CC BY
13
#
УДК 538.945
НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩЕГОСЯ ТОКА НА БЕСКОНЕЧНУЮ ЦЕПОЧКУ ВИХРЕЙ АБРИКОСОВА-ДЖОЗЕФСОНА
А. В. Зверев, В. П. Силин
В рамках резистивной модели для джозефсоновских переходов с большой критической плотностью тока рассмотрена точно решаемая модель воздействия периодического тока на переход, содержащий цепочку вихрей Абрикосова-Джозефсона. Точное описание такого воздействия позволило установить релаксацию состояния вихрей к периодически изменяющемуся во времени состоянию с периодом осциллирующего тока. Установлен нелинейный резонанс таких параметров цепочки вихрей, как амплитуда колебаний положения вихрей в цепочке и амплитуда колебаний ширины отдельных вихрей, составляющих цепочку, с частотой периодического тока. Наконец, установлена резонансная перестройка магнитного поля цепочки вихрей от ярко выраженной структуры последовательности отдельных вихрей к плавной гармонической зависимости магнитного поля вдоль длины джозефсоновского перехода.
Обычная электродинамика джозефсоновских переходов предполагает, что характерный масштаб рассматриваемых структур велик по сравнению с глубиной проникновения магнитного поля в сверхпроводник. В случае если это не так, электромагнитные свойства перехода описывает нелокальная джозефсоновская электродинамика. Она описывает джозефсоновские переходы с относительно большой критической плотностью тока
Не2
Здесь jc - критическая плотность тока, |е| - заряд электрона, Л - лондоновская длина, с - скорость света и Ь, - постоянная Планка. В пределе (1.1) динамика изменения состояния джозефсоновского перехода описывается уравнением для разности фаз </?(z,f) куперовских пар по разные стороны перехода [1 - 3]
dip 1 д\ I Т dz' dip(z', t) ,
f Ь W/. 1У ь /I «/ А/ As \S As
Здесь
l _ ПС, _ he h = he2 m = M
j] 2|e| jc 16тг|е| djc' ° 2\e\jcRs' A 16^' 7U jc '
ш* '¿\е\1с Ю7г1е|й?с ¿\ецсл3 л 10тг7сЛ' ]с
2с1 - ширина перехода, С8, Л3 - емкость и сопротивление единицы площади контакта, е - диэлектрическая проницаемость, А- джозефсоновская длина. Из (1.3) видно, что характерный пространственный масштаб изменения разности фаз - / в пределе (1.1) существенно меньше А. В случае, когда
^ Фо
С° « о-^Г'
где Ф0 - квант магнитного потока, реализуется так называемая резистивная модель, когда в (1.2) можно пренебречь второй производной по времени и когда имеем
д(р 1 ¿г' д^р(г'Л) .„ ,,
—оо
Это уравнение положено в основу дальнейшего рассмотрения.
В работах [1, 3] было получено решение уравнения (1.4), описывающее стационар ный покоящийся уединенный вихрь Абрикосова-Джозефсона. Это 27г-кинк, имеющие размер I. В [4], на основании уравнения (1.4), рассматривалась релаксация размера подобного вихря, в [5] изучалась одновременная релаксация однородной составляющей фазы, размера и положения вихря Абрикосова-Джозефсона. В работах [6, 7] обсуждалось воздействие на уединенный вихрь периодического тока ступенчатого вида. В [7], в частности, описаны резонансы частоты тока и внутренней частоты джозефсоновского перехода.
В [8] было получено периодическое решение уравнения (1.4), описывающее движущуюся с постоянной скоростью периодическую мультивихревую структуру со средним магнитным полем Н и пространственным периодом
1 = ЩхТ4Я" (1"5)
Такая структура получила название цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона. В [9] рассматривался нестационарный релаксационно-колебательный режим установления бегущей цепочки вихрей, находящейся под действием постоянного тока 7(2) = 70. Это рассмотрение проводилось в условиях, когда параметры цепочки близки к стационарным значениям. Такой режим характеризуется декрементом затухания А и частотой О.
