Символы операторных функций на алгебрах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2006, вып. 16, с. 67-76

УДК 514.8+517.986

СИМВОЛЫ ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ НА АЛГЕБРАХ ЛИ

И.В. Широков

В статье выведены формулы, позволяющие заменить работу с операторными функциями (от некоммутирующих переменных) из обертывающей алгебры на работу с ассоциативной алгеброй гладких функций на дуальном пространстве, т.е. функций от коммутирующих переменных. Показано, что выбор способа упорядочивания операторов эквивалентен выбору локальных координат в группе Ли.

Введение

Пусть G — связная и односвязная вещественная n-мерная группа Ли, 0 — ее алгебра Ли, базисные элементы которой {+} удовлетворяют коммутационным соотношениям: [ei,ej] = Ckjek . Пусть также задано представление T группы G в линейном пространстве H. Мы будем обозначать одной и той же буквой элемент группы t Є G, лежащий в окрестности единицы группы и соответствующий набор его локальных координат t = (t1,... ,tn) Є In (In — n-мерный открытый куб), причем e = (0,... , 0). Линейные операторы Xj:

являются генераторами представления T группы G и образуют базис представления алгебры g в пространстве H со следующими коммутационными соотношениями:

(Здесь К — некоторый вещественный положительный параметр, в квантовой механике ему соответствует постоянная Планка).

В физических приложениях (в квантовой механике) пространство H является гильбертовым, а операторы Xj — самосопряженными. В этом случае представление T унитарно. В настоящей работе нет необходимости накладывать условия гильбертовости пространства H и унитарности представления T.

К X X ]

г

/~im

Cjk Xm-

Copyright © 2006 И.В. Широков. Омский государственный университет. E-mail: shirokov@univer.omsk.su

Поставим каждому оператору Xj во взаимнооднозначное его символ Xj и распространим по линейности это соответствие на всю алгебру 0:

X = ajXj <—> X = ajXj, aj Є R.

Продолжим введенное соответствие на обертывающую алгебру U(0), т.е. каждой операторной функции f (X) Є U(0) поставим в соответствие полиномиальную функцию f(X) от символов Xj. (Под операторной функцией мы понимаем некоторый элемент из представления обертывающей алгебры, порожденного представлением T). Символы Xj можно отождествить с координатами линейного функционала X Є 0* в двойственном базисе: X = Xjej, где (є3 ,ві) = 8j. Таким образом, мы ставим в соответствие операторной функции на алгебре g ее символ — полиномиальную функцию на 0*. Произведению двух операторов fi(X) f2(X) (как элементов ассоциативной алгебры U(0)) будет соответствовать так называемое звездное произведение (star-product) их символов:

(rn(X ) = fi(X) * j2(x ). (1)

Ясно, что соответствие между символами и операторами неоднозначно. Например, функция X1X2 из C^(0*) может соответствовать различным операторам X1X2, X2X1} (XX2+ X2X1)/ 2 и т.д. Для однозначности соответствия между символами и соответствующими операторами необходимо выбрать способ упорядочивания. От выбора способа упорядочивания зависит формула для звездного умножения (1).

Пусть M — некоторое пуассоново многообразие (или супермногообразие).

Отображение алгебры гладких функций на пуассоновом многообразии M (классические наблюдаемые) в алгебру самосопряженных операторов на лагранжевом подмногообразии в M (квантовые наблюдаемые) такое, что коммутатор операторов в некотором смысле соответствует скобке Пуассона их символов, называется процедурой квантования многообразия M. При этом такое отображение должно удовлетворять еще ряду требований, которые зависят от вида квантования (геометрического [1], деформационного [2] и т.д.) и которые мы здесь не приводим.

На коалгебре 0* определена скобка Пуассона-Ли1:

{fi(X), f 2(X)}ш

Cij Xk

dXi dXj,

fi,f2 Є C™(0*).

(2)

Таким образом, коалгебра 0* является пуассоновом многообразием. Однако мы в настоящей работе не будем заниматься проблемой квантования пуассонового многообразия 0*. Мы исходим из некоторого известного представления T группы Ли, и нашей задачей является получение формулы для звездного произведения.

1. Операторные функции и их символы

Операторы T(t) представления элементов t Є G, лежащих в окрестности единицы группы, являются поднятием представления алгебры Ли с помощью экспоненциального

хПо повторяющимся верхним и нижним индексам, если не оговорено противное, производится суммирование.

