CC BY
26
УДК 514.765
О. П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В. В. Славский
Об операторе кривизны на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой
О. P. Gladunova, E.D. Rodionov, V.V. Slavsky
About Curvature Operator on Four Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Riemannian Metric
В статье дается полная классификация вещественных четырехмерных алгебр Ли групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и нулевым произведением Кулкарни-Номидзу тензора одномерной кривизны и метрического тензора.
Ключевые слова: алгебры и группы Ли, левоинвариантные римановы метрики, оператор кривизны.
Complete classification of real four dimensional Lie algebras of Lie groups with left-invariant Riemannian metric and zero Kulkarni-Nomidzy product of one dimensional curvature tensor and metric tensor is given in this paper.
Key words: Lie algebras and Lie groups,
left-invariant Riemannian metrics, curvature operator.
Пусть (М, д) - ориентированное римано-во многообразие размерности п, X, У,
V - векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита и через Е(Х, У)% = |ух, Vx]% + V[хх]% - тензор кривизны Римана. Тензор Риччи г и скалярную кривизну в определим соответственно как г(Х, У) = ^ Е(Х, и в = й-(г). Разде-
лим тензор кривизны Е на метрический тензор д
получим тензор Вейля Ш и тензор одномерной кривизны Л:
(1)
где (A® g)(X,Y,Z,V) = A(X,Z)g(Y,V) +
AY, V)g(X, Z) -A(X, V)g(Y, Z)-g(Y., Z)P(X, V)
И
A=^—(r-^^ n -2\ 2(n -1),
Будем считать, что dim M = 4. Тогда рима-g
дение (•, •) на расслоении Л2М по правилу
(X л л Y^et((Xi,Yj)).
Оператор Ходжа * : Л2М ^ Л2М, задаваемый соотношением
(*а, в) vol = а Л в
для любых а, в € А 2ХМ, х € М), где то1 - форма объема на М, обладает тем свойством, что *'2 = И. Отсюда
M-
(2)
где Л+ и Л- обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям +1 и —1 оператора *.
Риманов тензор кривизны в любой точке можно рассматривать как оператор
Щ : Л2М ~^А2М, определяемый равенством
{X Л ^ ЩZ Л Т)) = Е(Х,У^,Т), (3)
где Е(Х, У, Z, Т)= д{ЩХ, Т).
Щ
но разложения (2) можно представить в блочном виде [2]:
К
W+ + hid Z
Zf- W - + hId
(4)
WW-
W
*Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (№08-01-98001, №10-01-90000-Бел_а), Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ РФ (№НШ-5682.2008.1), а также ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457).
Согласно (1) можем записать
К
йИ я И Ш+ 0
£4 ЙИ 0 ш -
(5)
где первая матрица соответствует произведению А®д, а вторая - тензору Вейля Ш.
Любой ортонормированный базис Ег, Е2, Е3, Е пространства ТХМ определяет ортонормированный базис
^(Еі А Е ± Ез А е4), ^(Еі А Е ± Е А Е), ^(Еі А Е ± Е А Ез)
(6)
пространства А±М (см., например: [1]).
Отметим, что элементы блока Я в ортонор-мированном базисе (6) находятся по формулам:
Я11 = ^Ш2 — Я3434);
Я22 = ^(^^3 — Я2424);
Я33 = 2^Ш4 — Я2323);
Я12 = ^(^^3 — Я1242 + Я3413 — Я3442);
Я13 = ^(^^4 — Я1223 + Я3414 — Я3423);
Я23 = 1(^4 — Я1323 + Я4214 + Я422з)-
(7)
где ||зйя^| есть матрица, обратная к ||дкя||-
Из (8) и (9), очевидно, следует, что тензоры Римана Яц кг, Риччи Тък, скалярная кривизна в и тензор Вейля Wijkt являются функциями структурных констант ск и компонент метрического тензора дц (см. также: [3]). Следовательно, тем же свойством обладают и компоненты Я.
Нам понадобятся следующие результаты работы [4].
Лемма 1. Для произвольного скалярного произведения (■, ■) на четырехмерной действительной разложимой унимодулярной алгебре Ли 0 существует (■, ■)-ортонормированный базис, в котором ненулевые структурные константы алгебры Ли 0 имеют вид:
-1,2
• А,
ь1,2
-АМ, 4 ,з
,
-с,
,
В,
сь,
,
-ВК,
где К, Ь,М Є М - произволън ые, А, В, С Є Ми А < В < С.
