Consistent conjectural variations equilibrium in a mixed oligopoly Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Колоколов, А. А. Анализ и решение одного класса задач об упаковке множества / А. А. Колоколов, М. Ф. Рыбалка // Дискретная оптимизация и исследование операций : материалы Рос. конф. — Новосибирск : Изд-во ИМ СО РАН, 2010. — С. 95.

10. Колоколов, А. А. Исследование алгоритмов целочисленного программирования с использованием регулярных разбиений и унимодулярных преобразований / А. А. Колоколов, Т. Г. Орловская, М. Ф. Рыбалка // Автоматика и телемеханика. — 2012. - № 2. - С. 178- 190.

11. Рыбалка, М. Ф. Анализ некоторых алгоритмов для задачи об упаковке множества с матрицей блочной структуры / М. Ф. Рыбалка // Методы оптимизации и их приложения : тр. XV Байкальской междунар. школы-семинара. — Иркутск, 2011. - Т. 4. - С. 197-202.

12. Емеличев, В. А. Многогранники, графы, оптимизация / В. А. Емеличев, М. М. Ковалёв, М. К. Кравцов. — М. : Наука, 1981. - 344 с.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией дискретной оптимизации. КОРБУТ Мария Фёдоровна, программист, лаборатория дискретной оптимизации.

Адреса для переписки: kolo@ofim.oscsbras.ru, maria@korbut.pro

Статья поступила в редакцию 12.12.2012 г.

© А. А. Колоколов, М. Ф. Корбут

yAX 5191 V. V. KALASHNIKOV

V. A. BULAVSKY N. I. KALASHNIKOVA

Instituto Tecnolygico y de Estudios Superiores de Monterrey,

Mexico Central Economics and Mathematics Institute (CEMI), Moscow Universidad Autynoma de Nuevo Leyn, San Nicol6s de los Garza,

Mexico

CONSISTENT CONJECTURAL VARIATIONS EQUILIBROUM IN A MIXED OLIGOPOLY

In this paper, conjectured variations equilibrium states (CVEs) in a mixed oligopoly model are studied. The agents make conjectures concerning the variations of the clearing price as a dependence upon variations in their production volumes. The existence and uniqueness theorems are established for the conjectured variations equilibrium (called an exterior equilibrium) for any set of feasible conjectures. To introduce the notion of an interior equilibrium, the authors develop a consistency criterion for the conjectures (referred to as influence coefficients). Next, an existence theorem for the interior equilibrium (understood as a CVE with consistent conjectures) is proved.

Keywords: variational equilibrium, oligopoly model, production volumes, convergence.

Since recently, papers and monographs dealing with behavioral patterns of agents of mixed markets have become very common (see, e.g., [1 — 2] and references therein). A homogeneous commodity (oligopoly) market is calledmixed whenever a state-owned (public, domestic, etc.) welfare-maximizing agent (company) competes against profit-maximizing private (foreign) firms. The models studied mainly differ in the definition of the objective (utility) function maximized by the public firm. The previous papers by the authors [1—2] examined the mixed oligopoly where the public agent was interested in increasing domestic social surplus, which is almost uniformly accepted in the literature in the following form:

n

S(p;q0,civ-<(In)= JpW^-p-

Zfff

Vi=і .

Ь0Я0-^а0д%.

(1)

Consider (n+1) producers of a homogeneous good with quadratic cost functions f(qi) = l/2aiqf +biqi, i=0, 1,..., n, n> 2, where q>0 is the output by producer i. Consumers' demand is described by a (continuously differentiable) demand function G=G(p), whose argument p is the market price proposed by the producers. An active demand D is nonnegative and does not depend upon the price. At an equilibrium state, the following balance equality is assumed to be valid

(2)

i=0

Private producer i, i=1,..., n, chooses his/her output volume q> 0 so as to maximize his/her profit function

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

n(p,q)=p-q —f(q). On the other hand, the public company with index i=0 selects its production value q0> 0 maximizing domestic social surplus (1).

As in [1], here the agents assume that their choice of production volumes may affect the price value p. The latter could be reflected with a conjectured dependence of the price p upon the output values q defined as dp/dq . = —v.. Then the first order maximum (equilibrium) condition would have the form: for the public company (with i = 0)

Jp = -voSm<7( +bo + a0?0' if<7o> \p^-Vq Zii<7і +b0, if q0 = 0,

(3)

whereas for the private companies ( z=1,...,n), one has

p = vfli + b( + a,g;-, if (Ji > 0; p<bit if<7i=0,

(4)

We assume the following properties of the problem's data.