А = (и)
-1
\
(
1-7о2 +
+ 47о2 (т
(1.6)
П = (¿о)
-х
\
-1+7о2- Т +
V
\
1 ~ 7о + I Т
+ 47о2
(1.7)
В данной работе решается задача описания воздействия на цепочку вихрей периодического тока ступенчатого вида (рис. 1)
7(*) = 7(да Гвт (^г))
(1.8)
В силу того, что П и А не зависят от знака плотности тока 70, можно утверждать, что эти величины являются внутренней частотой и внутренним декрементом затухания для цепочки вихрей, подвергающейся воздействию тока (1.8). При этом, так как воздействующий ток обладает периодом Т, то возможно возникновение резонансов, когда Т равен или кратен 27г/Л. Возможность проявления таких резонансов, как показано ниже, зависит от соотношения между П и А. Графики зависимостей А и 1) от 70 изображены на рис. 2.
Видно, что при плотностях тока больших критической плотности тока (70 > 1) частота О оказывается большей декремента затухания, что открывает возможность для проявления указанных выше резонансов. В задачу данной работы входит исследование этих резонансов.
Решение уравнений, описывающих цепочку вихрей. Для решения поставленной в начале статьи задачи необходимо решить уравнение (1.4), описывающее состояния джо-зефсоновского перехода. Для бесконечной цепочки вихрей решение определяется соотношением (ср. [9]):
(2.1)
¥>(*,<) = в(г) + тг + 2аг^
Рис. 1. График зависимости тока 7 от t/T.
Рис. 2. Графики зависимости величин Í2 и Л от амплитуды плотности тока 70 для различных значений параметра 1/L. Величина Л изображается кривыми 1 и 1', которые отвечают //L = 0.2 и 1/L — 0.4 соответственно. Величина Ü изображена кривыми 2 и 2', отвечающим 1/L = 0.2 и I/L = 0.4.
Отсюда видно, что динамика цепочки вихрей представляет собой динамику изменения трех ее характеристик, а именно 0{t) - однородной составляющей разности фаз, a(t) размера вихря, представляющего собой элемент цепочки, и Zo(t) - пространственною положения цепочки. Зависимость этих величин от времени определяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
— = 7 — sin 0cha, (2-2) ат
— = — — eos 0sha, (2-3) ат L
|^ = sin0sha. (2.4)
L ат
Здесь т - безразмерное время, равное t/t0. Видно, что уравнения (2.2) и (2.3) описывают взаимное влияние величин в и a, a (2.4) — влияние в и а: на положение zq.
%
Система взаимосвязанных уравнений (2.2), (2.3) эквивалентна одному комплексному уравнению для величины /3 = ехр(г# — а)
2^ + (/?2 - 1) = 2iftS, (2.5)
где 6(т) - комплексная величина, равная
S(r) = 7(r) + ij. (2.6)
Величина -y(t) принимается ниже периодической функцией, которая имеет вид чередующихся прямоугольных импульсов (1.8) (см. рис. 1):
7(0 = 7о, пТ < t < пТ + Т/2 (2.7)
7(/) = -7о, пТ + Г/2 < t < пТ + Т, (2.8)
где п - любое целое неотрицательное число.
На первом полупериоде (0 < г < T/2t0) 7(7) постоянна и равна 7о. Соответственно 0{t) находится элементарным интегрированием уравнения (2.5):
_ flrow) +1) + (m - ,9(П
Pl J (Mo) +1) - /*,(/?(о) -■
В этой формуле Г - комплексная величина:
Г = -Л + ¿ilsgn7, (2.10)
где Л и О - действительные величины, выражающиеся формулами (1.6) и (1.7). Вели чина fa определяется формулой
fa = iS0-T0. (2.11)
При этом
S0 = l0 + i(l/L), (2.12)
Г0 = —А + til. (2.13)
Формулы (2.9) - (2.13) при 7 = 70 = const соответствуют результатам, полученным в [9]. Стационарный режим, описывающий бегущую с постоянной скоростью цепочку вихрей, отвечает /3(0) = fa. Процесс нестационарной релаксации к такому состоянию, описанный в [9], соответствует /5(0) близким к fa. Действительно, при этом (2.9) переходит в соотношение
/3 - fa ~ ехр(П) = ехр(-Л< + iilt). • (2.14)
В предположении малости |/? — /?7|, выражения для а и в, которые получаются из (2.14), совпадают с соответствующими выражениями работы [9]:
Ав ~ Да ~ exp(-Ai) cos(fli + const). (2.15)
Здесь Ав и Да - отличие соответствующих величин от их стационарных значений.
