Эквивалентность пар из свободной группы ранга 2 при преобразованиях умножения, инвертирования и ровно одного сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 47-50.

УДК 519.16 В.А. Боровских

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПАР ИЗ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ РАНГА 2 ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ УМНОЖЕНИЯ, ИНВЕРТИРОВАНИЯ И РОВНО ОДНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

Эндрюс и Кэртис предположили в 1965 г., что любое сбалансированное представление тривиальной группы переводится в стандартное представление конечной последовательностью элементарных преобразований. В статье описывается алгоритм, проверяющий эквивалентность двух представлений в случае ранга 2. Допускается в точности одно сопряжение.

Ключевые слова: сбалансированное представление, элементарные преобразования.

Введение. Представление группы G = (а1,...,an | г1 г^ называется

сбалансированным, если число порождающих элементов п совпадает с числом определяющих слов ш . Знаменитая гипотеза Кэртиса - Эндрюса

(КЭ) (см.: [1; 2]) утверждает, что набор (г1 ,...,гп ) определяющих слов сбалансированного представления единичной группы G = Е может быть преобразован цепочкой элементарных преобразований в набор (а1,..., ап) порождающих элементов свободной группы Еп ранга п с базисом

(а1,...,ап) . Элементарным преобразованием набора (г1 ,...,гп ) называется преобразование одного из следующих 3-х типов:

1) Г ^ ^ Г£ или Г ^ г*Г для 7,7 = 1,...,п, 7 Ф 7, £ = ±1; гк ^ гк при к = 1,...,п, к Ф 7;

2) Г ^ г71, гк ^ гк для 7,к = 1,...,п, 7 Ф к;

3) Г- ^ ёГ 1 ё_1, гк ^ гк для 7,к = 1,...,п, 7 Ф к, ё - произвольное слово

от «l,..., ап.

Гипотеза КЭ остается до сих пор не подтвержденной и не опровергнутой (см. об этом: [3-5]). Заметим, что элементарные преобразования сохраняют нормальное замыкание слов из набора, поэтому их можно считать преобразованиями сбалансированного представления группы О .

В настоящей работе устанавливается теорема.

Теорема. Существует алгоритм, определяющий эквивалентность

произвольных пар

,Уі

У 2

элементов свободной группы ^2 ранга 2 с

базисом а1, а2 относительно цепочки элементарных преобразований, в которой преобразование вида 3) используется не более одного раза.

Пусть М2 - свободный моноид ранга 4 с образующими а, Ь, а_1,

ь~\ ^2 = {аЬ) - соответствующая М2 свободная группа ранга 2 с базисом X = {а,Ь}. Обозначим также X-1 = {а_1,Ь^1}. Пару элементов из Е2

будем обозначать

У

. Отношение равенства в ^2 обозначаем =, а в

М~ обозначаем = .

© В.А. Боровских, 2012

Элементарные преобразования пар типа

( х Л ( х Л ( х Л ( х Л ( х Л Г ху Л

? ?

V У у V хУ у V У у V Ух у V У у V У у

( х Л

У

( Ух Л У

называем умножениями (1-пре-

образованиями). Преобразования пар типа

^ Л ( х Л

х

У

х

V У у

х

У

называем инверсиями (2-преобразованиями). Для всякого И е ¥г преобразования пар типа

( х \

( х Л

У

( И -1хН Л ( х Л

У

У

называем сопряжениями (3-преобразованиями). Для всякого И е преобразование

пар типа

^ И- хИ ^

х

У

И 1 уИ

называем общим сопряжением.

Утверждение. Для любых двух пар

Уі

( V

,У2.

, где Хі,Уі,х2,у2 є ^2

можно яв-

но найти цепочку преобразований, состоящую из 1, 2-преобразований, общих сопряжений и не более одного 3-преобразования,

что такой цепочки не существует.

