Об обратной спектральной задаче для дифференциальных операторов с нелинейной зависимостью от спектрального параметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

Д. С. Лукомский

ОБ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА1

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида Ь>-У1я)+ТГыРЛ*.Р1У(4)-0, Рк{х,р) = ^1крпЧрк1(х), хе(0,+со). (1) Полагаем, что ркк - постоянные,рк^х)е ЦО,со), Рк,к + \(х)~ абсолютно непрерывны, к = \,п, / = к + 1, и.

Пусть {/?, }"=! - корни характеристического многочлена для (1), имеющего вид = < (Рлп=1)- Считаем, что

Я.к - : ф 0, к Ф ] и Як Ф 0, к = 1, п. Известно, что комплексную плоскость (р) можно разбить на N секторов так, что внутри каждого из них корни {Д, }"=1 могут быть занумерованы следующим образом:

11е(рЛ1)<11е(рД2)<...<Яе(рДл) Уре^. (2)

Пусть функции Ф(х, р) = [Фт(х, р)]т=у^ являются решениями (1)

при условиях С/^0(Фт) = 6^т, = а также Фт(х, р) = о(ерК"х\ х->оо, реБу, Ят занумерованы в порядке (2), где

а«)

= + Р®+1 "сопзг.

Р

и = - линейные формы для уравнения (1).

Обозначим Мтк(р) = ик 0(Фт), к = т + \,п. М(р) = [Мтк{р)]т

Мтк(р) = Ьтк, к = 1,т.

Условимся, что наряду с Ь рассматриваются дифференциальный оператор и линейные формы Ь того же вида, но с другими коэффициентами. Если некоторый символ ф обозначает объект, относящийся к Ь, то ф обозначает аналогичный объект, относящийся к £, а ф = ф- ф. В дальнейшем всегда считаем, что ркк =ркк.

1 Работа выполнена при поддержке Саратовского международного центра перспективных исследований, грант № 99-1-01.

Обозначим = о > A(p)=det(a>5(*t)) ¿.у-.

Я,

Наложим некоторые ограничения. Считаем, что для любого р = \,п, Д(р) Ф 0. Это условие должно выполняться для любого сектора Sv с его собственной нумерацией корней {^к)к=Тп■

Обозначим через W^ - множество функций /(х), 0 < х < оо таких, что /(х), /'OX-, /(n_1)W - абсолютно

непрерывны и

/w(x) е 1(0, оо), к = 07п, Пусть N >2 - фиксированное, целое число. Будем говорить, что LeYN если p1)J(x)eWJ]+N, j = х] + 1,п при любом фиксированном р, г| = 0,п —2. В дальнейшем считаем, что LgYn . Обозначим

(у(х, р), z(X, р»=i;i;leeiy(x,p)/')(x,p)z«)(jc,p)f

= Е^'н/с^Тм^Р). / + j < п -1,

0,у(х,р) = О, i + j>n-1.

Рассмотрим сопряженные дифференциальный оператор и линейные формы L'=(l',U')

+ц:10(-1)л(р,(х,Р)2)^=0, о)

где линейные формы С/* =[(_1)*_1^я-* + 1,о]£="Гл~ определяются из соотношения (y,z)/x=Q=U(y)U\z).

Обозначим Ф*(х,р) = [(-1)*_1Ф*_*+1(х,р)][=—, где функции Ф^(х,р) являются решениями (3) при условиях [/^(Фт) = с, = 1,т, Ф'm(x,p) = o(ep*"xj хсо, R'm=-Rn.m+l.

Пусть L = (/, (/) - некоторые известные дифференциальный оператор и линейные формы. Обозначим через £v± - верхний (нижний) берег разреза вдоль луча yv, Г* = {р:р е g intу0} где у0- ограниченный замкнутый контур, охватывающий множество A (J Л .Рассмотрим в р -плоскости контур 7 = иГ=1Гу> где rv =rv-i Ur; UYo> Уо часть контура у0 заключенная междулучами yv_, и Yv -

Не уменьшая общности, в дальнейшем считаем, что Р„_1(х,р) = 0. Обо-

Ьк-Ъ: —

значим ск j =-— где R = а • + ib., k,j = 1 ,п.

ak-cij

Введём следующие ограничения: для любых k,j,i: ckj *cki, причем все индексы равноправны.