А В с
лучаются различные алгебры Ли. Все они, с точностью до изоморфизма, приведены в таблице 1, основанной на результатах Дж. Милнора о трехмерных унимодулярных алгебрах Ли [5]. А
дая А,і есть унимодулярная алгебра Ли размерности 3 (см.: [6]).
Таблица 1
Вещественные четырехмерные унимодулярные разложимые алгебры Ли
Пусть далее М = О - группа Ли, 0 = ТеО -алгебра Ли группы О. Фиксируем в 0 базис Ех, Е-2, Е$, Е левоинвариантных векторных по-О
(8)
где {сЦ} - структурные константы алгебры Ли, {дц } _ метрический тензор.
Пусть сця = сЦдкя. Тогда символы Кристоф-феля первого и второго родов вычисляются соответственно по формулам
^гз,к — 2 (сізк сзкг скг^,
= Т^кдк°,
(9)
Алгебра Ли Знаки А, В, С
4 Ах 0,0,0
А,1 ф А1 0,0,+
А 4 Ф Аі -,о,+
А ,6 ф Аі о,+,+
А ,8 ф Аі -,+,+
А ,9 ф Аі +,+,+
Лемма 2. Для произвольного скалярного произведения (-, ■) на четырехмерной действительной неразложимой унимодулярной алгебре Ли 0 существует (■, ■)-ортонормированный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 2.
Таблица 2
Вещественные четырехмерные унимодулярные неразложимые алгебры Ли
Алгебра Ли Структурные константы Ограничения
А4,1 4 ,4 = А 4 ,4 = Б 4,4 = С А > 0, С > 0
А-'2 а4 ,2 4,4 = -2Д 4,4 = Б 4,4 = А 4,4 = С 4,4= А 4,4 = А А >0, А > 0
а а, — 1 — а А4,5 , а Є (-1, |] 4.4 = А 4,4 = Б 4,4 = С 4,4 = А 4,4 = А 4.4 = -А - С А > 0, С < 0
А—2 в,в А4 ,6 , в є (0, +те) 4.4 = -2А 4,4 = Б 4,4 = А+С, 4,4 = А 4,4 = 4.4 = О 4,4= А - С А > 0, А <0, О>0
А4 ,8 4,3= А 4,4 = Б 4,4 = С 4,4 = А 4,4 = А 4,4 = -С А > 0, С > 0
А4 ,10 4,з = А> 4,4= Б> 44 = С: 4 4 = А 4 4 = О а>о,с<о,о>о
Теорема 1. Пусть О - действительная четырехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда если А(А)д = 0, то алгебра 0 изоморфна либо алгебре Ли 4Аі, либо А,6 Ф Ах-
Доказательство. Фиксируя базис работы [4] на 4-мерной унимодулярной разложимой алгебре Ли, находим скалярную кривизну
в = ^(2АС - А - А2И2 - С2 - Б2 - С'2Ь2 + 2АБ - Б2К2 + 2СБ).
Применяя формулы (7), определяем элементы блока Я в матрице оператора кривизны (5)
Яи = ^(2АС - З А2 + 2АБ - 3 А2 И + С2 8
- 2СБ + Б2 - С2Ь2 - Б2К),
Я22 = \{2АС - 3 С2 + 2СБ - 3 С2Ь2 + А2 8
- 2АБ + Б2 - А2 И - Б2К2),
И33 = \(А2И2 + С2Ь2 - 2АБ + ЗБ2 8
- СБ Б К - А АС - С ,
Я12=1-(АИСЬ+Б2К),
Яі3 = АИБК - С2Ь),
Я23 = |(-А И - БКСЬ).
Находим решения системы уравнений Я = 0, в = 0 относительно структурных кон-АБСКЬИ
1. А = Б, Б = Б, С = О, К = О, Ь = Ь, И = 0.
. А С, Б , С С, К К, Ь , И .
. А , Б С, С С, К , Ь , И И.
4. А = 0, Б = 0, С = 0, К = К, Ь = Ь, И = И.
Сопоставляя полученные результаты с данными таблицы 1, получаем, что все четырехмерные действительные разложимые унимодулярные алгебры Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой и Я = 0, в = 0, исчерпываются следующими алгебрами: 4Аі, А ,6 Ф Аі. с ограничениями из леммы 1.
Далее мы последовательно рассмотрим все вещественные четырехмерные унимодулярные неразложимые алгебры Ли, чем и завершим доказательство теоремы 1.
А,
ный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Я в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
в = — (А2 + Б2 + С2).