Отношение

( х Л

«•

чать, что пара

.Уі

(V Л

У2

( х2 Л У 2

будет обозна-

может быть получена

цепочкой преобразований из множества Ф

Уі

Для всякого х е М2 х обозначает длину

х , р : М2 ^ М2 - функцию сокращения в

слове всех подслов вида ттГ1, т е X ^ X,

а г : М2 ^ М2 - циклическое сокращение слова, точнее слово, получаемое сокращением всех одинаковых символов т е X ^ X— с противоположными показателями на концах слова. Соотношение р(х) = х означает, что слово х приведено. Если х приведено, то соотношение г(х) = х означает, что слово х циклически несократимо.

Теорема 1. Пара

Х2 Л У 2

может быть по-

лучена цепочкой 1-преобразований и общих

сопряжений из

= ^(й[Х2, У2І) .

Теорема 2. Пара

( Хі Л Уі

^<т(р[ Хі, Уі]) =

Х2 Л У 2 у

может быть по-

лучена цепочкой 1, 2-преобразований и об-

( V

щих сопряжений из є{<г(р[ х±, У2± ]±)}.

Заметим, что если

Уі

»с(р[ Хі, Уі])'

.Уі

Ф (х Л «•

У 2

мощью 1, 2-преобразований и общих сопряжений, то всегда можно явно выписать цепочку преобразований целиком.

Пусть заданы х1, у1, х2, у2 е К, и

' хі Л ^ х2 Л

«• с помощью

V Уі у V У 2 у

произвольного

числа 1, 2-преобразований и общих сопряжений и ровно одного 3-преобразования 1го элемента пары (требование сопряжения 1-го элемента несущественно, поскольку общим сопряжением легко перевести сопряжение 1-го элемента пары в сопряжение

Г хі Л ^ х2 Л 2-го

переводящую в , либо доказать, ний

V Уі у V У 2 у ний

ние 1-го элемента, а затем еще несколько 1, 2-преобразований и общих сопряжений.

Обозначим

V У у 1-го

пару, полученную до со-

пряжения 1-го элемента. Вычислим

К(х1,У1) = {г(р[х±,у±]±)}, выберем ¿1 е К

(поскольку К = 8, просто перебираем все к1 ) и вычислим к2 = г(р[х2, у2]) . Обозначим и Ф 1 - сопрягающий элемент единственного 3-преобразования. Тогда из описания цепочки преобразований и по теореме 1

получаем, что

Уі

«•

У 2

описанными

преобразования тогда и только тогда, когда разрешима хотя бы одна из 8 систем S

\к2 =а(р[и1хі и, у ])

ІА = ^(р[ х, У ]) для кі є К . Если найти решения х, у, и , то не сложно восстановить всю цепочку преобразований

V

чУі

«•

( х Л 3

V у

( и 1хи Л і,2,обЩ-сопР-

У

«•

У 2

Ф

из

Эквивалентность пар из свободной группы ранга 2 при преобразованиях умножения..

49

Таким образом, задача сводится к решению системы S.

Далее переменные x1, y1 , x2, y2 несут новый смысл. Все переменные лежат в М2 ,

а исходные элементы F2 можно считать приведенными, и потому они тоже рассматриваются как элементы М 2 , так что сразу

Р( xj) = xj, Р( Уj) = Уj, j = i,2.

Покажем, как решать систему. Рассмотрим систему S с переменными

x, y, u и константами ki, к2 :

[k = <r(p[u- xu, y ])

[ki = <r(p[ x, y ]).

Ограничим множество решений: если (x, y, и) - решение, то (Vd е М2) х

х (d-1xd,d-1yd,d~lud) - тоже решение, поэтому можно считать, что x, y не имеют общего сопрягающего множителя; условие и Ф i при этом ограничении сохраняется. Представим

Гx = r-xi r, p(r) = r,p(xi) = xi ,<r(xi) = xi,

[y = 5- yi 5, p(5) = 5,p(yi ) = yi ,<г(yi ) = yi. Поскольку x, y не имеют общего сопрягающего множителя, то r5_1, 5r-1 несократимы.

