CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 3-16
УДК 514.765
О КОНФОРМНО ПОЛУПЛОСКИХ 4-МЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ
О. П. Гладунова, Е. Д. Родионов, В. В. Славский
В статье дается классификация конформно полуплоских алгебр Ли вещественных четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой.
Ключевые слова: алгебры и группы Ли, левоинвариантные римановы метрики, конформно полуплоские группы Ли.
В статье исследуются римановы многообразия, для которых автодуальная или антиавтодуальная составляющая тензора Вейля Ш равна нулю (см., например, [1]). Такие многообразия принято называть конформно полуплоскими [1, 2], в отличие от конформно плоских (Ш = 0). Конформно плоские римановы метрики исследовались в [3, 4]. Однородные конформно плоские римановы многообразия классифицированы Д. В. Алексе-евским и Б. Н. Кимельфельдом в [5]. Вопрос о классификации конформно полуплоских однородных римановых многообразий в общем случае остается открытым. В настоящей работе дана классификация конформно полуплоских вещественных четырехмерных алгебр Ли групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. При этом существенно использовались классификация Г. М. Мубаракзянова вещественных четырехмерных алгебр Ли [7] и результаты работ А. Г. Кремлева иЮ.Г. Никонорова [8, 9].
Пусть (М, д) — ориентированное риманово многообразие размерности п, а Х, У, Т, V — векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита и через К(Х, У)Т = , VX]Т + V[x,Y]T — тензор кривизны Римана. Тензор Риччи г и скалярную кривизну в определим соответственно как г(Х, У) = ^^ ^ К(Х, V)У) и в = 1;г(г). Разделим тензор кривизны К на метрический тензор д в смысле произведения Кулкар-ни — Номидзу [1], получим тензор Вейля Ш и тензор одномерной кривизны А:
К = Ш + А® д, (1)
где
(А®д)(Х, У, Т, V) = А(Х, Т)д(У, V) + А(У, V)д(Х, Т) - А(Х, V)д(У, Т) - А(У, Т)д(Х, V),
А=^-(г- 39
n - 2 V 2(n - 1)У '
Будем считать далее, что dim M = 4. Тогда риманова метрика g индуцирует скалярное произведение (■, •) в слоях пространства расслоения Л2М по правилу
(Xi Л X2, Y Л Y2)x = det(gx(Хг, Yj)).
© 2011 Гладунова О. П., Родионов Е. Д., Славский В. В.
Оператор Ходжа * : ЛХМ ^ №xM, задаваемый соотношением
(*а,Р) vol = а Л в (V а, в £ л2ХМ, x £ М), где vol — форма объема на М, обладает тем свойством, что *2 = Id. Отсюда
лХм = л+ е л-, (2)
где Л+ и Л- обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям +1 и —1 оператора *.
Риманову тензору кривизны в любой точке можно поставить в соответствие оператор
Я : ЛХМ ^ ЛХМ,
определяемый равенством
(X Л У, Я (Т Л V ))х = Кх(Х,У,Т,У), (3)
где Кх(Х,У,Т,У) = дх(К(Х,У)Т, У).
Матрицу оператора кривизны Я относительно разложения (2) можно представить в блочном виде [10]:
R =
W+ + j|Id z
Zf
(4)
где Ш + и Ш- — матрицы автодуальной и антиавтодуальной составляющих тензора Вейля Ш.
Любой ортонормированный базис Е\,Е2,Е3,Е4 пространства ТХМ определяет орто-нормированный базис
(Ег ЛЕ2±Е3Л Е4),
^(Ег АЕ3±Е4АЕ2), (5)
(Ег ЛЕ4±Е2Л Ез)
у2
пространства л±М (см., например, [1]).
Отметим, что матрицы Ш + и Ш- являются симметричными и их компоненты в ортонормированном базисе (5) находятся по формулам:
1 в ^11 = 2 №212 + 2/?1234 + -Й3434) —
+ 1 в ^22 = 2 №313 ~~ 2/?1324 + -Й2424) —
+ 1 в 1У+ = -(-Й1414 + 2-Й1423 + -йгзгз) — 777,
12 12 (6)
^12 = 2 №213 + -^1242 + -Й3413 + -Й3442),
1Г+ = -(-Й1214 + -Й1223 + -Й3414 + -Кз42з), ^23 = 2 №314 + -^1323 + -Й4214 + -Й422з),
и, соответственно,
- в
^44 — о №212 — 2-Й1234 + -Й3434) —
2 1212 1234 у 12' 1 в 2 (-^1313 + 2-Й1324 + -Й2424) —
1 в -(^1414 ~ 2/?1423 + -Й2323) —
- 1 (7) ^45 — 2 №213 ~~ -^1242 — -^3413 + -^3442),
^46 = 2 №214 ~~ -^1223 — -^3414 + -Й3423),
^56 = 2 №314 ~~ -^1323 — -^4214 + -Й422з)-
Пусть, далее, М = С — группа Ли с алгеброй Ли д. Фиксируем в д базис Е1,Е2, Е3,Е4 левоинвариантных векторных полей С и положим
[Е]= с£ Е, Е? = Г£ Е, (Е) = д., (8)
где {с?} — структурные константы алгебры Ли, {д.} — метрический тензор. Пусть с. = с —д^. Тогда символы Кристоффеля первого и второго рода вычисляются соответственно по формулам
- {с-цк ~Ь IV > (9)
где Нд^Н есть матрица обратная к Цд^ ||.
