Об аналитическом описании джозефсоновских вихрей в слоистых структурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.312.62

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ ВИХРЕЙ В СЛОИСТЫХ

СТРУКТУРАХ

А. С. Малишевский, В. П. Силин, А. В. Студенов

Для вихревого состояния в слоистой структуре из трех сверхпроводящих пленок применена модель Сакаи-Татено-Педерсена. В рамках этой модели дано аналитическое описание джозефсоновского вихря (2~я-кинка) в одном джозефсоновском переходе и его изображения в другом джозефсоновском переходе.

Связанные магнитным полем длинные джозефсоновские переходы в слоистых структурах привлекают большое внимание (см., например, [1 - 5]). В таких системах джозеф соновский вихрь в одном из переходов порождает свое изображение в других переходах. Для случая системы двух магнитно-связанных переходов такое явление обсуждалось в работе [4] в пределе необычно большой плотности критического тока Джозефсона ]с, а в работе [5] в обычном пределе сравнительно небольших значений ]с. При этом в [4] соответствующее решение электродинамической задачи получено в рамках теории возмущений, а в [5] - численно. В работах [4, 5] рассмотрение проводилось в рамках обычной синусной зависимости джозефсоновского тока от разности фаз купе ровских пар. С другой стороны, представляется продуктивным использование модели Сакаи-Татено-Педерсена [6], в которой, как это показано ниже, возможно относительно несложное аналитическое описание вихрей в слоистых джозефсоновских структурах. Этому посвящено настоящее сообщение.

Будем рассматривать слоистую структуру трех одинаковых сверхпроводящих пленок, образующую два одинаковых джозефсоновских перехода. Если - разность фаз волновых функций куперовских пар в первом джозефсоновском переходе, а (¿>2 - соответствующая разность фаз во втором переходе, то в соответствии с работами [1 - 3] для <Р\ и <¿>2 имеет место следующая система уравнений (ср. [3]):

\2Э2у?! 1 э2у! - _ ¡3 \2 5 д2у>2 , 3\

л] -Щ- - - 85111 VI - Ц дг - лз с э?" + ус,

з ^^ Ц а<2 85111 ^2 - Э4 ^ в дг2 + .

Здесь 5 = Л/зЬ(2Х,/Л), /) = 2с? + 2Лс1Ь(2Х/Л) > 5", при этом 2Ь - толщина сверхпроводящих пленок, образующих слоистую структуру, 2с1 - толщина несверхпрово дящих слоев между сверхпроводящими пленками, Л - лондоновская глубина; А2 = 2(А + ¿)0А2/(/)2 — ¿Г2), где А^ = сфа/ХЪж2]^А + с?) - джозефсоновская длина, <?!>о квант магнитного потока, ]с - критическая плотность тока Джозефсона, которая считается одинаковой для обоих переходов; = 4:1Г^ссс1/ефо - джозефсоновская частота (б -диэлектрическая постоянная несверхпроводящих слоев), /3 характеризует диссипацию, 31 и ]2 ~ плотности токов, пропускаемых через первый и второй переходы соответствен но (см. [1]). Система (1) справедлива при достаточно малой критической плотности тока ]с (см. [4]). В дальнейшем, интересуясь свободным движением вихрей, мы будем пренебрегать диссипацией и считать, что на джозефсоновские переходы не подается ток. Поэтому далее полагаем /? = _?!= ]2 = 0.

Целью настоящей работы является аналитическое исследование такого состояния системы двух переходов, когда в первом джозефсоновском переходе имеется один джо зефсоновский вихрь (2я--кинк), а второй переход содержит изображение этого вихря (07г-кинк) в терминологии работы [5]. Решение такой задачи ниже проводится в рам ках модели Сакаи-Татено-Педерсена, которая была успешно применена в работе [6] для исследования динамики джозефсоновского вихря в единичном джозефсоновском переходе. В этой модели используется замена синусной нелинейности кусочно-линей ной пилообразной функцией. В применении к системе уравнений (1) эта замена имеет вид

2

вШ фг —► Г(<Рг) = ~ 7Г

—тг/2 < V?«' < т/2, тг - V?,-, тг/2 < <л- < Зтг/2, (2)

- 2ж, Зп/2 < < 5л-/2,

г = 1,2. Функция моделирующая синус, записана на интервале изменения от

—7Г/2 до 27г. Этого достаточно для решения поставленной нами задачи.

