CC BY
40
УДК 530.12:531.51
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ТЕТРАДНЫЕ ТОКИ В ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА-КАРТАНА. II. ПРОБЛЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ И ТЕТРАДНЫЕ ТОКИ Р. Ф. Полищук
Здесь уравнениям, гравитационного поля, Эйнштейна, К а,рта,на, придан вид уравнений Максвелла: кодиффе-ренциал, дифференциала, тетрады равен сохраняющемуся тетрадному току. Это даёт локальные интегральные законы сохранения для, произвольного тетрадного поля, и позволяет решить, в частности, старую проблему гравитационной энергии в общей теории относительности и в теории Эйнштейна Карта,на.
Ключевые слова: гравитационная энергия, нелокальные законы сохранения, тетрадные токи, теория Эйнштейна Картана.
В предыдущей работе [1] мы получили нелокальный интегральный закон сохранения тензора энергии-импульса материальных источников в гравитационной теории Эйнштейна Картана. Но для отрывающегося от источников свободного гравитационного поля, в котором тензор Римана кривизны пространства-времени равен тензору конформной кривизны Вейля. как в случае риччи-плоского мира Шварцтттильда или при наличии только гравитационного излучения, указанный тензор энергии-импульса и соответствующий закон сохранения тривиальны. Но приливные силы гравитации при этом нагревают твёрдые тела, то есть совершают работу. В правом и левом клинах локально-плоского мира Риндлера поддержание ускорения континуумом наолюдате-лей тоже предполагает преодоление реакции отдачи риндлеровьтх частиц, испускаемых ускоряемыми датчиками. Иначе говоря, плоские вакуумьт Минковского и Риндлера задают различный нуль-пункт энергии гравитационных полей (ведь гравитация экви-ВШ16НТН£Ь инерции^ ускорению): работа деформации вакуума Минковского в вакуум
ФИАН, Россия 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].
Риндлера определяет отрицательную плотность гравитационной энергии последнего, пропорциональную квадрату ускорения ад и равную —и)2/$пС. Здесь в знаменателе -постоянная тяготения Ньютона. Локально-плоская (чисто калибровочная) С13 3 Н О С ь Риндлера отлична от нуля, и уже отсюда следует, что гравитационную энергию в общем случае следует искать на языке прежде всего связности, в том числе кручения СВЯЗНОСТИ (торсионного поля Картана) и. возможно, также кривизны пространства-времени как градиента связности.
Напомним, как ранее решалась проблема гравитационной энергии. Эинтптепн в работе [2] получает "совместный закон сохранения для материи и гравитационного поля" в виде —д = 1):
дл^-ят+а = о,
= 2 ЪяТ гр*г- — г Кг Г^. (1)
Введённый в (1) псевдотензор Эйнштейн назвал в кавычках "тензором энергии" гравитационного поля. Требование обращения в нуль частной, а не ковариантной производной. вызвано тем. что в известной теореме Стокса стоит не зависящий от метрики ВНСIII НИИ дифференциал (кстати, кодифференциал зависит от определителя метрики):
^а = а. (2)
ЗУ ЗдУ
Но наличие в законе сохранения у дивергенции суммы тензора материи и гравитационного псевдотензора свободного координатного индекса лишает это определение псевдотензора физического смысла: координаты в общем случае не имеют физического смысла. Но этот смысл можно придать, скажем, в случае островной системы, выбирая асимптотически декартовы координаты (они приобретают смысл инвариантно определяемых расстояний вдоль координатных осей) в окрестности пространственной бесконечности, то есть придавая этим координатам роль системы отсчёта как дополнительной инвариантной структуры, фиксирующей вакуум в окрестности бесконечности. Но. как мы знаем, плоские вакуумьт можно выбирать бесконечным числом различных способов. Скажем, если на одном пространстве-времени задать сразу две связности или две метрики. допустим, метрику Минковского и метрику Риндлера. то преобразование всюду ускоренной системы отсчёта во всюду неускоренную в правом и левом клинах Риндлера систему отсчёта (это возможно в силу тривиальной римановой кривизны) переведёт первую систему отсчёта в ускоренную (с противоположным направлением ускорения):
диагональную метрику через нормировку координатных векторов и выключение одного индекса связываем с соответствующей тетрадой, то есть с системой отсчёта как с калибрующей вакуум дополнительной инвариантной структурой. Здесь возможно вспомнить про идеи биметризма и бисвязности. Для метрики имеем четыре степени свободы выбора компонент метрики из десяти (поэтому метрику невозможно диагонализовать). для тетрады шесть степеней свободы лоренцевых вращений из шестнадцати функций, задающих тетраду: теорема Дарбу утверждает возможность выразить каждую 1-форму на пространстве-времени при помощи четвёрки функций (и, V, х, у) в гаде ийх+ьйу. Например, форму времени можно выбрать точной (и = 1, V = 0,ео = йЬ) или козамкнутой (й* ео = 0). Поскольку козамкнутыми можно выбрать все 4 вектора тетрады, последняя калибровка естественнее: общая теория относительности в известном смысле уравнивает все 1-направления мира событий (в ней физика есть физика событий, а не сумма физики времени и пространства). Полезным может быть также выбор минимальности плёнок вдоль 2-направлений кег(е0 Л е\), отвечающих мировой поверхности струн.
