О пронильпотентных алгебрах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2001. №4. С. 16-17.

© Омский государственный университет УДК 519.48

О ПРОНИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ

Е.А. Швед

Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр.Мира, 55A

Получена 15 сентября 2000 г.

This paper contents some results about subalgebras of free topological closed residually nilpotent algebras and free products of such algebras.

Введение. Основной результат о подалгебрах свободной лиевой алгебры L = L[X], где X = {xi |г g I} множество ее свободных порождающих, - это теорема А.И Ширшова [1] (см. также [4]) о том, что произвольная подалгебра S < L является свободной алгеброй Ли. Мы доказываем аналог этой теоремы.

Теорема 1. Пусть A - замкнутая подалгебра свободной пронильпотентной (п.н.) алгебры Ли Lo = Lo(X). Тогда A - свободная п.н. алгебра Ли.

Получены также следующие результаты.

Теорема 2. Пусть B - свободная п.н. алгебра Ли, имеющая когомологическую размерность 1 (в классе п.н. алгебр Ли над данным полем F). Тогда В является свободной п.н. алгеброй Ли (обратное утверждение очевидно).

В теории алгебр Ли аналогичный результат известен в виде гипотезы [6].

Теорема 3. Аналог теоремы И.А. Грушко из теории групп. Пусть (непрерывный) эпиморфизм ^ : L0 —> A * B (где * - знак свободного произведения в классе п.н. алгебр Ли над полем F; A, B - п.н. алгебры Ли над F). Тогда Lo = Loa * Lo в, где Loa , Lo в - свободные п.н. алгебры Ли.

Неизвестно, справедлива ли аналогичная теорема в классе алгебр Ли.

Важно отметить, что теоремы 1 и 2 ранее были доказаны Ю.В. Кузьминым (при некоторых ограничениях на основное поле) [5].

В теории групп известна теорема А.Г. Куро-ша: пусть A * B - свободное произведение групп A, B; S - произвольная подгруппа в A* B. Тогда S является свободным произведением своих подгрупп SA (изоморфных S п A), SB (изоморфных S п B), а G П, в g А; и свободной группы G.

Аналогичная теорема в классе алгебр Ли над полем F неверна. Это показал А.И. Ширшов

[2] построением контрпримера. Подобные контрпримеры показывают, что для подалгебр S < A *Ли B свободного произведения (обычных) обобщенно нильпотентных алгебр Ли аналог теоремы А.Г. Куроша несправедлив. Для подалгебр S < A * B свободного п.н. произведения обобщенно нильпотентных алгебр Ли аналог теоремы А.Г. Куроша также неверен, даже если алгебры A, B с нулевым умножением, а S - замкнутая подалгебра, имеющая конечное множество топологических порождающих.

Результаты работы [7] показывают, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть P = A * B - свободное п.н. произведение п.н. алгебр Ли над полем F характеристики 0, J - замкнутый идеал алгебры P. Тогда J является свободным п.н. произведением своих подалгебр J^ (изоморфных J п A), JB (изоморфных J п B),а £ П, в £ А; и свободной алгебры G. При этом отображение а : J п A —► Ja - это ограничение внутреннего автоморфизма а : P —> P алгебры A * B, который является композицией нескольких экспоненциальных автоморфизмов а к : u —► u ■ exp v, где u ■ exp v = ^nuv^, u £ P, v £ B (аналогич-

n

но описываются изоморфизмы в : J п B —► J^).

Определения. В работе А.И.Ширшова [3] построена база свободной алгебры Ли L = L[X] над полем F ; она состоит из одночленов специального вида, которые называются правильными словами в алфавите X (см. также [4]). Таким образом, любой элемент f £ L - это линейная комбинация f = ^Ytst правильных слов

st(7t £ F).

Гомоморфизм <£> : A —> B обобщенно ниль-потентных алгебр Ли называется непрерывным в том и только в том случае, если он любую сходящуюся последовательность {f} с A переводит

О пронильпотентных алгебрах Ли

17

в сходящуюся последовательность {Д <£>} с В. Для краткости непрерывные гомоморфизмы будем называть морфизмами.

Понятно, что свободная п.н. алгебра Ли Ьо = Ьо(Х) состоит из элементов вида / = ^, причем для каждой степени 1 лишь конечное множество правильных слов степени 1 в этой записи имеют ненулевые коэффициенты 6 F. Элемент / запишем в виде / = ^ /, где / = ^, причем в правой части равенства все одночлены имеют степень < . Пусть < о - наименьшее натуральное число, для которого /¿0 = 0. Тогда <о называется костепенью (или младшей степенью) элемента /, а /¿0 - младшей частью элемента / .

Пусть А, В - произвольные обобщенно ниль-потентные алгебры Ли. Предположим, что существует обобщенно нильпотентная алгебра Ли Р со свойствами: 1) Р порождена (как топологическая алгебра) множеством А У В; 2) пусть : А —► С, ф : В —► С произвольные морфизмы алгебр А и В в одну и ту же обобщенно нильпо-тентную алгебру Ли С ; тогда найдется морфизм 9 : Р —► С, причем его ограничение на А - это <£>, а на В - это ф. В этом случае алгебра Р обозначается Р = А*В и называется свободным п.н. произведением алгебр А и В. Нетрудно дать на этом языке определение свободной п.н. алгебры Ли, свободного п.н. произведения алгебр А и В с объединенной подалгеброй.

