Об аналитических свойствах матрицы Вейля-Юрко для пучков дифференциальных операторов на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д. С. Лукгомский

УДК 517.984

ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ МАТРИЦЫ ВЕЙ ЛЯ-ЮРКО ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ПОЛУОСИ'

Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные формы вида

ly = /n)'+Y.Pk(x,р)/*>=0, *е(0,-и»), (1)

к=0 i=k

n-í, к В«>

и ¿У) = у(л-4)(0) + Zp4*(P)/"~*4)(0), "^(Р) =

i=0 р

Полагаем, что P^.P^l+i - константы, pk¡(x) eL(0,оо), i=k + 2,n. pk k+\(x)eW\0,tt), к = 1,п-\, где IV'(0,qo) - множество функций f(x) таких, что / (л:) абсолютно непрерывны и f(x),f\x)eL( 0,ос), pki(x)&L(0,оо), ¡ = к+2,п.

Пусть {Rk j - корни характеристического уравнения

Считаем, что -Rj*Q, k*j и Rk*= 0, к = 1,л.

Известно, что комплексную р-плоскость можно разбить на конечное число секторов Sv так, что в каждом из них корни \Rk можно занумеровать следующим образом:

Rc(pRl)<Re(pR2)<...<Rc(pRn) Vp eSv. (2)

Пусть элементы вектор-функции Ф(х,р) = [Фт(х,р)] т=Гл являются решениями (1) при условиях Фт) = 8^т (£ = 1,т), а также

Фт(л-,р) = о(ср/<'"дг+а",(',)) где корни {/ím}m=i занумерованы в порядке (2), и

«m W- J F'(K„) п

Обозначим Мт4(р) = 1/,1(ФШ), к = т+\,п.

Определение. Функции Мтк{р), А: =т + 1,п называются функциями Вейля-Юрко, а матрица М (р) = [Мтк (р)Ц=^, Мтк( p) = 5mt> A=l,m называется матрицей Вейля-Юрко.

" Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1) и Министерства образования РФ (проект Е02-1.0-186).

59

Обозначим

= П(Л >•••> JP) = dct(« /v ))v k=r~p-

1=0 '

Пусть для всех р = 1,л —1, f2(l,p)*0. Это условие должно выполняться для любого сектора Sv с его собственной нумерацией корней

KW

В статье [1J были исследованы некоторые аналитические и структурные свойства матрицы Вейля-Юрко. Однако в [1] не удалось точно описать области регулярности и непрерывности функций Всйля-Юрко. В данной статье этот недостаток исправлен.

Пусть Sv (v =1 ,n) - сектора, в которых выполнено неравенство (2), Гу - луч, разделяющий два соседних сектора. Пусть при р е Г;- выполнено условие

Rc(pRx) <... < Re(pRmt ) = ...= Re(pKm|+Pi) <...

< Re(pRms ) = ...= Re(pRm^Ps )<...< Re(pKn ).

Обозначим

Nj ={m:m = ml,ml + pl -1 ,...,ms,ms + ps -1}, Jm ={j:meNj}, ym = \JTj, Em =C\ym - p-плоскость с разрезами вдоль лучей ут, Хт -

замыкание Zm(берега разрезов различаются).

ТЕОРЕМА. Функции Вейля-Юрко Мтк(р) при к>т регулярны в Ея за исключением не более чем счётного, ограниченного множества полюсов A'm и непрерывна в £т за исключением ограниченного множества Am. Точнее, при j е Jт, р 6 Гj\Am существуют конечные пределы

M^(p) = \iwMmk(z), 2->р, ze£m, ±(argz-0y)>O.

Доказательство теоремы основано на исследовании аналитических и асимптотических свойств фундаментальной системы решений типа Биркгофа уравнения (1), построенной в [2] и на свойствах матрицы Вейля-Юрко, исследованных в [2J.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лукомский Д.С. О матрице Вейля для пучков дифференциальных операторов на полуоси // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2000. Вып. 2. С. 69-71.

2. Лукомский Д.С. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов высших порядков: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2002. 103 с.