Пусть в начале первого полупериода система находится в начальном состоянии 0(0), тогда, используя (2.9), можно найти /?(Т/2), то есть в каком состоянии будет находиться система в конце первого полупериода. В течение второго полупериода (Т/2 < t < Т) ~/(t) постоянна и равна —70. Решение в этой области имеет вид (2.9), где вместо /9(0) стоит /3(Т/2), а вместо 70 стоит —70- Используя это, находим состояние системы в конце второго полупериода.
о(ТЛ + Ц /О
m = u*m+vi> (2Л6)
где t>i, V2 - действительные величины:
t* = (1 + + + (Д, - W7 _ ^еГоТ/2) (2 17)
г;2 = (1 + + /ВДе(Го+Г5)Г/2) + (Д, ~ РЖ^'2 ~ (2.18)
а и - комплексная величина, равная
« = (1+- /v(r°+rs)T/2) + (д, - рж^ТоТ'2 +еГоТ/2)- (2-19)
Все вышеописанное может быть отнесено не только к первому периоду (0 < t < Т), но и к последующим (гаТ < t < (га + 1)Г, п = 1,2,3...). Поэтому любое решение будет определяться последовательностью /Зп - значений /3 в начале га-того периода. При этом сама последовательность находится из рекуррентного соотношения, связывающего (Зп и
/W
А-* = (2.20)
u*/3n + v2
Это соотношение определяет общее решение уравнения (2.5). На отрезке [пТ, (га +1/2)7 ] это решение имеет вид
МЛ - + 1) + (Д. -
m ~ (ДА + 1) - /?,(/?„ - /?7)еГо«-пт)" }
На отрезке [(га + 1/2)Г, (га + 1)Т] оно имеет вид
вт _ №Кг + 1) + № - ^)er,'(«-nT-r/a)
) ~ + 1) " Wi - Ые^-пТ-тт' W )
г
где /3„1 = Р((п + 1/2)Г) находится из (2.20').
Среди всех решений, определяемых (2.20), (2.20'), (2.20"), имеются периодические решения с периодом Г; они получаются, если подчинить /Зп условию
Рп+1 = Рп. (2.21)
Отсюда находим для периодического решения
Рп = РреП,2 = (/ ± \Д+/2)Л, (2-22)
где
'"15Г <"»>
При этом само решение имеет вид
ят £т(ДЛег1.2 + 1) + [Руегг,2 ~
^ ' (Р^Ррег 1,2 + 1) " Р-у(Ррет1,2 ~ 1'
при (пГ < г < пТ + Г/2);
_ + 1) + (/^1,2 -т ~ + 1) - РЖ„га - р;)е^т-т,2) №
при (пГ + Г/2 < £ < геТ + Г). Для обсуждаемых периодических решений имеют место соотношения
" (* + у) = "(*) (2-26)
0 (< + = -*(*)■ (2-27)
Таким образом а(<) - периодическая функция с периодом Г/2. Это означает, что размер вихря колеблется с удвоенной частотой по сравнению с однородной разностью фаз в(г).
В дальнейшем понадобятся значения величин а и в в начале каждого полупериода. Подставляя (2.17)—(2.19) в (2.22), (2.23), а также учитывая, что Р = ехр(г0—а), получаем
а(0) = «(Г/2) = аРег 1,2 = агсзЬ (± ) (2-28)
0(0) = -в(Т/2) = Агс1ё . (2.29)
Здесь введены следующие обозначения:
7о I
, AT ПТЛ s - —— I ch—--cos ——
Aio V 2 2 ,
AT i) . ПТ
C = Л Sm ~2~
F =
■y2 - ¿gft2 . ПТ n
ll + tlS2 sm 2 ~A\
2 , 2 Г = S + С .