Шредингер признал исключительно ва^кную роль псевдотензора Эйнштейна в теории гравитации, развиваемой в рамках общей теории относительности [3]. Он вычислил значение этого псевдотензора для метрики Шварцтттильда в координатах кривизны и получил, что это значение в выбранной системе координат всюду (вне гравитирующе-го шара) тождественно по всем компонентам равно нулю. Этот результат Шредингер считает исключительно важным: ведь теперь необходимо либо отказаться от интерпретации указанного псевдотензора как компонент, в частности, гравитационной энергии (в результате чего утратили бы смысл "законы сохранения"), либо не отказываться от этой интерпретации и признать существование не устранимых каким-либо преобразо-ванпем истинных гравитационных полей с обращаемыми с помощью преобразований координат компонентами энергии в нуль в конечной области.
Ганс Бауэр [4] принял эстафету, адресованную научному сообществу Шредингером, и доказал, что компоненты, энергии псевдотензора Эйнштейна не связаны, с существованием гравитационного поля, а зависят только от выбора координат: они могут обращаться, в нуль при наличии поля, и быть отличны,ми от нуля, в отсутствие поля, та,к что физический смысл, компонент энергии представляется, более чем, сомнительным.
Эйнштейн встал на защиту своего подхода к определению гравитационной энергии [5]. Он предложил рассмотреть наличие двух длительно покоящихся тел конечной массы, связанных друг с другом жёстким стержнем. Вследствие их гравитационного
взаимодействия этот стержень находится в напряжённом состоянии. Тогда из закона сохранения для суммы тензора и псевдотензора интеграл от этой суммы по сфере, которая охватывает только одну массу, равен нулю. Но вклад тензора отличен от нуля, и. следовательно, не может равняться нулю и вклад от псевдотензора. Рассмотренное Шредингером поле Шварцтттильда не относится к этому типу. Поэтому при веде н-ньте Шредингером соображения. считает Эинтптеин, не Л'Югут привести к отклонению предложенной им формы закона сохранения энергии-импульса.
Но в рассуждении Эйнштейна содержится явная ошибка: окружающая одну массу сфера имеет особую точку пересечения с тонким жёстким стержнем, которая даёт ненулевой вклад в указанный интеграл. Известно, что выкалывание или добавление точки поверхности изменяет её топологию и. вообще говоря, величину интеграла по поверхности (с учётом атомической меры, Радона, то есть с наличием дельта-функии для описания вклада плотности подпорки при интегрировании). Замкнутую систему получаем только для содержащей оба тела сферы бесконечно большого радиуса, для которой известное би-шварцшилъдово решение бесконечно мало отличается от решения Шварцтттильда (а задача двух тел без подпорки в общей теории относительности аналитически до сих пор не решена). В то же время псевдотензор Эйнштейна должен был бы давать физически значимый результат для любого гравитационного поля.