Яи — ^(а2 + зб2 о С
Я22 = ^(Б2 + ЗА2 О -С,
со 4е0 -(А + Б2 -8 С,
Я12 — --АБ, 4 ’ --СБ. 4
СО сч
Ввиду того, что структурные константы АС
Я = 0, в = 0 не имеет решений.
А—,
ный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Я в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
в = -|(12А2 + Б2 + С2 + В2). гц = ІБ +12А2 + зс2 + зВ),
о
Я22 = \с + 12А2 + ЗБ2 - В2),
8
Я33 = ^(-12А2 + Б2 + С2 - В2),
8
Яі2 = — СБ,
Яіз = -| АС,
Я23 = -^ (ВС + ЗАБ).
А > В > система уравнений Я = 0, в = 0 не имеет решений.
Алгебра А^ 1 а, где а Є (-1,|]. Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Я в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
в = -І( 4А2 + Б2 + 4С2 + В2 + Б2 + 4АС).
Яц = 1(Б2 + 4АС + ЗВ2 + ЗБ2 + 4А2 + 4С2),
8
Я22 = 1(В2 + 4А2 + 4АС + ЗБ2 + С - Б2),
8
Я33 = |(-4А2 + Б2 + В - Б2 -4АС -4С),
8
Яіг = “ (Б^ + А^ + 2СБ),
Яіз = — В(С+2А),
Я23 = -^(Б^ АБ + СБ).
Очевидно, что система уравнений Я = 0, в = 0 не имеет решений в силу ограни-
А > С <
Алгебра А— 2^'в , где в Є (0, +те). Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока
Я в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
в = -|(12А2 + Б2 + Б2 + 4С2 + 2ОВ + В2 + О).
Яц = 1(Б2 + 12А2+ ЗБ2 + ЗО2 + 2ОВ 8
+ 4С2 - В2),
Я22 = ^(Б2 + 12А2+ ЗБ2 + 4С2 + 2ОВ 8
+ ЗВ2 - О),
Я33 = 1-12А2 + Б2 + Б2 - 2ОВ - О 8
- В - С ,
Я12 = -^(ББ - 2ВС+2ОС),
Я13 = ^(ЗАБ - СБ + БВ),
Я23 = — (БО + ЗАБ + СБ).
Так как А > 0, В < 0 и О > 0, то, как легко
в
в нуль. Следовательно, не имеет решений и система уравнений Я = 0, в = 0.
А,
ный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Я в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
в = -^ (А2 + Б2 + В2 + Б2 + 4 С2).
Ян = ^ А'2 + Б2 + ЗВ2 + ЗБ2 + 4С2),
8
Я22 = \(А2 + Л2 + ЗБ2 + С - Б2),
8
Я33 = \{Б2 + В2 + ЗА2 - Б2 -4^),
8
Яі2 = -^ (Б^ + 2СБ),
Яіз = \в(А - С),
= -^ (А^ + БВ + СБ.
АС
уравнений Я = 0, в = 0 не имеет решений.
А,
ванный базис леммы 2 и вычислим скалярную
кривизну и компоненты блока Z в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
8 = — (А2 + В2 + В2 + О + С2 + 2 ОС),
Z
11
Z
22
Z
33
\{A2 + B2+ 3D2 + 3G2 + 2GC - C2), 8
l(A2 + D2+ 3B2 + 2GC + C - G2), 8
l(B2 + D2 + 3A2 - 2GC - G - C2),
ZV2 — -~. BD,
Z13 = -(AD + CB), Z23 = -^ (AB + GD).
Очевидно, что система уравнений Z = О, в = 0 не разрешима при заданных ограничениях на структурные константы А > О, С < О, О > 0.
Тем самым доказательство теоремы 1 завершено.
Заметим, что метрики, удовлетворяющие условиям теоремы 1, являются плоскими, в том смысле, что секционная кривизна данных многообразий тривиальна.
Кроме того, аналогично исследован случай действительных четырехмерных неунимодуляр-ных групп Ли и доказана
О
четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда
А®д ф о.
Отметим также, что при доказательстве теоремы 2 существенно использовались результаты работ [6, 7].
Библиографический список
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: пер. с англ.: в 2 т. - М., 1990.
2. Singer I.M., Thorpe J.A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces // Global Ana-lisis, Papers in Honour of K. Kodarira. - Tokyo, 1969.
3. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. - 2008. - Т. 419, №6.
4. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римано-вых метрик на четырехмерных группах Ли.
Унимодулярный случай // Мат. труды. -
2008.-T.il, №2.
5. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. -1976. - V. 21.
6. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Математика. - 1963. - Т. 32, №1.
7. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римано-вых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. -
2009. - Т. 12, МП.
