CC BY
53
УДК 530.12:531.51
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ТЕТРАДНЫЕ ТОКИ В ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА-КАРТАНА. I. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Р. Ф. Полищук
Получены нелокальные интегральные законы сохранения в теории Эйнштейна Карта,на для, тензора, энергии-импульса источников общего вида, по сути являющиеся, интегральны,м, эквивалентом, свёрнутых тождеств Вьянки.
Ключевые слова: гравитационная энергия, нелокальные законы сохранения, тетрадные токи, теория Эйнштейна Картана.
Введение. Наука есть развивающееся понятие. При этом каждое понятие имеет предел применимости, так что мир и истина о мире есть процесс. Общая теория относительности требует КВАНТОВОГО обобщения и уточнения даже классических понятий. Что такое гравитация, гравитационная энергия, гравитационный вакуум? Какие законы сохранения имеют место в общей теории относительности? Где границы применимости понятий геометрии пространственно-временного континуума, материальной точки, массы?
Как известно [1]. объект, являющийся, 'центральным, во всей классической общей теории относительности, четырёхмерная, геометрия, пространства,-времени просто не существует, если выйти за, рамки классического приближения. Имеется в виду следующее. Если мы при сколь угодно точной аппроксимации с помощью тетраэдров поверхности Коттти (геометродинами-ч.еская, координата этой скелетной 3-геометрии мгновенного состояния пространства Вселенной задаётся точкой бесконечномерного пространства, число измерений которого равно числу рёбер набора всех тетраэдров) зададим точно её 3-метрику. то в силу квантового принципа неопределённостей мы не сможем задать ростков во времени этой 3-геометрии (задать геометродинамический импульс). А невозможность определить временную эволюцию начальной 3-геометрии
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].
означает просто отсутствие здесь самого времени: в физике все физически значимые величины определяются операционально, через принципиальную экспериментальную измеримость хотя бы в мысленных экспериментах.
Общая теория относительности унаследовала от ньютоновой гравитации понятие точно локализуемой материальной точки. Но. как известно [2]. понятие координат фотона вообще не имеет физического смысла. Физика оперирует понятием физического бесконечно малого объёма, а теория струн сделала размерность физического пространства динамическим параметром теории, связанным с числом степеней свободы частицы-струньт. и приписала внутреннему компактифицированному её пространству размерность 7. Поэтому возможно, что параллельный обход по контуру вектора в 4-мерном макроскопическом пространстве-времени вызывает не только его поворот (за что отвечает риманова кривизна), но и размыкание самого контура (за что должно отвечать кручение связности, торсионное поле Картана [3]): ведь 4-мир событий тогда закрученный и "зернистый", и движение в нём подобно движению по винтовым лестницам тем более, что принцип неопределённостей при точном возвращении в прежнюю точку пространства диктует неопределённое смещение во времени, поскольку абсолютно точное задание и измерение координат времени и пространства невозможно. Имеет также смысл обратить внимание на аналогию между кручением искривлённого и закрученного пространства-времени и моделью распределённой плотности дислокаций в сплошной среде, на что впервые указал К. Кондо [4. 5].