Пусть {ау Ц 6 J}, {6к|к 6 К} упорядоченные базы алгебр Ли А и В соответственно. А.И. Ширшов [2] (см. также [3]) построил свободное произведение А *Ли В в классе алгебр Ли над полем F. База алгебры А *Ли В состоит из одночленов специального вида, которые называются особыми словами в алфавите {aj } и {6&}. Любой элемент / 6 А * В свободного п.н. произведения обобщенно нильпотентных алгебр Ли А и В - это «бесконечная линейная комбинация» / = ^ особых слов с в алфавите {aj} и {6&}, причем для любого натурального числа < лишь конечное множество слов длины 1 (в алфавите {aj} и {6^}) имеют ненулевые коэффициенты ъ 6 F.

Определение. Пусть А - п.н. алгебра Ли над полем F со свойством: для любого морфиз-ма ^ : А —► С (на п.н. алгебру С) с абелевым ядром К (т.е. К = квг^> идеал алгебры А, имеющий нулевое умножение) найдется такая п.н. алгебра С^А, топологически изоморфная С, что А = С1 ф К. Тогда говорят, что алгебра А имеет когомологическую размерность 1 (в классе п.н. алгебр Ли над F).

Доказательства основных результатов:

Лемма 1. Пусть А - подалгебра свободной п.н. алгебры Ли Ь , причем для некоторого ко-

нечного множества М с А наименьшая замкнутая подалгебра (М), содержащая М, содержит и подалгебру А. Тогда найдется подалгебра А* < А , которая является обычной свободной (конечно порожденной) алгеброй Ли, причем ее замыкание А* - некоторая п.н. алгебра Ли, содержащая А: А* < А < А*.

Доказательство. Пусть М = {т1;...,тк}, можно считать, что все mj ненулевые. Допустим, что младшая часть т' некоторого элемента тр 6 М принадлежит подалгебре, порожденной в Ь с Ьо остальными младшими частями {т'д|ш9 6 М,д = р} : т'р = ^(т/ |д = р). Тогда изменим во множестве М элемент тр на элемент т<н = тр—д(тд |д = р). Если при этом т^ = 0, то его удалим из М. Сокращая обозначения, далее пишем тр (вместо т^), если т^ = 0, а новое множество {тн,тд(д = р)} по-прежнему обозначаем М . Переход от множества М к аналогичному множеству, описанному выше, назовем элементарным преобразованием.

Для доказательства можно предполагать, что ] < I, если костепень е(т5-) элемента mj меньше костепени элемента т;, причем в случае т' = д(т/ |д = р) верно равенство т' = д(т'1;..., т'-1) : д(т/|д < р). Обозначим М1 = {т1}. Это подмножество в М не меняется при элементарных преобразованиях. Понятно, что подмножества Мг элементов М, которые не меняются после шага с номером г, составляют неубывающую цепочку: М1 с М2 с .... В этой последовательности выделим попарно различные элементы М(г): М1 = М(1), М(1) с М(2) с... При этом М(г) с М, множество М конечно (и число его элементов не растет после каждого элементарного преобразования). Поэтому последовательность М(1) с М(2) с ... с М(в) конечна. Множество М из условий леммы можно заменить множеством М(5) с аналогичными свойствами, причем для любого тр 6 М (5) его младшая часть т' не принадлежит подалгебре, порожденной в Ь(Ь с Ьо) младшими частями т'(д = р) остальных элементов тд 6 (в). Подалгебра А* < А, порожденная таким множеством (5), - это свободная алгебра Ли, а ее замыкание А* - свободная п.н. алгебра Ли. Это доказывает лемму 1, а с ней и теорему 1 (для подалгебр, конечно порожденных как топологические подалгебры).

Доказательство теоремы 1. Пусть А -произвольная подалгебра в Ьо . Поскольку А -обобщенно нильпотентная, то она имеет множество топологических порождающих К, максимальное, линейно независимое по модулю А2. Пусть А* - подалгебра, порожденная (как обычная подалгебра в Ьо ) множеством К = 6 Т}. Рассмотрим эпиморфизм алгебр Ли а : Ь[У] — А*, где У = 6 Т}. Пусть квга = Q =

18

Е.А. Швед.

0, q g Q,q = 0. В запись элемента q g kera входит лишь конечное множество элементов из Y. Поэтому множества Y, K можно считать конечными. Однако для этого случая теорема 1 уже доказана (при доказательстве леммы 1). Мы доказали теорему 1 в полном объеме.