Итак, при учете всех изложенных выше предположений, в рамках модели Сакаи Татено-Педерсена (2) система уравнений (1) приобретает вид

Для сравнения с дальнейшим материалом приведем решение в виде 27г-кинка для модели Сакаи-Татено-Педерсена в одиночном джозефсоновском переходе [7]. Такое ре шение описывает, например, распределение разности фаз в первом переходе, когда толщины 2Ь сверхпроводящих пленок стремятся к бесконечности:

' 2тг - (7г/2)ехр[-^С + (т/4)], С > (С\= * + вт(*г,-С), -гМ < С < т/4^,

~ (тг/2)ехр[Л:,С + (7г/4)], С < -ф*.

Здесь = г — г;^ - координата в сопутствующей вихрю системе отсчета, V - скорость движения 27т-кинка,

^йк^Хьу (4)

V., = из^Х^ - скорость Свихарта.

В соответствии с поставленной задачей, ниже, с помощью системы уравнений (3), мы исследуем такую ситуацию, когда в первом джозефсоновском переходе существует джозефсоновский вихрь, то есть <¿>1 изменяется от 0 до 27т, а во втором джозефсоновском переходе имеется его изображение, о котором в работе [4] говорится как о возмущении бисолитонного вида. При этом мы ограничимся областью достаточно малых скоростей, когда

(^Я)2 < 1 - (5//)), (5)

где д3 = ШjXj - обобщенная скорость Свихарта. Далее будет выяснено, что при таких скоростях |<^2| < 7г/2, поэтому в системе (3) полагаем ^(уг) = 2/к.

Остановимся теперь на вопросе о малых волновых возмущениях, описываемых системой (3). Если <¿>1 мало, = 8<р\, или мало отличается от 2п, = 27т + 8<р\, а возмущение во втором переходе также является малым, <¿>2 = то система уравнений (3) принимает вид

Для волновой зависимости

6(р 1, ¿<¿>2 ос ехр(г/:2г — га;<) (7)

из системы уравнений (6) получаем следующее дисперсионное уравнение:

Ш<2(Ь) = (2/ж)ш* + х%к2[\ ± (5//?)]. (8)

Предположим, что волновое возмущение со спектром (8) создается источником, движущимся с постоянной скоростью V. Используя условие черенковского резонансного вза имодействия источника излучения с волной

ш\к) = к\\ (9)

и подставляя в него соотношение (8), получаем следующие выражения для чисел к, характеризующих создаваемое источником возмущение:

к = ±1к_,±гк+, (10)

е ш (11)

У у/1-+(Б/Б)

к+ = Л1 1 —. (12)

Из формул (7) и (10) видно, что источник (вихрь), движущийся с малой скоростью (5), не может возбуждать волны со спектром (8). Создаваемые вихрем возмущения экспо ненциально меняются на характерных масштабах 1 и 1 /к+ в окрестности источника возмущений.

Теперь, имея в виду применение результатов к ситуации, когда в первом перехо де имеется движущийся с постоянной скоростью 27г-кинк, рассмотрим такие волновые возмущения, когда <¿>1 мало отличается от тг, т.е. = 7Г + 6(рг, а возмущение крг мало, т.е. крч — 8<р2- Тогда из системы уравнений (3) имеем для 8ц>\ и

Подставляя волновые зависимости (7) для и из (13) получаем следующее дис персионное соотношение:

и>\к) = г,]к2 ± ^у/(2/тг)1 + {Цк^/иу. (14)

Очевидно, что при малых к и знаке минус выражение (14) отвечает неустойчивости невозмущенной структуры <¿>1 = 7г, — 0- Подстановка выражения (14) в условие (9) черенковского взаимодействия с источником возмущений приводит к следующим выражениям для характерных чисел к:

k = ±iko,±ko, (15)

к0 = . 1 (16) V тг Л, ^/[1 - {ь/щуу - (5/Д)2

Формулы (7) и (15) показывают, что медленно движущийся источник (5) создает не только экспоненциально зависящее от координат возмущение, но и волновое, отвечаю щее действительному решению (16).

Теперь приведем решение системы уравнений (3), описывающее движущийся с постоянной скоростью V 27г-кинк в первом переходе и согласованно движущееся вместе с ним его изображение во втором переходе. При записи решения предполагаем, что < 7Г/2. Это предположение будет проверено в следующем разделе. Будем использо вать обозначение

_ я/р

1 - (и/и,)2

Скорость вихря (27г-кинка) считаем достаточно малой, удовлетворяющей неравенству (5), поэтому р < 1. То, что мы ищем решение системы уравнений (3), отвечающее 27г-кинку в первом переходе, означает, что ось £ разбивается на три участка.