A1. The demand function G(p) is defined for prices pe0, + ro) being non-increasing and continuously differentiable one.

A2. For the quadratic cost functions f(q) = 1/2a.qf = = b q . , .= 0, 1,...,n, we additionally assume that

b,<maxb.

0 1< i <n i

Definition 1. The set (p; q0, q1,., qn) is called an exterior equilibrium for given influence coefficients (v0, v1,., vn), if the market is balanced, i.e. condition (2) is satisfied, and for each . the maximum conditions (3) and (4) are valid.

In what follows, we are going to consider only the case when the set of really producing participants is fixed (i.e., it does not depend upon the values v. of the influence coefficients). To provide for this, we make the following assumption.

3. For the price p0<max1<< b , the following estimate holds:

£Po_A<G(Po). i-о 4

(5)

dp =_________________

8D Vq + Oq

(6)

«0 i=Qvi

Vi + a,

-G'(p)

vo

Ї—--------------G'(p)

;=1 Vi + °i

(7)

and

Vi =

‘ —C(p)

«0 j=Qvj+aj

Now we are in a position to define the concept of an interior equilibrium.

Definition 2. The collection (p; q0, q1,., qn; v0, v1,., v) where v>0, k=1,...,n is referred to as an interior

n' k ' ' '

equilibrium if, for the considered influence coefficients, the collection (p; q0, q1,., qn) is an exterior equilibrium, and the consistency criterion holds for all k.

The following result is an extension of Theorem 2 in [3] to the case of a mixed oligopoly.

Theorem 2.Under assumptions A1, A2 and A3, there exists an interior equilibrium.

In our future research, we are going to extend the obtained results to the case of non-differentiable demand functions. However, some of the necessary technique can be developed now, in the differentiable case. To do that, we denote the value of the demand function's derivative by T=G'(p) and rewrite the consistency equations (7) — (8) in the following form:

v0=-

1

V 1

Z--------T

;=1 vi + ai

(9)

and

Vq +a0

(10)

a0 j=0vj+a]

Theorem 1. Under assumptions A1, A2 and A3, for any D>0, v>0, z=1,...,n, and v0e[0,v0), there exists uniquely an exterior equilibrium (p; q0, q1,., qn), which depends continuously upon the parameters (D, v0, v1,., vn). The equilibrium price p = p(D, v0, v1,., vn) as a function of these parameters is differentiable with respect to both Dand v>0, z=1,...,n. Moreover, p(D, v0, v1,., vn)>p0, and

This result allows us to analyze the expected behavior of the equilibrium price in the absence of any of the agents and thus introduce the following concept of the conjecture' consistency:

Consistency Criterion. At an exterior equilibrium (p; q0, q1,., qn), the influence coefficients v, i=1,...,n are referred to as consistent if the following equalities hold:

where tg( —ro,0]. When t^ —ro then system (9) — (10) has the unique limit solution v = 0, z=1,...,n For all finite values of t we establish the following assertion.

Theorem 3. For any tg ( — ro,0] ] there exists a unique solution v. = v.(t), ( z=1,...,n, of equations(9) — (10), continuously depending upon t. Furthermore, ^.(^^0 when t^ —ro, z=1,...,n, and v0 = v0(t) strictly increases up to v0=0 as t grows up to zero.

Numerical experiments conducted for a small model of electricity market with six producers (agents) from [4] illustrated a possibility of an advantage in the market price and supply volume gained not only by the consumerbut also by the private producers (in their net profit) when they apply the Consistent Conjectural Variations Equilibrium (CCVE) concept instead of the Cournot-Nash equilibrium or the perfect competition.

Acknowledgements. The research activity of the first author was financially supported by the R&D Department (Catedra de Investigacion) CAT-174 of the InstitutoTecnologico y de EstudiosSuperiores de Monterrey (ITESM), Campus Monterrey, and by the SEP-CONACYT project CB-2008-01-106664, Mexico. Also, the work of the third author was supported the National Counsel of Science and Technology (CONACyT) of Mexico as part of the project CB-201101-169765; PROMEP 103.5/11/4330, and PAICYT 464-10.