Всякая теория в соответствии с духом Эрлангенской программы Клейна имеет дело с инвариантами соответствующей теории. Инвариантами общей теории относительности являются 'геометрические объекты, то есть наборы определяющих чисел для каждой мировой точки в локальной системе координат (в локальной карте), позволяющие с помощью функций перехода к другой локальной карте (принадлежащей покрывающему всё многообразие событий атласу) определить полный набор этих величин в новой карте. Например, отдельная компонента вектора или формы связности не геометрический объект, а полный набор компонент объект. При этом вектор (и любая тензорная плотность) есть т&к^ке однородно преобразующийся объект, то есть геометрическая величина, в отличие от формы связности (нули. т.е. ядро которой есть поле горизонтальных площадок главного расслоения мира событий, точками которого являются векторные реперы). Суть инвариантов общей теории относительности (мировых точек и их подмножеств, тензоров Римана и так далее) их независимость от выбора координат. Поэтому сами координаты не могут быть инвариантами, но ими являются
дополнительные структуры, получаемые выключением координатного индекса, превращающим систему локальных координат (в том числе не только в виде четвёрки функций. но и в виде четвёрки независимых координатных векторных полей, образующих репер в каждой касательной миру плоскости для каждой мировой точки) в систему отсчёта как дополнительную инвариантную структуру (скажем, в гладкое ортонорми-рованное тетрадное поле, существующее на параллелизуемом многообразии событий), метрику в четвёрку ковекторов (1-форм) или в десятку скалярных полей. Различение систем координат и систем отсчёта важно, поскольку физический смысл имеет именно изменение системы отсчёта, а не координат. Рассмотрим, например, декартовы координаты в мире Минковского и перейдём к полярным координатам Риндлера в 2-плоскости. включающей ось времени. Тогда геодезически полный мир Минковского разделится на четыре клина Риндлера (соответственно, клины правый, левый. будущего и прошлого) с метриками
&в2 = ехр(±2ах)(—¿¿2 + &х2) + &у2 + &г2,
¿в2 = ехр(±Ш)(-&И2 + &х2) + &у2 + ¿г2. (1)
Чтобы реализовать соответствующие системы отсчёта, нужно, скажем, в правом и левом клинах ускорить континуумы наблюдателей. Это изменит их вакуумьт и создаст поле с отрицательной плотностью гравитационной энергии, равной —а2 ехр(^2ах)/8пС (где в знаменателе постоянная тяготения Ньютона): ведь согласно принципу Эйнштейна локальной эквивалентности гравитации и инерции можно считать, что инерции нет. но есть нетривиальное гравитационное поле (такие поля ненулевой локально плоской связности называют чисто калиброво-чными), вакуум которого связан формулами Боголюбова с вакуумом поля неускоренных наблюдателей. А физической причиной появления клинов прошлого и будущего, как это видно из точного решения для пакета сильных плоских гравитационных волн [6], стало притяжение в бесконечном прошлом неподвижных раннее пробных т ел пробежавшей между ними положительной гравитационной массой-энергией. Её количество пропорционально расстоянию между пробными телами, испытавшими, на языке геометрии, геодезическое отклонение внутри пакета, отвечающее излому геодезических при предельном до нуля сближении переднего и заднего волновых фронтов. При этом граничные горизонты клинов Риндлера. не покрываемые координатами Риндлера. могут быть носителями бесконечно ТОНКИХ волновых фронтов с бесконечной полной энергией (как и горизонты миров Шварцтттильда и де Ситтера в жёстких системах отсчёта).
Тот факт, что в плоском мире Риидлера гравитационное поле не равно нулю, является аргументом в пользу того, что оно форма связности, а не риманова кривизна как её градиент связности, что гравитационное поле лучите определять без вторых производных метрики или тетрады, то есть зависящим от калибровки тетрады.