Обозначим Mö(P) = ^'aS[Mm,m + i(P)]m=I7nn>

Л0(р) = М(р)М-1(р), МР) = Щр)М-\р),

Определим матрицы /(*> Р) = [/*(*> Р)]* = '

/,(*.P) = [(-l)*~1/n'-i + i(^P)][=l^ZI. по формулам

/*(*>Р) = Ку(Р)ф*(*>Р)> /*(*> Р) = к*ф*(*>Р)> где kv =0 на yv если Ф^ имеет скачок на yv, kv =1 на уvесли Ф^ анали-

тична на yv. Аналогично определяются функции к* для Фк .

При реу положим а(р) = П^=,к+у}Ч(Р)гГ. N(p) = Е + }/^а(р), ®(Р)= rTv=iK+v^o(p)^r> N(p) = E + y2a(p), где K+V(p) = l при реГу1)у0,

к+у(р) = 0при pe(jJ=1 rv .

j*v

При Р.Цеу определим матрицы ф(х, р) = [ф* (х, р)]*=2^,

g* (х, р) = [gl (х, P)fk = 2^n, r(x, P, Ц) = [rk J (х, р, ц)] к =,

по формулам

(ГФ(х,р), реу0, [/(х,р), peU^=irVi [-Ф*(х,р)Л0(р)К7') РеУо> [-/(x,p)Ms(p), peUv = ,rv

(фО>Р)>£*О.Ц))

\|/(х,р) = Р (х)ф(х,р), г(х,р,ц) = -*-

р-ц

где V(x) - главная часть асимптотики определителя при | р °о

¿<Л(ф[л-1\х,р),..., Фк(х,р), Ф4(х,р)),=-^. Справедлива следующая

ф(х,р) = -g*(x,p) = <

ТЕОРЕМА 1. При любом фиксированном х> О, у(х,р) является решением уравнения

ф(х,р) = ЛГ(х,р)ц/(х,р) + — [г (х,р,ц) Ч/(х,ц)ф р € у.

2т ^

Решая это уравнение и проводя дополнительные исследования, находим {г\к(х,р)}к=1Гп, гдег\к(х,р) = У'\х)Фк(х,р), к = 1,п.

Обозначим Д = ёе1(т1^)(х,р))А=у^ ;=7ТПг Введем определители Ду получающиеся из определителя А заменой7-го столбца (у = 1,и) на столбец

Ц = Ыкл\х,р)]к=т-п

Далее, последовательно находим

А (*.Р) = - ЕГ-*+1С* Р'(х,р)—КОО * к = п- 2,0.

Что и решает задачу определения дифференциального уравнения.

УДК 519.6

И. Д. Молоденкова

ПРИЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ ОСРЕДНЕНИЯ К ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ

В работах [1, 2] осредняющие операторы типа свертки применяются для выделения информативной составляющей экспериментальной кривой и подавления функции помех.

Здесь операторы такого типа применяются для восстановления непрерывной 2и-периодической функции, заданной своим 5 - приближением в

Построена последовательность осредняющих операторов:

А(х, /5, Я) = )к(х, г, Я)/8(*)*, (1)

-к

Н= 2л /(и + 1), и = 1, 2, ... , сохраняющих тригонометрические сплайны в смысле П.-Ж. Лорана [3]:

" А,-

ст(х) = ст(-л) соб(х-1-л) + о '(-71) 5т(х+7г) + [эт(( х - X,-)+) - (х - х,)+ (2)

/=1 2

соэ(х - х,)], х( = х0 + /Я, г = 0,п +1, х0 = -ж, хп+1 = п.

Ядра операторов ищутся в виде