О матрице Вейля для пучков дифференциальных операторов на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Milovanovic G. V., Mitrinovic D. S., Rassias Th. M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Sc., 1994.

6. Rahman Q. /., Schmeisser Q. Les inequalites de Markoff et de Bernstein Montreal,

1983.

УДК 517.984

Д. С. Лукомский

О МАТРИЦЕ ВЕЙЛЯ ДЛЯ ПУЧКОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ПОЛУОСИ*

Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные формы вида:

1у*ум+£Рк(х,р)уЮ=0, Рк(х,р)=£рпЧри(х\ х б (0,+да) (1) к=0 1=к

л-5 к В®

Щ{у) = 0) + Ж)(0), Р) = Е^т1-

к=1 /=0 Р

Полагаем, что р^, Р®+/ - константы, рш(х)еЬ(0,со), ркк+\(х) е Ж'(0,со), & = г = & + 1,и.

Прямые и обратные задачи для пучков дифференциальных операторов исследовались во многих работах (см. [1, 2] и литературу в них).

Пусть {Кк - корни характеристичекого уравнения ПК) = и=0 Рш^ = 0, (р„„ = 1). Считаем, что Як - Ду * 0, к * ] и ЯкФ О, к=\п.

Известно, что комплексную р -плоскость можно разбить на конечное число секторов так, что внутри них корни {Як}к^- можно занумеровать

следующим образом:

Ке(рД1)<11е(рЯ2)<...<11е(рЛ„) Уре5у. (2)

Пусть р е 5У и функции Ф(*,р) = [Фт(-*,Р)]т=г„ являются решениями уравнения (1) при условиях (Фт) = 5*т (£ = 1 ,т), а также Ф„,(х,р) = о(ерЛт*+ат(х)^ Як,к = 1 ,п занумерованы в порядке (2), где

——■

о

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01 -00741.

Обозначим , _

Мтк(р) = ик(Фт), к = т + \,п.

Определение. Функции Мтк (р), к = т + \,п называются функциями Вейля, а матрица М(р) = [Мтк (р)]тЛ=Гп, Мтк (р) = Ътк, к = \,т называется матрицей Вейля.

п-5 В®

Обозначим = £ Д(/>) = с1е<55(Кк)), ^.

1=0

Пусть для всех р = \,п-\,, А(р) * 0. Это условие должно выполняться для любого сектора £„ с его собственной нумерацией корней {Як .

Пусть 5У, (у = 1,]У) - сектора, в которых выполнено неравенство (2), (у V }У=П/ ~ набор лучей, выходящих из начала координат; луч уу является общей границей секторов ¿>у и 5у+1 (при этом считаем 5д,+1 = ¿>\). Договоримся, что верхние индексы + 5У и функции обозначают ее пределы к лучам, которые являются границами сектора 5У по и против часовой стрелке соответственно.

Зафиксируем сектор 5У. Тогда справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1. Матрица М(р) является регулярной в секторе 5У (V = 1, А^), за исключением не более чем счетного, ограниченного множества полюсов А'^ . За исключением ограниченных множеств А^ и

существуют конечные пределы М(р)+5у и М(р)"5у.

При фиксированном /и = 1,и-1 и произвольном к = т + \,п функция Вейля Мтк (р) является регулярной по крайней мере в одном из объединений 5У и и у у или 5У и и УУ_), за исключением не более чем счетного множества полюсов А'тк. За исключением ограниченных мно-

А — + —5*

жеств Атк и Атк существуют конечные пределы М тк и М тк+] либо

В прямых и обратных задачах очень большую роль играют структурные свойства матрицы Вейля. Подобные свойства матрицы Вейля для обыкновенных дифференциальных операторов были рассмотрены В. А. Юрко [3]. Продолжим рассмотрение функций Мтк(р) в фиксированном секторе 5У. Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 2. Функции Мтк(р)-Мт,т+1ф)Мт+1к(р), М*„_т к (р)-М *„_т,т+1 (Р)М*п-т+\,к (Р) .

Фт(х,р)-Мтт+1 (р)Фт+1 (х,р), Ф*„_т (х,р)-мтт+1(р)ф*„_т+1 (х,р)

регулярны на том же луче уу, ограничивающем сектор что и функции Мт+1к (р), где функции М * тк (р) являются функциями Вейля для сопряженного к (1) дифференциального уравнения.

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет вид = Я" -1 = 0. В этом случае область аналитичности и структурные свойства функций Мтк (р) можно описать более точно.

ТЕОРЕМА 3. Матрица М(р) является регулярной в секторе

5у=^р:ащре—Л" ' !>, (у = 0,2и -1), за исключением не более чем I п п )

счетного, ограниченного множества полюсов А' ^. За исключением ограниченных множеств А^ и существуют конечные пределы А/(р)+5" и

Функция Вейля Мтк (р) является регулярной в 5У и , за

исключением не более чем счетного множества полюсов А'тк. За исключением ограниченных множеств А~тк и А+тк существуют конечные преде-лыМ^иМ^.

ТЕОРЕМА 4. Функции

т,т+1

(рЖт+и(р), м*п_т к (р) - м *п

-т,т+1

(р )М* (Р),

Фт(х,р)-Мтт+1(р)Фт+1(х,р), Ф*„_т (х,р)-Мтт+1(р)Ф*„_т+1 (х,р)

регулярны при р е у „+*-„+1.

—--

(v + l>t

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shkalikov A. A., Griniv R. О. On an operator pencil that arises in the problem of the vibrations of a rod with internal friction // Math. Notes. 1994. Vol. 5, №№ 1-2, P. 840 - 851.

2. Gasymov M. G., Magerramov A. M. Direct and inverse spectral problems for a class of ordinary differential pencils on afinite interval//Diff. Equations. 1987. Vol. 23, № 6, P. 640 -

649.

3 Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов. Саратов,

1989.