References

1. Kalashnikov, V. V. Consistent conjectures in mixed oligopoly / V. V. Kalashnikov, V. A. Bulavsky, N. I. Kalashnykova, F. J. Castillo Perez // European J. Oper. Res. — 2011. — № 3(210). — С. 729-735.

2. Kalashnykova, N. I. Consistent conjectural variationse-quilibriu minamixed duopoly oligopoly / N. I. Kalashnykova, V. V. Kalashnikov, V. A. Bulavsky, F. J. Castillo Perez // Journal of Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics. - 2011. - № 15(4). - С. 425-432.

3. Булавский, В. А. Структура спроса и равновесие в модели олигополии / В. А. Булавский // Экономика и математические методы. - 1997. - № 33(3). - С. 112-134.

4. Liu, Y. F. Existence and uniqueness of consistent conjectural variation equilibrium in electricity markets / Y. F. Liu, Y. X. Ni, F. F. Wu, B. Cai // Int. J. Electrical Power Energy Sys. - 2007. -№ 29 (4). - С. 455-461.

KALASHNIKOV Vyacheslav Ivanovich, doctor of physico-mathematical Sciences, Professor of the Department of Systems Engineering, Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey (on leave from the Central Economics and Mathematics Institute (CEMI), Russian Academy of Sciences, Moscow). BULAVSKY Vladimir Aleksandrovich, doctor of physico-mathematical Sciences, Professor, Russia Professor of the Central Economics and Mathematics Institute (CEMI) of the Russian Academy of Sciences. KALASHNIKOVA Natalia Ivanovna, candidate of physico-mathematical Sciences, teacher of the Department of Mathematics, Universidad Autonoma de Nuevo Leon, San Nicolas de los Garza.

Адрес для переписки: kalash@itesm.mx

Статья поступила в редакцию 10.10.2012 г.

© V. I. Kalashnikov, V. A. Bulavsky, N. I. Kalashnikova

уДК 517.958:530.145 А. А. МАГАЗЕВ

В. В. МИХЕЕВ И. В. ШИРОКОВ

Омский государственный технический университет

МЕТОД

НЕКОММУТАТИВНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В статье представлен обзор применения метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений к различным задачам современной теоретической физики.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, группы Ли, алгебры Ли, Х-пред-ставление, уравнение Клейна-Фока, поляризация вакуума, матрица плотности. Статья опубликована при поддержке РФФИ, грант № 12-01-31400.

Введение. Многие важные задачи теоретической физики сводятся к интегрированию линейных дифференциальных уравнений в частных производных вида

Н(х,йх)ф(х) = £'ф(х) , (1)

где х&и^В!1, ф(х)еС“(Ц), Е — вещественный параметр.

Наиболее известным методом построения точных решений уравнения (1) является метод разделения переменных [1]. Согласно теореме о необходимых и достаточных условиях разделения переменных, уравнение (1) обязано допускать п-мерную коммутативную алгебру операторов симметрии не выше второго порядка, удовлетворяющих дополнительным алгебраическим условиям [2]. На основе этих результатов была проведена систематизация практически всех известных точных решений уравнений квантовой механики с внешними полями, а также найдены обширные классы новых полей и соответствующих решений [3]. Тем не менее следует отметить, что во многих важных случаях построение коммутативных операторных наборов либо невоз-

можно (например, в пространствах нештеккелево-го типа), либо сопряжено с рядом дополнительных трудностей. В этой связи наиболее естественным представляется использовать наборы операторов симметрии первого порядка, которые в общем случае образуют некоммутативные алгебры Ли.

Предположим, что оператор H(x, дх) допускает алгебру симметрии g операторов вида: ta= (х)д

№1=0, [§а,5ь] = сй,5С1

где С£а = -СаЪ — структурные константы алгебры Ли g; a, b, c = 1, ..., dim g. Использование некоммутативной алгебры симметрии для интегрирования уравнения (1) состоит в построении алгоритма редуцирования последнего к дифференциальному уравнению с минимально возможным числом независимых переменных. При этом уравнение (1) называется интегрируемым, если указанный алгоритм сводится к вычислению квадратур, а редуцированное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением. Кроме того, предполагается, что базис решений исходного уравнения восстанав-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