7g + tgA»_hAr
7o ~~ 2
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Колебания положения вихря для описываемого периодического режима находятся из уравнения (2.4). Используя (2.5), легко получить
zQ[t) = 2о(0) + LArg
Ш)
z0(t) = 2О(0) + Az0 + LArg
8 - 0(0))
(0 <t< Г/2) (Г/2 < t < Г),
— 0(0) /
где 0 = в + m, a Az0 - амплитуда колебаний положения вихря,
_ . [S0-Q(T/2)\
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Используя (2.28) и (2.29), получаем Аг0
= Arctg
+ Fe
— Arctg
м
г + Fe
(2.37)
L V7or — sVr + F2 J \7o r + sy/r + F2 J
Рассмотрим непериодические решения. Для всякого решения имеет место равенство
ß(NT) = ßN,
где последовательность ßx определяется при помощи (2.20), исходя из заданного ß0-Можно найти явный вид последовательности ß^. Будем последовательно находить ßs-
Далее
ßi =
ß» =
aißo + h _ vxß0 + u
C\ßo + di u*ß0 + v2
Q2/3q + b2 _ v\ß\ + u c2ß0 + d2 u*ßi + ui
(2.38)
(2.39)
л
Формулы (2.38), (2.39) служат определениями величин а^ 61,2 с\>2 ¿1,2• По аналогии определяются а^, Ьм, с/у, о?дг, для N > 2. Для величин 021^2,02,^2, можно написать
Й2 = + Ь2 = г^Ьа + м^! с2 = и*а! + ь2сг ¿2 = и*Ь\ + У2 ¿1
Очевидно, что для произвольного N имеют место аналогичные соотношения
а^ = иаодг-х + Ьн = +
с^/ = и*адг_1 + и2слг_1 ¿ту = г-1 +
Через эти четыре последовательности определяется последовательность /Здг,
_ а/у/Зр + ¿/у Сдг/Зо + ¿ДГ
Соотношения (2.41) можно переписать в матричном виде
(2.40)
(2.41)
(2.42)
ан
сдг
VI и и* У2
ак-1
СДГ-1
¿/V
14
и* У2
1
(2.43)
Для того, чтобы найти (ату,слг) и (б/у, ^л/), необходимо диагонализовать матрицу из (2.43), т.е. найти преобразование X такое, что
г?1 и
и г>2
При этом соотношения (2.43) перейдут в
ам
Х1 0 0 Л2
= А.
(2.44)
СЛГ / \ СЛГ-1
В силу диагональности А получаем
= А1 I ^ 1;
«лг
= ЛЬ
&ЛГ-1
(2.45)
ак 1 1 = Л*"1! ( Я! |
слг у ' \ V J ' \
АГ
ЛГ-1
0 А?"1
О! С1
(2.46)
1ЛГ-1
Отсюда
= | : ] = [ А,0 14 7 ]■ (2.47)
Искомая матрица равка
£ = 1 А = —-Ц—. (2.49)
V — 1 /Зрет-2 ) Ррет 1 ~ Ррег2
При этом
1>1 + и2 ± л/(иг + и2)2 + 4(^2 - «*") Ах,2 =-2-• (2.50)
Используя вышеописанное, получаем
= (/Зреп(^ ~ /?Рег2"') + Р^РреЛ М* ~ «^"^А) + /Зрег1(" - Д^а) + /?рег2(Арег!^ ~ Ц)^"' (("1 - /?Рег2и*) + (РреП«* - »л)^"1) + (« - ^рег2«2) + (^рег1«2 ~
(2.51)
Здесь £ = А2/А1. Формула (2.51) описывает любые непериодические решения. Нетрудно убедиться, что |Ах| > | А21, следовательно, при N оо величина стремится к нулю. Отсюда следует, что Ду —* Рреп- Таким образом получено, что все непериодические решения со временем стремятся к периодическому с /Злг = Ррет\- При этом приблизительное время релаксации равно —Т1п(А2/Аг).
Итак, решение уравнений (2.2)-(2.4) дает следующие результаты: в зависимости от начального состояния системы имеется два типа решений, это периодические решения (2.24), (2.25), и оставшиеся непериодические решения, которые стремятся к одному из периодических, а именно, решению, характеризующемуся /?реГ1- В силу этого, дальнейшее рассмотрение свойств решений разумно производить именно для этого установившегося решения.
Резонансные свойства периодического режима. Перейдем к рассмотрению свойств установившегося периодического режима, описанного в предыдущем разделе.