68

отображения

exp : 0 ^ G,

т.е. T(t) = exp(itX/К). Под этой операторной экспонентой можно понимать либо произведение операторных экспонент, порядок следования которых определяется некоторой подстановкой а = (i1}... ,in):

itX ifil X itin X

e hlX = e h Xii • • • e h Хгп

(суммы по индексам i\,... ,in нет),

что соответствует выбору канонических координат второго рода, либо одной экспоненте

e htx

i fj x ■ e h f Xj ,

что соответствует выбору канонических координат первого рода, либо некоторой смеси координат первого и второго рода. В этом разделе мы не будем фиксировать выбор координат.

Основной формулой, связывающей операторные функции f (X) и их символы f(X), является следующее выражение:

f (X)

1

(2 пК)п

e-4 f(X)T(t) dtdX.

(3)

Здесь dt = dt1... dtn, dX = dX1... dXn. Интегрирование по переменным Xi производится по всему пространству Rn, по переменным t — по открытому ^-мерному кубу In, содержащему 0. Если группа G — эспоненциальная, то In = Rn.

Из формулы (3) можно вывести эквивалентную и заодно показать, что значение интеграла в правой части равенства (3) не зависит от выбора области In. Подставим произвольную полиномиальную функцию

f (X ) = Х, a4-kn Xi1...Xn

в выражение (3):

f (X) = (2ПІЇТ

Y aii...in I Xi1 ... Xknne-^T(t) dXdt

(2 пК)1

'У ) ail... in X

x / T(t)\ іКШ

d\k1

dt1

d\kl

dt1

,d\Kn ( itX\ lv , ^

іКт^) exp (-----------------— ) dXdt = 2_^ aki...kn x

dtn

К

d_

"dtn

x I T(t)[ ih— ) ... ( ih^n ) 5(t) dXdt = f ( -ih^2 ) T(t)

d

dt

t=0

n

1

in

Полученный результат распространяется на любую аналитическую функцию.

Таким образом, связь между операторной функцией и ее символом дается эквивалентной формулой

f X) = f (-Ш 1)4=0

69

Из формулы (4) следует, что выбор локальных координат в окрестности единице группы определяет способ упорядочивания операторов в операторных функциях. В качестве простейшего примера возьмем функцию f (X) = X1X2X3 и построим с помощью формулы (4) соответствующие операторные функции для трех видов локальных координат в группе G:

T(t)

e і t1 X e і ^ e і^ e іt4X

г j-n v

. e іг Xn

f (X) = Xi X3X2; 1

T(t) = eі1 Xleі(t X2+ X3+ X4+-+tnxn)} f (X) = 2X1(X2X3 + X3X2);

T(t) = e і (t1^1+t2^2+t3^3+t4^4+^^^+tn^n), f (X) = IX1X2X3 + X1X3X2 +

6

+ 4X24X14X3 + 4X24X34X1 + 4X34X14X2 + 4X34X24X1).

В первом случае были выбраны канонические координаты второго рода, соответствующие подстановке a = (1, 3, 2, 4, ...,n). Все операторные функции в этом случае являются суммами операторных выражений, в которых слева будет стоять оператор X1 в некоторой степени, затем операторы X3, X2, X4,...,Xn. Во втором случае выбраны смешанные координаты, в операторных выражениях слева будет стоять оператор X1 в некоторой степени, умноженный на симметризованное выражение от операторов X2, X3,... , Xn. Третий случай соответствует выбору канонических координат первого рода, который определяет симметризованное упорядочивание (или, как его иначе называют, упорядочивание по Вейлю).

2. Звездное произведение символов операторов

По определению представления T(y)T(z) = T(x(y, z)), где x(y,z) — функция композиции (умножения) в группе Ли G в локальных координатах. Согласно формуле (3) имеем

f1(X )f2(X ) =

= 1 (2пК)

Kf2(X) =

1

T(y)T(z)e-і (yY+zZf\(Y f(Z) dYdZdydz =

(2nh)2n

-f T(x(y,z))e-і(yY+zZ)f1(Y)h(Z) dYdZdydz =

1 itx----

T(t)e R f 1 f2(X) dXdt, где

eі (x(y,z)x-yY-zZ) f 1 (Y)(Z) dYdZdydz.

1

(2nh)r

1

(2nh)2n

Вспоминая определение звездного произведения (3), окончательно получим

f 1(X) * f 2 (X) K (X; Y, Z)

K(X; Y, Z)f 1(Y)f2(Z) dYdZ,

1

(2nh)2n

eі(x(y,z)X-yY-zZ) dydz.