Из (8) и (9) очевидно следует, что тензоры Римана Я.ы, Риччи rik, скалярная кривизна в и тензор Вейля Ш.м являются функциями структурных констант с- и компонент метрического тензора д. (см. также [3]). Следовательно, тем же свойством обладают компоненты Ш + и Ш
Нам понадобятся следующие результаты работ [8, 9].
Лемма 1. Для произвольного скалярного произведения (-, •) на четырехмерной действительной разложимой унимодулярной алгебре Ли д существует (-, •)-ортонормиро-ванный базис, в котором ненулевые структурные константы алгебры Ли д имеют вид [8]:
с?,2 = А, с1,2 = -АМ, с2,з = В, с4,з = -ВК, с2,з = -С, с^ = СЬ,
где К, Ь, М е Ж — произвольные, А, В, С £ Ж и А ^ В ^ С.
В зависимости от знаков чисел А, В и С получаются различные алгебры Ли. Все они с точностью до изоморфизма приведены в таблице 1, основанной на результатах Дж. Милнора о трехмерных унимодулярных алгебрах Ли [11]. Здесь 4А1 — коммутативная алгебра Ли, а каждая А3^ есть унимодулярная алгебра Ли размерности 3 (см. [7]).
Таблица 1
Алгебра Ли Знаки А, В, С
а1 0,0,0
а3д е а1 0,0,+
а3)4 е а1 -,о,+
а3)6 е а1 о,+,+
а3)8 е а1
а3)9 е а1
Таблица 2
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
А4Д = А) с3,4 = В, Сз;4 = С А > 0, С > 0
А а4,2 С1 4 = —2А, С2 4 = В, ¿2 4 = С3 4 = С, 4,4 = В, с|4 = А А > 0, В > 0
4,4 = А, = В, 4А = С, 4А = В, с|4 = 4,4 = -А - С А > 0, С < 0
߀ (0,+оо) 4 4 = -2А, 4 4 = В, с| 4 = А + С, с! 4 = В, 4 4 = с1,4 = С, с|,4 = А - С А>0, В <0, G > 0
> со 4.3 = А, 4а = в, 4А = с, 4А = в, 4А = 4.4 = -С А > 0, С > 0
A4, Ю С2,3 = А, С2,4 = В, С2,4 = С, С3 4 = В, С3 4 = С А>0, С <0, G* > 0
Таблица 3
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
А2 0 2А1 CÍ.2 = A, 4,2 = В А > 0,В > 0
2А3 4,2 = A, 4¡3 = в, 4,з = с, 4а = g, 4а = F(A - в), 4а = в, ci,4 = —FG, А > 0, G > 0
Аз,2 0 А1 с1,з = с2,з = А, с13 = В, с2,з = С, с2,з = В А > 0, С > 0
Аз,з0А1 4,з = 4,з = А, 4,з = в А > 0, В > 0
А£б 0 А1 4,з = А, 4,3 = В, 4,3 = С, 4,3 = Аа, 4,з = D А > 0, 0 < \а\ < 1
Аз, 7 0 А1 4,3 = 4,3 = otb, 4,3 = -AL, 4з = BL, 4,з = L/A, 4з = CL L > 0, А > 0, а>0
Таблица 4
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
А?,2 c1 cä 4 = o.L, 4,4 = А(а — 1 )L, 4,А = 4,4 = L, 4 = (В(а - 1) - AC)L, 4,4 = CL, ' С > 0, L > 0, а 4 0,-2
> со 4 4 = L, 4,4 = AL, 4,4 = BL, C3 4 = CL С > 0, L > 0
A4,4 4 4 = c2,4 = сз,4 = L, c2,4 = AL, C3 4 = BL, C3 4 = CL, A>0, C>0, L>0
А0^ 4,5 4 4 4 = A(a — 1 )L, 4,4 = cL, 4,4 = ßL, 4,4 = C(a — ß)L, 4,4 = L, 4 = (AC(a - 1) +B(ß- 1))L, -1 < a ß < 1 L > 0, aß ф 0, a + ß 4-1
4,6 4 4 4 = aL, 4,4 = AL, 4,4 = 4,4 = ßL, 4,4 = CM = BL, 4 = CL C>0,L>0,a/0, ß > 0
A4,7 4 4 = 2A, 4,3 = B, 4,4 = C, 4,4 = A, 4,4 = D, 4,4 = F, C3 4 = A A> 0, В > 0, F > 0
А0 4 4 4 =A(ß+ 1), 4,3 = В, 4,4 = С, 4,4 = А, 4,4 = D, 4 = F(1- ß), C3 4 = Aß А > 0, В > 0, -1 < ß < 1
4 4 4 = 2Aa, 4 3 = B, 4 4 = C, 4 4 = Aa, 4 4 = -AB, C3 4 = F, А 3 ' А ' ' ' ' 4 = ]j, c3,4 = Aa А > 0, В > 0, B>0, а > 0
A4,12 4 4 3 = c2,3 = А, C1A = C2,4 = В, C1A = С, C2,4 = В, C3 4 = F, 4 = G А>0, С <0, В >0
Лемма 2. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной действительной неразложимой унимодулярной алгебре Ли д существует (•, •)-ортонормиро-ванный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 2 [8].