В своей следующей работе [6] Эйнштейн пишет: почти все коллеги возражают против моей формулировки закона сохранения энергии-импульса. Однако я, убеждён в правильности моей формулировки и хочу в настоящей работе защитить со всей обстоятельностью свою точку зрения, по этому вопросу. Эйнштейн рассматривает содержащую гравитируютцую систему область, имеющую бесконечную протяжённость в направлении оси времени и как бьт погружённую в "галилеево пространство", так что вне этой области все компоненты метрики постоянны. Тогда. несмотря на свооодньти выбор координат внутри данной области, масса-энергия покоя системы является точно определённой величиной, не зависящей от выбора, системы, координат. Это тем, более замечательно, что вследствие нетензорного характера, сохраняющейся, величины, нельзя, дать инвариантной интерпретации компонентам, плотности энергии. Сегодня эти слова Эйнштейна понимают как отсутствие локализации гравитационной энергии. Он продолжает: если представить себе пространство внутри области также пустым, то определённая, таким, образом, система имеет равную нулю полную энергию, но с помощью выбора, координат внутри области можно получить самые различны,е распределения, энергии, которые, впрочем, все приводят к нулевому значению
интеграла. Так, вопреки нашему привычному мышлению, мы приходим к тому, чтобы приписывать интегралу большую реальность, чем дифференциалам,. Далее Эйнштейн рассматривает квазисферическую физическую систему в частном случае равномерно распределённой материи и доказывает эквивалентность инертной и тяжёлой массы. чего не было в ньютоновой гравитации и что следует считать важным достижением гравитации релятивистской.
Данная борьба научных идеи довольно занимательна: новые аргументы Эйнштейна значимы. Но он для описания гравитации утттёл туда, где нет гравитации и полей инерции. Да и интуитивно ясно, что интеграл как производная минус первого порядка должна лучите согласовываться с производной первого порядка пусть даже ценой более общего подхода типа обобщения локальных интегральных законов сохранения нелокальными интегральными законами сохранения или переходом от метрики к тетраде как к "корню квадратному" из метрики и к спиновой связности.
Ландау и Лившиц [7] исходили из псевдотензора гравитационной энергии-импульса с верхними симметричными индексами для получения закона сохранения момента импульса тоже островной системы, как и системы Эйнштейна, требуя выполнения закона сохранения в форме:
дЛ(—я)(т^ + т )] = о. (з)
Псевдотензор ими взят в виде:
ШСг^ = (2Г^ ГРр — Г\рГРот — Пт Пр)(д»хд™ — я»" дх°)+ +д„Хд*г (Г»рГРт + г^ Г^ — Гу^ — Г^ ГРр)+
+д"хдат (ГХрграт + гтг г^ — гтргрХа — гХа грр)+ +дХа дтр(Гхт Кр — г^ г^р).
К этому псевдотензору применимы те же аргументы, что и к псевдотензору Эйнштейна: сама форма выбора закона сохранения в виде (3) с одним свободным координатным индексом неудовлетворительна, какой оы геометрический объект мы здесь не добавляли к тензору энергии-импульса материи с двумя координатными индексами.
Мой научный руководитель. Абрам Леонидович Зельманов (1913 1987), исходил из физически обоснованного требования использовать в формулировке закона сохранения хронометри-чески инвариантные операторы геометрических объектов, чего нет в приведённых выше подходах Эинтптеина и Ландау с Лившицем. Метод хронометрических инвариантов вводит дополнительную инвариантную структуру на пространстве-времени в виде системы отсчёта, понимаемой как семейство линий времени (в общем
случае ускоренной и вращающейся системы наблюдателей в виде поля его единичных 4-скоростей. поля, монады) [8 13]. Пространство определялось как поле ортогональных линиям времени наблюдателей гиперплоскостей, не имеющих для систем отсчёта с вращением огибающих интегральных гиперповерхностей. Все дифференциальные операторы приурочивались к задаваемому монадой 1 • 3 расщеплению пространства-времени, переводя все мировые величины на язык наблюдаемых характеристик: ускорения и вращения системы отсчёта, тензора скоростей деформации его 3-пространства (второй фундаментальной формы упомянутого поля гиперплоскостей), тензора кривизны его пространства. Время из координаты превращалось в длину дуги мировой линии произвольно двигающегося наолюдателя. в параметр эволюции измеряемых им физических величин. При этом, скажем 1 • 3 расщепление уравнений Максвелла содержало эффективный магнитный заряд, пропорциональный угловой скорости наблюдателя и напряжённости магнитного поля.