(5)

(6)

Учитывая, что функции f-i_(X),f2(X) полиномиальны, и действуя так же, как и при выводе формулы (4), получим формулу для звездного произведения,

70

эквивалентную формуле (5):

fi(X) * h(X)

Лнн ).k-m )e і x(yz)X

y=z=0

(7)

Для единичного оператора 1 очевидны равенства 1 • f (JC) = f (JX) • 1 = f (X). Из формулы (4) следует, что единичному оператору соответствует символ f = 1 и поэтому должны выполняться равенства 1 * f (X) = f (X) * 1 = f (X), справедливость которых следует из формулы (7) и из свойства функции композиции в группе Ли: x(y, 0) = y, x(0, z) = z. По определению символа оператора звездное произведение должно быть ассоциативной бинарной операцией. Это легко проверить непосредственно, используя формулы (5), (6) (или формулу (7)) и свойство ассоциативности умножения в группе Ли x(y, x(z, u)) = x(x(y, z),u).

Таким образом, линейное пространство гладких функций на 0*, снабженное бинарной операцией «*», является ассоциативной (но некоммутативной) алгеброй A = (C^(g*), *) с единицей. Отметим, что в схеме геометрического квантования и в некоторых случаях деформационного квантования свойство ассоциативности не выполняется.

Введем на алгебре A скобку Пуассона:

MX)MX)Г"'* = k MX) * Ф(X) - ф(А') * m(X)), v{X), ф(А) є A. (8)

Поскольку формула (5) для звездного произведения зависит от выбранных в группе Ли локальных координат, то каждому такому выбору координат соответствует своя скобка Пуассона (8). Как мы покажем ниже, все различные скобки (8) являются деформациями скобки Ли-Пуассона (2), т.е. {•, •}symb — {•, •}Lie при k — 0.

Обозначим через ф,у — лево- и правоинвариантные векторные поля, 4,а — лево- и правоинвариантные 1-формы на группе G, в координатах имеем:

] = Ck &, [Vt,Vj ] = Ck щ, [Сг,у3 ] = 0; д д

u' ' 4 = 4(z)dzj, ak = ak(z)dzj;

0 = j(z) dzk, n = nk (z)

dzk'

4& = 6k, 4nk = 6k, Q(0) = -nj(0) = ■

Условия лево- и правоинвариантности полей ф, n эквивалентны следующим выражениям:

дх(zkz) = ф(x(y,z))4k(z), дх дуz) = nj(x(y,z))4k(z)■

Используя соотношения (9), перепишем формулу (7) в виде

f1(X) * f 2(X) = h {-iWy + Xjnj(x(y,z))ol(y)) x

X f 2 (-ihdz + XjЦ (x(y,z))4(z)) • 1

(9)

:iq)

y=z=0

71

Из формулы (10) следует

h(X) * f2(X) = f i(Xf(X) - ih

f2(X) * ff(X) = ff(X)ff(X) - ih

,-fc dfi df2 v j ^ , ^2

№ X X ^(0) + 0(^)’

;Mfl df2 v j rn, ,

dXs dXm

-Xj jm(0) + 0(h2).

Здесь CL,s(0) = dj {z)/dzS ПРИ z = 0. Учет Равенства j,s(0) - jm(0) = CL и определения скобок Пуассона (2), (8) приводит к следующему соотношению:

{f\(x ),MX )}symb = {f i(x ),MX )}Lie + O(h).

3. Упорядочивание по Вейлю

Случай симметризованного упорядочивания, или, иначе, упорядочивания по Вейлю, обладает по сравнению с общим случаем рядом полезных свойств. Как показано выше, скобка Пуассона-Ли (2) и скобка Пуассона символов (8) не совпадают. Однако в случае симметризованного упорядочивания справедливо более слабое утверждение.

Утверждение. При выборе канонических координат первого рода, или, что эквивалентно, при упорядочивании операторов по Вейлю, имеет место равенство:

{Xi,f(x)}s»mb = {X,,f (X)}ш, i є тд. (11)

Proof. Пусть операторной функции f (X) соответствует символ f (X), т.е. эти величины связаны соотношением (3). Выберем в группе Ли канонические координаты первого рода и введем параметрическое семейство операторных функций fT (X):

fr (XX) = e*rX f (X)e-*rX.

Согласно формуле (3) имеем:

fr (XX)

т

(2 nh)

e * rX

T(t)e-*rXe-*tX f (X) dXdt

x e-*

f (X)

dXdt

(2 nh)n (2 nh)

= J exp h (te *rXXe *rX^ x e*e-*^ f (X'A) dX'dt'.