Риман-плоских (пример: мир Риндлера) и риччи-плоских (пример: мир Шварцтттиль-да центральная сингулярность с бесконечными приливными силами из многообразия удаляется вопреки её физическому значению сингулярного источника) вакуумов бесконечно много, но ни гравитационное действие в виде скалярной кривизны, ни метрика, инвариантные относительно действия группы Лоренца (и Пуанкаре) этого не отражают. Ситуацию существования нетривиальных гравитационных полей с их тривиальным действием можно исправить переходом от уровня метрики к уровню задающих калибровку вакуума систем отсчёта. Без такого перехода, скажем, от метрики к гамма-матрицам Дирака (по сути эквивалентным переходу от метрики к "квадратным корням" из метрики. то есть к тетрадному формализму, от операторов Клейна Гордона Фока к операторам Дирака) невозможно ввести и спиновую связность. Без тетрадного формализма невозможно решить и проблему гравитационной энергии, зависящей от задаваемого тетрадным полем вакуума как фона для надвакуумньтх полей материи. Следует учи-тыв&ть^ что5 согласно идее Киржница и Линде [7], сохраняется сумма энергий вакуума и вещества, что сами элементарные частицьт-струньт понимаются как кванты возбуждения физического вакуума, что. наконец, деление физической реальности на вакуум и материю относительно, и сам вакуум не инвариантен относительно общего действия группы Лоренца. Почему бьт тогда не ограничить определение гравитационного действия требованием его инвариантности относительно только подгруппы Лоренца? Мьт живём в квантовом мире, а квантование, скажем, электродинамики требует ограничиваться физически значимым поперечным импульсом (лоренцевой калибровкой вектор-потенциала). Аналогичное требование лоренцевой калибровки тетрады как гравитационного потенциала можно ввести и в гравитацию. Кроме того, именно полутетрадньтй подход к гравитации (исключается и заменяется на лоренцев индекс только один координатный индекс уравнений Эйнштейна) позволяет решить проблему гравитационной энергии и законов сохранения.
2. Гравитационное действие и гравитационное поле как связность. Гравитационное поле, как и всякое калибровочное поле, есть связность, а не метрика и не риманова кривизна мира событий. Но в общей теории относительности гравитационное поле
отождествляют с метрикой и берут лоренц-инвариантное действие
I = (16 nG)-1 *R + *I,
m
*1 = v—gd^x = ^/—gdx0 Л dx1 Л dx2 Л dx3. (2)
Здесь звезда есть оператор Ходжа, переводящий рформу на n-многообразии в (n-p)-форму. Заодно напомним известное разложение Ходжа рформы и на точную, замкнутую и гармоническую:
и = da + 6в + y,
6 = *-1d*,sp = , (3)
А = (d + 6)2 = d6 + 6d, Ay = 0.
Градиентное преобразование электромагнитного вектор-потенциала не влияет на электромагнитный тензор, а лоренцева калибровка потенциала означает исключение его градиентной компоненты как нефизичной. Гармоническая компонента отвечает свободному полю излучения (в том числе статическому полю как стоячей волне). В случае гравитации потенциалом является тетрада, и дифференциалы четырёх декартовых координат (нуль-форм, функций, отождествляемых с длинами вдоль осей координат) определяют метрику Минковского (с нулевым полем), не совместимую с принципом неопределенностей (импульс поля здесь тоже равен нулю). Динамику гравитационного поля определяет козамкнутая часть тетрады, козамкнутая тетрада.
Тензор энергии-импульса определяется вариацией материальной части действия как по метрике, так и по тетраде:
6Im = \f (x)6g,v = f *Ta4ea>1. (4)
Скалярная кривизна имеет вид:
R = -(V^eav )(VV ea») + KaKa + 2VK
К^ = еаКа = —еаХ ва„. (5)
В лоренцевой калибровке тетрады, нормирующей четвёрку ортогональных её векторам 3-объёмов, её вторые производные в скаляре Риччи исчезают [8]. И это важно для правильного определения гравитационного действия. В сентябре 1976 года в ГАИШ МГУ
выступал Гиббоне, при нас сказавший, что ему и Хокингу надоело возиться, со вторыми производными, и они ввели поверхностный член. В своей статье [9] Хокинг обосновал это тем. что иначе амплитуда перехода от начального состояния поля к конечному не аддитивна при проведении промежуточной гиперповерхности, отвечающей промежуточному моменту времени: на ней возникают изломы второй фундаментальной формы и дельта-функция риччиевой кривизны. Но Гиббоне и Хокинг нормально определили гравитационное действие только для островной системы, признавая появление некоего неприятного члена [9]. Эти ухищрения излишни при введении лоренцевой калибровки тетрады, дающей компенсацию вторых производных скаляра Риччи поверхностным членом для произвольного гравитационного поля в произвольном 4-объёме [8]. Лоренце-ва калибровка тетрады оставляет из шести две степени свободы лоренцевых вращении тетрады, которые переводят тетрадное 1111 расщепление пространства времени в диадное 2 • 2 расщепление [10]. отвечающее струнному подходу.
