - 2CF2в + CF2),

divW223 = -(B/8)(9CAв + 4AC - 4FD + 4FDв), divW224 = (1/8)(2AD2 - 6AC2 - 2B2A - 9C2Aв + 7AF2 - 13AF2в + AF2в3 + 5AF2в2 - 4DCFв + 8A^2 +4DCF),

divW234 = (1/8)^в(B2 + C2) - 7DAC - 10DCAв + 12FA^2 - 2FA2в - 4FD^ - 6A2в3F - 4F3в3

- 12F3(в - в2) - F(C2 - 4D2 + B2 - 4F2 + 4A2)), divW312 = (1 /8)B(F2 + F2в2 - 2F2в + 4A2в2

+ 4A2в - 2C2 - 2D2 - 2B2), divW313 = (1/8)BAF (в + 3)(-1 + в), divW314 = (1/8)(3FCAв2 - 2FAC - 14DA^

- 6A2D - 4A^2D - FCAв + 2DB2 + 2DC2

+ 2Б3 + 2^2 + 2БF2в2 - 4^2в), divW323 = -(1/8)В(4АвБ + 9АБ - CF + CFв), divW324 = (1/8)^В2в - 7БСАв - 10БАС + 6FA2в2 + 4FA2в - 2FD2в - 4А2в3F - 2F3в3

- 6F3в + 6F3в2 - 6A2F + 2FБ2 - FB2 + 2F3), divW334 = (1/8)(8А3в - 9АБ2 - 9AF2 + 2С2Ав + 15AF2в - 3AF2(в3 + в2) - 6АБ2в + 3БCFв

- 3БCF - 2В2Ав),

divW412 = (1/8)(3DAFв - 3БAFв2 - 2CF2в + С(F2в2 - 2А2в2 - 2С2 - 2В2 + F2 - 2Б2)), divW413 = (1/8)(^АС - 2FCAв2 - 2А2Б + 3FCAв - 2БС2 - 2БВ2 - 2Б3 - 2

- 2БF2в2 + 4БF2в),

divW424 = (1/8)В(4АБ - CF + CFв), divW434 = -(1/8)В(4САв - 3FБ + 3FБв), divW42з = (1/8)(в - 1)(2FA2в2 + 2F3в2 - 4FA2в

- 4F3в + 2FБ2 - FC2 + 2А^ + 3БАС + 2F3).

Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант А, В, С, Б, F и параметра в, получим следующие действительные решения:

1.А е М, В = С = Б = F = 0, в = 0.

2.А, F е М, В = -2А, С = Б = 0, в =1.

3.А, F е М, В = 2А, С = Б = 0, в = 1.

4.А = В = С = Б = 0, F е М, в =1.

5.А = В = С = Б = F = 0, в е М.

Поскольку при А > 0 только третье решение удовлетворяет ограничениям леммы, то для метрической алгебры Ли {Ав 9, (•, •}} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид: с1 4 = с2 3 = В, с2 4 = с3 4 = А, при В = 2А> 0, в =1.

Алгебра А4 11, а > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормирован-ный базис леммы и заметим, что в указанном базисе имеют место соотношения Wl2l2 = Wз434, ^^1213 = -W2434, ^^1214 = W2334, Wl223 = Wl434, ^^1224 = -Wl334, ^^1234 = -Wl324, Wl3l3 = ^^2424, ^^1314 = -W2324, Wl323 = -Wl424, и ^^1414 = ^^2323. Поэтому существенными компонентами тензора Вейля согласно (1) будут

W1212 = (В2Б2 + С2Б2 + 2А2а2Б2 - 2F2Б2 - 2А2 + А2Б2 + А2Б4)/(6Б2), ^^1213 = (1/2)CF,

^^1214 = —(1/2)ВЕ, ^^1223 = —(1/4)А(3аЕП + С)/П, ^^1224 = —АВ (П2 — 1)/(4П), ^^1234 = (1/2)ВАа,

W1313 = (В2П2 + Е 2П2 + 2А2а2 П2 — 2С2П2 + А2

+ А2П2 — 2А2П4)/(6П2),

^^1314 = (1/2)ВС,

^^1323 = (1/4)А(—ЕП + 3аС),

W1414 = (С2П2 + Е2П2 — 2В2П2 + А2 — 2А2П2

+ А2П4 — 4А2а2 П2)/(6П2).