В рамках формализма Зельманова (его обтцековариантное обобщение он назвал мо-надным, формализмом) мы тоже показали нефизичность не хронометрически инвариантных гравитационных псевдотензоров различных авторов [14]. Самому Зельманову так и не удалось найти хронометрически инвариантный псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля.
Практически невозможно перечислить множество работ. пос вященных проблеме гравитационной энергии. Упомянем только работы Айзаксона [15, 16] и Вайнберга [17, 18]. Айзаксон разработал "коротковолновый формализм" для малых возмущений метрики на фоне кривизны, обусловленной веществом, полями негравитационного типа и усреднением гравитационных волн, порожденных возмущениями метрики (из известных уравнений для оптических скаляров Сакса, мы знаем, что усреднённая конформная кривизна, связанная с деформациями сдвига, проявляется как связанная с растяжениями кривизна риччиева. как материя). Перенесённые в правую часть уравнения тяготения Эйнштейна нелинейные по возмущениям метрики члены выступают вместе с тензором энергии-импульса негравитационных полей в роли источников фоновой кривизны. Вайнберг подчиняет линейную часть тензора Эйнштейна линеаризованным тождествам Бьянки и выводит отсюда закон сохранения для суммы тензора материи и "тензора" энергии-импульса самого гравитационного поля. Нам здесь важно, что к уравнениям тяготения здесь ничего не добавляется, но энергия-импульс собственно гравитации отыскивается внутри самих уравнений Эйнштейна. Мы хотим соединить подход Зельманова (обобщая понятие системы отсчёта как 1 • 3 расщепления пространства-времени
до понятия тетрадного поля как 1111 расщепления мира событий) и подход Вайн-берга. который производит разделение полей на токи и сохраняющиеся (в обтцекова-риантном смысле и в смысле теоремы Стокса) величины ещё на уровне лагранжиана. Поэтому напомним подход Вайнберга.
Вайнберг. следуя здесь идеям ещё Германа Вейля. проводит параллель между электродинамикой. общей теорией относительности и полями Янга Миллса с их различными калибровочными группами. Поля материи описываются в теории Янга Миллса функциями фп(х). Локализация симметрии требует ввести калибровочные поля A*(x), постоянные матрицы (ta)]п и ковариантную производную
(D^(x))t — д*ф(х) - iA*(x)(te)ГЫх). (5)
Здесь начальные буквы греческого алфавита приписываются генераторам симметрии. буквы из середины греческого алфавита обозначают координаты пространства-времени. буквы середины латинского алфавита обозначают генераторы ненарушенных симметрий [18]. Лагранжева плотность берётся в виде (ниже введены структурные КОНСТАНТЫ a y^} '
L — -1 F*v + LM (ф^*ф),
— dA - dvAa + C^YAA. (6)
Уравнения динамики калибровочного поля даются формулами:
dL dL
d
* д(d*Aav) dAa
d*F*v = -sa, (7)
dL
Sa — -FV*Cja@Ae* — i o taф
7 a — -fy CJaP Ae*
dDv ф
Ток Sva сохраняется в обычном смысле
б: = о, (8)
а определяемый ниже ток соответствующий только полям материи, удовлетворяет калибровочно-инвариантному закону сохранения:
= д^Г — Са1!3Л^, РтГТ^ = —Га,
. дЬм
Ja = -гдт ^ <9>
Dv J = 0.
Как мы знаем, в общей теории относительности псевдотензор тоже возникает из различия обычного и обтцековариантного законов сохранения для различных геометрических объектов. Вайнберг отмечает, что тензор энергии-импульса материи T^ является аналогом J но этот тензор не сохраняется в обычном смысле: dv [(—д)пТ^)] = 0. Вайнберг переносит нелинейные слагаемые тензора Эйнштейна из левой части его уравнения в правую часть и получает подобный S^ сохраняющийся псевдотензор т^'
К - 1 КR ) = -8nGTv,
2 / lin
т; = Tv + 81g (rV -1 %R) ' (10)
nonlin
dv TV = 0.