На первом участке, соответствующем хвостовой части 27Г-кинка, когда С < — (о и когда 0 < <¿>1 < 7г/2, решение записываем в виде

(р1 = А1 ехр[£_(С + Со)] + А2 ехр[к+(( + Со)],

ср2 = —Ах ехр[А:_(С + Со)] + Л2ехр[£+(С + Со)]-

Здесь А\ и А2 - константы, которые определены ниже; к_ и к+ определяются формулами (11) и (12); выраженные через параметр р. (17), они имеют вид

к- = ^ , к+ = (18) у/1 — р, у/1 + р,

где обозначено (ср. (4))

Ь = \ . 1-. (19)

V * А, _

На втором участке —Со < С < Со, отвечающем средней части 27г-кинка, когда 7г/2 < <¿>1 < 37г/2, имеем

V»! = тг + Бх вт(*ьС) - А^Ь^оС), = -NB1 8т(*0С) + В2зЦкоО,

где константы В\ и В2 определены ниже, дается формулой (16). В принятых обозначениях для р (17) и kj (19) имеем

ко = yf=. (20)

vi - Г

Наконец, константа N имеет вид

ЛГе "

1+уД^?-

На последнем участке, отвечающем голове вихря, когда С > Со и Зя"/2 < < 2п, имеем следующие выражения для разностей фаз (рх и <р2:

V?! = 2тг - Ах ехр[—- Со)] - А2 ехр[-к+(( - Со)], (р2 = А.х ехр[—А:_(С + Со)] - А2ехр[~МС + Со)]-

Константы Ах, А2, Вх, В2 и размер 2Со внутренней области вихря находятся из условий непрерывности разностей фаз фх и ц>2 и их первых производных в точках С = —Со и С = Со- Также используются требования фх{—Со) = 7г/2 и (Со) = 37г/2 [6]. В результате оказывается, что А2, Вг, В2 имеют вид

Аг = ^{2(1 + ЩвЦк0(0)8т(Ш+ + (1 - ^{к0/к+)[5т(коСо)сЪ(коСо) - вЬ^оСо) сов(А:оСо)]},

А2 = + ЛОИ^оСоЭсЬ^оСо) - 8Ь(АОСО)СОЗ(А:ОСО)],

40 к+

Bl = ¿c

|[^|sh(¿oCo) + ^ch(fcoCo)

7Г

В2 = — 2 2 С

(1 + iV) ко --— sin(A;oCo) - -¡-cos(koQo)

Л1 Г"jV J

где введено обозначение

С = |(l + 7V)sh(A:oCo)sin(A:oCo)+ +(A;0/A;+)[sin(A;oCo)ch(^oCo) + iVsh(Ar0Co) cos(¿0Co)]|-

Уравнение, из которого определяется величина Со, характеризующая размер вихря, имеет вид

th(fcoCo) - tg(AbCo)

(21)

Л(ЫоМЫо) - 1 у/Т^ + у/ТТЙ'

При фиксированных Ь и V (или kj и р) это уравнение имеет счетное число корней (о-

Теперь мы покажем, что при изменении скорости вихря V от нуля до максимальной скорости — Б/Б (см. (5)), ограничивающей область применимости решения, указанного в предыдущем пункте, разность фаз у>2 остается по абсолютной величине меньше 7г/2, и только при скорости V, стремящейся к предельной — 5/О. величина \<{>21 достигает снизу значения 7г/2 в некоторых точках оси С.

Сначала рассмотрим случай малых скоростей или слабого взаимодействия двух джо-зефсоновских переходов, когда

(v/vsy < 1 - (S/D).

(22)

Это означает, что р <С 1 (см. (17)). В этом случае наименьший положительный корень уравнения (21) дается формулой

- тт тти,2. . .

~ 4 ~ + ехР(-7Г/2)]'

где к: определено формулой (19). При этом выражения для </?!, имеют вид при С < — (о

7Г

Vi ~ — exp[¿j(C + Co)]ch

^(С + Со)

7Г

kÁ( + Со) - Tj

sh

kjP

(С + Со)

7Г

<¿2 ~ -- ехр[^(С + Со)]^Ь

^(С + Со)

+

+

(т)

ехр

7Г

ЫС + Со) - ^

сЬ

к3р

(С + Со)

при -Со < С < Со

4>г

V»! И 7Г + + 0(/Х2),

-^ЗШ(^С) + 5Ь(^С);

(23)

(24)

(25)

при С > Со

7Г

<¿>1 и 2тг - - ехр[-^(С - Со)]сЬ

к3р

(С " Со)

ехр

х

-МС - Со) -

<^2 « --ехр[-^(С - Со)]вЬ - ^сЬ ^ ехр -*,(С - Со) ~

зЬ к^р.

