CC BY
9
УДК 538.945
О ФУНКЦИИ ГРИНА В НЕЛОКАЛЬНОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
В. П. Силин, А. В. Студенов
Рассмотрены свойства функции Грина линеаризованного основного уравнения одномерной нелокальной джозеф-соновской электродинамики. Основное внимание уделено случаю движений источника со скоростью, меньшей сви-хартовской. Выявлены эффекты черепковского излучении медленных волн, экранировки источника поля вдоль туннельного перехода и вклада ветвления, обусловленного экранировкой магнитного поля, проникающего в сверхпроводник.
В работе [1] рассмотрена, возможность описания нелинейных электромагнитных свойств джозефсоновских переходов в массивных сверхпроводниках в таких условиях, когда характерный пространственный масштаб изменения разности фаз купе ровских пар по разные стороны перехода может быть сравним с лондоновской глубиной А проникновения магнитного поля, а то и меньше ее. Для такой ситуации в работе [1] было предложено нелокальное ннтегродпфференцналыгое описан не, в основу которого кладется уравнен не:
1 д2? /3 д?
2 + + 8,11 V7" и- т2 ш* 01
—оо 4 '
Здесь со,- и - джозефсоповские частота и длина, /3 характеризует проводимость перехода, А'о(.т) - функция Макдональда.
В работе [2] привлечено внимание к своеобразной возможности черепковского излучения медленно движущимся источником обобщенных волн Свихарта, спектр которых
был установлен в работе [1]. В этой связи возникает необходимость построения и изучения функции Грина линеаризованного уравнения (1)
¿&4- 4- -
Ц дг2 + дО 3
Чг1 )-«(*" «О- С»)
— СО "
Такая функция Грина обычно йспользуется в теории возбуждения волн, а также и неволновых возмущений источником, который движется с постоянной скоростью г.
В настоящем сообщении рассматривается такая функция Грина. Ее свойства из-за нелокальности (интегральности) уравнения (2) качественно отличаются от свойств функции Грина локальной электродинамики джозефсоповскпх переходов.
Уравнение (2) нетрудно решить с помощью преобразования Фурье, что позволяет записать функцию Грина, в следующей интегральной форме:
а( ~ Л-ш2 7Лк еХрМ~ ~ (Ч |
] 2* и*(к) - к^ - ¿вы' (Л)
—со
Здесь и;(к) - частота обобщенных волн Свнхарта, спектр которых согласно [1] опредг-л я ется соотношен нем
и2(к) ± ш]Ч- к2г>2/{ 1 + РА2)1'2, (-1)
где V, = ш^Х] - скорость Свнхарта. Естественно, что в пределе к А «С 1 из формулы (-1) следует обычный спектр волн Свнхарта
и\к) + к2у2. (5)
Напротив, в пределе на малых кХ спектр (4) существенно отличается от спектра (5). Именно в таком случае согласно [2] становится возможно черепковское возбуждение
обобщенных волн Свихарта медленно движущимся источником возмущений. Действи-
»
тельно, именно в этом случае возникает качественное отличие от локальной электродинамики, дающей спектр (5). Чтобы это показать, обратимся к условию черепковского излучения
к2у2 = ш2{к). (0)
В пределе длин волн больших лондоновской длины, когда к А «С 1 и когда имеет место обычный локальный спектр (5), фор мул г» (6) дает
к2 = и>?/(г,2 - V-]). (7)
Выражение (7) только при V2 > ь^ оказывается положительным, то есть отвечает возможности распространения волн. Напротив, для источника, движущегося со скоро« гыо. меньшей скорости Свихарта, когда
г>2 < VI (8)
выражение (6) отрицательно. Это означает, что обычные, в нашей терминологии!! длинноволновые (кА < 1) волны Свихарта медленным источником не могут возбуждаться. Для обобщенных воли Свихарта со спектром (4) положение существенно изменяется. Это особенно ясно видно в пределе коротких волн, когда к\ 1 и когда уравнение (6) принимает вид
¿V = и;? + «ад/А.