Лемма 3. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной алгебре Ли д существует (•, •)-ортонормиро-ванный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 3 [9].
Лемма 4. Для произвольного скалярного произведения (•, •) на четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебре Ли д существует (•, •)-ортонорми-рованный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 4 [9].
Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Пусть О — вещественная 4-мерная группа Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой. Тогда
1) Ш + = 0 в том и только том случае, если Ш = 0;
2) Ш- =0 в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий: либо Ш = 0, либо алгебра Ли группы О есть одна из алгебр следующего списка: алгебра Ли А4 9 (-1 < в ^ 1) с набором структурных констант с} ,4 = 2А, с23 = с24 = с| ,4 = А > 0, в = 1 или с} , 4 = с2, 3 = 2А, с2, 4 = с3, 4 = А > 0, в = 1; алгебра Ли А4>}} (а > 0) с набором структурных констант с} 4 = 2Аа, с2 3 = с2 4 = с3 4 = Аа, с| 4 = —с3 4 = -А,
A > 0 или c i 4 = c2 3 = 2Аа, c3 4 = c3 4 = Аа, c| 4 = -c2 4 = -А, A > 0.
" } , 4 — , 3 — , 4 "" ь3 , 4 "" , 4 "" ь3 , 4
с2 с3 4
< Фиксируя базис работы [8] на 4-мерной унимодулярной разложимой алгебре Ли и применяя формулы (6) и (7), определяем элементы блоков Ш + и Ш- в матрице оператора кривизны (4):
W+ = W4~4 = -(АС - 2А2 - 2А2М2 + С2 + В2 + AB + C2L2 + В2К2 - 2cs), ^22 = W55 = ¿(АС + А2 + А2М2 - 2С2 + В2 — 2AB - 2C2L2 + В2К2 + cs),
W33 = wm = g (А2 + А2М2 + С2 - 2АС - 2В2 + AB + C2L2 - 2В2К2 + CS), И^ = j(2AMCL -BKA + CBK), = i(CLB - ACL - 2AMBK), И^з = i (AMB - CAM + 2 В KCL), И^ = ^ (2AMCL + BKA - CBK), W4g = ^(2AMBK - С LA + CLB), W^ = j(AMB - 2BKCL - CAM).
Находим решения систем уравнений W + = 0 и W- = 0 относительно структурных констант А, B, C, K, L, М. Получаем, что решения данных систем уравнений совпадают и равны:
1. А = B = C = 0, K, L, M G R.
2. А = B, C = K = M = 0, B, L G R.
3. А = C, B = L = M = 0, C, K G R.
4. А = K = L = 0, B = C, C, M G R.
5. А = B = CL3 + C, K = M = 0, C, L G R.
6. А = C = B + BK3, L = M = 0, B, K G R.
7. B = C = А + АМ3, K = L = 0, А, M G R.
Сопоставляя полученные результаты с данными таблицы 1, получаем, что все четырехмерные действительные разложимые унимодулярные алгебры Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой и W± = 0, исчерпываются следующими алгебрами: 4A 1, A3 , 6 ф A 1, A3 , 9 ф A 1 с ограничениями из леммы 1. Отметим, что для указанных алгебр Ли тензор Вейля W тривиален.
Далее мы последовательно рассмотрим все вещественные четырехмерные унимоду-лярные неразложимые алгебры Ли, чем и завершим доказательство теоремы в унимо-дулярном случае.
Алгебра A4 , 1. Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и, применяя формулы (6) и (7), вычислим компоненты блоков W + и W- в разложении оператора кривизны. Получаем следующие нетривиальные компоненты:
^п = ^44 = I(А2 " 2В2 - 2С2), W+ = W5~5 = i(В2 + С2 - 2А2),
W+=W^ = \(A2 + B2 + C2), W+=W^=l-AB, W+ = -Wä = -\AC.
Ввиду того, что структурные константы А и С положительны, ни одна из систем уравнений Ш + = 0 и Ш- = 0 решений не имеет.
