Об обобщенных группах Эндрюса-Кэртиса Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 4. С. 24-26.

УДК 512.54 В.А. Романьков

ОБ ОБОБЩЕННЫХ ГРУППАХ ЭНДРЮСА-КЭРТИСА*

Для любых натуральных чисел п > 2 и т > 1 вводится понятие обобщенной группы Эндрюса-Кэртиса Апт. Каждая группа Апт. определяется как подгруппа группы автоморфизмов Aut(Fn+m) свободной группы Рп+т ранга п+т. Доказывается, что группа Эндрюса-Кэртиса АСп преобразований наборов элементов длины п изоморфна группе Апп.

Ключевые слова: гипотеза Эндрюса-Кэртиса, группа Эндрюса-Кэртиса, представление группы, сбалансированное представление.

1. Введение

Пусть О - группа, Аи^й) - ее группа автоморфизмов. Через 1Аи^О обозначается подгруппа группы Аи^й), состоящая из всех автоморфизмов, индуцирующих на фактор группе G/ G'группы О по ее коммутанту G' тождественное отображение (1А-автоморфизмов). Через 1пп(О) обозначается подгруппа группы Аи^й), состоящая из всех внутренних автоморфизмов. В частности, 1пп(О) - подгруппа в 1А(О). Для любой пары элементов д, Н группы О выражение [д, Н] означает коммутатор дНд~1Ъ~1, а запись дн -сопряжение НдЪ.'1.

Для любого натурального числа п через Рп обозначим свободную группу ранга пс множеством свободных порождающих элементов (базисом) /1,.,/п. В 1924 году Нильсен [1] (см. [2; 3]), используя гиперболическую геометрию, представил конечные множества порождающих элементов и определяющих соотношений группы Ли1(^п). Существует общепринятое мнение о том, что как сам метод Нильсена, так и полученные с его помощью результаты «слишком сложны» (см., например, [2, с. 164]). В 1974 году МакКул [4] нашел новое конечное представление группы Ли1(^п) через порождающие элементы и определяющие соотношения. Порождающими элементами в этом представлении являются автоморфизмы Уайтхеда. Подробное изложение представления МакКула можно найти в [5].

Магнус [6] показал, что группа 1Ли1(/п) допускает следующее конечное множество порождающих элементов:

{ту, Рцк | 1<1,],к<п-,1 *],к;]<Ц, (1)

где Ту отображает / в р^к отображает / в / [/¡,/к], а все базисные

элементы / при I ? I отображаются указанными автоморфизмами тождественно. Для любой пары элементов д, Н произвольной группы О выражение [д, Н] означает коммутатор дНд~1к~1. Так же дк означает сопряжение дНд-1. Приведенный результат Магнуса влечет классическую теорему Нильсена, согласно которой 1Аи^2) = 1пп(^). Для любой группы О через 1пп(О) обозначается подгруппа группы Аи^й), состоящая из всех внутренних автоморфизмов.

Группы из названия статьи рассматриваются в связи со знаменитой гипотезой Эндрюса-Кэртиса, утверждающей, что сбалансированное представление Р(Е) = </1, ..., /п | г1,.,гп> единичной группы £ может быть переведено конечной последовательностью элементарных преобразований Эндрюса-Кэртиса в стандартное представление $Р(.Е) = </ , ..., /п | /1 , --, /п> единичной группы Е. Сбалансированным называется представление, в котором число порождающих элементов равно числу определяющих соот-

' Исследование поддержано РФФИ (проект 16-01-00577а).

© Романьков В.А., 2016

Об обобщенных группах Эндрюса-Кэртиса

25

ношений. Элементарные преобразования применяются к упорядоченным наборам (г1,.,гп) определяющих соотношений, т. е. наборам элементов свободной группы Рп, но определяются как преобразования произвольных наборов элементов любой фиксированной длины произвольной группы О. Каждое элементарное преобразование изменяет только один элемент гь набора (г1,.,гп), Т£{1, .., п}. По определению элементарным называется преобразование одного из следующих трех типов: 1) гь ^ г{гу или гь ^ г^ для г ^ 7; 2) гь ^ г-1; 3) гь ^ (г^)у, где у - любой из элементов группы О. Если группа G конечно порождена, то можно ограничиться конечным множеством элементарных преобразований, считая, что в 3) элемент у является одним из элементов фиксированного конечного множества, порождающих элементов группы О или обратным к нему. Преобразованием Эндрюса-Кэртиса называется любая суперпозиция элементарных преобразований Эндрюса-Кэртиса. Так как все такие преобразования очевидно обратимы, естественно определяется отношение эквивалентности на соответствующих наборах элементов. Два набора одинаковой длины называются эквивалентными, если один переводится в другой некоторым преобразованием Эндрюса-Кэртиса. Переход к конечному множеству порождающих элементов, объясненный выше, дает ту же самую эквивалентность.