Как упоминалось выше, при вынужденных колебаниях параметров перехода под воздействием внешнего периодического тока возможны резонансы. Такие резонансы наиболее ярко могут проявляться в условиях, когда частота внутренних колебаний превосходит декремент затухания (Г2 >> Л). Исходя из (1.6), (1.7), можно заключить, что это
возможно при
7о » 1, 1/Ь « 1. (3.1)
Действительно, при таких условиях соотношения (1.6) и (1.7) можно разложить по параметру 1/7о с точностью до поправок порядка (1/70)2:
л = (3.2)
Из этих соотношений видно, что безразмерная частота (Шо) порядка 70 и существенно превосходит безразмерный декремент затухания (Л£0), который порядка (1/Ь). Однако, в условиях (3.1), в силу (2.9), влияние затухания может все-таки сильно проявляться при больших значениях периода Т. Для того, чтобы избежать этого, вместе с (3.1) в этом разделе примем условие
£ « 1. (3.4)
Рассмотрим зависимость амплитуды колебаний положения цепочки вихрей от периода внешнего тока. Эта зависимость определяется формулой (2.37). В условиях (3.1), (3.4) она принимает вид
Дго = ЬАгад/, / = £ , 4 ^-' 4, 'Л (3.5)
Н 1 от 4 СОБ
7о I (зш2 ^ - | М
Чтобы проанализировать зависимость Аг0 от Т, отметим, что второе слагаемое в знаменателе существенно меньше первого везде, кроме узких областей вокруг точек, в которых зт(ОТ/4) равно нулю. Вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь при значениях Т, принадлежащих области
Те [2пГ7 + £,2(п + 1)Г7-£] п = 0,1,2..., (3.6)
где Т7 = 27г/0, а £ = /Ь)(1 /7о)(п^^-у) << ^-г ^ каждой из областей (3.6) величина, стоящая под знаком Лгс^, порядка (1/Ь)7ц 2 << 1, следовательно, Аг0 приблизительно равна тгЬк, где к - целое число, зависящее от номера отрезка п. Зависимость к от п определяется тем, как меняется Аг0 на узких переходных отрезках (2пТ7 — 2п1\ + £). Проанализируем зависимость Аг0 от Т в этих областях. При изменении величины 6Т = Т — 2пТ7 от —£ до —4^/7о, / - функция под знаком Агс£</, изменяется от 0 до +оо,
следовательно, Аг0/Ь изменяется от жк до жк-\-ж ¡2. Далее, при изменении 6Т от — 4£/70 до 4^/70, / изменяется от — оо до +оо, следовательно Аг0/Ь изменяется от жк + ж/2 до жк + Зж/2 и, наконец, при изменении 8Т от 4£/70 до Аг0/Ь изменяется от жк + Зж/2 до ж к + 2ж. Таким образом в промежуточной области (2 пТ7 — 2 пТ7 + £), т.е. при переходе от п к п + 1, Аго увеличивается на 2жЬ и целое число к увеличивается на 2. Теперь для того, чтобы определить, как к зависит от п, необходимо знать к(п = 0). Из (3.5) следует, что при Т —► 0 величина Аго стремится к нулю, следовательно, к(п = 0) = 0. Таким образом, можно заключить, что к = 2п.
зЬ(а0)
АгуЛ 6
Рис. 3. График зависимости амплитуды колебаний цепочки вихрей от периода воздействия в резонансном случае 7 = 3.5, 1/Ь — 0.05.
Рис. 4. График зависимости параметра в/г(а0) ОТп Т/Ту в резонансном случае 7 = 3.5, 1/Ь = 0.05.
Суммируя вышесказанное, можно утверждать, что Аго(Т) имеет вид "лестницы", состоящей из областей, где Аго практически постоянно, и узких скачков на 2жЬ в точках 2пГ7, п = 1,2,3... С ростом п ширина скачков, равная увеличива-
ется. Такая зависимость Аг0(Т) имеет резонансный характер, так как узкие скачки величины Аг0 находятся в точках, когда период воздействия Т кратен внутреннему периоду 2ж/П. Это отличается от нерезонансного случая (70 << 1,Л >> когда, как следует из (2.37), зависимость Аг0(Т) - линейная:
ПТ
Аг0{Т) = 2жЬ—. (3.7)
¿л
На рис. 3 изображен график зависимости Аг0(Т) для резонансного случая (70 = 5). Отметим также, что с ростом периода резонасные скачки расплываются. Их ширина пропорциональна п, и приблизительно равна (ттп)(1/Ь)^2.
