CC BY
15
jrW^W^WÄ^W-e, \r{x)C'n2{x)Snl(x)dx=S'n2{n)-Q. (10) о 0
Сравнивая (9) и (10), имеем для п > (N +1) / 2
?„,(*) = е, у'п2(п)=6, (п)
а для п = 0, N -1, — равенства (4).
Имеет место оценка |3?я1 (*)| <Сп'г, следовательно, из (11) при п <х> *
получим 0 = 0, отсюда ^(х)ск = 0, и упХ(л) = 0, у'п2{т.) = 0. Таким обра-
о
зом, числа составляют часть спектра задач Ь:, причём имеют
" 2
место равенства (4). Теорема доказана.
УДК 517.984
Д. С. Лукомский
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ"
Рассмотрим пару L = (l,U), U = {£Л :
Рк{х,9)=^рп~1Рк,{х\ *>0, (Г) к=0 i=k
uk{y) = у»-О(0) + р) = ¿Р*~Ш+,- ■
4=1 ¿=0
Здесь = 0, Ar = 1,л -2,Р00 = -1, Рш(х)еЦ0,оо), PkM1(x)eWl(0,co), к = 0,n — 2,i = к + \,п.
Известно, что р -плоскость можно разбить на сектора
= ] р: argр е [ ,+ ^у |1 v = 0,2« -1, в каждом из которых корни
п / п
{Rk}k=r-n уравнения R" -1 = 0 можно занумеровать так, что
Re(pÄ!)<Re(pÄ2)<...<Re(pÄJ, peSv. (2)
* Работа вьшолнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01-00741.
Пусть функции Ф(х, р) = [фт являются решениями диффе-
ренциального уравнения (1) при условиях С/^(Фт) = % = 1 ,т, а также Фт(х,р) = 0(ехр(рЯтх)), х —>со, ре5у, в каждом секторе Sv со свойством (2). Обозначим Мтк{р) = ик(Фт), к = т + \,п. Функции Фт(х,р) называются решениями Вейля, а функции Мтк (р) - функциями Вейля. Матрица М(р) = {Мтк(р)}к^л, где Мтк(р) = дтк, к = \,т называется матрицей Вейля.
Наряду с парой ¿ = (/,£7) будем рассматривать пару 1 = (1,11) того же вида, но с другими коэффициентами. Договоримся, что если некоторый символ ф обозначает объект, относящийся к I, то символ ф обозначает аналогичный объект, относящийся к I.
Поставим задачу следующим образом: по матрице Вейля М(р) восстановить Ь.
Обозначим Q(x,p) = diag[J/exp(pfikx)]i=^, г(р) =
- 1/
2п-1
v=0
y"=jp:pe U Ту, d(p,y0) - ао > Of, у = у/у%\ d(p,y0) = inf | р - ц. ц е у0;
где yv, yv+1 - лучи, ограничивающие сектор Sv, у0, у, определены в [1].
Введем банахово пространство В = 1%~1(у\г(р)) Ф £®_1(у"»г(р)) вектор функций Z(p) = [Zj (p)]y=f^Tj, р е у с нормой
U\\B=lMzj Hi2(r>(P)) +WZJ lk(r".'(P»)i 7=1
iV(x,p,)i) =
л—1
л-1
л —1
\т= О
s=m i
n-i-l \U-k-l-l)
* I ц-'-'-у
1=0 У
KyJ (*, p) = f(g * (*, n)fi(x, P, ц))м (x, ц)ф, V + s < n -1, 2ni J
tjv(x,p) = - j>v
p=v+l
tjv(x,p) = 8iv, j < v, 7,v = 0,n,
Jv
Ev(*,p) = - £ y=v+l
V(k-j\x) V(x)
+ С]РЛх, р)--^
1 Л ^ У(х)
, V = 0,и -1, (3)
где У{х), £ (х,р), 1|/(х,р) определены в [1]. Кроме того, в дальнейшем будут использоваться обозначения <р(х,р), Й(р), г(х,р,р), также введенные в [1].
Обозначим через т- множество матриц М(р) = [Мтк(р)]т к=^ таких, что
' 1
^к-т
/
, |р| -» оо, т < к ;
1) Мтк(р)=Ътк, при т>к, и Мтк(р) = 0
ЧР"
2) при фиксированном V функция А/т/1 (р), является регулярной в и 5 „+,-„+1 за исключением не более, чем счетного ограниченного
множества полюсов К!тк- За исключением ограниченных множеств Л^ и существуют конечные пределы А/(р)+5" и М{к лучам, ограничивающим объединение двух секторов;
3) при фиксированном V функции Мтк(р)~ Мтт+1(р)Мт+1к(р),
регулярны при реу /Л, Л = ит АЛ^(множество Л своё для —--
2
каждой матрицы М(р)).
ТЕОРЕМА. Пусть матрица М(р) е т такая, что:
1) существует Ъ такая, что М(р) - М{р) = 0(р~"~2), р -> со;
2) при х > 0 уравнение
~ 1 ф(х, р) = Щр)ц{х, р) + - - ¡г(х, р, ц)у(х, реу
2т ]
имеет единственное решение в классе О"'(х,р)ср(х,р)е£;
3) Еу(х,р)е1¥у,у = 0,п-2 при каждом фиксированном р, где функции еу(х, р) определяются по формулам (3).
Тогда существует единственная Ь = (1,и) такая, что М(р) является матрицей Вейля для Ь.
При выполнении этих условий дифференциальное уравнение и линейные формы Ь = (/, и) строятся по формулам
__п
Р^{х,р) = Р(х,р) + гу(х,р), и„_у_а( р)= где ¿г,с(р) =
к =О
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукомский Д. С. Об обратной спектральной задаче для дифференциальных операторов с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Математика, механика, математическая кибернетика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 54 - 57.
УДК 517.51
С. Ф. Лукомский
О СХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ УОЛША В ПРОСТРАНСТВАХ, БЛИЗКИХ К Г"
Пусть (/)};,„ - система функций Уолша в нумерации Пэли, определенная на двоичной группе С. Кратную систему Уолша
кю=е(1)) • с(2))-и>
(п = („«...„<">), I = (/«.„*«»
будем считать определенной на произведении С1 ((I е 14). Пусть далее
Л с 14^ - некоторое семейство (I -мерных векторов п, определяющих частичные суммы £„(/) кратного ряда Фурье-Уолша. Рассмотрим задачу о
сходимости частичных сумм 5'11(/)в пространствах, лежащих между V и
, в зависимости от свойств семейства Л, Если п е N и
00
л=Х£*2* (е*=0или1)
*=о
- двоичное разложение числа п, то число
00
vOO = eo + Х|£* *=1
называют вариацией числа. Известно [1], что для констант Лебега Ьп по системе Уолша-Пэли
^(л)<1„ <у(л). 4
Пусть А с N - произвольное семейство ¿/-мерных векторов. Положим для 0 < 5 < й
' у(п(,)Мл(2))...у(л(</)) 4
0(л, 5) = Нтзир тт
п-* оо к
пеЛ
, (к=(*„...*,»
' Работа выполнена при частичной поддержке программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123.