Легко видеть, что любое элементарное (тогда и произвольное) преобразование Энд-рюса-Кэртиса сохраняет нормальное замыкание элементов набора в соответствующей группе. Значит, преобразования Эндрюса-Кэртиса, примененные к наборам определяющих соотношений, сохраняют изоморфный класс представляемой группы. В классическом случае рассматриваются преобразования Эндрюса-Кэртиса наборов определяющих соотношений, для которых сбалансированные представления определяют единичную группу Е. Так как такие преобразования обратимы, и обратные к ним также являются преобразованиями Эндрюса-Кэртиса, они составляют группу, которая называется группой Эндрюса-Кэртиса и обозначается АСп. Утверждение гипотезы Эндрюса-Кэр-тиса равносильно транзитивности этой группы преобразований.

Если Л - некоторое множество наборов (г1,.,гт) элементов группы О, замкнутое относительно преобразований Эндрюса-Кэр-тиса, то естественно определяется группа преобразований Эндрюса-Кэртиса множества Л, которую мы обозначим через АС(Л). При изучении групп такого вида естественно рассматривать структурные вопросы, выяснять конечную определенность, транзитивность действия и т. п. Интересно изучить, в

каких случаях группы АС(Л) и АС(Л*) для различных наборов Л и Л'одинаковы.

В данной статье мы покажем, что группа АСп реализуется как подгруппа группы Аи^2п), которую мы обозначим через Апп. Также будет определен класс обобщенных групп Эндрюса-КэртисаЛпт, где п > 1 и т > 0. Будут приведены некоторые свойства этих групп.

2. Представление группы Эндрюса-Кэртиса АСп автоморфизмами свободной

группы ранга 2п.

Пусть Р2п - свободная группа конечного ранга 2пс множеством свободных порождающих ХиУ, где X = {х1, —,хп}, У = {у1, ...,ут}. Считаем, что п > 1 и т> 0. Группа Лптопре-деляется как подгруппа группы автоморфизмов Аи^2п), порожденная группой автоморфизмов Аи^п), точнее - подгруппой всех автоморфизмов, фиксирующих порождающие У1, г = 1, .., т и отображающих подгруппу, порожденную элементами х1,...,хп (изоморфную группе Рп), на себя и всеми автоморфизмами следующего вида:

^ У]Х1У-1,%ц: х1 ^ х1 для 1 * ш^: ^ уг для ^ ^ 1 = 1, ..., п; t = 1, ..., т. (2)

Очевидно, что для любого т группа А1т изоморфна прямому произведению С2*Рт циклической группы порядка два С2 изоморфной группе Аи^^) и свободной группы Рт с базисом ,7 = 1, .., т. Если т = 0, то Ап0 изоморфна группе Аи^ Рп).

Основным является следующий результат.

Теорема. Для любого п > 2 группа АСп изоморфна группе Апп.

Доказательство. Элементарные преобразования Эндрюса-Кэртиса вида 1) и 2) являются преобразованиями Нильсена и, следовательно, порождают подгруппу группы Аи^2п) изоморфную группе Аи^/^). Определим гомоморфное отображение группы Апп на группу АСп. Для этого, во-первых, отобразим подгруппу Аи^/^) на подгруппу, порожденную элементарными преобразованиями Эндрюса-Кэртиса вида 1) и 2). Во-вторых, отобразим ^у на элементарное преобразование вида 3), сопрягающее г-ю компоненту каждого набора элементом х)(I, ] = 1, ..., п). Это отображение продолжим до гомоморфизма. Итоговый гомоморфизм ц:Апп ^ АСп полностью определяется двумя введенными выше отображениями.

Остается доказать, что кег(^) = 1. Допустим, что некоторый нетривиальный автоморфизм т принадлежит кег(^). Пусть запись т через порождающие элементы группы Апп содержит I вхождений автоморфизмов вида (2). Ясно, что образ стандартного набора при действии т отличен от этого набора, причем в его несократимой записи обязательно присутствуют элементы из У. Сопоставим авто-

26

В.А. Романьков

морфизму т последовательность элементарных преобразований. Возьмем набор (г1:... ,гп)е Р,п, в котором г1= х^х1х2—б, г2= х^х^-5, ..., 1"п—1— ХпХп—1Х— , тп— Х1ХпХ1 . Показатель степени Э выберем больше, чем I. Применим к этому набору последовательность элементарных преобразований, соответствующую автоморфизму т. Очевидно, что после применения гомоморфизма ц к полученному набору элементы из X, соответствующие измененным при ц элементам, У не сокращаются. Значит, сокращение затрагивает элементы вида х?, но тогда используется тот факт, что э больше I. Отсюда следует, что полученный набор не совпадает с исходным. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Nielsen J. Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen // Math. Ann. 1924. Vol. 91. P. 1-29.

[2] Magnus W, Karrass A., Solitar D. Combinatorial group theory. New-York : Dover, 1976.

[3] Roman'kov V.A. Automorphisms of groups // Acta Applicandae Mathematicae: An International Survey on Applying Mathematics and Mathematical Applications. 1992. Vol. 29. № 3. P. 241-280.

[4] McCool J. A presentation for the automorphism group of a free group of finite rank // J. London Math. Soc. 1974. Vol. 8. P. 259-266.

[5] Lindon R., Shupp P. Combinatorial group theory. Berlin ; Heidelberg ; New-York : Springer-Verlag, 1977. 339 p.

[6] Magnus W. Uber n-dimensionaleGittertransforma-tionen // Acta Math. 1934. Vol. 64. P. 353-367.