т

Здесь t'j = Ajk(r)tk, X'k = Xj (A 1(t))jk, A(t) — матрица присоединенного представления. Мы воспользовались также равенствами

Xt = Xk tk = X 't', dX 'dt' = dXdt.

Убирая штрихи, получим

fr (X)

1

(2nh)n

T(t)e-M*L f (XA(t)) dXdt.

72

Иначе говоря, операторной функции fT(X) соответствует символ

и (X) = f (XA(t)).

Для окончания доказательства Утверждения осталось заметить, что

_д_

дт j

fT (X)

т=0

ъ [Xj ,f P0],

dj U (X )

{Xj ,f(X)}

Lie

т=0

Отметим еще одно полезное свойство симметрического упорядочивания. Пусть представление T унитарно, т.е. операторы X эрмитовы. Тогда

T+(t) = T(-t)

и

f (X))+ = (2LnJ e¥ f(X)T+(t) dtdX = -^J e-“X,f(X)T(t) ШХ,

т.е. эрмитову сопряжению операторной функции соответствует комплексное сопряжение ее символа. В частности, самосопряженным операторам при вейлевском упорядочивании соответствуют вещественные функции на 0*.

4. Примеры

4.1. Алгебра Гейзенберга

Простейшим нетривиальным примером является трехмерная алгебра Гейзенберга.

С другой стороны, алгебра Гейзенберга играет огромную роль в квантовой механике, и на ее основе базируются важные для приложений конструкции (например, когерентные состояния, континуальные интегралы и т.д.)

Трехмерная алгебра Гейзенберга с базисом {e1,e2,e3} имеет одно ненулевое коммутационное соотношение [e1, e2] = e3. Определим неприводимое представление этой алгебры в гильбертовом пространстве H = L2(R1, dq):

Xi = T= -ihdq, X2 = Q = q, X3 = 1

и обозначим через P,Q символы операторов P,Q соответственно, единичному оператору X3 поставим в соответствие число 1. Как говорилось выше, в зависимости от выбора упорядочивания операторов мы будем иметь различные виды звездного произведения.

4.1.1. qp—символы

Выберем упорядочивание, при котором в каждом мономе оператор QT стоит левее оператора P, т.е.

f (Q ’р) = Л j Qj pi ■ (12)

j,i

73

Такому выбору упорядочивания соответствует следующий выбор координат:

T(t) = exp(|13 • 1) exp(|t2Q) exp(|tlP), и операторная функция (12) будет иметь символ

f(Q. P) = f (Q, P) = £ jQjPk. (13)

j,k

Функция композиции x(y, z) в этих координатах выглядит следующим образом:

Хі = Уі + Zi, Х2 = У2 + Z2, Хз = yiZ2 + Уз + Z3.

Подстановка данной функции композиции в формулы (5), (6) дает

MQ.P) *h(Q:P) = 2~j: je-*(Q-Q,KF-P'>fi(Q.Pi)f2(Q2.P)QdPi. (14)

По известной функции композиции легко вычислить явный вид лево- и правоинвариантных векторных полей и форм:

£i = di, ^2 = &2 + Хі5з, ^з = дз, и1 = dxi, и2 = dx2, и3 = -xidx2 + dx3; щ = —di — x2d3, n2 = -д2, щ = -д3, a1 = —dxi, a2 = -dx2, a3 = x2dxi — dx3.

Здесь принято обозначение ді = д/dx1. Эквивалентная формула (10) примет вид

fi(Q, P) * h(Q, P) = fi(—ihdy2 + Xj(x)a2(y), —іНду1 + Xj(x)ai(y))x

x f2(—ihBZ2 + XjЦ(x)u2(z), —ihSZi + Xjg(x)ui(z)) • 1

\y=z=0

= fi(X2, —іНдуі + Xi)f2(X2 + yiX3,Xi)|y=z=0 . Подставляя в это выражение Xi = P, X2 = Q, X3 = 1, окончательно получим

fi(Q, P) * f2(Q, P) = fi(Q, P — іПдуі)f2(Q + yi, P)ly±=o

15)

4.1.2. pq-символы

Пусть теперь символу f (Q,P) (13) соответствует операторное выражение, в котором операторы P стоят левее операторов Q:

f (Q ’P) = X, ajk P k Qj ■

j,k

Выбранному упорядочиванию операторов соответствует локальное представление T(t) = exp(|t3P)exp(|t2Q)exp(|13 • 1). Функция композиции в этом случае имеет вид:

xi = yi + Zi, x2 = y2 + Z2, x3 = —y2Zi + Уз + Z3.