Удивительно, что Вайнберг различает типы индексов тока в теории Янга Миллса. но при описании источников в теории Эйнштейна оба индекса, как и все упомянутые авторы до него, берёт координатными. Напомним, что в классической электродинамике электромагнитное взаимодействие с зарядом е описывается в плотности лагранжиана членом
-еЗА- (11)
При этом плотность тока удовлетворяет закону сохранения (уравнению непрерывности)
= 0. (12) С этим законом связана калибровочная инвариантность теории: при замене
А, ^ А, + дх (13)
в плотность лагранжиана добавляется величина, дающая при интегрировании поверх-ностныи член!
-е^дх = -ед, (х^). (14)
В гравитации роль вектор-потенциала играет тетрада е„, роль токов материи - тензор Т^, а роль члена взаимодействия - величина е,Т^ = Переход к уравнениям Эйнштейна с одним лоренцевьтм индексом и одним координатным индексом естественно
назвать полутетрадным подходом к гравитации. Теперь можно получать физически значимую обычную и ковариантную дивергенцию от источников, а включение в рассмотрение тетрады учитывает калибровку вакуума даже в риччи-плоских гравитационных ПОЛЯХ.
Для более корректного вычленения сохраняющихся компонент в уравнениях Эйнштейна Картана в рамках предпринятого нами полутетрадного подхода к гравитации (для общей теории относительности он был предложен нами ранее в работах [19 21]. здесь же мы обобщаем его на случай пространств Римана Картана с кручением связности) рассмотрим аналогию между уравнениями Максвелла в искривлённом пространстве и уравнениями гравитации. И электромагнитное, и гравитационное поля задаются ковекторньтми полями
Л ^ Л»(х)$хТ,
еа = еат(х)д,хт. (15)
Уравнения Максвелла и уравнения Эйнштейна Картана могут быть записаны на языке, соответственно, обычных и вводимых нами тетрадных токов:
¿¿Л =
¿¿еа = 8пСБа. (16)
Указанные токи очевидным образом сохраняются и дают при интегрировании обычные локальные интегральные законы сохранения (типа сохранения полного электрического заряда, полного 4-импульса замкнутой гравитируютцей системы и так далее):
53 = —Чт.1т = —(^—дГ'дт^^) = 0,
5ва = —ЧтБат = о, (17)
5 = * .
Звезда здесь означает оператор Ходжа, включающий умножение формы на квадратный корень из метрики и на полностью антисимметричный тензор Леви Чивитьт со значениями 0. 1. 1. Для приведения уравнений Эйнштейна Картана к виду (17) рассмотрим действие лапласиана на тетраду:
А = (5 + ¿)2 = 8й + ¿5,
(Aea)ß = Raß - V2eaß - VvQaßV. (18)
Уравнения Эйнштейна Картана с лямбда-членом легко привести к виду:
Ra = 8nG (T - 1 Te^ - Лва. (19)
Отсюда получаем следующее важное выражение для сохраняющихся тетрадных токов:
Saß = Taß - 1 Teaß - ^^(V2eaß + Aeaß + VßKa + VVQaßv),
2 8nG
Ka = öea = -Vv eav. (20)
Для всякого сечения Sa трубки векторных ea^HHim имеем сохранение интегральной величины
Pa = *Sa = const. (21)
J^a
Хотя в тетрадном токе стоит вторая производная (даламбертиан). при свёртке с тетрадным вектором она даёт квадратичное выражение ковариантной производной тетрадного вектора. Например, для плотности массы-энергии получаем (индекс ноль кое-где опускаем):
8nGSoßeß = 8nG (V00 + 2^ + Л + KßVKßv + AßVAßv - aßaß - e0VßQovß - d(0)(gßvKßV).