Подставляем, получаем равносильную систему

|k2 =a(p[u ~lr- xi ru, 5 - yi 5 ])

[ki = <r(p[r-xi r,5-1yi 5]).

Лемма 1.

= °(p[( pq-1)-1 x (pq~l), y ]).

Доказательство. Распишем коммутанты, обозначим w = xpq-yqp-1 x-1 pq-y _1, получим равносильное <J(p(p lwq)) =

= a(p(qp4w)). Поскольку p(p4wq) =

= p(qp-1wqq-1) = p(qp-1w), то отсюда получаем лемму.

Равносильно преобразуем систему по лемме 1, получим

\k2 = a(p[(ru5-1)-1 xi (ru5_1),yi ])

[ki =ff(p[(r5_1)-1 xi( r5-1), yi]). Ограничим множество решений еще: если (xi, yi,u) - решение, то (xi, yi, r— xi“u), (xi, yi, uy^5) - решения для а Ф 0 . Значит, мы можем ограничиться случаем, когда начало u не совпадает с r-1x± , а конец u не совпадает с y-f 5 . Заметим, что у системы есть решение без общего сопрягающего

<r(p[ p- xp, q-1 yq]) =

множителя ^ у системы есть решение без общего сопрягающего множителя с u . Выполним замену переменных | V = ru5- (v : V = p(v) = p(ru5-))

[ w = r5-i

(ищем сокращенные значения, так что w = r5-1, а вот ru5-1 может быть сокращено)

[k2 = o(p[v- x v, у-])

[ki = <r(p[w-x- w, y-]).

Лемма 2. (Vx е M2) (p(x) = x,a(x) =

= x ^ (Vd е M2) |d4xd| > |x|) .

По лемме 2 получаем

(Vd)|^(p[d~lxd, y])| > 2 (|xi | + |yi |) . Применяя

это неравенство к полученной системе, получаем

\h\ < 2 (| xi |+| У-1) |ki |< 2 (|xi | + |У-1) :{l ki|; |k21)

«•

max^

^ x- + y- <■

2

Таким образом, мы получили, что |х1|,| у11 ограничены сверху. Значит, мы можем перебрать все возможные х1, у1, удовлетворяющие этим ограничениям и для каждой пары искать неизвестные V, w. Таким образом, с данного момента предполагаем х1, у1 найденными.

Решим 2-е уравнение системы, найдем w : к1 = а(р^1 х1 w, у1 ]) . Поскольку аргументы коммутатора справа несократимы в точках сочленения, то |к1 | = 4+ 2 (|х11 +1у1|) ^

|к11- 2 (| х11+| У1)

4

где w ограничена

сверху, значит, можем решить уравнение также перебором. С данного момента считаем также, что и w найдена.

Ищем V из 1-го уравнения системы:

v = ru5_1, k2 = a(p[vl xi v,yi ]) . Делаем подстановку z = p(v lxi v) = v-1xi v, получим уравнение k2 = a(p(zyi zyi-i)) . Поскольку °(У-) = У- , то a(zy- z-1y--1) = z'y[ z'-1 y--1, где y1 - некоторый циклический сдвиг y1 ,

всего возможно |у11 сдвигов, а z' - то, что осталось от z после сокращения. Формально общее решение имеет вид: для y1 = y2у3, где y2 у3 несократимо и y3 у2 тоже несократимо в силу ст( y-) = y-, а z = z- у“у2-1,

а е Z, компоненты слова г тоже несократимы. Подставляя, получаем уравнение

к2 = 2ЛУзУ2)г1-1(УзУ2)-1. Поскольку |у11 конечно и известно, мы можем перебрать все циклические сдвиги У1 , поэтому с данного момента считаем, что У2, Уз известны. В уравнении к2 = г1 (у3 у2) г1-1( у3 у2)-1 сокращаем правые |у11 символов, поскольку они

совпадают (если не совпадают, значит, решений нет). После сокращения получаем равносильное уравнение р(к2( у3 у2)) = = г1 (у3у2)г-1, причем в выражении слева правые |у11 символов обязательно сокращаются. Левая часть нам известна.