Алгебра А-2. Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и находим компоненты матриц Ш + и Шиспользуя (6) и (7):
\У+ = \¥4~4 = -(6А2 + В2 - 2С2 - 2В2), = = -(6А2 - 2В2 + С2 + И2),
Изз = = ^(-12 А2 + В2 + С2 + В2), = \¥4~5 = \{СВ + 2АВ), 6 2
1 5
1Г+ = ^Г6 = -(5АС-ВВ), 1Г+ = -ИАВ.
Нетрудно заметить, что при ограничениях на структурные константы А > 0 и О > 0 системы уравнений Ш + = 0 и Ш- =0 не имеют решений.
Алгебра А^'с"1-", а £ (—1, • Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим компоненты блоков Ш + и Ш- в разложении оператора кривизны:
1У+ = \У4~4 = - (В2 - 2А2 - 2В2 - 2С2 - 2Е2 - 8АС), = = ^(4А2 - 2В2 + В2 - 2С2 + Е2 + 4АС), И^ = И^66 = \{В2 + В2 - 2А2 + 4С2 + Г2 + 4АС),
И^ = 1¥4~5 = ^(2 В В - АГ + 2СЕ),
1
4(
1
Г
УГ+ = -И^ = 7 (1X7 - ЕЕ - 2АЕ>),
Легко проверить, что системы уравнений Ш + = 0 и Ш =0 не имеют решений в силу ограничений на структурные константы А > 0, С < 0.
Алгебра А4 ^ в, в € (0, Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и
вычислим компоненты матриц Ш + и Ш- в разложении оператора кривизны:
1Г+ = 1¥4~4 = ^(6А2 + В2 - 2Е2 - 2С2 -СВ +В2 - 2С2 + 12АС),
^22 = ^55 = -(6А2 - 2В2 + Е2 - 2С2 -СВ- 2В2 + С2 - 12АС),
Изз = ^66 = ~(В2 + В2- 12 А2 + 4С2 + 2 СВ + В2 + С2),
= И^ = ^(ВЕ + 2АВ + 2АС - ВС + 2СС),
1
4( 1
4'
УГ+ = -И^ = 7(5АЕ + СЕ - ВС),
= -И^56 = Т(ЕЕ> - 5АВ + ВС).
Так как А> 0, О < 0 и О> 0, то, как легко заметить, ни одна из систем уравнений Ш + = 0 и Ш- =0 решений не имеет.
Алгебра А4 , 8. Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и найдем компоненты блоков Ш + и Ш- в разложении оператора кривизны:
1У+ = \У4~4 = -(А2 + В2 - 2В2 - 2В2 - 2С2 - ЗАС), = УУы = 1(А2 - 2В2 + В2 + Е2 - 2С2 + 3АС),
Изз = ^66 = \(в2 ~ 2А2 + О2 + Е2 + АС2), 1У& = ^(2ВВ- АЕ + 2СЕ), И^ = ^-(1Х7-£Е-2А£>), И-^ = + С),
+ АЕ + 2СЕ), \¥46 = ^(-ВС + ВГ-2АВ), И^ = ^
Поскольку А и С положительны, то системы уравнений Ш + = 0 и Ш- = 0 не имеют решений.
Алгебра А4 , 10. Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим компоненты блоков Ш + и Ш- в разложении оператора кривизны. Соответственно, имеем
1
б1 1
б1
1 б1
\У+ = \¥4~4 = -(А2 + В2 - 2В2 - 2С2 + С2 - СС), = 1¥5~5 = ^(А2 - 2В2 + В2 + С2 - 2С2 - СС), ^зз = ^66 = - 2А2 + 02 + {С + С)2),
=-(2ВВ - АС - АС), = АВ + ВС), =-(2АВ + ВС), \¥45 = ^(2ВВ + АС + АС), Ш46 = -^(ВС -2АВ), И^ = ^-(2АВ - ВС).
Очевидно, что системы уравнений Ш + = 0 и Ш- =0 не разрешимы при заданных ограничениях на структурные константы А > 0, С < 0, С > 0.
Теперь рассмотрим последовательно каждую неунимодулярную разложимую алгебру Ли из таблицы 3.
Алгебра А2 ф 2А1. Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. С помощью формул (6) и (7) определим компоненты Ш + и Ш- в разложении оператора кривизны (4).
^п = ^44 = --(А2 + В2), W+ = \¥5~5 = ^(А2 + В2), Щ+з=^6-6 = ^(А2 + В2).
Решая систему уравнений Ш + = 0 и Ш- = 0 относительно структурных констант А, В и принимая во внимание, что А > 0, получим, что настоящие системы уравнений решений не имеют.