Действуя аналогично предыдущему случаю, получим формулы для композиции символов:

fi(Q,P) * f2(Q,P) =

2nh

e*{q-Q2){p-Pl)fi(Qi,P)f2(Q, P2) dQidP2,

fi(Q, P) * f2(Q, P) = fi(Q + іЩ2,P)f2(Q, P + У2)іУ2=0 .

1

(16)

(17)

74

4.1.3. Символы Вейля

Выбору симметризованного упорядочивания соответствует выбор канонических координат первого рода: T(t) = exp(|(t1 P + t2Q +t3 • 1)). Функция композиции в этом случае имеет вид:

Х1 = yi + Zi, Х2 = У2 + Z2, Хз = Уз + Z3 + (yZ - ^2^і)/2. Подставляя явный вид функций композиции в формулы (5), (6), (10), получаем

fi(Q,P) * f2(Q,P)

1

(2 пК)2

e 2 ((Q-Q2)Pl+(Ql-Q)P2 +(Q2-Qi)P) x

X fi(Qi, Pi)f2(Q2, P2) dQidPidQ2dP2; (18)

fi(Q,P) * f2(Q,P)

fi(Q + 7ш P — 7^)f2(Q + yi-P + У2)

:19)

V1=V2=0

Выше, изходя из общих формул (5), (6), (10), мы получили для частного случая алгебры Гейзенберга выражения для звездного произведения. Следует отметить, что формулы (14)—(18) не являются оригинальными и приведены в монографии [3], в которой они выведены из других соображений.

4.2. Евклидова группа E(2, R)

Алгебра Ли вещественной трехмерной евклидовой группы имеет следующие ненулевые коммутационные соотношения:

[є1,Є3] = —Є2, [е2,Єз] = Єь

В канонических координатах второго рода T(t) = exp(tiei) exp(t2e2) exp(t3e3) символу

f (Xi,X2,X3) = ]T al3k Xi Xj X3k

l,j,k

соответствует оператор

f (XbX2,X3) = ]T ai3k xi Xj Xk.

l,j,k

Функция композиции в этих координатах выглядит следующим образом:

Xi = yi + Zi cos У3 — Z2 sin У3, Х2 = У2 + Z2 COS У3 + Zi sin У3, Х3 = У3 + Z3. Обобщенная функция K(X; Y, Z) согласно формуле (6) имеет вид:

1 f i

K(X; Y,Z) = (2ПК)6 J exp К ((yi + Zi cos У3 — Z2 siny3)Xi + У + Z2 cos У3+

+ Zi sin y3^X2 — yiYi — У2Y2 — y:iY:i — ZiZi — Z2Z2 — Z3Z3) dydZ = S(Xi — Yi)x X S(X2 — Y2)5(X3 — Z3) J S(Zi — Xi cosУ3 — X2 siny3)S(Z2 — X2 cosУ3 + Xi siny3)x

'I

X exp -(y3(X3 — Y3)) dy3/2пК.

К

75

76

Подставляя это выражение в формулу (5), получим

fl(X )*f2(X ) = —т fi(Xi,X2,Y )f2(Xi cos У+Х2 sin y,X2 cos y-Xi sin y, X3 )x

2 nh

x eR

І v(X3-Y)

dYdy.

Используя интегральное представление дельта-функции, эту формулу можно переписать в эквивалентном виде:

fi * f2 = fi(Xi,X2,X3 - ihdy)f2(Xi cos y + X2 siny,X2 cos y - Xi siny,X3)\

v=0 •

Заключение

В настоящей работе мы вывели формулы, которые позволяют заменить работу с операторными функциями (от некоммутирующих переменных) из обертывающей алгебры U(0) на работу с ассоциативной алгеброй A функций на Сх(0*), т.е. функций от коммутирующих переменных. Особенно полезной, на наш взгляд, является формула (11). С помощью этой формулы удалось строго обосновать алгоритм нахождения алгебры инвариантных операторов на однородных пространствах, предложенный в работе [4]. Из этого доказательства, как следствие, получается утверждение о совпадении слабо коммутативных и коммутативных пространств. Приведение этого доказательства далеко выходит за рамки настоящей статьи и будет опубликовано в отдельной работе.

References

1. Кириллов А.А. Геометрическое квантование / Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4. Динамические системы — 4. М.: ВИНИТИ, 1985. С.141-178.

2. Kontsevich M. Deformation Quantization of Poisson Manifolds. - E-print arXiv: q-alg/9709040.

3. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

4. Широков И.В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // Теоретическая и математическая физика. 2001. Т.129, N.1.

C.3-13.