Лемма 3. Если в уравнении гАг- = В левая часть несократима, то уравнение либо не имеет решений, либо решением является

В -IА

строка, составленная из 1——1 первых

символов строки В.

Сократив левую часть, в силу несократимости правой части получаем Ц | =

|к2 ( уз у2^ -| уз у2 I „

^---------1—1----1, вычисляем г по лемме 3

2 1 и проверяем, удовлетворяет оно уравнению или нет. Таким образом, для каждого циклического сдвига у1 мы можем вычислить г1 или показать, что его нет. С данного момента считаем, что все у2, у3, г1 нам известны. Остается неизвестным только показатель а, отсюда мы его вычислить не можем.

Возвращаемся к переменной V:

V-1 х1 V = г = г1 уау-1. Это уравнение с переменными V е М2, а е Z и известными х1, у1, г1, у2. В общем случае х1 = х2х3, V = хв х2 V1 х = х3 х2 - циклический сдвиг х1 . Подставляя, получаем уравнения ^-1х( v1 = = г1 уау2, где х'-у может принимать |х1 |-зна-чений - их конечное число, поэтому мы можем их перебрать и считаем, что х^, х2, х3 нам известны, кроме того г(х^) = х^. Найдем v1 ,а.

Лемма 4. Если V- ху = pаq и левая и правые части несократимы, и г(р) = р, то

а\-1.

Доказательство. а> 2 ^ V4xvppа-2pq

- строка справа циклически сократима, а по-

скольку |q| < |р|, то p = q V, r Ф1 ^ v 1xv =

= q_1r(q—r)a—2 q~Vq, откуда r-1 = r ^ r = 1 -невозможно.

Случай a < —2 разбирается аналогично. Заметим, что условие леммы 3 с( p) = p необходимым не является, но с ним проще доказывать, и возможность использовать лемму 3 сохраняется.

Применяя лемму 3 к уравнению

v1—1 x1 v1 = z1 yaay2 , мы получаем, что a е {—1,0,1} принимает 3 значения, перебираем их и с данного момента считаем, что они даны. Таким образом, получаем уравнение, которое решаем с помощью леммы 3,

значит, v1 мы теперь тоже знаем.

Таким образом, остается решить систему v = xßx2v1 < v = р(rus-1) w = rs—1

в неизвестных ß е Z, u, r, s е M2 с дополнительным условием, что начало u не совпадает с r—1 Х1±, а конец u не совпадает с y1±s . Перебирая r, x1, х2, вычисляем u = r 4vs =

= r—1 xßx2v1 s . Если в xßx2v1 s подстрока xß не сокращается, то так как u не должно начинаться на r-1 x1± , то ß = 0 подставляем и вычисляем u . В противном случае подбираем ß = ß1 так, чтобы u не начиналось на r-1x1± (очевидно, такое ß1 существует и единственно), опять подставляем и вычисляем u .

Таким образом, переменные x1, y1, u, r, s найдены, а значит, найдено решение (x, y, u) .

ЛИТЕРАТУРА

[1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М. : Мир, 1980.

[2] Магнус В., Каррас А, Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М. : Наука, 1974.

[3] Andrews J. J., Curtis M. L. Freegroups and han-dlebodies // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 16. P. 192-195.

[4] Borovik A. V., Khukhro E. I., Myasnikov A. G. The finitary Andrews-Curtis conjecture and Black Box Groups // Internat. J. Algebra Comput. 2003. Vol. 13. № 4. P. 415-436.

[5] Borovik A. V., Lubotzky A., Myasnikov A. G. The finitary Andrew-Curtis conjecture in «Infinite groups: geometrical, combinatorial and dynamical aspects» // Progr. Math. Basel : Birkhauser, 2005. Vol. 248. P. 15-30.