Для размера вихрей а(1) тоже имеет место резонансное поведение при изменении периода воздействия 7', в условиях (3.1), (3.4). Рассматриваемый периодический режим характеризуется периодической зависимостью с*(£). Чтобы продемонстрировать резонанс размера вихря, рассмотрим, для простоты, зависимость размера вихря ао = а^Т) в начале периода от Т. Используя (2.28) для этой величины можно записать соотношение:
зЬао(Г) =--(3.8)
у/г
В условиях (3.1), (3.4) это выражение переходит в
8Ьа0(Г) = , 1 (3.9)
^¥ + (44)4(¥)я( i + W)
В знаменателе правой части формулы (3.9) под знаком радикала имеется два слагаемых, и аналогично выражению для Дг0, вторым слагаемым можно пренебречь везде, кроме узких областей вокруг нулей sin(iiT/4), когда Т = 2пТ7 (п = 0,1,2,...). Там, где это слагаемое можно выкинуть, sh(c*) порядка I/L и существенно меньше единицы. Вблизи 2пТ7 эта величина имеет резкий всплеск и достигает значения порядка 7q(//T)-1 (тгп)~ 1, что существенно больше единицы. Таким образом, в зависимости sh(a) от Т имеет место последовательность резонансных пиков (см. рис. 4), амплитуда которых уменьшается с ростом периода. Ширина резонансных пиков увеличивается с ростом п подобно ширине резонансных скачков для
Такое резонансное поведение отличается от поведения с*о(Т) в нерезонансном случае малых токов (70 << 1), когда величина sh(a) постоянна и равна 1/L.
Резонансное поведение а0(Т) определяет резонансное поведение структуры магнитного поля в контакте. Как и при рассмотрении размера вихрей, рассмотрим для простоты величину Hq(z) = H(z,t = 0). Магнитное поле для цепочки вихрей имеет вид [8]:
Я0(*,Г) = -Я - ^ (a0(T) - In (chao(T) - cos * + • " (3-10)
При периодах Т, не близких к 2пТ7, имеет место равенство:
*<•>--'-(3U)
График <5Н(г) = Н0(г) — ( —#) изображен на рис. 5. Видно, что имеется последовательность узких пиков (вихрей), амплитуда которых 8Нтах равна - (Ф0/47гА2)1п(//Х). Отношение 8Нтах к Н равно —(£/А)1п(1/Ь) и, может быть порядка единицы.
Рис. 5. График зависимости величины 6Н(г)/(Ф0/47гА2) от г при 70 = 0.5, 1/Ь = 0.1, при Т, далеких от резонансных значений 2пГ7.
Рис. 6. График зависимости величины ¿#(г)/(Ф0/47гА2) от г при 7о = 0.5, 1/Ь = 0.1, при резонансном значении Т = 2пТ-,.
При периодах Г, близких к 2пТ1: картина магнитного поля резко меняется. В этом случае
и ( \ и Фо (1\ 1 + (ОЛ0\
Зависимость 8Н(г) (рис. 6) в этом случае представляет собой гармонические колебания с амплитудой (Ф0/47гА2)(//Х)/7о, которая существенно меньше Н. То есть магнитное поле имеет структуру, при которой вихрей нет. Таким образом, при приближении Т к резонансному значению структура магнитного поля переходит от вихревой (рис. 5), к структуре, представляющей собой малые гармонические колебания при изменении 2 (рис. 6).
Диссипативные потери цепочки вихрей. Для рассмотрения диссипативных потерь воспользуемся формулой для напряжения на джозефсоновском контакте:
2|е| 81 [ '
Производная от разности фаз имеет вид:
_ ¿т 4 2
■« е / . \ \ ( у—^ '
dt dt ch(a(t)) - eos
Для описываемых решений эта величина периодически зависит от времени, причем период равен Т. Зависимость от 2 также периодическая. Ее период равен 2ттЬ. Усредненное по пространственному периоду напряжение определяется формулой:
В последней формуле /?(<) определяется формулами (2.18) и (2.19).
