CC BY
15
УДК 537.312.62
ОБ ИЗЛУЧЕНИИ ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО ПЕРЕХОДА В
ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ
А. С. Малншевский, В. П. Силин, С. А. Урюпин
Для нелинейных периодических колебаний разности фаз в джозефсоновском переходе в тонкой пленке определена интенсивность спектральных линий излучения, а для 2к-кинка найдено распределение сплошного спектра излучения.
Одной из основных причин затухания разности фаз волновых функций в джозеф-соновских переходах являются омические потери энергии в несверхпроводящем слое (см., например, [1 - 3]). Учет только омических потерь энергии лежит в основе широко используемой резистивной модели джозефсоновскпх переходов и определяет вид резистивных нелинейных диссипативных структур [4 - 6]. Другой часто пренебрег а-емой причиной затухания разности фаз в туннельных переходах конечных размеров являются потери энергии на излучение. В частности, как было показано в работах 7. 8], затухание обобщенных волн Свнхарта в сэндвичах с электродами, толщина которых меньше лондоновской длины, может определяться эффектом высвечивания волн в вакуум.
В настоящем сообщении изучается излучение из джозефсоновского перехода в тонкой пленке, толщина которой I) меньше лондоновской длины А. Основу рассмотрения составляет однородное уравнение для разности фаз, учитывающее потери энергии на излучение. В пренебрежении диссипацией разность фаз подчиняется уравнению математического маятника. Нелинейное состояние, отвечающее конечным колебаниям маятника, приводит к излучению нечетных гармоник основной частоты, а нелинейное состояние, отвечающее вращению маятника, порождает излучение четных гармоник. В случае 27г-кинка испускается непрерывней спектр частот, в основном не превышающих джозефсоновскую частоту. Определено спектральное распределение интенсивности излучения нелинейных состояний джозефсоновского перехода в пленке. Численные оценки
потерь энергии демонстрируют возможность наблюдения спектров излучения, полученных в теории.
Для описания потреь энергии на излучение из джозефсоновского перехода в пленке воспользуемся уравнением для разности фаз волновых функций по разные стороны перехода
, . а\ м 2Л V] а 7 л' д
—оо
Здесь (р = <£>(/), /3 = 47г<т/е, сне- проводимость и диэлектрическая проницаемость туннельного слоя шириной 2с1, = (Ылефс/Не)1'2 - джозефсоновская частота, — е -заряд электрона, Тг - постоянная Планка, ]с - критическая плотность тока, Л - лондо-новская длина, В - толщина пленки, у3/с = {(1/еХ)1^2 - отношение скорости Свихарта у3 к скорости света с. Содержащее ¡3 первое слагаемое в правой части уравнения (1) описывает омические потери энергии в туннельном переходе. Далее будем обсуждать такие условия, когда влияние этих потерь на решения уравнения математического маятника несущественно. Потери энергии на излучение описываются вторым, интегральным слагаемым в правой части уравнения (1). Интеграл по времени в уравнении (1) понимается в смысле главного значения. Нелокальная во времени связь потерь энергии на излучение с разностью фаз возникает при последовательном решении уравнений Максвелла в вакууме и пленке. Решение в вакууме имеет вид электромагнитных волн, уходящих от пленки, что отвечает учету потерь энергии на излучение. Уравнение (1) записано в предположении, что отношение эффективной глубины проникновения поля в пленку X2/Б А к характерному времени изменения фазы Т = |<91п много меньше
скорости света
X2/Б < сТ. (2)
Кроме того, в (1) опущены пространственные производные, что оправдано, если масштаб неоднородности фазы вдоль перехода Ь = |сМп много больше расстояния, проходимого полем в вакууме за время Т
Ь > сТ. (3)
Неравенства (2) и (3) совместны в случае протяженных переходов, когда выполнено условие Ь » А2/Б.