3. Нелокальные интегральны,е законы, сохранения в гравитации Эйнштейна. Бытует ошибочное мнение, что в общей теории относительности нет привилегированных систем отсчёта. Но в ситуации алгебраически общего положения тензор энергии-импульса материи имеет единственную риччи-каноническую тетраду собственных векторов, где временной вектор сопутствует прогибающей пространство-время среде (вдоль геодезических движутся только пробные тела). Имеется также вейль-каноническая тетрада, сопутствующая отрывающейся от источников свободной части гравитационного поля, так что пары векторов определяют 2-направления экстремальной конформной кривизны. Четвёрки независимых собственных значений конформной и риччиевой кривизн и 6 разделяющих тетрады углов образуют все 14 инвариантов римановой кривизны, а тождества Бьянки дают их дифференциальную Свёрнутые тождества Бьян~
ки дают ковариантньтй дифференциальный закон сохранения, тривиальный в риччи-плоских мирах с нетривиальной конформной кривизной. Найдём интегральный эквивалент дифференциального закона сохранения тензора материи общего вида (ниже p0 = -p° > 0, —pi = —рг, i = 1, 2, 3, суть давления) [11].
Tßv = —gabPaeaßebu = —paeaßeau, gab = diag(-1,1,1,1,),
0 = cßVvT = VvT - T Vveß Vveß = g evaß - Kvß - Avß
0 ea v T ßv v Tav T ßv у ea, v ea gaaea aa Ka Aa ,
aß eßVveßi Kaßv 2Lea h(a)ßv, h(a)ßv gßv gaaeaßeav, (6)
*ea = \/-gaahad3X, Vßeaß = ^Пyf—gäha, Kaab = 0, Aaab = 0.
Здесь ha определитель 3-метрик площадок ker ea, введены векторы кривизны векторных линий, вторая фундаментальная форма указанных площадок и тензор их вращения с угловой скоростью *(ea A dea).
Лемма. Пусть в 4-области пространства-времени имеем семейство (трубку) интегральных векторных е^линий вдоль векторов da = e^d^ (латинский индекс лоренцев, греческий - координатный ) с длиной дуги sa и имеем эквидистантные сечения sa = const трубки T.a(sa). Тогда для функции f (x) со значениями на векторных линиях имеем равенства с одномерной интегральной компонентой вдоль векторных линий с переменным верхним пределом:
Теорема. Дифференциальный закон сохранения для тензора энергии-импульса алгебраически общего типа , Та^ = —раеа^ эквивалентен следующему нелокальному интегральному закону сохранения:
Действительно, легко проверяются следующие равенства:
0)
о
В результате получаем
Здесь интегрирование берётся по эквидистантным 3-мерньтм сечениям трубок векторных линий с длиной дуги ва. Под знаком интеграла, скажем, по пространству (а = 0) стоит одномерная интегральная экспонента вдоль линий времени, учитывающая работу давлений и изменяющая массу-энергию 3-объёмов среды со временем (сравним это с известном формулой ¿Е = ТвБ — рвУ для изотропной среды при её адиабатической деформации).
Для тензора энергии-импульса чистого когерентного излучения
нелокальный интегральный закон сохранения тоже выполняется, как и для фотонного газа, в виде суперпозиции 4-импульсов всех его фотонов в каждом малом 3-объёме в приближении геометрической оптики.