Диссипативные потери перехода обычно [5 - 7] описываются при помощи передава емой контакту мощности тока
Q = J j(t)V(z,t)dz
Будем рассматривать усредненную по времени мощность, передаваемую одному периоду цепочки длиной 2тгЬ.
Т 2 nL
"щг!*™!"**1-■ (4-4)
1 1 о о
Подставляя (4.2) в (4.4), получаем:.
Q = ("г* (i) + ЛгСд ( t^rlp) ~ ArdS LKj ) '
(4.5)
В этой формуле:
Qohm = AKLRJ*. (4.6)
Рассмотрим мощность Q как функцию периода T/t0. При
Г«1/Л, Т«1/П. (4.7)
Имеет место соотношение:
Q = Qohm- (4-11)
Таким образом, в пределе (4.7) мощность, выделяемая на контакте, представляет собой омические потери.
В обратном пределе:
Т» 1/Л, Т»1/П. (4.12)
Величина ф становится константой:
_ „ , _ Шп
0 = 2-кЬ]— = С1онтп—. 4.13
1е1 7о
Видно, что отличие диссипативных потерь в этом пределе от омических потерь определяется безразмерным множителем (Ш0)/7о. Из формулы (1.7) следует, что этот множитель всегда меньше единицы (рис. 2). При 70 << 1 он приблизительно равен 1/Ь, а при 70 >> 1 практически равен единице. То есть при 70 << 1
Я = <?0Лт{ = 2тг Ц2Яа. Что отвечает омическим потерям в области занимаемой одним вихрем. А при 70 >> 1
ф = ЯоКтП!
что соответствует омическим потерям на периоде цепочки.
Результат (4.13) можно объяснить, если заметить, что он совпадает с мощностью, которая выделяется в случае равномерно бегущей цепочки вихрей, находящейся под действием постоянного тока [9]. Действительно в этом случае имеет место формула:
Ш = 2|е| V, (4.14)
а из этой формулы и (4.4) следует (4.13). Поскольку в обсуждаемом пределе Т » 1/Л, а 1/Л - это время релаксации решения (2.8), то есть время релаксации к равномерно бегущей цепочке, можно утверждать, что основное время система находится именно в стационарном состоянии, когда выполнено (4.14).
Для того, чтобы указать на преемственность нашего рассмотрения, отметим, что в случае 1/Ь « 1 выражение (4.5) представляет собой мощность, выделяемую уединенным вихрем (элементом цепочки), находящимся под действием ступенчатого тока (2.7). Такое воздействие рассматривалось в [6, 7]. Первое слагаемое (4.5) соответствует - величине, которая в [6, 7] определяется как однородная мощность, а сумма второго и третьего слагаемых соответствуют из [6, 7].
0.01
0.005
^оЬт
0.015
<№ьт
Рис. 7. График зависимости величины вклада в мощность диссипативных потерь сверхпроводящего тока от Т/Т7 в резонансном случае 7 = 3.5, 1/Ь = 0.05.
Рис. 8. Графики зависимости (}(Т/10) для различных значений параметров 70 и 1/Ь. На рисунке изображены кривые, отвечающие параметру 1/Ь = 0.1 и параметру 70 = 0.2 (кривая 1), 70 = 0.4 (кривая 2), 70 = 0.7 (кривая 3).
Рассмотрим зависимость ф от Т в резонансных условиях (3.1), (3.4). Разлагая выражение (4.5) по малому параметру 1/70, оставляя слагаемые порядка (1/7о)5 получаем:
Я — Qoh.ni
2*о
То Т
ОТ 1 . от
—— + эт ——
О I !!Т , / / • 2 ит , ( 1\2 (ПТ\2 ( 1\ (ПТ\ \ ПТ 2Т3\П — + — +{т) [—) - [т) {т) )С05 —
76
V
+ (и)
/
(4.15)
При этом учитывались соотношения (3.2), (3.3). При ОТ/4 >> (//Ь)~1 формула (4.15) переходит в простое соотношение:
СоЛтп
1 8Ш2 ^ _ 1 + Т ,__ч ■?_ I = УоЛт +
\
272 ^Оту
(4.16)
Вклад сверхпроводящего тока в (4.16) дается относительно малым вторым слагаемым,
которое при увеличении ClT осциллирует с периодом 87т и убывает обратно пропорционально квадрату ПТ/4. График зависимости Qsc от Т для 70 = 3.5 изображен на рис. 7.