Компоненты дивергенции тензора Вейля с учетом (2) в рассматриваемом базисе примут вид

divW112 = —(1/8)АВ(9аЕ + СП),

divW113 = (1/8)АВ (9аСП — Е )/П,

divW114 = А(4В2 аП2 + СП3Е + 13С2П2а

— 16А2азП2 + 13аЕ 2П2

+ 4 А2 а — 8А2аП2 — СЕП + 4аА2 П4)/(8П2), divWl2з = (1/2)В (С2 + Е2 + В2 — 4А2а2), divW124 = (1/4)(2В 2СП + 2СЕ 2П — 11А2а2ПС + 2С3П — СА2 (П — 2П3) + 3А2аЕ (П2 + 1))/П, divW134 = (1/4)(П2(2ЕВ2 + 2С2 Е — 11ЕА2а2

— ЕА2 + 2Е3) — 3А2а(П + П3)С + 2ЕА2)/П2, divW2l2 = —(1/2)ВА2а(П2 — 1)/П, divW213 = (1/8)В (А2(1 — П4 — 8а2П2)

+ 2П2(С2 + Е2 + В2))/П2,

divW214 = (5А2аПзЕ + СА2 + (2С2 + 2Е2 + 2В2

— 24А2а2 — А2 + 2А2П2)СП2 + 9А2аЕП)/(8П2), divW223 = —(1/8)АВ(13аСП + ЕП2 — 4Е )/П, divW224 = —А(15С2П2а — 2аЕ 2П2 + 12аА2П4

— 8 А2 а — 3СПзЕ — 4СЕП + 2В2аП2 — 8А2азП2

— 4А2аП2)/(8П2),

divW234 = А(В2 П4 — 17ПзЕаС — В2П2 — С2П2

— 4А2а2 П2 — 2А2П2 + 4А2 + 4Е 2П2 + 4А2а2 П4

— 2С 2П4 — 2А2П6)/(8П3),

divW312 = В (А2 — А2П4 + 8А2а2П2 — 2С2П2

— 2Е 2П2 — 2В2П2)/(8П2), divWзlз = (1/2)В (А2(П2 — 1)а)/П, divW314 = (—24ЕА2а2П2 — 5А2ПаС — ЕА2П2 + ЕА2П4 + 2ЕВ 2П2 — 9А2ПзаС + 2С 2ЕП2 + 2Е 3П2 + 2ЕА2)/(8П2),

divW323 = —(1/8)АВ(13аЕП — С + 4СП2)/П, divW324 = А( —17ПзЕаС — В 2П2 + В 2П4 + П4Е2

— 4А2а2 П2 + 2А2П4 — 4С2П4 — 4А2П6 + 2А2

+ 2Е 2П2 + 4А2а2П4)/(8П3),

divW334 = —А(15аЕ 2П2 — 2С2П2а + 12А2а

— 8аА2П4 + 3СЕП + 2В2аП2 — 8А2азП2

— 4А2аП2 + 4СП3Е )/(8П2),

divW412 = —(А2аПзЕ + 2А2а2П2С — СА2 + (2В2С + 2СЕ2 + 2 С3 — СА2)П2 + 2СА2 П4

— 3А2аЕП)/(8П2),

divW413 = —(2ЕА2а2 П2 — А2ПаС — ЕА2П2

— ЕА2 П4 + 2С2ЕП2 + 3А2ПзаС + 2ЕВ 2П2 + 2Е 3П2 +2ЕА2)/(8П2),

divW423 = А(С2 + П2Е2 + 2А2 + 2А2П2 — 2С2П2

— 2А2П3 — 2Е2 — 2А2)/(8П3),

divW424 = (1 /8)АВ(4аЕП — С + 3СП2)/П,

divW434 = —(1/8)АВ (4аСП + ЕП2 — 3Е )/П.

Из уравнения divWзlз =0 и ограничений на структурные константы (А > 0, В > 0, П > 0, а > 0) получаем, что П=1. Решая систему уравнений divW = 0 (добавив к нему уравнение П = 1) относительно структурных констант А, В , С, П , Е и параметра а, получаем следующие действительные решения:

1.А = В = С = Е = 0, П = 1, а е М.

2.А е М, В = С = Е = 0, П = 1, а = 0.

3.А е М, В = —2Аа, С = Е = 0, П = 1, а е М.

4.А е М, В = 2Аа, С = Е = 0, П = 1, а е М.

При А > 0 и а > 0 лишь четвертое решение удовлетворяет ограничениям леммы. Следовательно, для метрической алгебры Ли {А^ 11, (•, •}} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид: с11 4 = 2Аа, с12 3 = В, с2 4 = с3 4 = Аа, с3 4 = —АП, сд 4 = А/П, при А > 0, В = 2Аа, П =1, а > 0.

Алгебра А4 , . Фиксируем ортонормирован-ный базис леммы. В виду того, что в выбранном базисе: Wl2l2 = Wз434, Wl2lз = —W2434, ^^1214 = ^^2334, ^^1223 = Wl434, Wl224 = —Wl334, Wl3l3 = ^^2424, ^^1323 = —Wl424, и Wl4l4 = W2323 заключаем из (1), что существенными компонентами тензора Вейля являются

W1212 = (1/6)(2ПС + П2 + С2 — 2Е2 — 2С2, ^^1213 = (1/2)ЕП + (1/4)(ЕС + ВС), ^^1214 = —91/4)АС, ^^1223 = —(1/4)(ВЕ + СП) — (1/2)СС, ^^1224 = 1/4АЕ,

W1313 = (1/6)(Е2 — 2П2 + С2 + С2 — ПС,

^^1323 = (1/2)(ВС + ВП),

W1414 = (1/6)(П2 + Е2 + С2 — ПС — 2С2).