Алгебра 2А2. Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Применяя (6) и (7), находим компоненты Ш + и Ш-:
1 б1
+Е2 + В2А2 + В2Е2 - 2В2С2 + 3АВС),
\У+ = И^44 = ~(АВ( 1 - 2В2) - 2С2 + В2 - 2А2 + С2
1 6
1 6
-2Б2 - 2Р2(А2 + Б2) + Р2О2 - 3ЛРО) 1 4
1 2
= ^(2 врв - 2 вра - 2 с в - рос - во + ас), \¥4~5 = 7 - рса - 2ав - 2 вро + 2СС + в в)
и^ = и^ = -(а2 - 2ав{р2 + 1) + о2 - 2в2 - 2с2 + в2 + р2а2 + р2в2 + ^2с2), ^зз = ^66 = т:(^2ав + с2+ ав + в2+ а2+ с2
^12 = ~{рСЕ> ~ РСА ~ 2АВ + 2вро - 2 ос + в в), = ар в - а2р + р2оа - р2ов - о в),
4
1 2'
1
1у4~6 = -(арв - а2р - р2оа + р2ов - о в),
= -(2врв - 2вр а - 2св + рос + во + АС).
Решая системы уравнений Ш + = 0 и Ш- = 0 относительно структурных констант Л, В, с, Б, р, О, получим, что данные системы уравнений решений не имеют.
Алгебра Аз,2 ф А1. Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. С помощью формул (6) и (7) замечаем, что в этом базисе элементы блоков Ш + и Ш- равны:
= \г4-4 = 1(с2 + в2 + в2), = \г5-5 = 1(с2- 2в2 + в2),
Щ+з = ^66 = ^(-2С2 + в2 - 2в2),
щ+2 = -^4-ъ = -\(ав), ш+=ш5-6 = ^(вс-ав), ц1+ = ш^ = -1-(ас + вв).
Очевидно, что при имеющихся ограничениях на структурные константы А и С (А> 0, С > 0) системы уравнений Ш + = 0 и Ш- =0 не разрешимы.
Алгебра Аз,з ф А1. Фиксируем соответствующий ортонормированный базис. Компонентами матриц Ш + и Ш- с учетом (6) и (7) являются:
ш+ = ш44 = \в2, ш+ = ш^ = 1ъв2, = = ш+ = ш4, = -\ав.
Решая системы уравнений Ш + = 0 и Ш- = 0 относительно структурных констант Л, в и принимая во внимание, что Л > 0, получим одно действительное решение Л > 0, в = 0. Заметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля Ш = 0.
Алгебра А^ф А1, 0 < |а| < 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Согласно (6), (7) компоненты блоков Ш + и Ш-задаются равенствами:
1 6(
\у+ = \¥4~4 = ~(с2- 2а2а + а2 + в2 + а2а2 + в2),
^22 = ^55 = + Л2® ~ 2А2 ~ 2В2 + + Изз = ^66 = - 2°2 + А2 + В2- 2а2А2 - 2В2), = = ~\аав, ш+ = ш46 = \(вс-ав), w+ = -и^ = -\{са + вв).
Нетрудно заметить, что ни одна из систем уравнений Ш + = 0 и Ш- = 0 не имеет решений при заданных ограничениях на структурные константы А, В, С, О и параметр а леммы 3.
Алгебра А^ 7ф А1, а > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем соответствующий ортонормированный базис. Используя равенства (6), (7), находим компоненты Ш + и Ш
= \¥4~4 = ^(1 + А4 + В2А2 + С2А2 - 2А2),
^22 = = ТГТо С1 - 2А4 ~ 2В2А2 + °2А2 + А2),
О2
'22 - ""55 - 6А2
О2
'33 - ""66 - 6А2 '
^33 = И^6-6 = (-2 + А4 + В2А2 - 2С2А2 + А2),
^М + СА), = Ш46 =
С2 2 А'
= -^4~5 = + СА), = \¥4-6 = - — (аСА - В),
Г2
Щ+3 = -^56 = —("« + А2« - СБА).
Решая системы уравнений Ш + = 0 и Ш =0 относительно структурных констант А, В, С, Ь и параметра а, для каждой из них получим следующее действительное решение:
А = 1, В = 0, С = 0, Ь> 0, а > 0.
Отметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля Ш тривиален.
Рассмотрим теперь последовательно каждую неунимодулярную неразложимую алгебру Ли из таблицы 4, что завершит доказательство теоремы.
Алгебра А",2, а = 0, а = -2. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. С учетом (6) и (7) нетривиальные компоненты блоков Ш + и Ш- имеют вид:
Ь 2
ТУ+ = = — (4ВАС - АВаАС + 2С2 + а - а2 + 2А2а 6
—А2а2 - А2 + 2А2С2 - 4В2а + 2В2а2 + 2В2), Ь2
^22 = ^55 = у {2ВАС + С2 - 2ВаАС -а + а2 + АА2а 2 2 2 2 2 2 2 2
—2А2а2 — 2А2 + А2 С2 — 2В2а + В 2а2 + В2), Ь2
^зз = ^66 = у (2ВАС - 2ВаАС + С2 + 2а - 2 а2 - 2А;
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+А2а2 + А2 + А2 С2 — 2В2а + В 2а2В2),
Ь 2
^12 = ^45 = - — - 2АВа2 + 4АВа - 2АВ + 2А2аС - 2 А2С - 2С),
Ь2 ь2 А
^13 = -^46 = — («АС + ЗВа - В - 2Ва2), = -И^ = —(2а - 1)(а - 1).