Лемма 2. Пусть A - обобщенно нильпотент-ная алгебра Ли, J - такой ее ненулевой идеал, что алгебра A = A/J также обобщенно нильпо-тентна. Тогда найдется идеал Ji алгебры A( Ji с JnA2) коразмерности 1 в подалгебре J, что фак-торалгебра A/Ji обобщенно нильпотентна, J/Ji - ее центральный идеал. Рассматривая алгебру A как топологическую, мы видим, что естественные гомоморфизмы алгебр A —> A/J, A —> A/J1 непрерывны, а идеалы J, Ji замкнуты.

Доказательство. Рассмотрим идеал Q = AJ алгебры A. Здесь Q с J, причем, Q = J (иначе (...(JA)A...A = J для всех m g N, J с Am+1

m

для всех m, а тогда J с р|Am+1 =0 - противоречие с условием J = 0). Идеал J/Q центральный в алгебре A/Q, а потому любое подпространство K в J/Q - это центральный идеал алгебры A/Q . Возьмем K - подпространство коразмерности 1 в J/Q. Рассмотрим J1 - полный прообраз K при естественном гомоморфизме A —► A/Q. Тогда J1 - идеал алгебры A с почти всеми требуемыми свойствами: осталось показать, что алгебра A/J1 обобщенно нильпотент-на. Пусть это не так. Рассмотрим произвольный элемент f g J, f / J1. Ясно, что f = 0. Тогда f g An для всех n g N. Это невозможно, так как An = 0, f = 0. Последнее утверждение леммы непосредственно вытекает из первого. Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 2. Любая обобщенно нильпотентная алгебра A имеет множество топологических порождающих M, линейно независимое по модулю

a2

. Поэтому для алгебры B из условий теоремы 2 найдется такая свободная п.н. алгебра Ли Lo = Lo(X) и такой морфизм 9 : Lo —► B алгебры Lo на алгебру B, что индуцированный морфизм 99 : Lo/Lo —► B/B2 является взаимно однозначным. Пусть fcer^ = J замкнутый идеал алгебры Lo = Lo(X). Предположим, что J = 0 и приведем это предположение к противоречию. Рассмотрим алгебру B1 = Lo/J1, где J1 идеал, построенный в лемме 2. Существует естественный морфизм ф : B1 —► B алгебры B1 = Lo /J1 на алгебру B = Lo /J, причем его ядро J/J1 абелево. По определению алгебры когомологической размерности 1 существует взаимно однозначный морфизм (вложение) 9 : B —► B1 алгебры B на подалгебру B1 < Lo /J, причем Lo /J1 = B ® J/J1, то есть B1 = B ® J/J1. Мор-

физмы Lo —u B1 —u B (a ■ в = 9, все отображения «на») индуцируют морфизмы Lo/L2 —u

B1/B2 -u b/b2 , причем а ■ ß = 99. Поскольку морфизм 99 взаимно однозначный, то и морфизм ß : B1/B2 —► B/B2 взаимно однозначный. Это противоречит полученной ранее формуле B1 = B ф J/J1, где d«mJ/J1 = 1 = 0. Теорема 2 доказана, так как морфизм 9 : Lo —► B алгебры Lo на алгебру B является изоморфизмом топологических алгебр.

Доказательство теоремы 3. Пусть M(A) = {aj |j g Ja} множество элементов алгебры A, максимальное линейно независимое по модулю A2 . При доказательстве теоремы 2 мы заметили, что алгебра A порождена M (A) как топологическая алгебра. Аналогично выберем множество M(B) = |k g Jb } элементов алгебры B. Тогда M = M(A) u M(B) множество топологических порождающих алгебры P = A * B. Пусть Mo(A),Mo(B) - прообразы множеств M(A), M(B) соответственно (относительно мо-морфизма 9 : Lo —► A * B), линейно независимые по модулю L2. Из построения алгебры P = A * B следует, что множество M максимальное линейно независимое по модулю P2 . Поэтому и множество Mo = Mo(A) u Mo(B) линейно независимо по модулю Lo2 . Множество Mo дополним множеством H до базиса алгебры Lo по модулю L2. Ясно, что Y = Mo u H множество свободных топологических порождающих алгебры Lo = Lo(X) = Lo(Y). Здесь Y = Ya u Yb (Ya п Yb = 0), где Ya = Mo(A), Yb = Mo(B) u H. Тогда Lo = Loa*Lob , где Loa = Lo(Ya) , Lob = Lo (Yb), и теорема 3 доказана.

[1] А.И. Ширшов. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Матем. сб. 1962. 33(75). № 2 (1953). С.441-452.

[2] А.И. Ширшов. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 3, № 2 (1962). С.297-301.

[3] А.И. Ширшов. О свободных кольцах Ли // Матем. сб. 45, № 2 (1958). С.113-122.

[4] L.A. Bokut, G.P. Kukin. Algorithmic and combinatorial algebra. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer, 1994.

[5] Ю.В. Кузьмин. О теоремах типа теоремы Нильсена-Шрайера в алгебре рядов от неком-мутирующих переменных // Сиб.мат.ж. 27, №2 (1986). С. 91-103.

[6] Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1976. (Гл.1-3).

[7] Комбинаторные и вычислительные методы в математике: Сб. статей. Омск: ОмГУ, 1999. С.190-205.