сЬ

2

(С - Со) кщ

(С - Со)

(С - Со)

(26)

Из формул (23), (25), (26) для (¿?2 видно, что наибольшее значение |<^2| порядка р и, поскольку р мало по сравнению с единицей (см. (22)), то максимальное значение моду ля (р2 меньше 7г/2. Иллюстрация решения при небольшом р дана на рис. 1а. Верхняя сплошная кривая отвечает монотонному нарастанию от 0 до 2тг при изменении без размерной координаты С от —оо до +оо, то есть эта кривая иллюстрирует структуру 27г-кинка в первом переходе. Функция (¿>2, изображенная на рис. 1а нижней пунктирной кривой, описывает бисолитонное возмущение во втором переходе, то есть изображение 27г-кинка Из рис. 1а видно, что даже при не очень малом значении параметра р абсолютное значение функции мало по сравнению с 7г/2. На рис. 16 изображены первые пространственные производные разностей фаз в первом и втором переходах. Эти зависимости характеризуют распределение магнитных полей в обоих переходах.

Теперь рассмотрим случай, когда скорость вихря V близка к предельной, то есть считаем, что выполнено неравенство

5 и2 0<1----<1. и V:

-4

-2

\ ' /

Рис. 1. Распределение разностей фаз Уг^^УгСО (а) и производных у'2(0 (б) при малых

скоростях (р = 0.5), £ = ¿¿С. Сплошные кривые отвечают первому переходу, пунктирные второму переходу,

В соответствии с формулами (17) и (27) 0 < 1 — р <С 1.

Для наименьшего положительного корня уравнения (21) находимо приближенное выражение

(28)

Здесь к0 определяется формулой (20). В пределе, когда применимо выражение (27) для (о, получаем следующие приближенные формулы для разностей фаз: при С < -Со

V», » (тг/2)(3/2)1/3(1 - рУ'3ехр[к_(<; + Со)] + +(тг/2)[1 - (3/2)1/3(1 - /^'ЧехрМС + Со)], <¿>2 ~ —(тг/2)(3/2)1/3(1 - рУ'3ехр[к_(( + Со)]+ +(тг/2)[1 - (3/2)1/3(1 - р)1'*] ехр[МС + Со)];

при -Со < С < Со

<г>1

4 Со

(£) + »(3/2)^1-/О'^!

2

> I

(29)

при С > Со

средней области видно, что достигает экстремальных значений в точках близких к ±Со и принимает в этих точках значения, близкие к ±7г/2. Иллюстрация решения при р близком к единице дана на рис. 2а. Из рис. 2а видно, что в голове вихрей пунктирная кривая ((р2) приближенно повторяет со сдвигом на 27т сплошную кривую (91). Это связано с тем, что при удалении от точки С — Со вправо на расстояние большее координатная зависимость функций и определяется экспонентой, в показателе ко торой стоит к+. Это означает, что — 27т « р2■ В весьма узкой срединной части вихрей функция (¿>1 монотонно изменяется на 7г, а разность между максимальным и минимальным значениями <р2 немного меньше т (см. (29)). При больших значениях параметра р амплитуда изменения ц>2 в области —Со < С < Со с ростом р все больше и больше приближается к 7Г. В хвостовой части сплошная и пунктирная кривые практически не отличимы. Это связано с тем, что при удалении от точки С = —Со влево на расстояние больше 1 функции <рх и (р2 практически совпадают: ~ ~ ^2ехр[&+(С + Со)]- Рисунок 26, иллюстрирующий пространственную зависимость первых производных разностей фаз, дает представление о распределении магнитного поля в первом и втором джозефсоновских переходах, которое дается формулами

В случае достаточно толстых сверхпроводящих пленок, когда 5//) ~ ехр(—2Ь/\) <С 1, магнитное поле в переходах дается приближенной формулой

Яу,, и -[¿0/4тг(А + (1)}дф{/дг, ¿ = 1,2. (30)

В этом пределе кривые рис. 26 непосредственно характеризуют магнитное поле в переходах. При этом согласно (30) в узкой области (—Со, Со), гДе изменяется от 7г/2 до 37г/2, полный магнитный поток в первом переходе приближенно равен фо/2- Соответственно в этой области (—Со, Со), гДе изменяется от 7г/2 до — 7г/2, полный магнитный поток во втором переходе равен —фо/2. Это, естественно оказывается возможным благодаря слабой магнитной связи переходов. Поэтому вклады двух переходов в полный магнитный поток от области (—Со, Со) практически компенсируются. В результате полный магнитный поток, равный единичному кванту, складывается из потоков, образуемых сравнительно слабыми магнитными полями в областях (—оо,Со) и (Со,+оо). Однако

-4

устанавливаемое нами существование довольно сильного магнитного поля в узкой пространственной области рассмотренной вихревой структуры делает желательным его экспериментальное обнаружение.