(9)
Отсюда получается выражение
±
2г2А
14-
1 +
4г?2А2 и2\2
Я
(Ю)
для волнового вектора, обобщенной волны Свихарта, которая может возбуждаться ч< ренковским способом. При этом длина, волны будет много меньше лондоновской длины, если V <С VI!. Таким образом, мы видим качественное различие нелокальной электродинамики от обычной локальной. Оно обусловлено тем фактом, что согласно спектру обобщенных воли Свихарта (4) для коротких воли с уменьшением длины волны уменьшается фазовая скорость волн.
При явном вычислении интеграла (3), которое мы будем проводить в пределе /.? = 4-0, удобно воспользоваться процедурой смещения контура интегрирования в комплекту н плоскость переменного к. Здесь сразу обнаруживается еще одно качественное своеобразие нелокальной джозефсоновской электродинамики, которое заключается в том, что спектр (4) в отличие обычного спектра (5) обладает точками ветвления к = ±?А. Обсудим прежде всего именно этот новый вклад в функцию Грина. Такой вклад можно выделить с помощью смещения контура интегрирования в правой части формулы (3) в
верхнюю или в нижнюю полуплоскость к в зависимости от знака г — с последующим интегрированием по берегам разреза. При этом необходимо проследить за аккуратным аналитическим продолжением функции
(1 + к2\2)~1'2 (11)
в комплексную плоскость к. Это достигается требованием положительности (11) на действительной оси комплексной плоскости. 13 результате вклад ветвления в функцию Грина можно представить в виде:
( _ л = Л 7 ^■2\/^ГТехр[-г|~ - г><|/А]
9ЬК~ > тг\] I (т2 - 1)[(А/А,)2 + г2(г>/г>,)2]2 + г4' В случае медленного движения, когда
V < 17,, (13)
формула (12) позволяет записать простые асимптотические выражения. Так, если
\z-vt] > А иА_, » А, (14)
го (12) дает:
Это же выражение имеет место и тогда, когда А \j и одновременно выполнено соотношение А5 <С — Если же
А > А,: \г - > А и А3 > - и<|, (16)
то имеем
Наличие предэкспоненциального степенного множителя в формулах (15) и (17), зависящего от \г — гя£|, является специфической особенностью вклада ветвления Фурье-образа функции Грина в ее зависимость от координаты и времени.
Перейдем теперь к обсуждению вкладов в интеграл (3), возникающих о г полюсов Фурье-образа функции Грина. Прежде всего укажем, что согласно уравнению (7) имеются два чисто мнимых корня и -— гЛгг (Л г > 0). При малых когда /^А <С 1. эти корни определяются формулой (б). Нетрудно видеть, что к\А < 1. Очевидно, что чисто мнимые корни уравнения (6) приводят к экспоненциально убывающей зависимое! и функции Грина от ее аргумента, то есть к экранировке:
де(г - VI)
АН'Л'2 - к\\\ - 2(у/ив)2(1 - А;2А2)3/2]
(18)
Так же как и вклад ветвления (12), формула (18) отвечает зависимости функции Грина от модуля \г — г?¿1. В пределе медленного движения (13) из формулы (18) вытекают следующие простые выражения
1
де{г-уЦ = —— ехр
ZЛj Д<»
де(г - VI) = р-ехр
1~ -
А
А < А, ,
А » А,.
(19)
(20)
Формула (19) отвечает пределу обычной локальной электродинамики джозефсоновских переходов, когда экранирование происходит на джозефсоиовской длине. Напротив, формула (20) отвечает пределу ярко выраженной нелокальности, соответствующей большим значениям плотности критического тока Джозефсона [3, 4], когда экранировка возникает на лоидоновской глубине проникновения магнитного поля.