При этом компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (2) примут вид

divWll2 = (1/8^ (3С + 5Б),

divW113 = (1/8)А(-2С2 + 2Б2 + 7F2 + 2С2,

divWll4 = (1/4)(ВС2 +3ВБ2 - 3ВС2)

- (1/8)^СБ - 7BF2 - 4FСC), divWl2з = (5/8) АС^

divW124 = (4F2 Б + F 2С + 4Б3 + 2Б2С + 2С2С

- 4(А2 + В2)(С + Б) + 2С3 + 5FBС)/8, divW134 = ^СБ - В СБ - 7ВСС - FC2 + 4(FБ2 - А^ - B2F + F3 + FС2))/8, divW2l2 = -(1/8)АС(5С +3Б), divW2lз = (5/8) АС^

divW214 = (1/2)(С2С - А2Б - А2С - В2С + С3

- В2Б) + (1/8)(С2Б + 5FBС) + (1/4)(Б3 + F2 Б + БС2),

divW223 = (1/8)А(2С2 - 2Б2 + 2F2 + 7С2), divW224 = (1/4)^2 - 3ВБ2 +3ВС2) + (1/8)(7ВС2 + 4FСБ - FСC), divW234 = (1/8)(4С(С2 - А2 + С2 + F2 - В2)

- 7BFБ - BFC - СБ2 + ССБ), divWзlз = -(1/2)A(2BF + СС),

divW314 = (1/4)^С2 - 5ВСС - В СБ + А2 F

+ F3 - 3В2F + FБ2),

divWз2з = -(1/2)А(2ВС + FБ),

divW324 = (2СС2 - 10BFБ - 6В2С + 2А2С

- 2BFC + 2СF2 + 2С3)/8,

divW334 = -(3/8)(3BF2 + 3ВС2 + FСC + FСБ), divW412 = (2БС2 - 2Б3 + 2С3 - F2C - 2F2Б + 2С2С + С2Б - 2Б2С)/8, divW413 = (1/8)(FC2 - 3ВСС - ВСБ - 2В^

- FCБ + 6A2F - 2FБ2 - 2F3 - 2FG2), divW414 = (1/8)A(8BF + 3СБ + 9СС), divW423 = (1/8)(6А2С - ССБ - 2СС2 + СБ2

- 3BFБ - BFC - 2В2С - 2GF2 - 2С3, divW424 = (1 /8)(8ВС + 3FC + 9FБ), divW434 = (9/8) А^2 + С2).

Из уравнения divW2lз = 0 данной системы и ограничений на структурные константы (А > 0, С < 0, Б > 0), получаем что F = 0 или С = 0. Если F = 0, то из равенства divW313 = 0 и С < 0 находим, что С = 0. Если С = 0, то из divWз2з = 0 и Б > 0 заключаем, что F = 0. Это означает, что система уравнений divW = 0 имеет решение, только если F и С равны нулю одновременно. Решая приведенную выше систему уравнений divW = 0 (добавив условия F = 0 и С = 0) относительно структурных констант А, В, С, Б, F, С, получим следующие действительные решения:

1. А = Б, В = F = С = 0, С = Б, Б е М.

2. А = -Б, В = F = С = 0, С = Б, Б е М.

3. А, В, Б е М, С = -Б, F = С = 0.

4. А = V7£>2 -52, в, В е М, С = В, Р = С = 0.

5. А = -у7!)2 - в2, в, В е М, С = В, Р = С = 0.

Так как при А > 0 и Б > 0 только третье решение удовлетворяет ограничениям леммы, то для метрической алгебры Ли {А4 ,12, (•, •}} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если нетривиальные структурные константы имеют вид с]; з = с2 3 = А, с]; 4 = с2 4 = В, с2 ,4 = -с; ,4 = -Б, где А > 0, Б > 0. Теорема доказана.

Замечание 3. Среди четырехмерных действительных неунимодулярных неразложимых алгебр Ли конформно плоскими являются лишь алгебры А^ при А, В, С е М, Ь > 0, а = в = 1; А^'в при А = В = 0, С =1, Ь> 0, а = в> 0, а также А4 ,12 при А > 0, С = -Б, Б > 0, F = С = 0.

Замечание 4. Решение систем алгебраических уравнений настоящей работы проводилось с использованием пакетов аналитических расчетов, что позволило оптимизировать вычислительную часть исследования.

Библиографический список

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. / пер. с англ. — М., 1990.

2. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-

ский В.В. О гармонических тензорах на трехмер-

ных группах Ли с левоинвариантной римановой

метрикой // ДАН. — 2008. — Т. 419, №6.

3. Гладунова О.П., Славский В.В. Гармонический тензор Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Мат. труды. — 2011. — Т. 14, №1.

4. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых

метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимо-дулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12, №1.

5. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1963. — Т. 32, №1.

6. Listing M. Conformai Einstein spaces in N-dimensions // Ann. Global Anal. Geom. — 2001. — V. 20.

7. Milnor J. Curvature of left invariant metrics on Lie groups //Advances in mathematics. — 1976. — №21.

8. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. — Oxford, 1965.