Рис. 2. Разности фаз <¿>1(0, ¥>2(0 (а) и их производные (б) при скоростях, близ-

ких к предельной (р = 0.999). Сплошные кривые отвечают первому переходу, пунктирные второму переходу.

Таким образом мы показали, что в области (5) достаточно малых скоростей вихря и абсолютная величина разности фаз во втором джозефсоновском переходе \р2\ остается меньше 7г/2 и стремится снизу к этому значению в точках близких к ±Со при стремлении V к предельному значению — (5/И).

Итак, мы рассмотрели выражения для разностей фаз и (¿>2, отвечающие наименьшему положительному корню уравнения (21), определяющему характерный размер вихря. Теперь рассмотрим другие корни этого уравнения и покажем, что отвечающие

таким корням выражения для в средней области, где —Со < С < Со, не удовлетворяют требованию

Ь - тг| < тг/2, (31)

которое необходимо для построения решения в виде 27г-кинка в первом джозефсоновско.м переходе с помощью модели Сакаи-Татено-Педерсена.

Рассмотрим сначала случай малых р, когда р <С 1. В этом пределе корни уравнения (21) даются выражением

- 7Г р2 \ ( 7Г V

fcjCo = — + 7ГП — — 7Г + 47ГП + ехр - - 2тгп j ,

п > 1, рп < 1. (32)

Разность фаз в средней области в первом джозефсоновском переходе, соответствующая этим корням, определяется выражением (24). Используя формулу (32), можно убедиться в том, что sin(fcjC) достигает на интервале (—Со, Со) своих экстремальных значений ±1. В этих точках экстремумов <¿>i = 7г + (7г/\/2), что нарушает требование (31).

Теперь остановимся на случае р близких к единице. Для всех положительных корней уравнения (21), кроме наименьшего, имеем приближенное соотношение

¿oCo = Zn + - р(th~2xn - 1), (33)

где хп - положительный корень уравнения tg хп = thxn. Отвечающее формуле (33) выражение для <¿?i в области — Со < С < Со, имеет вид

~ , * sh(&oC) ,

V?! = 7Г +

7Г 1 tg(^oCo)

2 23/4 (1 -р)1'4

2 sh(&oCo)

sin(¿oC) sh(¿oC)

(34)

sin(fc0Co) sh(¿oCo).

Сравнивая (33) и (34), видим, что в выражении (34) при sin(A;oC) стоит большая амплитуда ос (1 — р)~х/4. Также замечаем, что на интервале (—Со, Со) функция sin (¿oC) достигает значений ±1, поэтому выражение (34) нарушает требование (31).

Развитая нами теория, основанная на системе уравнений (1), является локальной, то есть характерные пространственые масштабы изменения и 92 считаются большими по сравнению с лондоновской длиной А. Поэтому, исходя из формул (11), (12) и

(16), наряду с требованием (5), имеем следующее ограничение на скорость v вихревых структур:

(A/À,)2 « 1 - (v/vsy - (S/D).

Подводя итог всему вышеизложенному, можно утверждать, что для структуры из трех сверхпроводящих пленок с двумя одинаковыми джозефсоновскими переходами в модели Сакаи-Татено-Педерсена дано аналитическое описание джозефсоновского вихря в одном переходе и изображения такого вихря в другом переходе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект N 00-02-16076), Научного совета по сверхпроводимости (задание "Вихри Абрикосова-Джозефсона") и при Государственной поддержке ведущих научных школ (проект N 00-15-96720).

ЛИТЕРАТУРА

[1] В о л к о в А. Ф. Письма в ЖЭТФ, 45, 299 (1987).

[2] К i v s h а г Yu. S. and M a 1 о ш е d D. A. Phys. Rev. В, 37, 9325 (1988).

[3] S a k a i S., В o d i n P., and P e d e г s e п N. F. J. Appl. Phys., 73, 2411 (1993).

[4] С и л и h В. П., У р ю п и н С. А. ЖЭТФ, 108, 2163 (1995).

[5] G о 1 d о b i n Е., Wall г aff А., Т h у s s e n N., and U s t i n o v A. V. Phys.

Rev. В, 57, 130 (1998).

[6] S a k a i S. and P e d e r s e n N. F. Phys. Rev. В, 34, 3506 (1986).

[7] Силин В. П.. С т у д е н о в A.B. ЖЭТФ, 117, 1230 (2000).

Поступила в редакцию 28 декабря 2000 г.