CC BY
13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукомский Д. С. Об обратной спектральной задаче для дифференциальных операторов с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Математика, механика, математическая кибернетика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 54 - 57.
УДК 517.51
С. Ф. Лукомский
О СХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ УОЛША В ПРОСТРАНСТВАХ, БЛИЗКИХ К Г"
Пусть (/)};,„ - система функций Уолша в нумерации Пэли, определенная на двоичной группе С. Кратную систему Уолша
кю=е(1)) • с(2))-и>
(п = („«...„<">), I = (/«.„*«»
будем считать определенной на произведении С1 ((I е 14). Пусть далее
Л с 14^ - некоторое семейство (I -мерных векторов п, определяющих частичные суммы £„(/) кратного ряда Фурье-Уолша. Рассмотрим задачу о
сходимости частичных сумм 5'11(/)в пространствах, лежащих между V и
, в зависимости от свойств семейства Л, Если п е N и
00
л=Х£*2* (е*=0или1)
*=о
- двоичное разложение числа п, то число
00
vOO = eo + Х|£* *=1
называют вариацией числа. Известно [1], что для констант Лебега Ьп по системе Уолша-Пэли
^(л)<1„ <у(л). 4
Пусть А с N - произвольное семейство ¿/-мерных векторов. Положим для 0 < 5 < й
' у(п(,)Мл(2))...у(л(</)) 4
0(л, 5) = Нтзир тт
п-* оо к
пеЛ
, (к=(*„...*,»
' Работа выполнена при частичной поддержке программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123.
(при 5 = 0 произведение в знаменателе будем считать равным 1). Двоичной размерностью семейства Л назовем число
сНт2(Л) =1шп(5:£>(Л,5)<оо).
Определим пространства, в которых будем рассматривать сходимость. Если р > 1, а > 1, то обозначим через Ьр а совокупность всех измеримых, конечных почти всюду функций /: С1 -> Я таких, что
1) существует непрерывная, строго возрастающая на (0, со) функция
ф(х) > 0, такая, что j
Ф~'0)
dx<<x> (ф (х)-обратная к ф);
2) существует постоянная у > 1 такая, что <оо.
а"
Ранее [2] было доказано, что Ьра(Сявляются банаховыми пространствами с нормой
про.
dx
Up
I
fj — l
W
Up
(| ■ || - это норма в Ьх). Кроме того, ступенчатые функции, а значит и многочлены Уолша, образуют в Ьр а плотное множество. Отметим также, что при любом у > 1 и любом е > О
Z° yW'+e jcZAa(Ga)c=Luly
Of VW
р q a
где Ь (ф) обозначает класс Орлича, построенный по N функции Ч-* .
ТЕОРЕМА. Пусть ¿>1, Ас^, сНт2Л = г, 1 < р < оо, а>1. Тогда 1) существует постоянная >0 такая, что для любой /еЬра, для любого п е Л (п > п0)
¡W)|
р,а+г
<си
«р.а-
2) для любой / 6Lpia lim ||5n(/)- f\\.^r = 0.
(п —> со означает, что min «(,) —► оо ).
*
Доказательство.
v(nw)...v(n{kr))
1) Пусть lim sup min
n-»co k
neA
вует вектор n 0 = (п0, п0,... п0) такой, что для всех n > n 0
М < оо. Тогда сущест-
v(W(1))...v(nw) mm-—-7ГТ- ^ 2M.
Пусть для определенности min в (1) достигается при
кх = 1,..., кг = г. Тогда
)v(nkr*2 )... v(nkd ) < 2 M, Запишем частичную сумму Sa (/) в виде
sD(f) = SnASri<-d-SnASnr-i...Snl(t)...). Так как для одномерной частичной суммы
(2)
=А.
\\p<v(m)\\f\\p (р> 1)
(Р> 2), (3)
(причем в (3) постоянная С не зависит от р и m ), то из (2) и (3) получаем
йШ-С'р'Ы (р>2).
(4)
Используя (4) находим, что существует постоянная Ср г >0, что для
всех п > пп
X
к=2
IM/4
Up
(
<С
Р,г
I
к = 2
nfV
ка
Up
Отсюда следует
||5п(/)||.а+г<.
■2 С„
(5)
2) Так как полиномы Уолша образуют плотное в Lpa множество, то из неравенства (5) обычными средствами получаем второе утверждение
теоремы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schipp F., Wade W. R., Simon P. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest: Akademiai kiado, 1990.
2. Лукомский С. Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах с интегральной метрикой // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронеж: Центр.-Чернозем, кн. изд-во, 2001. С. 175 - 176.