Нам остается рассмотреть вклад еще двух действительных корней уравнения (6): /'. и — к\. При конечном малом значении ¡3 все они имеют малую отрицательную мнимую часть. Поэтому от них возникает ненулевой вклад в функцию Грина только при с < г/, что, как и обычно, отвечает черепковскому излучению волн с волновым вектором к2. Для соответствующего черепковского вклада в функцию Грина получаем
9ск{г - VI) =
2(1 + к22\2)3'20{у1 - z)sin{k2(vi - .-))
(21)
\2к2[2(у2/г,,2)(1 + А2)3/2 - 2 - /,:2А2]-где 0(х) - функция Хевисайда: 0(х) = 1, х > 0: 0(х) — 0, х < 0.
Для медленного движения (13), когда корень к-2 определяется формулой (10). черен ковский вклад в функцию Грина (21) имеет следующий вид:
дск(г - и£) =
2А0(у1 - г)вт[к2№ - г)] А2/1 +
(22)
В частности, если
Ли < А,г;
(23)
и выполнено условие (13), то формула (21) отвечает возбуждению волны с частотой (■Уд/иА) и принимает вид:
Если же
то
2 А
<7<л(г ~ У'-) = - г)зш
А у >
у1-г и2 А
(24)
(25)
~ VI) = —0[ь1 - г^ш
I--
V
(26)
что отвечает возбуждению обобщенной волны Свихарта с длиной и¡и:3 С А и с частотой Джозефсона Заметим, что случай (23) может реализоваться как в обычно рассматривающемся пределе сравнительно малых значений плотности критического тока Джозефсона, когда А "С А_,-, так и в противоположном пределе реализации вихрей Абрикосова - Джозефсона, когда джозефсоновский переход моЖно назвать сильноточным. Напротив, в отличие от случая (23) условие (25) для медленных движений (13) может реализоваться только тогда, когда джозефсоновский переход является сильноточным, то есть лондоновская глубина проникновения магнитного поля в массивный сверхпроводник существенно превышает джозефсоновскую длину. Подчеркнем, что в этом случае согласно (24) и (23) генерируемая частота обобщенной волны Свихарта и3(Х¡г)3/Хи) оказывается значительно превосходящей частоту Джозефсона.
Подводя итог, можно утверждать, что функция Грина уравнения (2) складывается из трех слагаемых различной природы. При этом анализ свойств функции Грина для медленных движений (13) показывает, что вклад ветвления существенно убывает на расстояниях порядка лондоповской длины независимо от того, является ли джозефсоновский переход сильноточным или слаботочным. Совершенно иначе ведет себя экраннровочный вклад в функцию Грина. Именно в случае малой плотности критического тока экранировка имеет место на джозефсоновской длине. Напротив, при большой плотности критического тока экранировка реализуется на лондоновской длине. Общим
здесь является то, что экранировка происходит на большем из двух расстоянии - лоп-доновской или джозефсоновской длине. Наконец, следствия, касающиеся черепковского вклада в функцию Грина, демонстрируют интересную картину возбуждения обобщенных волн Свихарта. При этом свойства медленно движущегося источника возбуждения оказываются особено интересными в случае джозефсоновских переходов с большой критической плотностью тока, когда А > \j, а туннельный переход уже нельзя трактовать как слабую связь.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Алиев 10. М., С и л и и В. П., У р ю и и и С. А. Сверхпроводимость: физика, химия, техника, 5, 228 (1992), Superconductivity, 5, 230 (1992).
[2] М i и t s R. G., S п а р i г о I. В. Phys. Rev., В 52, 9691 (1995).
[3] Gurevich A. Phys. Rev., В 46, 3187 (1992).
[4] А л ф и м о в Г. Л., С и л и и В. П. ЖЭТФ, 106, 671 (1994), JETP, 79, 369 (1994).
Поступила в редакцию 14 декабря 1995 г.