Для плоских миров можно получить аналогичную более сложную формулу и для несвёрнутых тождеств Бьянки [11]. Важно то, что наличие интеграла под интегралом означает наличие нелокального интегрального закона сохранения, в гравитации. Укажем здесь на важную гипотезу A.M. Виноградова [12]: регулярная, система уравнений в частных производных имеет полный набор нелокальных интегральных законов сохранения. Известно, что полного набора локальных интегральных законов сохранения (подооных сохранению полного заряда) указанная система не имеет. Поскольку любое сильное поле прогибает пространство-время, обобщение интегральных законов сохранения в общем случае физических систем неизбежно. Гравитация связана с эталонами длин и длительности, и поверхностный член действия учитывает изменение 3-объёмов при эволюции, а введение его в действие в виде дивергенции делает гравитационное действие зависящим от лоренцевых вращении тетрады.
4- Нелокальные интегральные законы сохранения, в гравитации Эйнштейна Карта,на. Метрика нашей Метагалактики близка метрике комплексной 4-сферьт де Ситтера. Её изометриями (сохраняющими метрику автоморфизмами пространства-времени) являются только вращения группы де Ситтера 50(1,4), не совместимые с постоянными трансляциями группы Пуанкаре. Именно эти трансляции отвечают за законы сохранения 4-импульса (полной энергии и полного 3-импульса) замкнутой физической системы. Физический смысл имеют только собственные значения операторов Казимира группы де Ситтера, перемешивающие 4-импульс с угловым моментом и спином источников [13]. Это значит^ что в общем случае физический смысл имеет комбинация массы и спина, которую мы назвали спин-массой [14]. Общая теория относительности
= Pol,lv, lц = eoM + e^, l^F = 0, e^e0= po
(И)
как теория гравитации Эйнштейна связала массу с римановой кривизной пространства-времени: материя указывает геометрии, как ей искривляться, а геометрия указывает материи, как ей двигаться (по риччи-каноническим линиям времени, совпадающими с геодезическими при отсутствии давлений). Спин-массу естественно связать с гравитацией Эйнштейна Картана. Гравитация Эйнштейна учитывает взаимодействие вращения источников с римановой кривизной с помощью уравнений Папапетру и решений типа Керра. но не учитывает спин-спинового взаимодействия. Кроме того, вращающееся пробное тело движется не по геодезической, что нарушает принцип эквивалентности Э ИНТПТеИН дь. Если связать спин источников с торсионным полем Картана [3] (с кручением связности), то мысленное сжатие в точку (квантовая механика этого не допускает уже ограничением размера тела планковской длиной и плотности тела планковской плотностью) вращающегося физически бесконечно малого тела влечёт обращение спина источника в нуль. Это означает, что однополюсное приближение для дираковской частицы не является решением уравнений поля для пространства-времени с кручением, то есть дираковская частица не должна быть точечной: возникает радиус Картана. на котором отталкивательньтй потенциал спина уравновешивает притягивающий потенциал массы [13]. Поэтому естественно обобщить гравитацию Эйнштейна до гравитации Эйнштейна^Картана [15, 16] и соответственно обобщить законы сохранения. Для начала рассмотрим лагранжиан спинорной материи (постоянные Планка и скорость света считаем равными единице) и поясним входящие в него величины:
Тф = (Ш, , - - Г,}Ф) - ш^-дфф,
Г, = - 4
Б = и
Та, = ЯЬф/5еа,) Б,ь = 25Ь.Ф
^ = 1 еаи(дЛ - е,) - 1 еЬ"(б,** - - 1 еареЬ°(брвса - давср)в,,
= 2 дхр(д,д»р + бV д,р - брд,») +1 ,
,а _г^ _Г^ _8ПС1 I БА + 1Я а БР + 1Я А БР
, V Г ¡V Г V, 8 П ^ I Б ¡V + 2 Я ,БVp + 2 Б Р,
8пОБх^ = + ЯАЯРР - яАярр,
де _ еах + ^е" = 0. (12)
Уравнения поля числом 16 и следствие тождеств Бьянки имеют обычный ВИД1
1 2
_ 7Т = ,
у» т= 0. (13)
Укажем антисимметричную часть тензора энергии-импульса и разложим его на симметричную и антисимметричную части:
ТI_т» I_У хБ '"Х
т^ = т;(Т1» + + ~(Т^ _ Т^)= Т(ри) + Ты. (14)
\(Т'„ + Ти') + 2(
Нелокальный интегральный закон сохранения для симметричной компоненты данного тензора нами получен. Дополним его учётом торсионного поля Картана. Имеем:
2У» Т= У" Ух]Б'"х = Пр„хБ'рх + К%ХБ'"Р = КрХБ'рхКр„ Б'"р = 8пСБ'иХТ^х]. (15)
Мы здесь учли, что
Н^ХБ^ = + К1хр + Кр» )БР"Х = 0,
Е[их] = 8ПСТ»Х] = 4пСУрБихр- (16)
Таким образом, получаем:
0 = еа' У» Т' = еа' У' Т' > + УрБ^р,
уи Т' = 0^
5
а
& 9а[Рал/ _9ааК ехр j (р-1рЬКаЬЬ + (4пОр-1)у/_Уаа каБ'" (УХБ^Х + Б^Б^ )вв] = 0. (17)
0
Таким образом, нелокальный интегральный закон сохранения источников в гравитации Эйнштейна Картана имеет в общем случае следующий вид:
*еара ехр (р-1рЬКаьь + (4пСр-1)л/—даакаБ'(УХБ'их + БррБ)вв = сош^ (18)
¿^а(8а) Л
0
Появление постоянной тяготения НькхгонсЦ равной в естественных единицах квадрату
планковской длины, говорит о том. что торсионное поле Картана существенно только
в теории очень Ранней Вселенной.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ч. Мизнер, К. Торн. Дж. Уилер, Гравитация. В 3-х т. Т. 3 (М.. Мир. 1977), с. 447.
[2] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц. Л. П. Питаевский. Релятивистская квантовая, теория. Ч. 1 (М.. Наука. 1968), с. 25.
[3] Е. Cartan, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 174, 593 (1922).
[4] Iv. Ivondo, Memoirs of the Unifying Study of the Basle Problems in Engineering Sciences by Means of Geometry. Vol. 1 (Tokio. Gakujutsu Bunken Fukyu-kai. 1955).
[5] Я. А. Схоутен, Тензорный а,нал,из для, физиков (М.. Наука. 1965), с. 385.
[6] Н. Bondi, F. А. Е. Pirani, and J. Robinson. Proc. Roy. Soc. London. A 251. 519 (1959).
[7] Д. А. Киржниц, А. Д. Линде, ЖЭТФ 67 (4(10)), 1263 (1974).
[8] P. Ф. Политцук, Краткие сообщения по физике ФИАН 35(9), 14 (2008).
[9] S. W. Hawking, General Relativity (Cambridge University Press, 1979).
[10] P. Ф. Политцук, ДАН СССР 209, 76 (1973).
[11] P. Ф. Политцук, Фундаментальные физические взаимодействия и законы сохранения. 1 (М., Научный альманах "Гордон", 2003), с. 67.
[12] Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. Под ред. А. М. Виноградова, И. С. Красильщика (М., 1997).
[13] Ф. Гюрттти, Введение в теорию групп. Теория, групп и элементарны,е 'частицы (М., Мир, 1967), с. 25.
[14] Р. Ф. Политцук, Краткие сообщения по физике ФИАН 38(3), 3 (2011).
[15] Т. W. В. Kibble, J. Math. Phys. 2, 212 (1961).
[16] D. W. Sciama, On the analogy between charge and spin in general relativity, in: Recent Developments in General Relativity (Oxford, Pergamon Press, 1962).
Поступила в редакцию 6 ноября 2012 г.