Нетрудно проверить, что системы уравнений Ш + = 0 и Ш + = 0 не имеют решений при заданных ограничениях С > 0, Ь > 0, а = 0, —2 на структурные константы А, В, С, Ь и параметр а.
Алгебра А43. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Нетривиальными компонентами матриц Ш + и Ш- согласно (6), (7) являются
Г 2 Г 2
1Г+ = 1Г4-4 = ^(А2-2В2 + 1- 2 С2), 1Г+ = 1Г5-5 = -^(2А2 -В2- 1 - С2),
Щ+3 = ^66 = —{А2 + В2-2 + С2), = \¥4-5 = —(2АВ - С),
г 2 1
= "^46 = --г(25 + АС), = -И^ = -В2 А.
Очевидно, что системы уравнений Ш + = 0 и Ш =0 неразрешимы при имеющихся ограничениях С > 0, Г > 0 на структурные константы А, В, С, Г.
Алгебра А44. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Заметим, что в данном базисе согласно (6) и (7) компоненты блоков Ш + и Ш- соответственно равны:
^п = ^44 = у (а2 - 2 В2 - 2 С2), УУ+ = и^ = - — (2а2 -В2- С2),
Г 2 г 2
^зз = ^66 = —(А2 + В2 + С2), = Ж4~5 = —(С + 2АВ),
Г 2 1
= "^46 = ~Т(АС + ^ = "^56 = ^А.
Легко заметить, что системы уравнений Ш + = 0 и Ш- =0 не имеют решений, удовлетворяющих условиям леммы 4.
Алгебра А^, ав = 0, —1 ^ а ^ в ^ 1, а+в = — 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4 и, применяя (6), найдем элементы матрицы Ш + в разложении оператора кривизны.
Г2
= - — (2А2С2а2 - 4А2С2а -1 + 2(З2 - а2 - АВ2/3
—4АСаВ — 4АСВв + 2В 2в2 + 2А2С2 + 4АСаВв + 4АСВ + 2А2 а
—А2а22а — ав + 2С 2в2 + 2С2 а2 — в — А2 + 2В2 — 4С 2ав), л2
= — (1 - 2А2С2а + А2С2а2 + ¡З2 - 2В2(3 - 2АСаВ - 2АСВ(3
+В 2в2 + А2С2 + 2АСВ + 2АСаВв + 4А2 а — 2А2а2 + а + ав + С 2в2 + С 2а2
22
—2в — 2А2 + В2 — 2С 2ав — 2а2),
С
И^ = — (/З2 - 2А2С2а - 2 + А2С2а2 - 2В2/3 - 2АСаВ —2АСВв + В2в2 + А2С2 + 2АСВ + 2АСаВв — 2А2 а + А2а2 + а —2ав + С 2в2 + С2 а2 + в + А2 + В2 — 2С 2ав + а2),
с2
^12 = — (2А2Са2 - 4А2Са + 2АаВ(3 + С(3 —2АаВ + 2А2 С — 2АВв + 2АВ — Са + 2Са2 — 2Сав),
^13 = — (аВР ~ 2АСа -®В + АСа(3 + 2В + 2АС - 2В(3 - АС/3),
АС2
= - —(/3-2)(а-1),
2
Аналогично, используя (7), заключаем, что W44 = W+, W55 = W+, W66 = W3+, W45 = W+, W4- = —W+ и W— = -W+.
Непосредственно проверяется, что системы уравнений W + = 0 и W =0 при заданных ограничениях L > 0, ав = 0, а + ß = -1, —1 ^ а ^ ß ^ 1 на структурные константы A, B, C, L и параметры а, ß имеют единственное действительное решение
A,B,C G R, L > 0, а = ß = 1.
Отметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля W тривиален.
Алгебра A^, а = 0, ß ^ 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Используя формулы (6), (7), найдем компоненты W+ и W-:
Г2
W+ = W4-4 = ~^(А2С2 - C2aß - 2В2С2 + С2а2 + 1-2С4 + С2), 6C L2
W22 = w5~5 = -7^2 (2А2С2 + C2aß - В2С2 - С2а2 + 2 -С4- С2), 6C
L2
w33 = ^66 = (а2°2 + 2°2aß + В2 С2 - Ж2®2 + 1 + С4 - 2С2)
6C
W12 = W4~5 = —(2АСВ + а~ °2(Х ~2ß + 2 C2ß),
L2L W+ = -Wf6 = —-(-Bß + АС + 2a В), W£ = -W^ = —{-В - ACß+ 2 ACa).
L2 4 С'
Bß + AC + 2aB), = = ^
Решаем системы уравнений W + = 0 и W- = 0 относительно структурных констант A, B, C, L и параметров а, ß. Учитывая, что C > 0, L > 0, а = 0, ß ^ 0, получаем одно действительное решение
A = B = 0, C = 1, L > 0, а = ß> 0.
Заметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля W = 0. Алгебра A4 , 7. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4 и найдем компоненты блоков W + и W- в разложении оператора кривизны, применяя равенства (6) и (7):
1
б1 1
6( 1
6(
j(2CB-BF), W^ = -j(2BB + 3AB + CF), W^ = \{2 CD + BF), W46 = -\(2BB-3AD-CF), =
Нетрудно заметить, что системы уравнений W + = 0 и W- =0 не разрешимы при заданных ограничениях на структурные константы A > 0, B > 0, F > 0.
Алгебра A4 9, —1 < ß ^ 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Тогда, учитывая (6), получаем:
= ^(С2 + В2 + 2A2ß + 4F2ß - 2F2ß2 - 2F2 - 2В2 + ЗАВ/3),
W& = ^(-2С2 + В2 + 2A2ß - 2F2ß +F2ß2 + F2 + D2 + ЗАВ),
wu = w44 = ~{В2 + С2 + 2А2 - 2В2 - 2F2 + ЗАВ), w22 = W55 = ^(В2 - 2С2 + 2А2 + В2 + F2 + ЗАВ), w33 = wm = é(°2 - 2ß2 - 4А2 + D2 + F2 - 6AB), wn = l(2CD-BF), = -j(2BD + 3AD + CF), W^ = jC(2B + ЗА),
W4~5 = -(2CD + BF), W4& =--(2BD-ЗАВ-CF), = ~ЛС{2В - ЗА).
И^з = - (С2 - 2В2 - 4А2/3 - 2Р2/3 + Р2/32 + Р2 + В2 - зав/3 - ЗАВ), ^12 = \ (2СВ + АРР2 + ЛР - 5Р + ВР(3 - 2АР/3),
^44 = ^(С2 + 52 + 2А2/3 + 4Р2/3 - 2Р2(32 - 2Р2 - 2Р>2 - ЗАВ/3),
= |(-2С2 + В2 + 2А2/3 - 2Р2/3 + Р2[З2 + Р2 + В2 - ЗАВ),
^66 = ~(С2 - 2В2 - АА2(3 - 2Р2(3 + Р2/32 + Р2 + В2 + ЗАВ/3 + ЗАВ), 6
И^ = 7(2С£> + ЛР/32 + ЛР + 5Р - ВР/З - 2АР/3), И^ = ^{-2ВВ + АО + СР - СР(3 + 2/ЗАО), = 7С(25 - (ЗА - 2А).
И^ = ^(~2ВВ -АВ-СР + СР(3 - 2¡ЗАВ), = ^С{2В + ¡3А + 2А).
Очевидно, что система уравнений Ш + = 0 не имеет решений при заданных ограничениях А > 0, В > 0, -1 < в < 1.
Применяя равенства (7), находим:
1
6( 1
б1
1 6(
1
4'
^(-2ВВ + АО + ОР-ОР/3 + 2/ЗАО), И^ =
Решая систему уравнений Ш- =0 относительно структурных констант А, В, С, В, Р и параметра в, получаем следующие действительные решения:
1. В = 2А > 0, С = Б = 0, Р е ж, в = 1;
2. В = А > 0, С = В = 0, Р е ж, в = 1.
Отметим, что для первого набора структурных констант тензор Вейля имеет следующие ненулевые компоненты: Ш1212 = Ш1234 = Ш3124 = Ш2424 = Ш3434 = А2, Ш1414 = ^1423 = Ш2з23 = —2А2. Для второго набора структурных констант таковыми являются: И^1212 = И^1234 = 1^3124 = ^2424 = И^3434 = \А2, \Vui4 = Щ423 = ^2323 = ~А2.
Алгебра А^ц, а > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонор-мированный базис леммы 4. Применяя (6) и (7) в данном базисе, находим:
И^ = -^{В2В2 + С2В2 + 2А2а2В2 - 2Р2Р>2 + А2В4 - 2А2 + А2В2 + 3ВАаВ2), = -^у2(В2В2 - 2С2В2 + 2А2а2В2 + Р2Р>2 - 2А2Р>4 + А2 + А2В2 + 3ВАаВ2), = -¿(2 В2 В2 - С2 В2 + 4 А2 а2 В2 -А2 - А2 В4 + 2 А2 В2 + 6 ВАаВ2 - Р2Р>2), ^12 = ¿(2С™ ~АВ + АВ2В), И^ = ^(25РР> + 3АаРВ + АС),
И^ = - ЛОР + ЗСАа),
1
И^ = -^{В2В2 + С2Р>2 + 2 А2а2В2 - 2Р2Р>2 + А2Р>4 - 2А2 + А2Р>2 - 3ВАаВ2), ^55 = ~ 2С2Р>2 + 2А2а2В2 + Р2Р>2 - 2А2Р>4 + А2 + АР>2 - 3ВАаВ2),
1¥3~3 = ~^(2В2В2 - С2 В2 + АА2а2В2 -А2 - А2 В4 + 2 А2 В2 - 6 ВАаВ2 - Р2Р>2), И^ = ^(2СРВ + АВ- АВ2В), 1¥4~6 = ^(-2ВРВ + 3АаРВ + АС),
= ^ВС + ЛОР - ЗСАа).