(22)
Здесь стоит положительная (точнее, неотрицательная) плотность материи T00, след тензора материи, плотность энергии вакуума (положительный в нашей Метагалактике лямбда-член), квадраты с плюсом тензоров скоростей деформации и вращения 3-пространства наолюдателя, квадрат с минусом ускорения свободного падения наблюдателя. член с кручением и скоростью растяжения 3-объёмов пространства. Для статического квазиньютонова гравитационного поля в вакууме и при пренебрежении кручением и лямбда-членом получаем, как и должно быть, отрицательную плотность гравитационной энергии с квадратом ускорения свободного падения:
S00 = -a2/8nG. (23)
В то же время для малых возмущений мира Минковского слабыми плоскими гравитационными волнами получаем положительно определённую величину:
h-22(t - x) = -h33(t - x) = g22 - 1, h23(t - x) = g23,
K22 = -K33 = - 2doh22, K23 = -1 doh23, (24)
(doh22)2 + (doh23)2
Soo =
l6nG
Ещё Бельтрами [22] на заре развития дифференциальной геометрии, когда после рождения Лобачевским. Гауссом и Риманом римановой геометрии началось изучение подпространств размерности 1 (кривых) и коразмерности 1 (гиперповерхностей), установил возможность слоения пространства семейством эквидистантных гиперповерхностей с геодезическими ортогональными траекториями. Ландау и Лифтттиц назвали соответствующие координаты синхронными (хотя их правильнее назвать полугеодезическими). Если эти гиперповерхности суть уровни времени наблюдателя, то
goo = -1, goi = go2 = доз = 0, (25)
eo = -dt, de0 = 0, Soo = 0.
Вот мы и получаем уже на уровне тетрадных потенциалов проблему, схожую с той проблемой. на которую Эйнштейну указывали его оппоненты Шредингер. Бауэр и другие. Решение этой проблемы лежит в квантовом обобщении гравитации, когда требуется учитывать только физически значимые поперечные компоненты потенциалов наложением лоренцевой калибровки тетрады Ka = 0, на языке геометрии означающей нормировку 3-объёмов *ea вдоль векторных линий. Без лоренцевой калибровки тетрады нарушается аддитивность гравитационного действия, а с этой калибровкой в плотности гравитационного лагранжиана *R исчезают вторые производные тетрадного потенциала. Кроме того, если все потенциалы суть точные 1-формы (ea = dxa), то имеем мир Минковского без каких-либо полей.
Разыскивавшийся А. Л. Зельмановьтм хронометрически инвариантный комплекс энергии-импульса гравитационного поля имеет просто вид разности 1-форм ta^dx^ =
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р. Ф. Политцук, Краткие сообщения по физике ФИАН 40(9), 38 (2013).
[2] А. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 48(2), 844 (1915). E. Schrödinger, Phys. Zeitschrift 19, 4 (1918).
[4] Н. Bauer, Phys. Zeitschrift 19, 163 (1918).
[5] A. Einstein, Phys. Zeitschrift 19, 115 (1918).
[6] A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1, 448 (1918).
[7] Л. Д. Ландау, E. M. Лифтпиц, Теория, поля, (M., 1973, с. 380).
[8] А. Л. Зельманов, ДАН СССР 197, 815 (1956).
[9] А. Л. Зельманов, ДАН СССР 124, 1030 (1959).
[10] А. Л. Зельманов, ДАН СССР 209, 822 (1973).
[11] А. Л. Зельманов, Кандидатская, диссертация, (ГАИШ МГУ, 1944).
[12] А. Л. Зельманов, Докторская, диссертация, (ГАШ МГУ, 1982).
[13] А. Л. Зельманов, Н. А. Твердохлебова, Всесоюзный симпозиум по новейшим проблемам, гравитации (Менделеево, ВНИИФТРИ, 1973), с. 76.
[14] Р. Ф. Политцук. Проблемы, теории гравитации и элементарны,а; частиц, вып. 4 (М., Атомнздат, 1970), стр. 143.
[15] R. A. Isaacson, Phys. Rev. 166, 1263 (1968).
[16] R. A. Isaacson, Phys. Rev. 166, 1272 (1966).
[17] S. Weinberg, Gravitation and, Cosmology (John Wiley and Sons, New Jork London Sydney Toronto, 1972).
[18] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol. 2 (Cambridge University Press, 2001).
[19] R. F. Polishchuk, Energy-Momentum Problem in General Relativity, in: Abstracts of GR-Ц, Florence, Italy, 1995 (Florence, 1995), pp. D39; A 130.
[20] R. F. Polishchuk, Astronomical and Astrophysical Transactions 10, 83 (1996).
[21] R. F. Polishchuk, Gravitation and Cosmology 2, 3(7), 244 (1996).
[22] E. Beltrami, Mem. Accad. Bologna 8(2), 551 (1868).
Поступила в редакцию 6 ноября 2012 г.