0.085 0.08 0.075 0.07 0.065 0.06 0.055 0.05 0.045 0.04 0.035
0 10 20 30 40 50
T/t0
Рис. 9. Графики зависимости Q(T/t0) для различных значений параметров 70 и I/L. Па рисунке изображены кривые, отвечающие параметру 1/L — 0.1 и параметру 70 = 1.5 (кривая 1), 7о = 1.6 (кривая 2), 7о = 1.7 (кривая 3).
Графики зависимости Q от T/t0 приведены на рис. 8 и рис. 9. На рис. 8 изображены три кривые, отвечающие параметру I/L, равному 0.1 и трем различным параметрам 7о, меньшим единицы.
Видно, что все кривые имеют схожий вид, а именно, вначале Q возрастает, достигая своего максимального значения, после чего Q плавно спадает и выходит на константу. Такая плавная зависимость объясняется тем, что при указанных выше значениях параметров fi оказывается меньшим чем Л (рис. 2). Поэтому в (4.5) проявляют себя только "плавные" компоненты (sh{ch}(AT/2)). На рис. 9 изображены графики зависимости Q(T/t0) при 1/L = 0.1 и трех значений 70, больших единицы.
В этом случае, в противоположность рис. 6, П > Л, и поэтому, наряду с плавной зависимостью, оказывают также влияние "колеблющиеся" компоненты (sin{cos}(iiT/2)). Влияние таких компонент рассмотрено выше для случал больших токов ((4.14), (4.15)). На рис. 9 имеют место малые затухающие колебания, подобные рис. 7 на фоне плавной зависимости, подобной рис. 8.
Q/Qohm
Подводя итог всему вышесказанному следует подчеркнуть, что в настоящей работе была предложена и исследована точно решаемая нелинейная модель поведения бесконечной цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона под действием периодически изменяющегося во времени тока, пропускаемого через контакт. Результаты исследования предложенной нелинейной модели отвечают получению ряда важных закономерностей Во-первых, показано, что при воздействии на цепочку вихрей периодического тока начальное состояние вихрей релаксирует к установившемуся периодическому режиму, при котором параметры цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона осциллируют с периодом колебаний тока. Во-вторых, установлено явление резонанса частоты внешнего тока с собственной частотой (1.7) цепочки вихрей. Этот резонанс проявляется: а) в резонансной зависимости амплитуды колебаний во времени пространственных положении вихрей в цепочке, б) в резонансной зависимости ширины отдельных вихрей, составля ющих цепочку. В-третьих, показано, что в результате резонансного воздействия тока магнитное поле цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона перестраивается от картины последовательности сравнительно ярко выраженных уединенных вихрей в нерезонансном случае к случаю гармонической пространственной зависимости магнитного поля в резонансном случае, когда сколько-нибудь выраженных нелинейных вихрей нет.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект N 00-02-16076), Научного совета по сверхпроводимости (задание "Вихри Абрикосова-Джозефсона") и при Государственной поддержке ведущих научных школ.
ЛИТЕРАТУРА
[1] JI а п и р Г. М., Лихарев К. К., Маслова Л. А., Семенов В. К. ФНТ, 1(10), 1253 (1975).
[2] Алиев Ю. М., Силин В. П., У р ю п и н С. А. Свехпроводимость: физика, химия, техника. 5(2), 228 (1992).
[3] G и г е v i с h A. Phys. Rev. В, 46, 3187 (1992).
[4] С и л и н В. П. Письма в ЖЭТФ, 57(3), 187 (1993).
[5] G u г е v i с h A. Physica С, 243, 192 (1995).
[6] К у з о р а И. В., Силин В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 44 (1998).
[7] 3 в е р е в А. В. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11, 17 (1999).
[8] С и л и н В. П. Письма в ЖЭТФ, 60(6), 442 (1996).
[9] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 112, N 4(10), 1396 (1997).
Поступила в редакцию 29 марта 2001 г.