Считая, что потери энергии на излучение невелики, будем учитывать интегральное слагаемое в (1) по теории возмущений. Для определения потерь энергии на излучение воспользуемся отнесенным к единице длины гамильтонианом джозефсоновского перехода в виде [3]
Я = U
2е
1
2ui2; \ dt
М 4.1 — + 1 — COS ip
(4)
Принимая во внимание уравнение (1) и отвлекаясь от обсуждения омических потерь, из (4) находим
clH ~dt
1
h \2 dtpo д dt' д
D \ 4тге / dt dt
[ dt 0 J —m>Mt)'
(5)
где </?о описывает решения уравнения математического маятника, возникающего из (1) при полном пренебрежении диссипацией.
Обсудим сначала решение уравнения математического маятника, отвечающее не вращательным колебаниям конечной амплитуды. В этом случае функция (ро имеет вид
fv = <r>o = 2arcsin[Ä:sn(ujji, &)],
(6)
где к - модуль, а вп - эллиптический синус. Величина модуля к характеризует степень нелинейности колебаний. Производная функции «¿>„ представима в виде ряда Фурье
Я 00 „«+1/2
- SO (1А V^ -q
dt
vv = 8«.(*) E1+ 2n+icost(2" + 1 )**.(*)*]•
x 4- а1
n=0 ' 4
Здесь параметр q и частота Гlv зависят от модуля к и равны
(7)
q = ехр[-7г К'/К],
7Г
fi„ = Slv(k) = T^^ii
(S) (9)
К = К (к) - полный эллиптический интеграл первого рода, К' — К (к1), к' = \/1 — к2. При к = 0 частота Г2„ совпадает с джозефсоновской ii„ = u>j. По мере увеличения к функция fiv убывает и при к, близких к единице, логарифмически стремится к нулю
7Г
Пу{к) = -и.
In
(10)
Используя разложение (7) и усредняя по периоду 2тг/Пь выражение для производной гамильтониана по времени (5), находим
П„ '[ АН с1Н ~
о п=0
где функция /2„+1 характеризует потери энергии с единицы длины джозефсоновского перехода, обусловленные излучением волн в вакуум на частоте (2п + 1)0,,
Ьп+Ак) = Цк){2п + 1)д2п+1(1 + д2п+1)~2. (12)
7Г ие1
Согласно соотношениям (11), (12) в случае решения <ру (6) джозефсоновский переход излучает на нечетных частотах (2?? + 1)П„, п — 0,1,.... Основная частота П„ меньше джозефсоновской Шу При к, близких к нулю, когда I: « 1, потери энергии на излучение малы и в основном сосредоточены вблизи основной частоты ~ По мере увеличения к спектр излучения обогащается нечетными гармониками частоты О, а интервал между гармониками уменьшается. При А-, близких к единице, излучается широкий спектр нечетных частот, близко отстоящих друг от друга. Отметим, что в соответствии с условиями применимости (2), (3) уравнения (1) соотношение (12) имеет смысл для гармоник, частоты которых лежат в интервале
2-кс/Ь < (2п + 1)0, < 2тгс£>/А2. (13)
Иной вид имеют потери энергии на излучение в случае к = 1, когда решением уравнения (4) является 27г-кинк
<¿>0 = 4а1Ч^(е"^) - тт. (14)
В этом случае излучается непрерывный спектр частот, а потери энергии на излучение описываются выражением
с1Н 7с1и
¿1
- [(15)
J 7Г
где 1Ш - спектральная плотность потерь энергии с единицы длины туннельного перехода,
а функция /(«) имеет вид
1 °°
1(а) = - J «/ж^БесЦафесЦж — а). (17)
—оо
Для функции /(а) имеют место асимптотики: 1(а) ~ 1п2 при а < 1; 7(а) ~ 2Сзес11(а) при а 1, где С ~ 0,916 - потсоянная Каталана. Согласно соотношениям (16), (17) излучение в основном происходит на частотах, меньших или порядка джозефсоновской: ш < 2и3 /7г. На больших частотах спектральная плотность экспоненциально мала. Как и в случае дискретного спектра излучения соотношения (16), (17) имеют смысл, если частота ш лежит в интервале, задаваемом неравенствами (13).