Нетрудно заметить, что система уравнений Ш + = 0 не имеет решений при заданных ограничениях А > 0, В > 0, В > 0, а > 0, а действительными решениями системы уравнений Ш- = 0 являются:
1. В = аА > 0, С = Р = 0, В = 1;
2. В = 2аА > 0, С = Р = 0, В = 1.
Отметим, что для первого набора структурных констант тензор Вейля имеет следующие ненулевые компоненты: И^шг = ^1234 = ^3124 = 1^2424 = ^3434 = \А2а2, И^мм = ^1423 = Ш2323 = -А2. Для второго набора структурных констант таковыми являются Ш1212 = Ш1234 = Шз124 = Шм24 = Шз434 = А2а2, ШМ14 = ШМ23 = ^2323 = -2А2а2.
Алгебра А4Д2. Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Из (6) заключаем, что нетривиальными элементами матрицы Ш + являются:
1 6
1 6
1 6
w& = ~{в2 + с2 - 2f2 - 2g2 + 2вс), w22 = -б(.~21)2 + с2 + f2 + с2 - вс + 3ас + зав), w33 = 2°2 + f2 + с2 -вс - 3 ас - зав),
w& = -(2fd + fc + bc- af), = -(-ас -bf-gd- 2сс),
w+=l-b(b + c).
Легко проверить, что система уравнений W + = 0 не имеет решений, удовлетворяющих условиям леммы 4.
Применяя (7), находим компоненты блока W- в разложении оператора кривизны:
w4~4 = ^(в2 + с2 - 2f2 - 2с2 + 2вс), w5~5 = -2D2 + с2 + f2 + с2 - вс - 3ас - зав), w6"6 = ^(в2 - 2с2 + f2 + c2 -dc + 3ас + зав), w4~5 = j(2 fb + fc + bg + af), w^ = j(-ag + bf + cb + -2cc),
w^ = -\b{d + c).
Решая систему уравнений W- =0 относительно структурных констант A, B, C, D, F, G, получаем следующие действительные решения:
A > 0, B G R, C = -D, D > 0, F = G = 0.
Отметим, что для указанного набора структурных констант тензор Вейля W тривиален. Тем самым доказательство теоремы завершено. >
Литература
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна.—М.: Мир, 1990.—704 с.
2. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer I. M. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry // Proc. Roy. Soc. London Ser. A.—1978.—Vol. 362, № 1711.—P. 425-461.
3. Балащенко В. В., Никоноров Ю. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Однородные пространства: теория и приложения.—Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008.—280 с.
4. Nikonorov Yu. G., Rodionov E. D., Slavskii V. V. Geometry of homogeneous Riemannian manifolds // J. of Math. Sciences.—2007.—Vol. 146, № 6.—P. 6313-6390.
5. Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Классификация однородных конформно плоских рима-новых многообразий // Мат. заметки.—1978.—Т. 24, № 1.— С. 103-110.
6. Арсеньева О. Е. О геометрии конформно-полуплоских обобщенных эрмитовых поверхностей // Успехи мат. наук.—1997.—Т. 52, № 6.—С. 149-150.
7. Мубаракзянов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Сер. мат.—1963.—Т. 32, № 1.— С. 144-123.
8. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Мат. труды.—2008.—Т. 11, № 2.— С. 115-147.
9. Кремлев А. Г., Никоноров Ю. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды.—2009.—Т. 12, № 1.—С. 40-116.
10. Singer I. M., Thorpe J. A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces // Global Analysis.—1969.— P. 355-365.
11. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in Math.—1976.—Vol. 21.— P. 293-329.
Статья поступила 26 октября 2010 г.
Гладунова Олеся Павловна Алтайский государственный университет, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 656049, Барнаул, ГСП-1, пр. Ленина, 61 E-mail: gladunova_olesya@mail.ru
Родионов Евгений Дмитриевич Алтайская государственная педагогическая академия, профессор кафедры геометрии и мат. методов в экономике РОССИЯ, 656031, Барнаул, ул. Молодежная, 55 E-mail: edr2002@mail.ru
Славский Виктор Владимирович Алтайская государственная педагогическая академия, профессор кафедры геометрии и мат. методов в экономике РОССИЯ, 656031, Барнаул, ул. Молодежная, 55 E-mail: slavsky@uriit.ru,slavsky2004@mail.ru
ON HALF CONFORMALLY FLAT 4-DIMENSIONAL LIE GROUPS Gladunova O. P., Rodionov E. D., Slavskii V. V.
Classification of half conformally flat Lie algebras of real four-dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metrics is given.
Key words: Lie algebras and Lie groups, left-invariant Riemannian metrics, half conformally flat Lie groups.