Теперь обратимся к рассмотрению нелинейного состояния джозефсоновского перехода, описываемого решением, отвечающим вращающемуся маятнику. При этом функция <¿>0 имеет вид
<рг = <р0 = 2ахп (18)
где ат(и, к) - амплитуда Якоби. Для дальнейших вычислений воспользуемся представлением функции ат(и, к) в виде ряда
ап
4>г = 2Пг{к)1 + 4 £ 4 яп[2пПР(*)<], (19)
п=1 + Я )
где, в отличие от соотношений (7), (9), частота Пг имеет вид
Пг(к) = (20)
При к, близких к единице, частота Пг сравнительно мала (см. (10)). Напротив, при к <С 1 она весьма велика
пг{к) ~ ш,/к > (21)
Принимая во внимание разложение (19) и следуя определениям (5), (11), найдем потери энергии на излучение с единицы длины джозефсоновского перехода
.1 тт оо
-л—ЦЫЪ (22)
п=1
где функция /2п определяет потери энергии на четных частотах 2пПг
(23)
Согласно соотношениям (20) - (23), при к, близких к единице, частота Пг много меньше джозефсоновской, а спектр излучения содержит много четных гармоник основной частоты. С уменьшением к частота Пг возрастает и становится больше Шу При этом, однако, интенсивность излучения на высших гармониках сильно подавлена, так как ц <С 1. В соответствии с условиями применимости теории частоты 2«Г2Г должны удовлетворять неравенствам (13).
Дадим оценку плотности потока излучения с единицы длины туннельного перехода. Плотности потоков, отвечающие излучению нечетных (12) и четных (23) гармоник, сравнимы по величине. Ниже, для определенности, воспользуемся выражением (23). Примем, что толщина пленки составляет В ~ 3 • Ю-' см = 30 А, а джозефсоновская частота равна ~ 1013с-1. Тогда при к2 = 0,98 из (23) находим: /2 — 10 вт/см2, /4 = 0,53 ет/см2. При этом частота второй гармоники составляет ~ 0,95и^-, а четвертой ~ 1,9Ш}. Обе частоты попадают в область применимости теории (13), если принять, что лондоновская длина составляет А ~ 0,3 мкм, а длина джозефсоновского перехода порядка Ь ~ 300 м км. Действительно, при таких А и Ь нижняя и верхняя границы диапазона частот (13) равны соответственно ~ 2,1 • 1012 с-1 и ~ 6,3 • 1013 с'1. Из приведенных оценок видно, что наблюдение излучения джозефсоновского перехода в пленке не должно вызывать проблем, поскольку плотность потока излучения весьма велика.
Работа выполнена в рамках проекта РФФИ N 96-02-17303 и при поддержке Научного совета по ВТСП (проект "АД" N 95008).
[1] А б р и к о с о в А. А. Основы теории металлов, М., Наука, 1987, с. 451.
[2] Лихарев К. К. Введение в динамику джозефсоновских переходов, М., Наука,
[3] Бароне А., П а т е р н о Дж. Эффект Джозефсона: физика и применения.
М., Мир, 1984.
[4] L i k h а г е v К. К. Rev. Mod. Phys., 51, 101 (1979).
[5] К i v s h а г Yu. S. and M а 1 о ш e d В. A. Rev. Mod. Phys., 61, 763 (1989).
[6] Силин В. П. ЖЭТФ, 112, 1396 (1997).
[7] N g a i К. L. Phys. Rev., 182, 555 (1969).
ЛИТЕРАТУРА
1985.
[8] О в ч и н н и ков К. Н., С и л и н В. П., У р ю п и н С. А. ФММ, 83, 14 (1997).
Поступила в редакцию 30 декабря 1997 г.
|
